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  • 点间的距离》教案授课题目点间的距离公式授课类型新授课学习目标知识与技能掌握直角坐标系点间的距离,用坐标证明简单的几何问题。过程与方法通过点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。;。...

    《两点间的距离》教案

    授课题目

    两点间的距离公式

    授课类型

    新授课

    学习目标

    知识与技能

    掌握直角坐标系两点间的距离,用坐标证明简单的几何问题。

    过程与方法

    通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。;。

    情感态度与价值观

    体会事物之间的内在联系,能用代数方法解决几何问题。

    教学重点

    两点间距离公式的推导.

    教学难点

    应用两点间距离公式证明几何问题。

    教材分析

    本节为人教版高中数学必修二的第三章第三节的内容。两点距离公式即是对直线方程基础上的延伸和发展,也为下一章空间直角坐标系中两点距离公式的教学做铺垫。同时这部分内容较好的反映了直角坐标系中的几何关系的内在联系与相互转换,蕴含着归纳、转换、数形结合等数学思想方法,能较好地培养学生的观察能力及创新意识。

    学情分析

    通过前一阶段的教学,学生对平面直角坐标系中的两点距离的认识已有了一定的认知结构,主要体现在学生已经初步掌握了两点距离公式的运用,初步具备了解决问题的能力,学生对数学新内容的学习有了相当的兴趣和积极性。但是探究问题的能力及合作交流等方面发展不够均衡。

    教学方法

    讲授法、谈话法、演示法

    教学过程

    教学过程

    一、新课导入:

    设置情景,导入新课。通过提问思考教师引导,使学生体会两点间距离公式形成的过程。让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤. 通过例题讲解,使学生掌握两点间的距离公式及其应用,可以使学生更进一步体会知识形成过程为接下来的学习奠定一个坚实的基础

    板书设计

    两点距离公式

    用代数的方法解决几何问题

    如何用两点间距离公式的推导

    教学评价

    形成性评价

    形成性评价1:用以说明学生对两点距离公式的推导过程的理解情况

    形成性评价2:用以说明学生对两点距离公式的掌握情况

    生成性问题解决

    在形成性评价1中,学生可能不会分析两点距离公式的推导思路,这是由于学生没有想到利用勾股定理来推导,因此,教师在教学过程中,要借助图像积极引导学生观察和分析问题,进而用直角三角形的勾股定理来解决问题。

    在形成性评价2中,学生在求解平行与x轴或y轴的上的两点距离时可能会比较迷惑,这是因为此时它们的横或纵坐标是相等的,因此,教师教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法,先分析平行于x或y轴上的两点,再分析一般情况下的两点。

    《点到直线的距离》教案

    授课题目

    点到直线的距离

    授课类型

    新授课

    学习目标

    知识与技能

    使学生理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线距离公式

    过程与方法

    学生会用点到直线距离公式求解两平行线距离.

    情感态度与价值观

    认识事物之间在一定条件下的转化,用联系的观点看问题.

    教学重点

    点到直线的距离公式.、两条两平行线距离公式   .

    教学难点

    点到直线距离公式和两平行线距离公式的理解与应用.

    教材分析

    本节为人教版高中数学必修二的第三章第三节的内容。本节即是在两点距离公式知识上的延伸,又是对点到直线和两平行直线之间距离的运用与巩固,也为下一节直线方程的教学内容做铺垫,起着链条的作用。同时这部分内容也渗透了转化、数形结合思想方法,能较好的培养学生观察能力、概括能力、探究能力,在实际生活中有广泛应用。

    学情分析

    通过前一节课的教学,学生对点到直线和两平行直线之间距离认知已有了一定的认知结构,主要体现在学生已经初步掌握了公式的推导、学生初步具备解决问题的能力并能熟练运用。同时,需要教师借助图像,引导学生观察分析,进一步培养学生解决问题的能力。

    教学方法

    讲授法、谈话法、演示法

    教学过程

    新课导入:

    方案一:

    设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥l可知,直线PQ的斜率为(A≠0),根据点斜式写出直线PQ的方程,并由l与PQ的方程求出点Q的坐标:由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点P到直线l的距离为d.

    一、

    方案二:设A≠0,B≠0,这时l与x轴、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交l于点R (x1,y0);作y轴的平行线,交l于点S (x0,y2),

    所以

    由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.

