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  • 典型例题解析例1设向量问取何值时可由线性表示且表示.doc
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    2020-12-21 19:40:58

    典型例题解析例1设向量问取何值时可由线性表示且表示

    典型例题解析

    例1 设向量。

    问取何值时 :

    (1)可由线性表示,且表示惟一。

    (2) 可由线性表示,但表示不惟一

    (3)不可由线性表示。

    解 本题是利用方程组解的理论解决向量线性关系的问题,设有数使

    将,代入,并比较两端对应分量得以为未知量的非齐次线性方程组,为

    其系数行列式为

    当且时,方程组有惟一解,故可由线性表示,且表示惟一。

    当时,,方程组有无穷多解,可由线性表示,但表示不惟一。

    当时,,方程组无解,故不可由线性表示。

    例2 :对方程组

    (1) 为何值时,方程组有解;

    (2) 方程组有解时,求导出组的基础解系;

    (3) 方程组有解时,求其通解.

    解 对方程组的增广距阵作初等行变换;

    故 (1) 当且即时4,方程组有解且有无穷多解

    (2) 与导出组同解的方程为

    易得导出组的基础解系为:

    (3) 当时,原非齐次方程组同解的方程组为

    令得非齐次方程组的特解:

    故原方程组的通解

    ++

    例3 求一个齐次线性方程,使它的基础解系为

    解 设所求齐次线性方程为。

    因 是4维的,故方程有4个未知元,即矩阵的列数等于4。另一方面,因基础解系含2个向量,故= 4 – 2 = 2,因此方程的个数可以是任意 个,这我们只须构造一个满足题设要求而行数最小距阵,也即是2 4距阵,且=2。 是的基础解系

    , 且=2(因 线性无关)

    ,且=2 , 这里,( )

    的两个列向量是方程组的解(向量),且线性无关

    的两个列向量是方程组的一个基础解系,(因 )

    具体计算如下:

    取基础解系为:

    故可取为:

    对应方程组为:

    注:由上面的分析知道,所求的方程组是不唯一的。若都是以

    为基础解系,则是同解的,因而之秩都为2,若是同型矩阵时,则可以经一个初等变换变为。

    例 4 设有四元齐次线性方程组

    I:

    又,已知某四元齐次线性方程组 的基础解系为:

    求:(1)方程组I的基础解系;(2)问方程组I与II是否有非零公共解? 若有,求出全部非零公共解;若没有,则说明理由。

    解 (1)对方程组 I 的系数距阵进行距阵的初等行变换:

    得到它的行蕞简行,从而可知它的秩是2,取基础解系为:

    于是方程组I的通解为:

    有兴趣的是问题(2)的解答,我们用三种方法:

    (2)方法1 方程组 II 的通解可写为:

    然后代如方程组 I ,得到:

    于是它们非零解:

    x= , (任意常数)

    方法2:从两方程组的通解表达式着手。

    方程组I的通解x=

    方程组II的通解 x=

    寻找两方程组的公共解就是寻找适当的数使得把它们分别入述两方程通解表达式后得到的是同一个向量,即应满足:

    =

    即 得

    于是它们非零解: x= , (任意常数)

    方法3:线性方两程组的公共解就是同时满足两线性方程组的解,如果给出线性方程组I和II的表达式,则可以将它们联立求成过解。为此,先求一个齐次线性方两程组,其基础解系为。用我们前面例介绍的方法,(具体如下)

    取对应齐次方程组基础解系: ,

    于是所求得方程:

    其通解为:

    于是方程组I和方程组II的公共解应满足

    易得通解 x=

    于是所求非零公共解为 ,

    例5 已知四元非齐次线性方程组的系数距阵的秩为3,又是它的三个解向量,其中

    试求的通解.

    解 关键是找出对应齐次方程组基础解系和非齐次线性方程组的一个特解,这可由方程组的性质得到.由于四元非齐次线性方程组的系数距阵的秩为3,故的基础解系含4-3=1个解向量.由解的性质知

    是的非零解向量,可以当作基础解系.又

    是的特解,故通解为,

    例6 设元非齐次线性方程组,是其个线性无关的解向量,证明:

    (1) 是的一个基础解系;

    (2)的任一解可表为,其中

    证 (1) 由于是的解向量,所以是的解向量.又所以的基础解系中含有个线性无关的解向量。因此,只要证明线性无关即可。

    设有个常数,使得,即。由于线性无关,所以,从而证得是线性无关的。

    (2)由(1)知,的通解可表为

    其中是任意常数。

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    表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643061一。

    条件:等价于AX=b这个方程有解。要理解一个问题,矩阵A实际上就是列向量组构成的,它与一个X向量相乘,得到的就是另外一个向量。也就说,这个向量可以被向量组A线性表示。

    向量组个该向量组成的矩阵的秩等于或小于向量组中向量的个数,取自定理:若向量组α1,α2...αn线性无关,且α1,α2...αn,β线性相关,则β可由这个向量组α线性表出,且表示法唯一。

    9cf84f606241e108d2b4e5ac347693c5.png

    扩展资料

    注意

    1、对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。

    2、向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关;若a≠0, 则说A线性无关。

    3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

    4、含有相同向量的向量组必线性相关。

    5、增加向量的个数,不改变向量的相关性。

    6、减少向量的个数,不改变向量的无关性。

    7、一个向量组线性无关,则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

    8、一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

    9、若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零,则向量组线性相关;否则是线性无关的。

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    线性相关

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      使得 是线性相关的,反之线性无关。 

    线性无关即等价于以下命题:

    1. 线性不相关
    2. 找不到一组不全0的   使得
    3.  全为0

    几种情况:

    关于单个向量

    1. 向量组中两个向量成比例,则两个向量必线性相关
    2. 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k,其余均为0)
    3. 一个零向量必线性相关
    4. 一个非零向量必然线性无关
    5. 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量

    线性表示

    如果向量   则b是向量组A的线性组合,这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解,全是0也是有解。 

    特别的:

    1. 线性表示时系数可以全是0
    2. 0向量可有任意向量组表示。

    任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示

    线性相关例子汇总

    判断线性相关(不含参数)

    该方法是根据矩阵的秩的定义来求,如果找到k阶子式为0,而k-1阶不为0,那么k-1即该矩阵的秩。

    #Sample1(示例一),判断如下向量组是否线性相关:

    1:

    2:

    :针对第一题:

    Step1:首先我们先立方程

    针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关(无解)。

    Step2:于是我们得到下式:

    Step3: 我们对k的行列式化简得到如下行列式:

    该行列式不为0,所以当前关于k的方程组有唯一解,即

    所以当前向量组里的向量 线性无关。

    针对第二题:同样的思路

    Step1:设

    Step2:于是我们得到

    Step3:针对k化简得到如下行列式,易得其为0,所以k有非零解。

    Step4:因为关于k的解有无穷个,所有这里取

    换言之存在不全为0的数使得 线性相关。

    判断线性相关(含参数)

    针对这种类型的问题,一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵,对矩阵做行(列)变换,使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行(列)为零行来判断向量组的线性相关性。(参数所在行全为0则行列式为0,线性无关,否则相关)。

    #Sample2(示例二):已知向量组

    判断其相关性。

    Step1:因这里向量组的向量个数和向量的维数相同,所以可以按照列组成行列式。

    Step2:第1行的-1倍加到第2行上去,第1行的-5倍加到第3行上去,则得:

    即行列式等于2(t-1)

    Step3:针对Step2里的t进行讨论,如果t=1,则行列式等于0(即方程有无穷非非零解),则线性相关,如果t≠1则行列式不等于0(即方程只有零解),则线性无关。

    线性表示例子汇总

    阶梯法判断线性表示

    利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。

    #Sample3(示例三)

    向量β=(4,4,1,2)是否可由如下向量组线性表示,如果可以,写出表达式。

    1:

    2:

    针对第一题:

    Step1:用 作为列向量构成矩阵A,则A为

     

    Step2:交换第1和第2行,则化为:

    Step3:第1行的2倍加到第2行上去,第1行的5倍加到第4行上去,第1行乘-1,则最终化为:

    Step4:在对step3里的矩阵化简,第3行的3倍加到第2、4行上去,则得:

    Step5:在对step4里的矩阵化简,第2行的-3倍加到第3行上去,第2行的1倍加到第3行上去,则得:

    Step6:在对step5里的矩阵化简,第3行的1倍加到第4行上去,第3行除以-5,则得:

    Step7:由A的阶梯型可知  这5个向量的向量组的秩(阶梯型里非零行的行数)是4,所以该向量组的秩必定包含β,即β不能由 线性表示。

    针对第二题

    类似第一题,可将构成的矩阵

    化简为:

    则可见即β可由 线性表示,即

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    已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+...+bn=145

    题目错了,由b1=1,b1+b2+...+bn=145,求不出bn(2){an}=loga(1+1/bn)=loga(3n-1/3n-2)=(loga3n-1)-(loga3n-2),就可以求出sn了

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    =====啊,等等再问:?怎么了?你会不?再答:马上再问:大哥~麻烦快点吧~急死我了~~~~~~~~~~~再答:①充分性,即:由“{bn}为等比数列”推出“{an}为等差数列”设bn公比为q,∵b1>

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    2021-02-22 22:07:19
    2.如何表示该集合中的全部向量? 知识点1 首先我们需要知道什么是空间?空间其实就是向量的集合,而什么是线性空间呢? 定义了线性运算的非空集合。 线性运算指的是加法和数乘在非空集合V封闭。 定义1.1:数域:一个...
  • 【矩阵论】线性空间与线性变换(3)(4)

    千次阅读 多人点赞 2020-10-06 11:38:36
    线性空间中交空间、和空间、直和的定义、定理与例题。
  • 百度知道
  • 【矩阵论】线性空间与线性变换(1)

    千次阅读 多人点赞 2020-09-30 16:53:31
    《矩阵论》东南大学公开课随课笔记-线性空间与变换(1)
  • 向量组的线性相关性

    千次阅读 2021-06-05 23:45:21
    假若A线性相关那么R(A)R(A)+1 ②=>定理:m个n维向量组成的向量组B即n×m矩阵,如果n 笔:因为R(B)min{n,m}=n ③=>定理: 向量组A:线性无关,向量组B:线性相关,则 向量b必能由A线性表示,且表示式唯一。...
  • n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关1 向量间的线性关系2 向量组的等价3 线性相关与线性无关4 定理 1 向量间的线性关系 向量定义:n个数a1,a2...ana_{1},a_{2}...a_{n}a1​,a2​...an​组成的有序数组(a1,a2......
  • 线性空间一些基本性质的证明

    千次阅读 2020-10-28 09:34:20
    线性代数里面蕴含着丰富的数形结合思想,结合抽象空间变换后,理解难度会小很多,以下证明一定严密,但至少依赖任何技巧的花哨的数学方法,依赖空间直觉得出自然而然的结论。 1.在线性空间的理论中,有一个定理...

空空如也

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不唯一线性表示的条件