《两点间的距离》教案
授课题目
两点间的距离公式
授课类型
新授课
学习目标
知识与技能
掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
过程与方法
通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；。
情感态度与价值观
体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
教学重点
两点间距离公式的推导.
教学难点
应用两点间距离公式证明几何问题。
教材分析
本节为人教版高中数学必修二的第三章第三节的内容。两点距离公式即是对直线方程基础上的延伸和发展，也为下一章空间直角坐标系中两点距离公式的教学做铺垫。同时这部分内容较好的反映了直角坐标系中的几何关系的内在联系与相互转换，蕴含着归纳、转换、数形结合等数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力及创新意识。
学情分析
通过前一阶段的教学，学生对平面直角坐标系中的两点距离的认识已有了一定的认知结构，主要体现在学生已经初步掌握了两点距离公式的运用，初步具备了解决问题的能力，学生对数学新内容的学习有了相当的兴趣和积极性。但是探究问题的能力及合作交流等方面发展不够均衡。
教学方法
讲授法、谈话法、演示法
教学过程
教学过程
一、新课导入：
设置情景，导入新课。通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程。让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤. 通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用，可以使学生更进一步体会知识形成过程为接下来的学习奠定一个坚实的基础
板书设计
两点距离公式
用代数的方法解决几何问题
如何用两点间距离公式的推导
教学评价
形成性评价
形成性评价1：用以说明学生对两点距离公式的推导过程的理解情况
形成性评价2：用以说明学生对两点距离公式的掌握情况
生成性问题解决
在形成性评价1中，学生可能不会分析两点距离公式的推导思路，这是由于学生没有想到利用勾股定理来推导，因此，教师在教学过程中，要借助图像积极引导学生观察和分析问题，进而用直角三角形的勾股定理来解决问题。
在形成性评价2中，学生在求解平行与x轴或y轴的上的两点距离时可能会比较迷惑，这是因为此时它们的横或纵坐标是相等的，因此，教师教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法，先分析平行于x或y轴上的两点，再分析一般情况下的两点。
《点到直线的距离》教案
授课题目
点到直线的距离
授课类型
新授课
学习目标
知识与技能
使学生理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式
过程与方法
学生会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
情感态度与价值观
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
教学重点
点到直线的距离公式.、两条两平行线距离公式   .
教学难点
点到直线距离公式和两平行线距离公式的理解与应用.
教材分析
本节为人教版高中数学必修二的第三章第三节的内容。本节即是在两点距离公式知识上的延伸，又是对点到直线和两平行直线之间距离的运用与巩固，也为下一节直线方程的教学内容做铺垫，起着链条的作用。同时这部分内容也渗透了转化、数形结合思想方法，能较好的培养学生观察能力、概括能力、探究能力，在实际生活中有广泛应用。
学情分析
通过前一节课的教学，学生对点到直线和两平行直线之间距离认知已有了一定的认知结构，主要体现在学生已经初步掌握了公式的推导、学生初步具备解决问题的能力并能熟练运用。同时，需要教师借助图像，引导学生观察分析，进一步培养学生解决问题的能力。
教学方法
讲授法、谈话法、演示法
教学过程
新课导入：
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.
一、
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，
由
得
所以
由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.
所以
可证明，当A = 0时仍适用
证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为
.
又Ax0   + By0 + C2 = 0
即Ax0   + By0= –C2，
∴
通过设置情境导入新课，并让学生讨论分析。利用这种转化，培养学生“化归”的思想方法. 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 学生不仅可以全面的掌握并运用点到直线的距离公式还可以进一步回顾知识的形成、发展、完善的过程。开拓了学生思维，培养了学生解题能力。
板书设计
点到直线距离公式与两平行线距离.
公式推导(过程)
小结
教学评价
形成性评价
形成性评价1:用以检测学生对已有知识水平解决点到直线距离问题的使用方法情况
形成性评价2:用以说明学生对点到直线距离公式的掌握情况。
生成性问题解决
在形成性评价1中，学生可能只想到一种解决点到直线距离的方法(直接法)，而忽略三角形面积法。这是因为学生还没形成数形结合的思维，因此，需要老师结合几何图形来引导学生通过观察和分析，得到解题思路。
《两条直线平行与垂直的判定》教学设计
授课题目
两条直线平行与垂直的判定
授课类型
新授课
学习目标
知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力
情感态度与价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
教学重点
两条直线平行和垂直的条件.
教学难点
启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
教材分析
本节为人教版高中数学必修二的第三章第一节的内容。本节课既是在直线斜率知识上的延伸和发展，又为下一节直线的房产的教学做铺垫，起着链条的作用。同时这部分内容较好的反映了两直线平行与垂直的斜率关系内在联系和相互转化。蕴含了归纳、转化、数形结合的数学思想方法，能较好的培养学生的观察能力、概括能力以及和创新意识
学情分析
通过上节倾斜角和斜率的教学，学生对直线的倾斜程度的认识有了一定的认知结构，那么本节主要体现在学生初步掌握了对两直线平行与垂直斜率关系的理解，还培养学生语言(符号图形)的表达能力，初步具备了解决问题的思想，学生对数学新内容的学习有了相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡。
教学方法
讲授法、谈话法、演示法
教学
教学过程
一、新课导入：
通过问题导入，培养学生感性认识，在探索新知的过程中，讲解在斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想. 通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件. 培养学生的概括能力。
板书设计
两条直线平行与垂直的判定
斜率之间的关系
教学评价
形成性评价
形成性评价1：用以说明学生对两条直线平行时斜率的关系的掌握情况
形成性评价2：用以说明学生对两条直线垂直时斜率的关系的掌握情况
生成性问题解决
在形成性评价1中，学生可能会认为两条直线平行，斜率一定相等，出现这种错误的原因是忽略了当两条不重合的直线都垂直于x轴时，这时斜率是不存在的。因此，教师在教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法。
在形成性评价2中，学生可能会认为，当两条直线垂直时，它们的斜率乘积一定为-1，出现这种错误的原因是学生忽略了对特殊情况(当一条直线斜率不存在时)下的问题，因此，教师在教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法。