    所以

    可证明,当A = 0时仍适用

    证明:设P0 (x0,y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点,则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为

    .

    又Ax0   + By0 + C2 = 0

    即Ax0   + By0= –C2,

    通过设置情境导入新课,并让学生讨论分析。利用这种转化,培养学生“化归”的思想方法. 通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 学生不仅可以全面的掌握并运用点到直线的距离公式还可以进一步回顾知识的形成、发展、完善的过程。开拓了学生思维,培养了学生解题能力。

    板书设计

    点到直线距离公式与两平行线距离.

    公式推导(过程)

    小结

    教学评价

    形成性评价

    形成性评价1:用以检测学生对已有知识水平解决点到直线距离问题的使用方法情况

    形成性评价2:用以说明学生对点到直线距离公式的掌握情况。

    生成性问题解决

    在形成性评价1中,学生可能只想到一种解决点到直线距离的方法(直接法),而忽略三角形面积法。这是因为学生还没形成数形结合的思维,因此,需要老师结合几何图形来引导学生通过观察和分析,得到解题思路。

    《两条直线平行与垂直的判定》教学设计

    授课题目

    两条直线平行与垂直的判定

    授课类型

    新授课

    学习目标

    知识与技能

    理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

    过程与方法

    通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用正确知识解决新问题的能力,以及数形结合能力

    情感态度与价值观

    通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.

    教学重点

    两条直线平行和垂直的条件.

    教学难点

    启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题.

    教材分析

    本节为人教版高中数学必修二的第三章第一节的内容。本节课既是在直线斜率知识上的延伸和发展,又为下一节直线的房产的教学做铺垫,起着链条的作用。同时这部分内容较好的反映了两直线平行与垂直的斜率关系内在联系和相互转化。蕴含了归纳、转化、数形结合的数学思想方法,能较好的培养学生的观察能力、概括能力以及和创新意识

    学情分析

    通过上节倾斜角和斜率的教学,学生对直线的倾斜程度的认识有了一定的认知结构,那么本节主要体现在学生初步掌握了对两直线平行与垂直斜率关系的理解,还培养学生语言(符号图形)的表达能力,初步具备了解决问题的思想,学生对数学新内容的学习有了相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡。

    教学方法

    讲授法、谈话法、演示法

    教学

    教学过程

    一、新课导入:

    通过问题导入,培养学生感性认识,在探索新知的过程中,讲解在斜率相等判定两直线平行,是通过代数方法得到几何结论,体现了用代数方法研究几何问题的思想. 通过例题的讲解,使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件. 培养学生的概括能力。

    板书设计

    两条直线平行与垂直的判定

    斜率之间的关系

    教学评价

    形成性评价

    形成性评价1:用以说明学生对两条直线平行时斜率的关系的掌握情况

    形成性评价2:用以说明学生对两条直线垂直时斜率的关系的掌握情况

    生成性问题解决

    在形成性评价1中,学生可能会认为两条直线平行,斜率一定相等,出现这种错误的原因是忽略了当两条不重合的直线都垂直于x轴时,这时斜率是不存在的。因此,教师在教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法。

    在形成性评价2中,学生可能会认为,当两条直线垂直时,它们的斜率乘积一定为-1,出现这种错误的原因是学生忽略了对特殊情况(当一条直线斜率不存在时)下的问题,因此,教师在教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法。

    展开全文
  • 变形2.如图,是正方体的平面图...已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等,求异面直线AB与CD所成的角的大小.解:分别取AC、AD、BC的中点P、M、N,连结PM、PN,由三角形中位线性质知PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN就是异面直线A...

    变形2.如图,是正方体的平面图,在这个正方体中:

    image292.gifBE∥ED;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成600的角;④DM⊥CN.

    以上四个命题中,正确的序号是________

    (③④  )

    例3、.已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等,求异面直线AB与CD所成的角的大小.

    image294.gif解:分别取AC、AD、BC的中点P、M、N,连结PM、PN,由三角形中位线性质知PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN就是异面直线AB和CD所成的角或其补角.

