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  • 1. 设所求对称点A的坐标为(a,b)。根据所设对称点A(a,b)和已知B(c,d),可以表示出A、B两之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此...又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。设已知直线的斜率...

    1. 设所求对称点A的坐标为(a,b)。

    根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个关于a,b的二元一次方程(1)。

    2. 因为A、B两点关于已知直线对称,所以直线AB与该已知直线垂直。

    又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。

    设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。

    把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个关于a,b的二元一次方程(2)。

    3. 联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。

    举例:

    已知点B的坐标为(-2,1),求它关于直线y=-x+1的对称点坐标?

    设所求对称点A的坐标为(a,b),则A和点B(-2,1)的中点C坐标为((a-2)/2,(b+1)/2),且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得,

    b+1/2=-(a-2/2)+1, 可得:a+b=3 (1)

    因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称,所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1,所以直线AB的斜率为1

    AB斜率:b-1/a+2=1 (2)

    联立方程(1)、(2),解二元一次方程组得:a=0,b=3

    所以该点的坐标为(0,3)

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  • 下面介绍下求线段和最小值常见题型1,通过点关于直线对称点得到定点之间直线段长度最短。以下题为例,已知矩形ABCD,AB=8, AD=6.E,F分别为AB,AD的中点。G,H分别为BC,AB上动点。求四边形EFGH周长的最小值。...

    下面介绍下求线段和最小值常见题型1,通过点关于直线对称点得到两定点之间直线段长度最短。

    以下题为例,已知矩形ABCD,AB=8, AD=6.

    E,F分别为AB,AD的中点。G,H分别为BC,AB上动点。求四边形EFGH周长的最小值。

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    对此四边形EFGH,我们可以发现。

    有一条边长EF为定值,那么就是转化成EH+HG+GF的最小值。

    很显然,我们要转化成两点定点的距离。

    这里面的定点就是E和F点。

    但明显E,F不能让G,H在他们练成的直线上。

    那也就是需要将E,F进行移动(包括平移,对称,旋转)但同时要保证变化后的E'H,F'G和原来EH,FG相等。

    此题选用的方法是做E关于AB的对称点,F关于BC的对称点。

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    关于对称轴的对称点很好求,我们易知E'F'的距离为15,EF为5。

    也就是EFGH周长最小值为20

    关于求定点关于定直线的特殊和一般情况请参考下方。

    yi zhang:初中几何基本知识-- 两点之间线段最短和点关于直线的对称点zhuanlan.zhihu.com
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  • 对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这个图形关于条直线对称个图形中的对应叫做对称点,对应线段叫做对称线段。2.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,...
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    一、轴对称与轴对称图形:

    1.轴对称:

    把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段。

    2.轴对称图形:

    如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。

    注意:对称轴是直线而不是线段

    3.轴对称的性质:

    (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;

    (2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;

    (3)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;

    (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

    4.线段垂直平分线:

    (1)定义:垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

    (2)性质:①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

    ②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

    注意:根据线段垂直平分线的这一特性可以推出:三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

    5.角的平分线:

    (1)定义:把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.

    (2)性质:①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

    ②到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

    注意:根据角平分线的性质,三角形的三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.

    6.等腰三角形的性质与判定:

    性质:

    (1)对称性:等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;

    (2)三线合一:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;

    (3)等边对等角:等腰三角形的两个底角相等。

    说明:等腰三角形的性质除“三线合一”外,三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质,如:①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等;

    ③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

    判定定理:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。

    7.等边三角形的性质与判定:

    性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;

    (2)等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且在每条边上都有“三线合一”。因此等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴。

    判定定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

    说明:等边三角形是一种特殊的三角形,容易知道等边三角形的三条高(或三条中线、三条角平分线)都相等。

    二、中心对称与中心对称图形:

    1.中心对称:

    把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够和另外一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

    2.中心对称图形:

    在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。

    3.中心对称的性质:

    (1)关于中心对称的两个图形是全等形;

    (2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;

    (3)成中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

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  • 对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这个图形关于条直线对称个图形中的对应叫做对称点,对应线段叫做对称线段。2.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,...
    295325b10a80a28e3fc9ae2dfd217765.png

    一、轴对称与轴对称图形:

    1.轴对称:

    把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段。

    2.轴对称图形:

    如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。

    注意:对称轴是直线而不是线段

    3.轴对称的性质:

    (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;

    (2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;

    (3)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;

    (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

    4.线段垂直平分线:

    (1)定义:垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

    (2)性质:①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

    ②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

    注意:根据线段垂直平分线的这一特性可以推出:三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

    5.角的平分线:

    (1)定义:把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.

    (2)性质:①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

    ②到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

    注意:根据角平分线的性质,三角形的三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.

    6.等腰三角形的性质与判定:

    性质:

    (1)对称性:等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;

    (2)三线合一:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;

    (3)等边对等角:等腰三角形的两个底角相等。

    说明:等腰三角形的性质除“三线合一”外,三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质,如:①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等;

    ③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

    判定定理:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。

    7.等边三角形的性质与判定:

    性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;

    (2)等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且在每条边上都有“三线合一”。因此等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴。

    判定定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

    说明:等边三角形是一种特殊的三角形,容易知道等边三角形的三条高(或三条中线、三条角平分线)都相等。

    二、中心对称与中心对称图形:

    1.中心对称:

    把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够和另外一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

    2.中心对称图形:

    在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。

    3.中心对称的性质:

    (1)关于中心对称的两个图形是全等形;

    (2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;

    (3)成中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

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