直线的交点坐标与距离公式
一：两条直线的交点坐标：
1
、
设两条直线分别为
1
l
：
1
1
1
0
A
x
B
y
C



，
2
l
：
2
2
2
0
A
x
B
y
C



则
1
l
与
2
l
是否有交点，
只需看方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A
x
B
y
C
A
x
B
y
C









是否有唯一解
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
若方程组有无穷多解，则两直线重合
例
1
、
求经过两直线
2
3
3
0
x
y



和
2
0
x
y



的交点且与直线
3
1
0
x
y



平行的直线方程。
经过两直线
1
1
1
1
:
0
l
A
x
B
y
C



与
2
2
2
2
:
0
l
A
x
B
y
C



交点的直线系
方程为


1
1
1
2
2
2
0
A
x
B
y
C
A
x
B
y
C







，其中

是待定系数，在这个
方程中，
无论

取什么实数，
都得到
2
2
2
0
A
x
B
y
C



，
因此，
它不能表示直线
2
l
。
2
、对称问题
(
1
)点关于点的对称，点
A(a
，
b)
关于


0
0
0
,
P
x
y
的对称点
B
(
m
，
n
)
，则由中点坐标公
式
0
0
2
,
2
m
x
a
n
y
b




，即
B
(
0
0
2
,
2
x
a
y
b


)
。
(
2
)点关于直线的对称，点


0
0
,
A
x
y
关于直线
:
0
l
Ax
By
C



(
A
、
B
不同时
为
0
)的对称点


'
1
1
,
A
x
y
，则有
AA
’的中点在
l
上且直线
AA
’与已知直线
l
垂直。
(
3
)直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线
1
l
与对称轴
l
相交，
则交点必在与
1
l
对称的直线
2
l
上，
然后再求出
1
l
上任意不同于交点的已知点
1
P
关
于对称轴对称的点
2
P
，那么经过交点及点
2
P
的直线就是
2
l
；若直线
1
l
与对称轴
l
平行，则在
1
l
上任取两不同点
1
P
、
2
P
，求
其关于对称轴
l
的对称点
'
1
P
、
'
2
P
，过
'
1
P
、
'
2
P
的直线就是
2
l
。
例题
2
、已知直线
:
1
0
l
x
y



，试求①点
P(4,5)
关于
l
的对称坐标；②直线
1
:
2
3
l
y
x


关于直线
l
的对称的直线方程。
例题
3

坐标公式大集合(两点间距离公式)
安徽省安庆市第四中学八年级(
13
)班王正宇
著
在八年级上册的数学教材中(沪科版)
，我们学习到了平面直角坐标系这一章
,
由此
,
我
们引申出一次函数、
二次函数、
反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今
天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！
一、
求平行于
x
与
y
轴的直线的距离
①我们在平面直角坐标系中做一条线段
AB
平行于
x
轴(
AB
为任意直线)
，我们要求出
线段
AB
的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到
作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看
AB
两点的横坐标，会发现一个
特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度
ab
≥
0
的，故取正数
结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式：
|
Ax
－
Bx
|
即
A
点横坐标数减去
B
点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，
A
、
B
两点
的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。
②同样的，
有上面的过程支撑，
我想，
推出平行于
Y
轴的线段
CD
的长度肯定就好求了！
！
那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于
Y
轴线段长度的公式哦：
|
Cy
－
Dy
|
即
C
点纵坐标减去
D
点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。
二、
求斜线的长度
这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年
级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。

一、前言
作者之前已经为大家讲解了直线的斜率，与如何建立直线的方程，那么知道了直线的方程，就需要去研究直线的性质。
二、两条直线的交点坐标
若给出两条直线，如何求交点坐标？
如果说上述的方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则说明两条直线平行。
解题方法：
针对于上述的二元一次方程组求解，我们通常采用的是消元法，用一个未知数表示另一个未知数，从而求解出方程的解。
三、两点间的距离
两点间的距离公式，在二维平面中，就相当于利用直角三角形求解斜边的长度。
四、点到直线的距离
现在已知一条直线与一个点，求他们之间得距离，则有如下公式:
五、两条平行线间的距离
如果现在给的直线是平行关系，则如何算他们之间的距离。
首先要明白两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线的长。
分析：
①计算两直线间的距离公式，则需要转化为点到直线上的距离。
②在一条直线上找到一个点，则需要利用点到直线的距离公式求解。
批注：
读者有什么不懂的可以留言，想要知道什么高中解题经验可以给作者留言啊！
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