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  • 曲线曲线的第一种定义和椭圆类似,到个点的距离之差为常数,如图:AB是个定点,双曲线上的点C到AB的距离之差为常数,为了方便计算记|AC|-|BC|=2a。另一边对称地有|BC|-|AC|=2a,完整的双曲线个部分组成...

    ea872815df80cc10133472d9ce2cf35c.png

    前言

    其实我们很早就在初中学过双曲线,那就是反比例函数,经过旋转变换去掉xy项后,就能把反比例函数变换成标准双曲线。

    双曲线

    双曲线的第一种定义和椭圆类似,到两个点的距离之差为常数,如图:

    143d456c27ff69ad931b2c859080e537.png

    AB是两个定点,双曲线上的点C到AB的距离之差为常数,为了方便计算记|AC|-|BC|=2a。

    另一边对称地有|BC|-|AC|=2a,完整的双曲线由两个部分组成。

    同时这也是双曲线两个部分之间的最短距离,即x轴和双曲线组成的线段,叫做实轴。

    A和B被称为两个焦点,和椭圆类似,记|AB|=2c为焦距。

    接着我们计算双曲线方程:

    对于x小于0的情况类似,这里不再重复计算。

    可以看出计算过程和椭圆几乎完全一致,唯一的问题是现在a小于c,无法定义b。

    我们令​

    ,从而化简得到:

    所以2b也被称为虚轴长度,对应的2a是实轴长度。

    而如果抛物线焦点在y轴上,则方程通过交换x和y变为:

    848af2246681dd20b3d70ea194498ac2.png

    离心率

    复习之前椭圆中关于离心率的知识,推导过程完全相同,由:

    变形为:

    左边是双曲线右侧部分上的点到右焦点(c,0)的距离,右边括号内是到定直线

    ​的距离,两者的比值为定值,被称为离心率:

    对于双曲线来说,离心率应该大于1,离心率越大则双曲线越接近直线:

    634c159fe5336c776f53c2d18f39fe04.png

    到焦点的距离被称为焦半径,和椭圆一样,右焦半径为|a-ex|。

    练习:计算左焦点对应的准线以及左焦半径。

    渐近线

    将双曲线方程改为:

    得到两条直线,可以验证这两条直线是双曲线的渐近线。

    渐近线的定义为曲线上的点在无限远处和直线的距离极限为0,但同时又不和曲线相交的直线。

    206197d84a009e2a6119c8d68ed8b940.png

    渐近线和双曲线没有交点,和渐近线平行的直线和双曲线只有一个交点。

    其他直线一般通过联立方程求解根的数量,判断交点情况,此方法适用于所有曲线。

    如果一双曲线的实轴和虚轴是另一双曲线的虚轴和实轴,则称为共轭双曲线,它们有相同的渐近线,且焦距相同四个焦点共圆。

    探索:共轭双曲线有哪些特殊之处?

    练习:求焦点在y轴上的双曲线的渐近线。

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  • ),用字母表示就是S=πr²+πrl(其中l=母线,是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离)。圆锥地方表面积和体积公式圆锥的表面积计算公式为:S=πr²+πrl。圆锥的表面积由侧面积和底面积部分组成,全面积(S)=S侧+S...

    圆锥体积:V=1/3Sh(S是底面积,h是高);圆锥表面积的计算公式是:圆锥的表面积=底面积+侧面积(侧面积将圆锥的侧面积不成曲线地展开,是一个扇形。),用字母表示就是S=πr²+πrl(其中l=母线,是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离)。

    874b60aaafb2ec85b433b6d07889dc4e.png

    圆锥地方表面积和体积公式

    圆锥的表面积计算公式为:S=πr²+πrl。圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成,全面积(S)=S侧+S底。圆锥的表面积计算中,S为表面积,r为地面圆的半径,l为圆锥母线。

    一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr^2h),得出圆锥体积公式:V=1/3Sh,其中S是圆柱的底面积,h是圆柱的高,r是圆柱的底面半径。

    圆锥母线:圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。

    圆锥的高:圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高;

    圆锥的侧面积:将圆锥的侧面沿母线展开,是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长。圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2;没展开时是一个曲面。

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  • 推导圆方程

    2020-04-05 00:30:47
    核心思想 一、圆的定义 在一个平面内,一个动点以一个定点为中心,以定长为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做...二、之间的距离公式点分别是(a,b)、(x,y),它们之间的距离为(x-a)^2-(y-b)^2。 证明 ...

