《两点间的距离》教案
授课题目
两点间的距离公式
授课类型
新授课
学习目标
知识与技能
掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
过程与方法
通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；。
情感态度与价值观
体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
教学重点
两点间距离公式的推导.
教学难点
应用两点间距离公式证明几何问题。
教材分析
本节为人教版高中数学必修二的第三章第三节的内容。两点距离公式即是对直线方程基础上的延伸和发展，也为下一章空间直角坐标系中两点距离公式的教学做铺垫。同时这部分内容较好的反映了直角坐标系中的几何关系的内在联系与相互转换，蕴含着归纳、转换、数形结合等数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力及创新意识。
学情分析
通过前一阶段的教学，学生对平面直角坐标系中的两点距离的认识已有了一定的认知结构，主要体现在学生已经初步掌握了两点距离公式的运用，初步具备了解决问题的能力，学生对数学新内容的学习有了相当的兴趣和积极性。但是探究问题的能力及合作交流等方面发展不够均衡。
教学方法
讲授法、谈话法、演示法
教学过程
教学过程
一、新课导入：
设置情景，导入新课。通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程。让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤. 通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用，可以使学生更进一步体会知识形成过程为接下来的学习奠定一个坚实的基础
板书设计
两点距离公式
用代数的方法解决几何问题
如何用两点间距离公式的推导
教学评价
形成性评价
形成性评价1：用以说明学生对两点距离公式的推导过程的理解情况
形成性评价2：用以说明学生对两点距离公式的掌握情况
生成性问题解决
在形成性评价1中，学生可能不会分析两点距离公式的推导思路，这是由于学生没有想到利用勾股定理来推导，因此，教师在教学过程中，要借助图像积极引导学生观察和分析问题，进而用直角三角形的勾股定理来解决问题。
在形成性评价2中，学生在求解平行与x轴或y轴的上的两点距离时可能会比较迷惑，这是因为此时它们的横或纵坐标是相等的，因此，教师教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法，先分析平行于x或y轴上的两点，再分析一般情况下的两点。
《点到直线的距离》教案
授课题目
点到直线的距离
授课类型
新授课
学习目标
知识与技能
使学生理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式
过程与方法
学生会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
情感态度与价值观
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
教学重点
点到直线的距离公式.、两条两平行线距离公式   .
教学难点
点到直线距离公式和两平行线距离公式的理解与应用.
教材分析
本节为人教版高中数学必修二的第三章第三节的内容。本节即是在两点距离公式知识上的延伸，又是对点到直线和两平行直线之间距离的运用与巩固，也为下一节直线方程的教学内容做铺垫，起着链条的作用。同时这部分内容也渗透了转化、数形结合思想方法，能较好的培养学生观察能力、概括能力、探究能力，在实际生活中有广泛应用。
学情分析
通过前一节课的教学，学生对点到直线和两平行直线之间距离认知已有了一定的认知结构，主要体现在学生已经初步掌握了公式的推导、学生初步具备解决问题的能力并能熟练运用。同时，需要教师借助图像，引导学生观察分析，进一步培养学生解决问题的能力。
教学方法
讲授法、谈话法、演示法
教学过程
新课导入：
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.
一、
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，
由
得
所以
由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.
所以
可证明，当A = 0时仍适用
证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为
.
又Ax0   + By0 + C2 = 0
即Ax0   + By0= –C2，
∴
通过设置情境导入新课，并让学生讨论分析。利用这种转化，培养学生“化归”的思想方法. 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 学生不仅可以全面的掌握并运用点到直线的距离公式还可以进一步回顾知识的形成、发展、完善的过程。开拓了学生思维，培养了学生解题能力。
板书设计
点到直线距离公式与两平行线距离.
公式推导(过程)
小结
教学评价
形成性评价
形成性评价1:用以检测学生对已有知识水平解决点到直线距离问题的使用方法情况
形成性评价2:用以说明学生对点到直线距离公式的掌握情况。
生成性问题解决
在形成性评价1中，学生可能只想到一种解决点到直线距离的方法(直接法)，而忽略三角形面积法。这是因为学生还没形成数形结合的思维，因此，需要老师结合几何图形来引导学生通过观察和分析，得到解题思路。
《两条直线平行与垂直的判定》教学设计
授课题目
两条直线平行与垂直的判定
授课类型
新授课
学习目标
知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力
情感态度与价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
教学重点
两条直线平行和垂直的条件.
教学难点
启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
教材分析
本节为人教版高中数学必修二的第三章第一节的内容。本节课既是在直线斜率知识上的延伸和发展，又为下一节直线的房产的教学做铺垫，起着链条的作用。同时这部分内容较好的反映了两直线平行与垂直的斜率关系内在联系和相互转化。蕴含了归纳、转化、数形结合的数学思想方法，能较好的培养学生的观察能力、概括能力以及和创新意识
学情分析
通过上节倾斜角和斜率的教学，学生对直线的倾斜程度的认识有了一定的认知结构，那么本节主要体现在学生初步掌握了对两直线平行与垂直斜率关系的理解，还培养学生语言(符号图形)的表达能力，初步具备了解决问题的思想，学生对数学新内容的学习有了相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡。
教学方法
讲授法、谈话法、演示法
教学
教学过程
一、新课导入：
通过问题导入，培养学生感性认识，在探索新知的过程中，讲解在斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想. 通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件. 培养学生的概括能力。
板书设计
两条直线平行与垂直的判定
斜率之间的关系
教学评价
形成性评价
形成性评价1：用以说明学生对两条直线平行时斜率的关系的掌握情况
形成性评价2：用以说明学生对两条直线垂直时斜率的关系的掌握情况
生成性问题解决
在形成性评价1中，学生可能会认为两条直线平行，斜率一定相等，出现这种错误的原因是忽略了当两条不重合的直线都垂直于x轴时，这时斜率是不存在的。因此，教师在教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法。
在形成性评价2中，学生可能会认为，当两条直线垂直时，它们的斜率乘积一定为-1，出现这种错误的原因是学生忽略了对特殊情况(当一条直线斜率不存在时)下的问题，因此，教师在教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法。

