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  • python中矩阵加减规律

    千次阅读 2019-01-15 10:35:07
    两个不同维度的矩阵相加规则: 1.若两个矩阵对应维度不同,则应使其中一个矩阵的维度为1,则会自动广播。 如:a = (3,4,5,6) ;b=(1,4,5,6);c=a+b=(3,4,5,6) a = (3,4,1,6) ;b=(1,4,5,6);c=a+b=(3,4,5,6) 2.若两...

    两个不同维度的矩阵相加规则:

    1.若两个矩阵对应维度不同,则应使其中一个矩阵的维度为1,则会自动广播。

    如:a = (3,4,5,6) ;b=(1,4,5,6);c=a+b=(3,4,5,6)

    a = (3,4,1,6) ;b=(1,4,5,6);c=a+b=(3,4,5,6)

    2.若两个矩阵维度不同,则从后往前数:对应维度相同的和多余出来的维度为最终维度

    如:a = (3,4,5,6) ;b=(4,5,6);c=a+b=(3,4,5,6)

    a = (3,4,5,6) ;b=(1,5,6);c=a+b=(3,4,5,6)

    a = (3,5,1,7) ;b=(1,4,7);c=a+b=(3,5,4,7)

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  • 项目中经常遇到不同维度矩阵加减操作,规则如下: (1)进行加减操作的两个矩阵最后一个维度要相同或其中一个矩阵的最后一个维度元素数为1 a=np.array([[1,2],[3,4]]) print(a.shape) b=np.array([[[7,8],[8,9]], ...


    项目中经常遇到不同维度矩阵的加减操作,规则如下:

    (1)进行加减操作的两个矩阵最后一个维度要相同或其中一个矩阵的最后一个维度元素数为1

    a=np.array([[1,2],[3,4]])
    print(a.shape)
    b=np.array([[[7,8],[8,9]],
               [[7,8],[8,9]]])
    print(b.shape)
    print(b-a,(b-a).shape)
    print('==============11111===============')
    a=np.array([[1,2],[3,4]])
    print(a.shape)
    b=np.array([[[[7,8],[8,9]]]])
    print(b.shape)
    print(b-a,(b-a).shape)
    print('==============22222===============')
    #最后一个维度的元素数分别为2和3,报错
    a=np.array([[1,2,3],[3,4,5]])
    print(a.shape)
    b=np.array([[[7,8],[8,9]],
               [[7,8],[8,9]]])
    print(b.shape)
    try:
        print(b-a,(b-a).shape)
    except Exception as e:
        print(e)
    print('=============33333================')
    #其中一个矩阵的最后一个维度元素数为1,不报错
    a=np.array([[1],[3]])
    print(a.shape)
    b=np.array([[[7,8,9,10],[8,9,10,11]]])
    print(b.shape)
    try:
        print(b-a,(b-a).shape)
    except Exception as e:
        print(e)
    print('============44444=================')
    #其中一个矩阵的最后一个维度元素数为1,不报错
    a=np.array([[1,2,3],[3,4,5]])
    print(a.shape)
    b=np.array([[[7],[8]]])
    print(b.shape)
    try:
        print(b-a,(b-a).shape)
    except Exception as e:
        print(e)
    print('============55555=================')
    #最后一个维度的元素数分别为4和2,报错
    a=np.array([[1,2],[3,4]])
    print(a.shape)
    b=np.array([[[7,8,9,10],[8,9,10,11]]])
    print(b.shape)
    try:
        print(b-a,(b-a).shape)
    except Exception as e:
        print(e)
    print('============66666=================')
    

    输出:
    在这里插入图片描述

    (2)结果矩阵维度

    当两个矩阵最后一个维度元素数相同时,加减完后矩阵的形状和高维矩阵的相同;当不同时(其中一个矩阵的最后一维元素数为1),矩阵维度和高维度矩阵相同,但最后一维的元素数和原来两个矩阵中最后一维元素数较多的矩阵相同。

    (3)两个矩阵卷积操作的规则与加减类似

    a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
    b=np.array([[1,2],[2,3]])
    try:
        print(a*b,(b-a).shape)
    except Exception as e:
        print(e)
    print('============11111============')
    a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
    b=np.array([1,2])
    try:
        print(a*b,(b-a).shape)
    except Exception as e:
        print(e)
    print('============22222============')
    a=np.array([[1,2,3,4],[4,5,6,7]])
    b=np.array([1,2])
    try:
        print(a*b,(b-a).shape)
    except Exception as e:
        print(e)
    print('============33333============')
    a=np.array([[1,2,3,4],[4,5,6,7]])
    b=np.array([2])
    try:
        print(a*b,(b-a).shape)
    except Exception as e:
        print(e)
    print('============44444============')
    a=np.array([[1,1,1,1],[2,2,2,2]])
    b=np.array([[2,4,6,8],[1,3,5,7]])
    try:
        print(a*b,(b-a).shape)
    except Exception as e:
        print(e)
    print('============55555============')
    