    连结MN、DN,设AB=2,∴PM=PN=1。而AN=DN=image296.gif,由MN⊥AD,AM=1,得MN=image298.gif,∴MN2=MP2+NP2,∴MPN=900,异面直线AB、CD成900角。

    练习P27  1-6题

    三、课堂小结

    1、异面直线的画法及判定方法

    2、异面直线所成角的定义以及求解方法

    四、布置作业

    课本P27  习题5、6、7、8、11、12(3)

    补充:

    1、一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条的位置关系是__________

    2、如图,已知image104.gifimage301.gif所在平面外一点,image303.gifimage305.gifimage307.gifimage309.gif分别是image311.gifimage313.gif的中点,

    image314.gif(1)判断image316.gifimage318.gif的位置关系

    (2)求image316.gifimage318.gif所成的角

    3、已知,正方体image320.gifimage322.gif中,image032.gifimage262.gif分别为image114.gifimage327.gif的中点,

    (1)判断image329.gifimage331.gif的位置关系。

    image332.gif (2)求异面直线image329.gifimage331.gif所成的角。

    参考解答:

    1、异面或相交

    2、(1)【方法一】假设image316.gifimage318.gif共面,由于过P、C、E三点有且仅有一个平面APC,点F在平面APC内,C也在此平面内,这样直线CB就在平面APC内,A、B、C、P共面,与P在平面ABC外矛盾。所以EF与PC异面

    【方法二】image334.gifEF与PC异面

    (2)取AC的中点G,则EG∥PC,GF∥AB,∠FEG为EF与PC的成角或其补角;由于image303.gifimage305.gif,EFG为等腰直角△,∠FEG=450,EF与PC的成角为450

    3、(1)证明:N∈平面A1MN, Mimage010.gif平面A1MN,直线A1Mimage012.gif平面A1MN,Nimage010.gif直线A1Mimage050.gifimage329.gifimage331.gif是异面直线

    (2)取DC的中点E,A1D1image341.jpgMEimage050.gifA1D1EM是平行四边形image050.gifA1Mimage341.jpgD1Eimage050.gifD1E与C1N的成角即为image329.gifimage331.gif所成的角,为900

    [教后感想与作业情况]

    1.2.3直线与平面的位置关系(1)??平行

    【教学目标】

    一、知识与技能:

    1、通过看书,归纳出直线与平面的三种位置关系,掌握各种画法,进一步培养空间想象能力

    2、掌握直线与平面平行的判定和性质定理,能够按步骤严格的证明线面平行

    二、过程与方法:通过看书归纳,明确数学概念的严谨性和科学性,逐步向一个会学习的人转变

    三、情感态度和价值观:感受化归的思想及学习方法的多样性

    【教学难点】线面平行的证明

    【教学重点】线面位置关系及线面平行的严格证明

    【教学流程】

    一、看书:P29---P31

    二、共同归纳要点:

    1、直线与平面的位置关系有三种:在平面内、平行、相交,它们是根据公共点的个数来区分的。重点说明画法(补充):

    位置关系

    图形

    画法要点

    备注及符号

    在平面内

    image344.gif

    直线画在平行四边形之内

    aimage012.gifα

    相交

    image347.gif

    画直线与平行四边形的边都不平行,标出交点,被挡住的部分不画或画成虚线

    a∩α=A

    平行

    image349.gif

    在平行四边形之外画一条直线平行于平行四边形的一边

    a∥α或a∩α=image351.gif

    相交与平行统称在平面外,记作aimage014.gifα

    2、直线在平面内判定方法有公理1(一条直线上有两个点在一个平面内,则此直线在平面内来判断,直线与平面平行呢?)通过平移直线演示得出:

    直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线平行于平面内某一条直线,则此直线平行于此平面(aimage014.gifα,a∥b,bimage012.gifαimage050.gifa∥α)(注意条件缺一不可,简称线线平行image050.gif线面平行)

    3、通过教室墙面的线面关系,说明直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,过此直线的一个平面与此平面相交,则直线与交线平行(a∥α,aimage012.gifβ,α∩β=bimage050.gifa∥b,简称线面平行image050.gif线线平行)

    image359.gif已知:image361.gif,  求证:image363.gif.

