%% 直线为轴中心对称的圆
 
clc;
 
clear;
 
hold on
 
syms x y;
 
% 画对称轴
 
x1=-20:0.1:20;
 
k=1;
 
b1=10;
 
f1(x)=k.*x+b1;
 
plot(x1,f1(x1));
 
theta=0:2*pi/3600:2*pi;
 
R=4;
 
Circle1=10+R*cos(theta);
 
Circle2=10+R*sin(theta);
 
plot(Circle1,Circle2,'m','Linewidth',3);
 
x1=Circle1;
 
y1=Circle2;
 
% 对称点坐标(2*x0-x1,2f(x0)-y1)
 
b0=y1+(1/k).*x1;
 
x0=(b0-b1).*(k/(k^2+1));
 
x2=2*x0-x1;
 
y2=2*f1(x0)-y1;
 
plot(x2,y2,'r-');
 
axis equal
 

 
%% 直线为轴中心对称的三角形
 
close all; clear all; clc
 
hold on
 
x1=-20:0.1:20;
 
syms x
 
k=1/2;
 
b1=4;
 
f1(x)=k.*(x+2)+b1;
 
plot(x1,f1(x1),'b');
 
x1=1;x2=2;x3=1;
 
y1=1;y2=2;y3=3;
 
triangle_x1=[x1,x2,x3,x1];
 
triangle_y1=[y1,y2,y3,y1];
 
fill(triangle_x1,triangle_y1,'r');
 
% 对称点坐标(2*x0-x1,2f(x0)-y1)
 
b0=triangle_y1+(1/k).* triangle_x1;
 
x0=(b0-b1).*(k/(k^2+1));
 
triangle_x2=2*x0-triangle_x1;
 
triangle_y2=2*f1(x0)-triangle_y1;
 
% triangle_y2=[1,2,1,1];
 
fill(triangle_x2,triangle_y2,'b');
 
axis([-5 5 -5 30])
 
axis equal;
 

 
%% 点为中心对称的三角形
 
close all; clear all; clc
 
hold on
 
x0=1.5;
 
y0=2;
 
plot(x0,y0,'*')
 
x1=1;x2=2;x3=1;
 
y1=1;y2=2;y3=3;
 
triangle_x1=[x1,x2,x3,x1];
 
triangle_y1=[y1,y2,y3,y1];
 
fill(triangle_x1,triangle_y1,'r');
 
triangle_x2=2*x0-triangle_x1;
 
triangle_y2=2*y0-triangle_y1;
 
fill(triangle_x2,triangle_y2,'b');
 
axis equal;
 

 
1. 设所求对称点A的坐标为(a，b)。
 
根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。
 
2. 因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。
 
又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1，即k1*k2=-1。
 
设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为-1/k1。
 
把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。
 
3. 联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。
 
举例：
 
已知点B的坐标为(-2，1)，求它关于直线y=-x+1的对称点坐标？
 
设所求对称点A的坐标为(a，b)，则A和点B(-2，1)的中点C坐标为((a-2)/2，(b+1)/2)，且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得，
 
b+1/2=-(a-2/2)+1， 可得：a+b=3 (1)
 
因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称，所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1，所以直线AB的斜率为1
 
AB斜率：b-1/a+2=1 (2)
 
联立方程(1)、(2)，解二元一次方程组得：a=0，b=3
 
所以该点的坐标为(0，3)
 
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评论

下面通过两种直线方程的形式，求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。
 
问题描述1：
 
已知点的坐标（x0，y0），直线的方程为Ax+By+C = 0；
 
求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足（x, y）、点关于直线的对称点(x’, y’)。
 
解决方法：
 
（1）距离：
 
         d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );
 
         这个“距离”有符号，表示点在直线的上方或者下方，取绝对值表示欧式距离。
 
（2）垂足：
 
         求解两个方程：
 
　　（a）　　Ax + By + C = 0;
 
　　（b）　　(y - y0) / (x - x0) = B / A;
 
         解得，x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );
 
                    y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );
 
（3）对称点：
 
         方法一：求解两个方程：(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;
 
         方法二：把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点：
 
                首先，求出垂足；则x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;
 
                解得，x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );
 
                           y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );
 
         方法三：首先，求一系数k，k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);
 
                 则，   x' = x0 + k * A;
 
                           y' = y0 + k * B;
 
        
 
问题描述2：
 
已知点的坐标（x0，y0），直线上的两点（x1，y1）、（x2，y2）；
 
求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足（x, y）、点关于直线的对称点(x’, y‘)。
 
解决方法：
 
        方法一：把直线化两点式为一般式，则一般式中的A = y2 -y1;       B = x1 - x2;     C = x2*y1 - x1*y2;    带入上面的公式，即可求出相应的距离、垂足、对称点。
 
        方法二：
 
（a）距离：
 
         首先，求出垂足的坐标；
 
         则d = sqrt( (x - x0) * (x - x0)  +  (y - y0) * (y - y0));
 
（b）垂足：
 
         首先，求一系数 k： 设直线的起点和终点分别为A（x1， y1）、B（x2， y2），直线外一点为C（x0， y0），垂足为D；并设k = |AD| / |AB。
 
         则，k * AB = AD = AC + CD，又 AB * CD= 0；所以，k * AB* AB = AC *AB，故 k =AC * AB / （AB * AB）。
 
         带入坐标，即得，
 
　　　　 k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) )  / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ;
 
         则   x = x1 + k*(x2 - x1);      y = y1 + k*(y2 - y1);
 
（c）对称点：
 
         同问题描述1中的方法。

如果函数$f(x)$和$g(x)$关于直线$x=a$对称，则$g(x)=f(2a-x)$也就是，将$f(x)$中的x换成2a-x即可。