    输出:
    在这里插入图片描述

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  • 一、矩阵加减乘除

    千次阅读 2019-03-31 17:51:39
    矩阵也存在加减乘除 矩阵就是填满数字的表格,一般用大写字母表示,关于矩阵很重要的一点是,它不是一个自然的概念,它是数值的一种表示方法,矩阵的运算也是人为约定的(人造的规则,完全可以采用不同的方法) 假设...

    矩阵也存在加减乘除

    矩阵就是填满数字的表格,一般用大写字母表示,关于矩阵很重要的一点是,它不是一个自然的概念,它是数值的一种表示方法,矩阵的运算也是人为约定的(人造的规则,完全可以采用不同的方法)

    假设:

    $$ A = \left[ \begin {matrix} a & b \\ c & d \end {matrix} \right] $$ ,$$ B = \left[ \begin {matrix} e & f \\ g & h \end {matrix} \right] $$$$ C = \left[ \begin {matrix} i & j & k \\ l & m & n \end {matrix} \right] $$$$ D = \left[ \begin {matrix} o & p \\ q & r \\ s & t \end {matrix} \right] $$

    矩阵加法

    $$ A + B = \left[ \begin {matrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end {matrix} \right] $$

    注:同位置相加,所以 A 无法加 C

    矩阵减法

    标量与矩阵相乘

    $$ a \cdot B = a \cdot \left[ \begin {matrix} e & f \\ g & h \end {matrix} \right] = \left[ \begin {matrix} a \cdot e & a \cdot f \\ a \cdot g & a \cdot h \end {matrix} \right] $$

    所以

    $$ A - B = A + (-1) \cdot B = \left[ \begin {matrix} a & b \\ c & d \end {matrix} \right] + \left[ \begin {matrix} -e & -f \\ -g & -h \end {matrix} \right] = \left[ \begin {matrix} a-e & b-f \\ c-g & d-h \end {matrix} \right]$$

    矩阵乘法

    其实是行向量与列向量的点积

    $$ A \cdot B = \left[ \begin {matrix} a \cdot e + b \cdot g & a \cdot f + b \cdot h \\ c \cdot e + d \cdot g & c \cdot f + d \cdot h \end {matrix} \right] $$

    矩阵除法

    方阵:行和列相同的矩阵称为方阵,A和B都可以称为方阵

    对角矩阵:除反对角线外,其它数据都为0的方阵,称为对角矩阵,例如:

    $$E=\left[\begin{matrix}3 & 0\\0 & 2\end{matrix}\right] \qquad or \qquad F=\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & 5 & 0\\0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$

    单位矩阵:反对角线的数据全为1的对角矩阵,称为单位矩阵,例如:

    $$I=\left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right] \qquad or \qquad I^{'}=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$

    注:单位矩阵I与方阵A有个属性,I·A=A,A·I=A

    常规数学中,

    $$\frac{1}{a} \cdot a = 1$$

    矩阵中,也存在类似的式子,

    A^{-1} \cdot A = I

    其中,A^{-1}为矩阵A的逆矩阵,矩阵世界中,单位元是单位矩阵

    求矩阵的逆矩阵,就是矩阵除法

    2x2矩阵的逆矩阵

    假设

    A=\left[\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right]

    矩阵A的行列式为:

    \left | A \right | = ad-bc

    矩阵A的逆矩阵为:

    A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |} \left [ \begin {matrix} d & -b \\ -c & a \end {matrix} \right ] = \frac{1}{ad - bc} \left [ \begin {matrix} d & -b \\ -c & a \end {matrix} \right ]

    3x3矩阵的逆矩阵-方法1

    求解过程较复杂,主要步骤为:

    1. 从矩阵A求余子式

    2. 从余子式求代数余子式

    3. 从代数余子式求伴随矩阵

    4. 从矩阵A或矩阵A和代数余子式求矩阵A的行列式

    5. 从矩阵A的行列式和伴随矩阵求矩阵A的逆矩阵

    下面为详细步骤:

    假设

    A = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right ]

    1. 从矩阵A求余子式,等于矩阵A去掉某一数字元素所在的行和列后,剩余的数字元素形成的2x2矩阵的行列式:

    matrix \ of \ minors = \begin{bmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & 2\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 2 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2\\ -1 & 0 & 1\\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}

    2. 从余子式求代数余子式,等于余子式与符号矩阵对应元素相乘,注意,不是行向量与列向量的点积:

    符号矩阵固定为:

    \begin{bmatrix} +1 & -1 & +1\\ -1 & +1 & -1\\ +1 & -1 & +1 \end{bmatrix}

    因此,代数余子式cofactors为:

    cofactors = \begin{bmatrix} 1*(+1) & (-1)*(-1) & (-2)*1\\ (-1)*(-1) & 0*1 & 1*(-1)\\ (-2)*1 & 1*(-1) & 2*1 \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 1 & 0 & -1\\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix}

    3. 从代数余子式求伴随矩阵,等于代数余子式沿反对角线转置,也就是行和列进行转换:

    adjugate = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2\\ 1 & 0 & -1\\ -2 & -1 & 2 \end{bmatrix}

    4. 从矩阵A和伴随矩阵求矩阵A的行列式,等于矩阵A中任意一行的元素与伴随矩阵相应行的元素,相乘然后相加:

    假设我们选取矩阵A中的第二行元素,相应的,也会选取伴随矩阵中的第二行元素,

    \left | A \right | = 0*1 \ + \ 2*0 \ + \ 1*(-1) = -1

    5. 从矩阵A的行列式和伴随矩阵求矩阵A的逆矩阵,等于1除以矩阵A的行列式,然后再乘以伴随矩阵:

    A^{-1} = \frac{1}{\left | A \right |}\cdot adjugate = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & -2 \end{bmatrix}

    3x3矩阵的逆矩阵-方法2

    该方法称为高斯消去法(Gauss-Jordan elimination,查看证明过程),主要步骤为:

    1. 增广原矩阵

    2. 基础行运算

    下面为详细步骤:

    假设

    A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

    1. 增广原矩阵,等于在原矩阵的右侧增加一个同等大小的单位矩阵:

    augment \quad A = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]

    2. 基础行运算,等于原始矩阵执行一堆行运算,相应的,在单位矩阵执行相同的行运算,直到原始矩阵变成单位矩阵,此时,原始单位矩阵就变成了原始矩阵的逆矩阵;行运算--行可以由原始行乘以任意数字来代替,也可以对任意两行进行交换,还可以用其他行加上或减去某一行,然后用结果代替原始行;下面开始基础行运算:

    第三行减去第一行,然后用结果代替第三行,增广矩阵变为:

    \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right ]

    第三行与第二行进行交换:

    \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right ]

    第三行减去(第二行乘以2),然后用结果代替第三行:

    \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right ]

    第一行减去第三行,然后用结果代替第一行:

    \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left | \begin{matrix} -1 & -1 & 2\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right ]

    此时,增广矩阵的左侧已经变成了单位矩阵,那么,增广矩阵的右侧就是原始矩阵的逆矩阵

    注:高斯消去法也可以用来求解2x2矩阵的逆矩阵

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  • 快速入门Numpy广播Numpy的广播既是在2个不同的矩阵运算过程中,Numpy将较小的数组拉伸成较大数组的形状(shape),然后Numpy加减乘除不同矩阵加减乘除运算,好的没我们来看一下一个例子:a = np.array([3.0, 4.0, ...

    在我们所以Numpy的过程中,常常会有大量的矩阵数组需要运算,但是不同类型的Numpy怎样进行加减乘除呢?这就要用到我们Numpy的广播。

    快速入门Numpy广播

    Numpy的广播既是在2个不同的矩阵运算过程中,Numpy将较小的数组拉伸成较大数组的形状(shape),然后Numpy加减乘除不同矩阵的加减乘除运算,好的没我们来看一下一个例子:

    a = np.array([3.0, 4.0, 5.0, 6.0])

    b = np.array([3.0, 4.0])

    print a * b

    将会出现这样的错误ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (3,), (2,), 在这里,我们只需要将a转换成一个2维数组,即可进行广播,如:

    a = np.array([3.0, 4.0, 5.0, 6.0])

    b = np.array([3.0, 4.0])

    a.shape = (2,2)

    print a * b

    # 输出:[[ 3. 4.] [ 5. 6.]] [[ 9. 16.] [ 15. 24.]]

    # 例外一个例子

    x = np.arange(4)

    z = np.ones((3,4))

    print x + z

    好的到这里其实主要我们已经将完了所有的内容,如果你想要了解更多,可以查看下面的内容,其实都是一些描述性的,我觉得不是那么有必要看

    什么是Numpy广播

    广播术语描述了在算术运算过程中numpy如何处理具有不同形状的数组。受到某些约束,较小的数组是跨越较大阵列的“广播”,以便它们具有兼容的形状。广播提供了一种向量化数组操作的方法,以便循环发生在C而不是Python中。它不会造成不必要的数据副本,通常会导致高效的算法实现。然而,广播是一个坏主意,因为它导致低效的内存使用减慢了计算的情况。