    证明:image365.gif没有公共点.

    image367.gif没有公共点.

    image369.gif

    三、教材P31----练习题(在学生做的同时,教师可以板书要讲解的例题),然后订正

    四、例题分析

    例1、三棱锥A-BCD中,E、F分别为AB、AD上的点,若AE:EB=AF:FD,求证:EF∥平面BCD

    证明:AE:EB=AF:FD    image371.gif EF∥平面BCD

    image373.gif

    说明:注意步骤条件缺一不可

    变形练习:求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面

    例2、已知一个几何体的三视图如图所示:⑴作出其直观图,并标上相应的字母;⑵若在上底面上有一点P,过P在上底面内作一条直线与下底面平行,怎样作出;⑶若将(2)中“在上底面内”的条件去掉,可以作多少条?这样过平面外一点可以作多少条直线与已知平面平行?⑷若两条直线都平行于同一平面,此两直线的位置关系如何?

    image375.gif解:⑴

    image377.gif

    ⑵过P在上底面内作l∥B1C1,l∥下底面;

    ⑶去掉在上底面内的条件,可以作无数条直线与下平面平行;过平面外一点可以作无数个直线与已知平面平行

    image379.gif⑷平行、相交、异面

    变形练习:一个长方体木块,如图所示,要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开,应该怎样画线?

    分析:略(见课本第30页)

    例3、三个平面两两相交于三条不重合的直线,判断这三条直线的位置关系,并加以证明

    分析:以教室墙面为例说明这三条直线交于一点或相互平行

    已知:α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c

    求证:a,b,c交于一点或a∥b∥c

    证明:a,bimage012.gifβimage050.gifa∥b或a,b交于一点。当a,b交于一点时,设交点为O,这样O∈γ,O∈α,而γ∩α=cimage050.gifO∈cimage050.gifa,b,c交于一点O。当a∥b时,a image012.gifα,bimage014.gifαimage050.gifb∥α,bimage012.gifγ,γ∩α=cimage050.gifb∥cimage050.gifa∥b∥c

    五、小结:本节主要介绍了直线与平面的三种位置关系及线面平行的判定和性质,做题时注意条件缺一不可。

    备用习题:判断下列说法是否正确,并说明理由.

    (1)平面外的一条直线与平面内的无数条直线平行,则直线和平面平行;

    (2)平面外的两条平行直线,若一条平行于这个平面,则另一条也平行于这个平面;

    (3)一条直线和平面平行,则这条直线平行于平面内任意一条直线;

    (4)一条直线和平面平行,则平面中必存在直线与这条直线平行

    六、作业:教材P36---1~4,11

    补充习题

    1、判断命题“若a∥α,则a平行于α内无数条直线”的真假__________

    2、下列表示直线a与平面α平行的是___________(填序号)①aimage014.gifα;②a∥α;③a∩α=image351.gif

    3、梯形ABCD中,下底边ABimage012.gifα,上底边CDimage014.gifα,则CD与平面α内的直线的位置关系是______

    4、下列命题为真命题的序号是________.①a∥b,a∩α=Aimage050.gifb∩α≠image351.gif;②a∥b,aimage012.gifαimage050.gifb∩α=image351.gif;③空间四边形相邻两边中点的连线,平行于过另外两边的平面

    5、作图题:(1)a,b为异面直线,过a作平面α,使b∥α(说明作法及理由);(2)a∥α,P∈limage012.gifα,l与a成600角

    6、a,b为异面直线,求证过b有且仅有一个平面与a平行

    7、在四面体ABCD中,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,EFGH为平行四边形,求证AC∥平面EFGH

    8*、有三个几何事实(a,b表示直线,α表示平面,a,b都在α外)①a∥b;②a∥α;③b∥α。用其中的两个为条件,一个为结论,写出所有构成的命题,并判断真假,真者给出证明,假的举出反例。

    【答案】

    1、真;   2、②③;   3、平行或异面;   4、①③

    5、(1)

    image399.gif在a上取一点O,过O作b1∥b,b1与a确定的平面即为平面α(因b平行于α内一条直线b1)

    (2)

    image401.gif

    image403.gif

    6、证明:在a上取一点P,过O作a1∥a,a1与b确定的平面α平行于a.假设过b还有一个平面β平行于a,a与点P确定的平面交β于c,a∥c,c∥a1与c与a1交于点P矛盾。从而α惟一。

