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  • 题目:直线与椭圆交点距离公式马上考试了解答:(根号(k^+1))*根号(x1^2+X2^2-2x1x2)再问: 可以说清楚点吗再答: (根号(k^+1))*根号((x1+X2)^2-2x1x2)k为直线的斜率,x1+X2 x1x2用根与系数的关系求即可猜你喜欢:1....

    题目:

    直线与椭圆交点距离公式

    马上考试了

    解答:

    (根号(k^+1))*根号(x1^2+X2^2-2x1x2)

    再问: 可以说清楚点吗

    再答: (根号(k^+1))*根号((x1+X2)^2-2x1x2)k为直线的斜率,x1+X2 x1x2用根与系数的关系求即可

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  • 三维空间距离公式

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    求点P到直线l的距离: 任取l上一点M,l方向向量为n,则

    求点P到直线的距离

    任取直线上一点M,支线方向向量为n,则

    d=\frac{\left | \vec{MP}\times \vec{n} \right |}{\left | \vec{n} \right |}

    求点P到平面的距离

    设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,点P坐标为(X0,Y0,Z0),则

    d=\frac{|AX_{0}+BY_{0}+CZ_{0}+D|}{|\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}|}

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  • 点到指定Bezier曲线的最短距离

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    点到指定Bezier曲线的最短距离   Bezier曲线本质上是一个多项式。   三次曲线Q: Q(u)=(1−u)3P0+3(1−u)2uP1+3(1−u)u2P2+u3P3=nu3+ru2+su+v \begin{aligned} Q(u) &= (1-u)^3P_0+3(1-u)^2uP_1+3(1-u...

    点到指定Bezier曲线的最短距离

     
    Bezier曲线本质上是一个多项式。
     
    三次曲线Q:
    Q ( u ) = ( 1 − u ) 3 P 0 + 3 ( 1 − u ) 2 u P 1 + 3 ( 1 − u ) u 2 P 2 + u 3 P 3 = n u 3 + r u 2 + s u + v \begin{aligned} Q(u) &= (1-u)^3P_0+3(1-u)^2uP_1+3(1-u)u^2P_2+u^3P_3\\ &=nu^3+ru^2+su+v \end{aligned} Q(u)=(1u)3P0+3(1u)2uP1+3(1u)u2P2+u3P3=nu3+ru2+su+v

     
    点P到曲线Q的距离D(u):
    D ( u ) = ∣ Q ( u ) − P ∣ 2 = ( Q x − P x ) 2 + ( Q y − P y ) 2 + ( Q z − P z ) 2 ( 1 ) D(u)=|Q(u)-P|^2=(Q_x-P_x)^2+(Q_y-P_y)^2+(Q_z-P_z)^2 \quad (1) D(u)=Q(u)P2=(QxPx)2+(QyPy)2+(QzPz)2(1)
     
    求最短距离,即最小值优化问题:
    D 2 ( u ) m i n = m i n D 2 ( u ) 0 ≤ u ≤ 1 ( 2 ) D^2(u)_{min}=min{\quad D^2(u)} \quad 0\le u\le 1\quad(2) D2(u)min=minD2(u)0u1(2)

     

    二分区间法求解

     

    算法流程:

     

    1.分别计算点P到数据点Pi (i=0,1,2,3)的距离,取最小距离对应点位Pj
    
    2.取Pj对应的节点ui为初始节点
    
    3.选取合适的区间值 interval
    
    4.根据式(1),计算节点 ui+interval,ui-interval,ui处的距离 d1,d2,d0
    
    5.如果d1或者d2小于d0,将ui的值更改为ui+interval或ui-interval
    
    6.如果d1、d2都大于d0,将区间interval减半为interval/2
    
    7.重复以上步骤,直到d1 d2 d0之间的差值满足设置的精度
    

     

    Python仿真结果

    在这里插入图片描述

    图中,

    黑色点位为给定的点位P;

    红色点位为曲线Q(u)上距离P最近的点Pmin;

    黑色线为P到曲线Q的距离D(u);

    红色线为拟合的Bezier曲线Q(u);

    黑色点的y坐标不变,横坐标不断向右移动。由动图可见,计算得到的Pmin始终跟随D(u)的最小距离位置,

    最短距离点计算成功!

     

    牛顿迭代法求解

     
    由数学知识可知,为求解式(2),即求解式(1)在区间[0,1]的极小值,此问题即转化为求极值问题。
     
    式(1)的极值即出现在其导数值为0的点,其导数为:
    D ′ ( u ) = 2 ( Q x − P x ) Q x ′ + 2 ( Q y − P y ) Q y ′ + 2 ( Q z − P z ) Q z ′ = 0 ( 3 ) f ( u ) = ( Q x − P x ) Q x ′ + ( Q y − P y ) Q y ′ + ( Q z − P z ) Q z ′ f ′ ( u ) = Q x ′ 2 + ( Q x − P x ) Q x ′ ′ + Q y ′ 2 + ( Q y − P y ) Q y ′ ′ + Q z ′ 2 + ( Q z − P z ) Q z ′ ′ D^{'}(u)=2(Q_x-P_x)Q^{'}_x+2(Q_y-P_y)Q^{'}_y+2(Q_z-P_z)Q^{'}_z=0 \quad (3)\\ f(u) = (Q_x-P_x)Q^{'}_x+(Q_y-P_y)Q^{'}_y+(Q_z-P_z)Q^{'}_z\\ f^{'}(u)=Q_x^{'2}+(Q_x-P_x)Q^{''}_x+Q_y^{'2}+(Q_y-P_y)Q^{''}_y+Q_z^{'2}+(Q_z-P_z)Q^{''}_z D(u)=2(QxPx)Qx+2(QyPy)Qy+2(QzPz)Qz=0(3)f(u)=(QxPx)Qx+(QyPy)Qy+(QzPz)Qzf(u)=Qx2+(QxPx)Qx+Qy2+(QyPy)Qy+Qz2+(QzPz)Qz
     
    求解式子(3),可以使用牛顿迭代公式求解:
    u k + 1 = u k − f ( u ) f ′ ( u ) ( 4 ) u_{k+1}=u_k-\frac{f(u)}{f^{'}(u)} \quad (4) uk+1=ukf(u)f(u)(4)

     
    牛顿迭代公式求解速度很快,但是对初值的选取比较敏感,如果初值选取的不好,有可能出现无解的情况。

     
    二分区间法求解求解比较稳定,但是其速度比较慢。有一种思路是将二分区间法和牛顿迭代法结合,先计算一个粗略的初始值,再用二分区间法求解求解比较稳定,但是其速度比较慢。有一种思路是将二分区间法和牛顿迭代法结合,先计算一个粗略的初始值,再用牛顿迭代法求解,以加快算法速度。

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  •   点到平面距离公式推导如下图所示,详细信息参见百度百科:https://baike.baidu.com/item/%E7%82%B9%E5%88%B0%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E8%B7%9D%E7%A6%BB/10690055?fr=aladdin   该计算方法在C++中的实现代码如下:

      点到平面距离公式推导如下图所示,详细信息参见百度百科:https://baike.baidu.com/item/%E7%82%B9%E5%88%B0%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E8%B7%9D%E7%A6%BB/10690055?fr=aladdin
    在这里插入图片描述
      该计算方法在C++中的实现代码如下:
    在这里插入图片描述

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空空如也

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