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  • 不同进制之间的转化

    2020-02-15 19:37:27
    将二进制、八进制、十六进制转换为十进制进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易,就是“按权...通俗理解,假设一个多位(由多个数字组成的数)某位上数字是 1,那么它所表示数值大小就是该位...

    将二进制、八进制、十六进制转换为十进制

    二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易,就是“按权相加”。所谓“权”,也即“位权”。

    假设当前数字是 N 进制,那么:

    	对于整数部分,从右往左看,第 i 位的位权等于Ni-1
    	
    	对于小数部分,恰好相反,要从左往右看,第 j 位的位权为N-j。
    

    通俗的理解,假设一个多位数(由多个数字组成的数)某位上的数字是 1,那么它所表示的数值大小就是该位的位权。

    1整数部分
    将八进制数字 53627 转换成十进制:

    53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 = 22423(十进制)
    

    从右往左看,第1位的位权为 8的0次方=1,第2位的位权为 8的1次方=8,第3位的位权为 8的2次方=64,第4位的位权为 8的3次方=512,第5位的位权为 8的4次方=4096 …… 第n位的位权就为 8的n-1次方。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    注意,这里我们需要以十进制形式来表示位权。

    将十六进制数字 9FA8C 转换成十进制:

    9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964(十进制)
    

    从右往左看,第1位的位权为 16的0次方=1,第2位的位权为 16的1次方=16,第3位的位权为 16的2次方=256,第4位的位权为 16的3次方=4096,第5位的位权为 16的4次方=65536 …… 第n位的位权就为 16的n-1次方。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    将二进制数字转换成十进制也是类似的道理:

    11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26(十进制)
    

    从右往左看,第1位的位权为 2的0次方=1,第2位的位权为 2的1次方=2,第3位的位权为 2的2次方=4,第4位的位权为 2的3次方=8,第5位的位权为 2的4次方=16 …… 第n位的位权就为 2的n-1次方。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    2 小数部分
    将八进制数字 423.5176 转换成十进制:

    423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875(十进制)
    

    小数部分和整数部分相反,要从左往右看,第1位的位权为 8的-1次方=1/8,第2位的位权为 8的-2次方=1/64,第3位的位权为 8的-3次方=1/512,第4位的位权为 8的-4次方=1/4096 …… 第m位的位权就为 8的-m次方。

    将二进制数字 1010.1101 转换成十进制:

    1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125(十进制)
    

    小数部分和整数部分相反,要从左往右看,第1位的位权为 2的-1次方=1/2,第2位的位权为 2的-2次方=1/4,第3位的位权为 2的-3次方=1/8,第4位的位权为 2的-4次方=1/16 …… 第m位的位权就为 2的-m次方。

    更多转换成十进制的例子:

    二进制:1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9(十进制)
    
    二进制:101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625(十进制)
    
    八进制:302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194(十进制)
    
    八进制:302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375(十进制)
    
    十六进制:EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751(十进制)
    

    将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

    将十进制转换为其它进制时比较复杂,整数部分和小数部分的算法不一样,下面跟随我一起来看看吧。

    1 整数部分
    十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余,逆序排列”法。具体做法是:

    	将 N 作为除数,用十进制整数除以 N,可以得到一个商和余数;
    	
    	保留余数,用商继续除以 N,又得到一个新的商和余数;
    	
    	仍然保留余数,用商继续除以 N,还会得到一个新的商和余数;
    

    ……
    如此反复进行,每次都保留余数,用商接着除以 N,直到商为 0 时为止。

    把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字,后得到的余数作为 N 进制数的高位数字,依次排列起来,就得到了 N 进制数字。

    将十进制数字 36926 转换成八进制
    在这里插入图片描述

    从上图中得知,十进制数字 36926 转换成八进制的结果为 110076。

    将十进制数字 42 转换成二进制
    在这里插入图片描述

    从上图中得知,十进制数字 42 转换成二进制的结果为 101010。

    2 小数部分
    十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整,顺序排列”法。具体做法是:

    	用 N 乘以十进制小数,可以得到一个积,这个积包含了整数部分和小数部分;
    	
    	将积的整数部分取出,再用 N 乘以余下的小数部分,又得到一个新的积;
    	
    	再将积的整数部分取出,继续用 N 乘以余下的小数部分;
    