    7、证明:EFGH为平行四边形image050.gifEF∥GH,GHimage012.gif平面ACD,EFimage014.gif平面ACD image408.gifEF∥AC,EFimage012.gif平面EFGH ,ACimage014.gif平面EFGH image050.gifAC∥平面EFGH

    image410.gif

    image412.gif

    8*、①②image050.gif③,①③image050.gif②真(证明略);②③image050.gif①假,如图

    [教后感想与作业情况]

    1.2.3直线与平面关系(3)???-线面垂直

    【教学目标】

    一、知识与技能:理解直线与平面垂直的概念及相关定义,会用线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直,理解线面垂直的性质定理及点到平面距离的概念

    二、过程与方法:通过演示??说明??练习对重点内容把握,非重点内容采取以不证但提,书上有的内容思考形式出现,培养学生的思维能力

    三、情感态度和价值观:感受直观与数学的严谨性

    【教学难点、重点】线面垂直的证明

    【教学流程】

    一、复习:直线与平面的位置关系有哪些?(相交、平行、在平面内)

    二、但就相交说明有斜交与直交:就垂直通过圆锥演示说明定义(如果一条直线与平面内任意一条直线垂直,则称此直线与平面垂直);通过画法说明相关名称(垂线、垂足(实质为S在α内正投影)、垂面、记作:SO⊥平面α、点到平面的距离)

    image414.gif

    三、思考1:过一点有几条直线与已知平面垂直?

    image416.gif

    设PA⊥α,假设还有一条直线PB⊥α;PA,PB两条相交直线确定一个平面,设为β,交α于a,这样在同一平面β内有两条相交直线PA,PB垂直于a,矛盾

    结论1:过一点有且只有一条直线与一个平面垂直

    思考2:过一点有几个平面与已知直线垂直?(作图说明)

    结论2:过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

    四、思考3:如何判断直线与平面垂直?(通过模型及作图说明)

    image418.gif判定定理1:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于此平面(让学生用符号表示,并注意证明时的条件:m∥n,n⊥αimage050.gifm⊥α)

    判定定理2:如果一条直线与平面内两条相交直线垂直,则此直线与平面垂直

    (让学生用符号表示,并注意证明时的条件:image421.gif)

    例1、求证侧棱都相等底面为正三角形的三棱锥对棱互相垂直

    已知:三棱锥P―ABC中,ABC为正三角形,PA=PB=PC

    求证:PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB

    image423.gif

    分析: PA⊥BCimage425.gifBC垂直于过PA的一个平面,如何找此平面呢?注意到三角形PBC及ABC是等腰三角形,底边BC上的高及中线重合,这样有

    证明:设BC的中点为D,连结PA、PD;∵PB=PC,AB=AC∴PD⊥BC,AD⊥BC;∵AD,PD是平面PAD内两相交直线,∴BC⊥平面PAD;∴PA⊥BC,同理PB⊥AC,PC⊥AB

    练习:求证一个三棱锥中有两组对棱互相垂直,则第三组对棱也互相垂直

    image427.gif

    已知:三棱锥P---ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC

    求证:PC⊥AB

    分析: PC⊥ABimage425.gifAB垂直于过PC的一个平面,过P作PO⊥平面ABC于Oimage425.gifAB⊥平面POC,image425.gifPO⊥AB,AB⊥COimage425.gifO是△ABC的垂心image425.gifAO⊥BC,BO⊥AC

    image429.gif

    BC⊥平面PAO

    image429.gif

    BC⊥PO,BC⊥PA;同理可证BO⊥AC

    五、思考4:垂直于同一平面的两条直线有什么位置关系?

    平行:此称线面垂直的性质定理

    例2、一个平面平行线上任意两点到平面的距离大小有什么关系?相等

    说明:一个平面平行线上任意一点到平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离

    六、思考5:一条直线上有两个点到一个平面的距离相等,则此直线是否与平面平行?不一定

    七、思考6:加上什么条件可以使直线与平面平行?两点在平面同侧

    image432.gif

    image434.gif

    练习1:P34

    练习2:如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一点,且PA=PC.

    求证:AC⊥平面PBD.