一、前言
作者之前已经为大家讲解了直线的斜率，与如何建立直线的方程，那么知道了直线的方程，就需要去研究直线的性质。
二、两条直线的交点坐标
若给出两条直线，如何求交点坐标？
如果说上述的方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则说明两条直线平行。
解题方法：
针对于上述的二元一次方程组求解，我们通常采用的是消元法，用一个未知数表示另一个未知数，从而求解出方程的解。
三、两点间的距离
两点间的距离公式，在二维平面中，就相当于利用直角三角形求解斜边的长度。
四、点到直线的距离
现在已知一条直线与一个点，求他们之间得距离，则有如下公式:
五、两条平行线间的距离
如果现在给的直线是平行关系，则如何算他们之间的距离。
首先要明白两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线的长。
分析：
①计算两直线间的距离公式，则需要转化为点到直线上的距离。
②在一条直线上找到一个点，则需要利用点到直线的距离公式求解。
批注：
读者有什么不懂的可以留言，想要知道什么高中解题经验可以给作者留言啊！
关注！关注！关注！重要事情说三遍

三维直线与直线之间的距离： 
（由于用word中公式编辑器所编写的公式复制过来显示的有问题，后面贴了文档中的段落图片，以便读者看清楚）
假设有两条直线L_0 (s)=P_0+s(d_0 ) ⃗ 和L_1 (t)=P_1+t(d_1 ) ⃗ ，设Q_0=P_0+s_c (d_0 ) ⃗ 和Q_1=P_1+t_c (d_1 ) ⃗ 为分别位于P_0和P_1处的点，它们之间的距离为最小距离，并设v ⃗=Q_0-Q_1（如下图所示）。
图1
  
图1两条直线之间的距离 
最小距离的关键是求得公垂线，即这两点之间的线同时垂直这两条直线。须满足数学公式： 

(d_0 ) ⃗∙v ⃗=0 

(d_1 ) ⃗∙v ⃗=0                                                    （1） 

使用v ⃗的定义式， 

v ⃗=Q_0-Q_1=P_0+s_c (d_0 ) ⃗-P_1-t_c (d_1 ) ⃗ （2） 

将（2）式带入方程（1），可得 

（(d_0 ) ⃗∙(d_0 ) ⃗ ） s_c-（(d_0 ) ⃗∙(d_1 ) ⃗ ） t_c=-(d_0 ) ⃗∙(P_0-P_1) 

（(d_1 ) ⃗∙(d_0 ) ⃗ ） s_c-（(d_1 ) ⃗∙(d_1 ) ⃗ ） t_c=-(d_1 ) ⃗∙(P_0-P_1) 

设a=(d_0 ) ⃗∙(d_0 ) ⃗，b=(d_0 ) ⃗∙(d_1 ) ⃗，c=(d_1) ⃗∙(d_1 ) ⃗，d=(d_0 ) ⃗∙(P_0-P_1)，e=(d_1 ) ⃗∙(P_0-P_1)，且f=(P_0-P_1)∙(P_0-P_1)。由这两个方程可以求出两个未知数，其解为：

s_c=(be-cd)/(ac-b^2 ) 

t_c=(ae-bd)/(ac-b^2 ) 

若分母ac-b^2<ε， 那么直线L_0和L_1平行。在该情况下，我们可以选取任意t_c的值来计算s_c。通过设t_c=0，可以将计算量减到最小程度，此时仅计算s_c=-d/a。