    ……

    		如此反复进行,每次都取出整数部分,用 N 接着乘以小数部分,直到积中的小数部分为 0,或者达到所要求的精度为止。
    

    把取出的整数部分按顺序排列起来,先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字,后取出的整数作为低位数字,这样就得到了 N 进制小数。

    将十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数
    在这里插入图片描述

    从上图中得知,十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的结果为 0.7345。

    将十进制小数 0.6875 转换成二进制小数
    在这里插入图片描述

    从上图中得知,十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。

    如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分,那么将整数部分和小数部分开,分别按照上面的方法完成转换,然后再合并在一起即可。

    	十进制数字 36926.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345;
    	
    	十进制数字 42.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011。
    

    下表列出了前 17 个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系:
    在这里插入图片描述

    注意,十进制小数转换成其他进制小数时,结果有可能是一个无限位的小数。
    示例如下

    	十进制 0.51 对应的二进制为 0.100000101000111101011100001010001111010111...,是一个循环小数;
    	
    	十进制 0.72 对应的二进制为 0.1011100001010001111010111000010100011110...,是一个循环小数;
    	
    	十进制 0.625 对应的二进制为 0.101,是一个有限小数。
    

    二进制和八进制、十六进制的转换

    其实,任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法,只不过有时比较麻烦,所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法,反之亦然。

    1 二进制整数和八进制整数之间的转换
    二进制整数转换为八进制整数时,每三位二进制数字转换为一位八进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足三位用零补齐。将二进制整数 1110111100 转换为八进制
    在这里插入图片描述

    从图中可以看出,二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。

    八进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位八进制数字转换为三位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。将八进制整数 2743 转换为二进制
    在这里插入图片描述

    从图中可以看出,八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。

    2二进制整数和十六进制整数之间的转换
    二进制整数转换为十六进制整数时,每四位二进制数字转换为一位十六进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足四位用零补齐。将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制

    在这里插入图片描述
    从图中可以看出,二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。

    十六进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位十六进制数字转换为四位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。将十六进制整数 A5D6 转换为二进制
    在这里插入图片描述

    从图中可以看出,十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。

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  • 在Python中,默认使用十进制数,同时,我们还可以使用下列几种进制数字将其转化成十进制数字: 二进制:形式为0b或0B。利用bin()函数可将十进制下数字转化成二进制 # 二进制下100转换成十进制 0b100 Out: 4...

    在Python中,默认使用十进制数,同时,我们还可以使用下列几种进制的数字将其转化成十进制数字:

    • 二进制:形式为0b或0B。利用bin()函数可将十进制下的数字转化成二进制
    # 二进制下的100转换成十进制
    0b100
    
    Out: 4
    
    # 十进制下的4转换成二进制
    bin(4)
    
    Out: '0b100'
    
    • 八进制:形式为0o或0O。利用oct()函数可将十进制下的数字转化成八进制
    # 八进制下的100转换成十进制
    0o100
    
    Out: 64
    
    # 十进制下的64转换成八进制
    oct(64)
    
    Out: '0o100'
    
    • 十六进制:形式为0x或0X。利用hex()函数可将十进制下的数字转化成十六进制
    # 十六进制下的100转换成十进制
    0x100
    
    Out: 256
    
    # 十进制下的256转换成十六进制
    hex(256)
    
    Out: '0x100'
    
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  • 这里有62个不同数位{0-9,A-Z,a-z}。 输入格式 第一行输入一个整数,代表接下来行数。 接下来每一行都包含三个数字,首先是输入进制(十进制表示),然后是输出进制(十进制表示),最后是用输入进制表示输入数字...

    编写一个程序,可以实现将一个数字由一个进制转换为另一个进制。

    这里有62个不同数位{0-9,A-Z,a-z}。
    输入格式

    第一行输入一个整数,代表接下来的行数。

    接下来每一行都包含三个数字,首先是输入进制(十进制表示),然后是输出进制(十进制表示),最后是用输入进制表示的输入数字,数字之间用空格隔开。

    输入进制和输出进制都在2到62的范围之内。

    (在十进制下)A = 10,B = 11,…,Z = 35,a = 36,b = 37,…,z = 61 (0-9仍然表示0-9)。
    输出格式

    对于每一组进制转换,程序的输出都由三行构成。

    第一行包含两个数字,首先是输入进制(十进制表示),然后是用输入进制表示的输入数字。

    第二行包含两个数字,首先是输出进制(十进制表示),然后是用输出进制表示的输入数字。

    第三行为空白行。

    同一行内数字用空格隔开。
    输入样例:

    8
    62 2 abcdefghiz
    10 16 1234567890123456789012345678901234567890
    16 35 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD2
    35 23 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A
    23 49 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F05
    49 61 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj
    61 5 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S
    5 10 42104444441001414401221302402201233340311104212022133030
    

    输出样例:

    62 abcdefghiz
    2 11011100000100010111110010010110011111001001100011010010001
    
    10 1234567890123456789012345678901234567890
    16 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD2
    
    16 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD2
    35 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A
    
    35 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A
    23 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F05
    
    23 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F05
    49 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj
    
    49 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj
    61 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S
    
    61 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S
    5 42104444441001414401221302402201233340311104212022133030
    
    5 42104444441001414401221302402201233340311104212022133030
    10 1234567890123456789012345678901234567890
    

    先推荐y总视频讲解:https://www.acwing.com/video/121/

    进制转化方法

    4进制的123转化成5进制的数ans

    (123)4=(102)5(123)_4 = (102)_5

    我们模拟4进制竖式除法

    过程如下

    • 第一次 : 123÷5=011......2(2)123\div 5=011......2(余2)

    • 第二次 : 011÷5=01.......0(0)011 \div 5=01.......0(余0)

    • 第三次 : 01÷5=0........1(1)001 \div 5 = 0........1(余1) 直到商0为止

    • 当商为0时,逆回去102就是答案即为(102)5(102)_5

    • 第一步的运算过程图

    在这里插入图片描述

    • 第二步运算过程图

    在这里插入图片描述

    #define debug
    #ifdef debug
    #include <time.h>
    #include "/home/majiao/mb.h"
    #endif
    
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <vector>
    #include <string.h>
    #include <map>
    #include <set>
    #include <stack>
    #include <queue>
    #include <math.h>
    
    #define MAXN ((int)1e5+7)
    #define ll long long int
    #define INF (0x7f7f7f7f)
    #define fori(lef, rig) for(int i=lef; i<=rig; i++)
    #define forj(lef, rig) for(int j=lef; j<=rig; j++)
    #define fork(lef, rig) for(int k=lef; k<=rig; k++)
    #define QAQ (0)
    
    using namespace std;
    
    #define show(x...) \
    	do { \
    		cout << "\033[31;1m " << #x << " -> "; \
    		err(x); \
    	} while (0)
    
    void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
    template<typename T, typename... A>
    void err(T a, A... x) { cout << a << ' '; err(x...); }
    
    namespace FastIO{
    
    	char print_f[105];
    	void read() {}
    	void print() { putchar('\n'); }
    
    	template <typename T, typename... T2>
    		inline void read(T &x, T2 &... oth) {
    			x = 0;
    			char ch = getchar();
    			ll f = 1;
    			while (!isdigit(ch)) {
    				if (ch == '-') f *= -1; 
    				ch = getchar();
    			}
    			while (isdigit(ch)) {
    				x = x * 10 + ch - 48;
    				ch = getchar();
    			}
    			x *= f;
    			read(oth...);
    		}
    	template <typename T, typename... T2>
    		inline void print(T x, T2... oth) {
    			ll p3=-1;
    			if(x<0) putchar('-'), x=-x;
    			do{
    				print_f[++p3] = x%10 + 48;
    			} while(x/=10);
    			while(p3>=0) putchar(print_f[p3--]);
    			putchar(' ');
    			print(oth...);
    		}
    } // namespace FastIO
    using FastIO::print;
    using FastIO::read;
    
    int n, m, Q, K;
    
    string num_parse(int a, int b, string& aline) { //把a进制的str转成b进制的str
    	vector<int> num;
    	string bline;
    	for(auto c : aline) {
    		if(c >= '0' && c<='9') num.push_back(c - '0');
    		else if(c >= 'A' && c <= 'Z') num.push_back(c - 'A' + 10);
    		else if(c >= 'a' && c <= 'z') num.push_back(c - 'a' + 36);
    	}
    	std::reverse(num.begin(), num.end());
    