    练习3:如图,已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过A点作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC.

    image436.gif

    八、总结,今天主要介绍了以下内容:

    1、一条直线与平面内任意一条直线垂直,叫做这条直线与此平面垂直

    2、直线与平面垂直的判定定理:①如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于此平面;②如果一条直线与平面内两条相交直线垂直,则此直线与平面垂直

    3、几个主要结论:⑴过一点有且只有一条直线与一个平面垂直;⑵过一点有且只有一个平面与已知直线垂直;⑶垂直于同一平面的两条直线平行;⑷一个平面平行线上任意一点到平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离

    九、作业:P37习题5,7,8,10,13补充习题

    补充习题

    1、下列不能够判断直线垂直于平面的命题序号是________

    ①直线与平面内无数条直线成角为直角;②直线垂直于两条异面直线在此平面内的正投影;③l∥α,limage012.gifβ,α∩β=m,m⊥γimage050.gifl⊥γ

    2、如图在△ABC中,AD⊥BC,E为△内一点,过E作FG∥BC,且将△AFG沿FG折起,使∠EA/D=900,则图中与平面A/BC垂直的直线为____________

    image440.gif

    image442.gif

    3、正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间四边形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,则与AH垂直的平面为_________-

    4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下结论:①AB⊥平面BCC1B1;②AC⊥平面CDD1C1;③AC⊥平面BDD1B1.其中正确结论的序号是

    5、有一旗杆高8 m,它的顶端挂一条10m长的绳子,拉紧绳子,并把它的下端放在地面上两点(和旗杆脚不在同一条直线上).如果这两点都和旗杆脚距离等于______时,旗杆和地面垂直

    6、如图已知α∩β=l,AB⊥β于B,AC⊥α于C,CD⊥α于D,求证BD⊥l

    image444.gif

    image446.gif

    7、平行四边形ABCD所在平面外有一点P,且PA=PB=PC=PD,求证:点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB,AD.

    8*、证明直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与平面内两条相交直线垂直,则此直线与平面垂直

    【答案】

    1、①②    2、A/E;    3、平面EFH;   4、①③;  5、6m

    6、证明:image448.gif;image450.gif,同理AC⊥l,AB、AC相交image050.gifl⊥平面ABDC,BDimage012.gif平面ABDCimage050.gifBD⊥l

    7、略

    8*、已知l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a、bimage012.gifα    求证l⊥α

    证明:设c为α内任意一条直线,由于直线可以进行平移,故不妨设l、a、b、c都共点O,

    image456.gif

    l⊥αimage425.gifl⊥c,在α内任意作一条直线交a、b、c分别为A、B、C,在l上任意取一点P,P关于点O的对称点为P/image425.gif∠POC=∠P/OCimage425.gif△POC≌△P/OCimage425.gif                                                                PO=P/O,OC=OC,PC=P/C

    image429.gif

    △PAC≌△P/ACimage425.gifPA=P/A, ∠PAB=∠P/AB ,AC=AC

    image429.gif

    △PAB≌△P/ABimage425.gifPA=P/A,AB=AB,PB=P/B

    [教后感想与作业情况]

    .2.3空间的直线与平面(4)???-射影

    【教学目标】

    一、知识与技能:理解射影的有关概念,掌握直线与平面所成角的概念及求法,了解三垂线结论及应用

    二、过程与方法:通过图形说明基本概念,通过例题说明基本定理,通过思考说明应用,培养空间想象能力

    三、情感态度与价值观:通过类比等方法,体会学习及任何事物发展的的渐进性

    【教学重点】射影、线面成角及三垂线结论

    【教学难点】成角及三垂线的应用

    【教学流程】

    一、情境:比萨斜塔---坐落在意大利西部古城比萨的教堂广场上.1590年意大利物理学家伽利略曾在塔上做了著名的自由落体实验,使比萨斜塔名扬四海.目前,塔顶中心点已偏离垂直中心线4.4米.今天我们借助物理学家伽利略对真理的探求精神一起来研究这座斜塔的倾斜情况.

    问题:如果把斜塔看成斜线,地面看成平面.如何用数学知识来描述斜塔的倾斜程度呢?

    新知探究:

    image465.gif1.斜线的有关概念

    一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线(oblique line);斜线与平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.如图所示.

    2. 如图,过平面外一点P向平面α引斜线和垂线,则过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面α内的正投影(简称射影),线段P1Q就是斜线段在平面α内的射影.