    核心思想

    一、圆的定义
        在一个平面内,一个动点以一个定点为中心,以定长为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
    二、两点之间的距离公式
        有两点分别是(a,b)、(x,y),它们之间的距离为(x-a)^2-(y-b)^2。

    证明

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  • excel使用

    2012-11-25 17:06:01
    实际输入的时候,通常应用等差数列输入法,先输入前二个值,定出自变量中数与数之间的步长,然后选中A2和A3个单元格,使这二项变成一个带黑色边框的矩形,再用鼠标指向这黑色矩形的右下角的小方块“■”,当光标...
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  • JS操作SVG模拟水滴分离、融合效果

    千次阅读 2016-03-23 22:52:52
    这种变化的实质是绘制个圆,然后在个圆之间利用贝塞尔曲线来描绘弧形,在个圆的距离随着拖动发生改变时,通过计算数学公式动态地更改曲线的弧度,从而使整个变化过程看起来更加协调。下面粗略模拟一下这个过程...

    很多的App应用下拉刷新使用拉拽圆的动态效果来表示下拉过程,很富有表现性;还有QQ的消除红点的过程等,都使用到了这种类似水滴融合的效果。

    这种变化的实质是绘制两个圆,然后在两个圆之间利用贝塞尔曲线来描绘弧形,在两个圆的距离随着拖动发生改变时,通过计算数学公式动态地更改曲线的弧度,从而使整个变化过程看起来更加协调。

    下面粗略模拟一下这个过程,如果想要更加完美的表现,需要经过精确的计算得出更准确的公式,这里之后补充。

    首先我们绘制一下变化过程中的几个过程,如下图:

    这里写图片描述

    两个圆之间的粘合部分需要使用二次贝塞尔曲线来绘制。其中弧线的两个端点值和一个中间点,目前使用竖直线和圆的切线交点和两个圆心中点的水平线上偏移一定值的点来简单替代,当然效果不够完美,有待后续优化。例如第二个图的路径写法如下:

    <g transform="translate(100,0)">
            <circle cx="100" cy="100" r="30" fill="#f59393"></circle>
            <circle cx="100" cy="150" r="30" fill="#f59393"></circle>
            <path d="M70,100 Q80,125 70,150 L130,150 Q120,125 130,100 L70,100" fill="#f59393" stroke="black"></path>
        </g>

    在图中标志下路径:

    这里写图片描述

    通过模拟上面几个大致的变化过程,得出粗略的公式,绑定点击事件,实现分离、融合效果:

    这里写图片描述

    下面是代码:

    <!DOCTYPE html>
    <html>
    <head>
        <meta charset="utf-8">
        <title>SVG模拟水滴分离、融合效果</title>
    </head>
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        <svg width="800" height="400" id="svg">
        <g transform="translate(0,0)">
            <circle cx="100" cy="110" r="40" fill="#f59393"></circle>
        </g>
        <g transform="translate(100,0)">
            <circle cx="100" cy="100" r="30" fill="#f59393"></circle>
            <circle cx="100" cy="150" r="30" fill="#f59393"></circle>
            <path d="M70,100 Q80,125 70,150 L130,150 Q120,125 130,100 L70,100" fill="#f59393"></path>
        </g>
        <g transform="translate(200,0)">
            <circle cx="100" cy="98" r="28" fill="#f59393"></circle>
            <circle cx="100" cy="180" r="28" fill="#f59393"></circle>
            <path d="M72,100 Q95,140 72,180 L128,180 Q105,140 128,100 L72,100" fill="#f59393"></path>
        </g>
        <g transform="translate(300,0)">
            <circle cx="100" cy="96" r="26" fill="#f59393"></circle>
            <circle cx="100" cy="200" r="26" fill="#f59393"></circle>
            <path d="M74,100 Q110,150 74,200 L126,200 Q90,150 125,100 L74,100" fill="#f59393"></path>
        </g>
        <g transform="translate(400,0)">
            <circle cx="100" cy="94" r="28" fill="#f59393"></circle>
            <circle cx="100" cy="220" r="28" fill="#f59393"></circle>
        </g>
        <g transform="translate(500,0)" id="g">
            <circle id="circle1" cx="100" cy="110" r="40" fill="#f59393"></circle>
            <circle id="circle2" cx="100" cy="110" r="40" fill="#f59393"></circle>
            <path id="path" fill="#f59393"></path>
        </g>
        <g transform="translate(600,0)" id="g2">
            <circle id="circle3" cx="100" cy="94" r="28" fill="#f59393"></circle>
            <circle id="circle4" cx="100" cy="216" r="28" fill="#f59393"></circle>
            <path id="path2" fill="#f59393"></path>
        </g>
        </svg>
        <button id="split">分离</button>
        <button id="split2">合并</button>
        <script type="text/javascript">
            var svg = document.getElementById("svg");
            var g = document.getElementById("g");
            var circle = document.getElementById("circle1");
            var circle2 = document.getElementById("circle2");
            var path = document.getElementById("path");
            var g2 = document.getElementById("g");
            var circle3 = document.getElementById("circle3");
            var circle4 = document.getElementById("circle4");
            var path2 = document.getElementById("path2");
            var button = document.getElementById("split");
            var button2 = document.getElementById("split2");
            button.onclick = function(){
                for(var i=1;i<=40;i++){
                    (function(i){
                    setTimeout(function(){
    
                        i /=10;
                        var cx = parseInt(circle1.getAttribute("cx"));
                        var cy1 = 102-i*2;
                        var cy2 = 120+(i>2?(i+1)*20:i*30);
                        var r = 32-i*2;
                        var q1 = 65+i*15;
                        var q2 = 135-i*15;
                        //防止弧线交叉
                        if(q1>=q2+45){
                            path.setAttribute("d","");
                            circle1.setAttribute("r",28);
                            circle2.setAttribute("r",28);
                            return;
                        }else{
                            circle1.setAttribute("cy",cy1);
                            circle1.setAttribute("r",r);
                            circle2.setAttribute("cy",cy2);
                            circle2.setAttribute("r",r);
                            path.setAttribute("d","M"+(cx-r)+",100 Q"+q1+","+((cy1+cy2)/2)+
                            " "+(cx-r)+","+cy2+" L"+(cx+r)+","+cy2+" Q"+q2+","+((cy1+cy2)/2)+
                            " "+(cx+r)+",100 L72,100");
                        }
    
                    },i*20)})(i);
                }
            };
            button2.onclick = function(){
                for(var i=40;i>=0;i--){
                    (function(i){
                    setTimeout(function(){
                        i /=10;
                        var cx = parseInt(circle3.getAttribute("cx"));
                        var cy1 = 102-i*2;
                        var cy2 = 120+(i>2?(i+1)*20:i*30);
                        var r = 32-i*2;
                        var q1 = 65+i*15;
                        var q2 = 135-i*15;
                        if(i<=0){
                            circle3.setAttribute("cy",110);
                            circle3.setAttribute("r",40);
                            circle4.setAttribute("cy",110);
                            circle4.setAttribute("r",40);
                            path2.setAttribute("d","");
                        }else{
                        //防止弧线交叉
                            if(q1>=q2+45){
                                console.log(i)
                                path2.setAttribute("d","");
                                return;
                            }else{
                                circle3.setAttribute("cy",cy1);
                                circle3.setAttribute("r",r);
                                circle4.setAttribute("cy",cy2);
                                circle4.setAttribute("r",r);
                                path2.setAttribute("d","M"+(cx-r)+",100 Q"+q1+","+((cy1+cy2)/2)+
                                " "+(cx-r)+","+cy2+" L"+(cx+r)+","+cy2+" Q"+q2+","+((cy1+cy2)/2)+
                                " "+(cx+r)+",100 L72,100");
                            }
                        }
    
                    },(40-i)*20)})(i);
                }
            }
        </script>
    </body>
    </html>
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两曲线之间的距离公式