    NumPy操作通常是在逐个元素的基础上完成的。在最简单的情况下,两个阵列必须具有完全相同的形状,如下例所示:

    a = np.array([3.0, 4.0, 5.0])

    b = np.array([3.0, 3.0, 3.0])

    print a * b

    # 输出:[ 9. 12. 15.]

    当数组的形状满足某些限制时,NumPy的广播规则放宽了这个约束。当操作中组合数组和标量值时,会发生最简单的广播示例:

    a = np.array([3.0, 4.0, 5.0])

    b = 3.0

    print a * b

    # 输出:[ 9. 12. 15.]

    上面2个例子的结果相同,在计算期间,我们可以看作b被拉伸成与a相同的形状,新元素 b只是原始标量的副本。拉伸类比只是概念性的。NumPy足够聪明才能使用原始的标量值,而无需实际复制,因此广播操作尽可能地作为记忆和计算效率。

    第二个示例中的代码比第一个示例中的代码更有效,因为广播在乘法期间移动较少的内存(b是标量而不是数组)。

    一般广播规则

    在两个数组上运行时,NumPy将元素的形状进行比较。它从尾随的维度开始,并向前推进。两个尺寸兼容

    他们是平等的

    其中一个是1

    如果不满足这些条件, 则抛出异常,表示阵列具有不兼容的形状。结果数组的大小是输入数组的每个维度的最大大小。ValueError: frames are not aligned

    接下来我们看一下一些具体的例子:

    >>> x = np.arange(4)

    >>> xx = x.reshape(4,1)

    >>> y = np.ones(5)

    >>> z = np.ones((3,4))

    >>> x.shape

    (4,)

    >>> y.shape

    (5,)

    >>> x + y

    : shape mismatch: objects cannot be broadcast to a single shape

    >>> xx.shape

    (4, 1)

    >>> y.shape

    (5,)

    >>> (xx + y).shape

    (4, 5)

    >>> xx + y

    array([[ 1., 1., 1., 1., 1.],

    [ 2., 2., 2., 2., 2.],

    [ 3., 3., 3., 3., 3.],

    [ 4., 4., 4., 4., 4.]])

    >>> x.shape

    (4,)

    >>> z.shape

    (3, 4)

    >>> (x + z).shape

    (3, 4)

    >>> x + z

    array([[ 1., 2., 3., 4.],

    [ 1., 2., 3., 4.],

    [ 1., 2., 3., 4.]])

    广播提供了一种方便的方式来拍摄两个阵列的外部产品(或任何其他外部操作)。以下示例显示了两个1-d数组的外部加法运算:

    >>> a = np.array([0.0, 10.0, 20.0, 30.0])

    >>> b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])

    >>> a[:, np.newaxis] + b

    array([[ 1., 2., 3.],

    [ 11., 12., 13.],

    [ 21., 22., 23.],

    [ 31., 32., 33.]])

    这里,newaxis索引操作符插入一个新轴a,使其成为一个二维4x1数组。将4x1阵列与b形状组合(3,),产生一个4x3数组。

    原创文章,转载请注明 :使用Numpy广播将不同形状的矩阵或数组加减乘除 - pytorch中文网

    原文出处: https://ptorch.com/news/38.html

    问题交流群 :168117787

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    万次阅读 2019-03-08 12:34:52
    1、行列式的本质是线性变换的放大率,而矩阵的本质就是个数表。 2、行列式行数=列数,矩阵不一定(行数列数都等于n的叫n阶方阵),二者的表示方式亦有区别。...(2))法:两个矩阵相加(...
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  • 矩阵与行列式的区别

    万次阅读 2019-02-27 15:16:30
    矩阵与行列式的区别 1、行列式的本质是线性变换的放大率,而矩阵的本质就是个数表 2、行列式行数=列数,矩阵不一定(行数列数都等于n的叫n阶方阵),二者的表示方式亦有区别。...(2))法:两个...
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  • 给出C1,C2以及若干种操作,在C1,C2直接相互赋值加减,或者C1(C2)加某个常数,或者C1(C2)乘某个常数,求最后C2的值。  可以转化成矩阵来做,根据不同的组合可以转化成13种矩阵操作,乘起来之后快速幂即可。  代码...
  • 1,:+ 2,:- 3,乘:* 4,除:/ 5,平方:^ 二,简单的数乘运算 1,如果算式比较简单可以直接进行敲写 2,如果算式较为繁琐,可以使用变量,进行逐级运算 三,变量 1,大小写字母为不同的变量 2,变量命名不能...

空空如也

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