    	vector<int> res;
    	while(num.size()) { //当商为不为0时就循环
    		int r = 0; //r是余数
    		for(int i=num.size()-1; i>=0; i--) { //模拟b进制除法
    			num[i] += r * a;
    			r = num[i] % b;
    			num[i] /= b;
    		}
    		res.push_back(r);
    		while(num.size() && num.back()==0) num.pop_back();
    	}
    	for(auto c : res) {
    		if(c <= 9) bline += char(c+'0');
    		else if(c >= 10 && c <= 35) bline += char(c+'A'-10);
    		else if(c >= 36 && c <= 61) bline += char(c+'a'-36);
    	}
    	reverse(bline.begin(), bline.end());
    	return bline;
    }
    
    int main() {
    #ifdef debug
    	freopen("test", "r", stdin);
    	clock_t stime = clock();
    #endif
    	cin >> Q;
    	while(Q--) {
    		//把 a 进制的str  转化成  b  进制的str
    		int a, b;
    		string aline, bline;
    		cin >> a >> b >> aline;
    #if 0
    		vector<int> num;
    		for(auto c : aline) {
    			if(c >= '0' && c<='9') num.push_back(c - '0');
    			else if(c >= 'A' && c <= 'Z') num.push_back(c - 'A' + 10);
    			else if(c >= 'a' && c <= 'z') num.push_back(c - 'a' + 36);
    		}
    		std::reverse(num.begin(), num.end());
    		
    		vector<int> res;
    		while(num.size()) {
    			int r = 0;
    			for(int i=num.size()-1; i>=0; i--) {
    				num[i] += r * a;
    				r = num[i] % b;
    				num[i] /= b;
    			}
    			res.push_back(r);
    			while(num.size() && num.back()==0) num.pop_back();
    		}
    		for(auto c : res) {
    			if(c <= 9) bline += char(c+'0');
    			else if(c >= 10 && c <= 35) bline += char(c+'A'-10);
    			else if(c >= 36 && c <= 61) bline += char(c+'a'-36);
    		}
    		reverse(bline.begin(), bline.end());
    #endif
    		bline = num_parse(a, b, aline);
    		cout << a << " " << aline << endl << b << " " << bline << endl;
    		cout << endl;
    	}
    
    
    
    
    
    #ifdef debug
    	clock_t etime = clock();
    	printf("rum time: %lf 秒\n",(double) (etime-stime)/CLOCKS_PER_SEC);
    #endif 
    	return 0;
    }
    
    
    
    
    
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  • 手动转换:每一位上的数乘以位权再求和 """ 0b1011 -> 2^0 + 2^1 + 2^3 = 1 + 2 + 8 = 11 0o12 -> 2*8^0 + 1*8^1 = 10 0xaf -> 15*16^0 + 10*16^1 = 175 """ 代码转换:直接用print函数直接打印 print(0...

    1.其他进制转十进制

    手动转换:每一位上的数乘以位权再求和

    """
    0b1011 ->  2^0 + 2^1 + 2^3 = 1 + 2 + 8 = 11
    0o12 -> 2*8^0 + 1*8^1 = 10
    0xaf -> 15*16^0 + 10*16^1 = 175
    """
    

    代码转换:直接用print函数直接打印

    print(0b1011)  #11
    print(0o12)    #10
    print(0xaf)    #175
    

    2.十进制转其他进制

    手动转换:辗转取余法

    """
    100 -> 0b1100100
    100 -> 0o144
    100 -> 0x64
    """
    
    取完余的公式右边得数从下往上写

    3,八进制、十六进制与二进制之间的相互转换

    """
    八进制转二进制:将一位的八进制数转换成3位的二级制数
    0o67  -> 0b110 111
    0o624 -> 0b110 010 100
    0xaf  -> 0b1010 1111
    0xf21 -> 0b1111 0010 0001
    0xa8e4 -> 0b1010 1000 1110 0100
    8 4 2 1
     """
    

    二进制转八进制:将三位的二进制数转换成一位的八进制数
    二进制转十六进制:将四位的二进制数转换成一位的十六进制数

    代码转换
    1)bin(数字) ->将其他数字转换成二进制
    2)oct(数字) ->将其他数字转换成八进制
    3)hex(数字) ->将其他数字转换成十六进制

    print(bin(0o67))
    print(hex(100))
    
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空空如也

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不同进制数的转化