只要计算到了最接近的点的参数值，就能计算出这两条直线之间的距离： 

||L_0 (s_c )-L_1 (t_c )||=||(P_0-P_1 )+((be-cd) (d_0 ) ⃗-(ae-bd)(d_1) ⃗)/(ac-b^2 )||

求三维直线间距离的代码（使用Ogre的数据类型）： 

Ogre::Real getIntersectPointOnSegment(const Ogre::Vector3& line0Base, constOgre::Vector3& line0Direction, const Ogre::Vector3& line1Base, constOgre::Vector3& line1Direction)

{ 

    Ogre::Vector3 u = line0Base – line1Base; 

    Ogre::Real a = line0Direction.dotProduct(line0Direction); 

    Ogre::Real b = line0Direction.dotProduct(line1Direction); 

    Ogre::Real c = line1Direction.dotProduct(line1Direction); 

    Ogre::Real d = line0Direction.dotProduct(u); 

    Ogre::Real e = line1Direction.dotProduct(u); 

    Ogre::Real f = u.dotProduct(u); 

    Ogre::Real det = a*c - b*b; 


    // check for (near) parallelism 

    if (det < FLT_EPSILON) 

    { 

        // Arbitrarily choose the base pointof line0 

        t = 0; 

        // choose largest denominator tominimize float point problems 

        if (a > b) 

        { 

            s = -d / a; 

        } 

        else 

        { 

            s = -e / b; 

        } 

        return d * s + f; 

    } 

    else 

    { 
        // Nonparallel lines 

        Ogre::Real invDet =1 / det; 

        s = (b * e – c * d) * invDet; 

        t = (a * e – b * d) * invDet; 

        return s * ( a*s + b*t + 2*d) + t *(b*s + c*t + 2*e) + f; 

    } 

} 

附件图片：
段落1


段落2
 

空间直线段最短距离计算公式：

点到直线段最短距离公式：

%求空间中任意两条直线之间的最短距离，p1p2是直线段p的两个端点坐标，q1q2是直线段q的两个端点坐标

function [d]=distance(p1,p2,q1,q2)

s1=p2-p1;%方向向量

s2=q2-q1;
res1=((s1*s2')*((p1-q1)*s2')-(s2*s2')*((p1-q1)*s1'))/((s1*s1')*(s2*s2')-(s1*s2')*(s1*s2'));     %lamta1
res2=-((s1*s2')*((p1-q1)*s1')-(s1*s1')*((p1-q1)*s2'))/((s1*s1')*(s2*s2')-(s1*s2')*(s1*s2'));    %lamta2
if(res1<=1&&res1>=0&&res2<=1&&res2>=0)  %如果两个垂足都在两个直线段上，则将lamta带入，可得到两个垂足坐标，求其长度即可
    tmp1=p1+res1*s1;
    tmp2=q1+res2*s2;
    tmp=tmp1-tmp2;
    d=sqrt(tmp*tmp');
else
    res3=(q1-p1)*s1'/(s1*s1');           %如果有垂足不落在线段上，需要进行下一步判断，分别计算两个线段的四个坐标点，到另外一条线段的长度
    if (res3>=0&&res3<=1)                %q1点到p1p2线段的距离，同样计算lamta,如果在0~1表示垂足在线段上，带入求值
         tmp=q1-(p1+res3*s1);
         d1=sqrt(tmp*tmp');
    else
         d1=sqrt(min((q1-p1)*(q1-p1)',(q1-p2)*(q1-p2)'));%如果垂足不在线段上，直接判断到达两个端点的线段长度即可，取最小
    end
    res4=(q2-p1)*s1'/(s1*s1');           %q2到线段p1p2距离
    if (res4>=0&&res4<=1)
        tmp=q2-(p1+res4*s1);
        d2=sqrt(tmp*tmp');
    else
        d2=sqrt(min((q2-p1)*(q2-p1)',(q2-p2)*(q2-p2)'));
    end

    res5=(p1-q1)*s2'/(s2*s2');            %p1到线段q1q2距离
   if (res5>=0&&res5<=1)
        tmp=p1-(q1+res5*s2);
        d3=sqrt(tmp*tmp');
   else
        d3=sqrt(min((p1-q1)*(p1-q1)',(p1-q2)*(p1-q2)'));
   end

   res6=(p2-q1)*s2'/(s2*s2');            %p2到线段q1q2距离
   if (res6>=0&&res6<=1)
       tmp=p2-(q1+res6*s2);
       d4=sqrt(tmp*tmp');
   else
       d4=sqrt(min((p2-q1)*(p2-q1)',(p2-q2)*(p2-q2)'));
   end
   d=min(min(d1,d2),min(d3,d4));%取四个最短的一个即可
end

end