    二、如图,直线l是平面α的一条斜线,斜足为O,a是平面α内任意一条直线,l与a的成角记为β,l与其在α内射影成角记为θ,问β与θ大小关系如何?

    image467.gif

    β≥θ

    角θ(一条直线与它在平面内射影成角称该直线与平面的成角)

    aimage012.gifα及a∥α时,直线与平面成角规定为00;a⊥α时,规定成角为900

    三、思考一:这样直线与平面成角的范围是什么? [00,900]

    image470.gif例1.如图,已知AC,AB分别是平面α的垂线和斜线,C,B分别是垂足和斜足,image472.gif,image474.gif求证:image476.gif.

    分析:∵ABimage012.gif平面ABC∴只要证明image166.gif⊥平面ABC即可.

    证明: ∵AC⊥α,image480.gifα∴image166.gif⊥AC,

    image166.gif⊥BC,且AC,BC交于C, ∴image166.gif⊥平面ABC

    image476.gif.

    思考:反之若image476.gifimage474.gif是否成立?

    例2.已知∠BAC在平面α内,Pimage010.gifα,∠PAB=∠PAC.

    求证:点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.

    image484.gif证明:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC垂足分别为O,E,F,连结OE,OF,OA..

    image486.gif

    image488.gif

    image490.gif

    同理,AC⊥OF.在RtΔAOE和RtΔAOF中,AE=AF,OA=OA,所以RtΔAOE≌RtΔAOF.

    于是∠EAO=∠FAO,因此, 点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.

    思考:你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗?

    image492.gif

    练习:若直角∠ABC的一边BC平行于平面α,另一边AB与平面α斜交于A,求证:∠ABC在平面α上的正投影仍是直角.

    image494.gif(证明:作BB1⊥α,B1为垂足,CC1⊥α,C1为垂足,∠AB1C1为∠ABC在平面α上的投影,则BB1∥CC1由B1C1

    image012.gifα,有B1C1⊥BB1

    image497.gif

    image499.gif

    image501.gif

    B1C1⊥平面ABB1

    image050.gif B1C1⊥AB1, ∠AB1C1=900

    image504.gifimage050.gif∠ABC在平面α上的正投影仍是直角.)

    例3、已知正方体AC1中,求直线AD1、AC1与下底面ABCD成角的正弦值

    image507.gif

    image509.gif解:∵D D1⊥平面AC(或AD1在平面AC内的射影为AD)    ∴∠D1AD为AD1与平面AC的成角,sin∠D1AD=image509.gif

    ∵CC1⊥平面AC(或AC1在平面AC内射影为AC ∴∠C1AC为AC1与平面AC的成角,正弦值为image512.gif

    说明:求线面成角步骤:作出---证出----指出-----求出

    练习:如图,四面体A-BCD的棱长都相等,Q是AD的中点,求CQ与平面DBC所成的角的正切值。(

    image514.gif)

    三、小结:直线与平面所成角的有关概念.

    image516.gif直线与平面所成角的作法及求解的基本方法.

    直线与平面所成的角  范围:

    方法:关键是作垂线,找射影

    步骤:一作、二证、三算

    课上练习:教材P35---练习1、2、3、4

    四、作业教材P38---6.9.12,13,14补充习题

    【补充习题】

    1、正方体ABCD―A1B1C1D1中,E、F分别为A1D1、AA1的中点,则EF与平面AC的成角为__________

    2、平面α的斜线a与平面α成角为θ,则它与平面α内任意直线成角的最大值为____,最小值为___________

    3、线段ABimage012.gifα,AB=a,C、D是α外同侧两点,AC=BD=b,AC⊥α,DE⊥α于E,且BD⊥AB,BD与α成角为300,则CD=_____________

    image519.gif

    image521.gif

    4、直角△ABC的斜边ABimage012.gifα,AC和BC与α的成角分别为300、450,CD是斜边AB上的高,则CD与平面α的成角为________

    5、已知PA、PB、PC与平面α的成角分别为600、450、300,斜足A、B、C共线,PO⊥α于O,AB=BC=10cm,则PO=___________(提示:平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和,由此求出三角形中线的长)

    6、底面为正方形的四棱锥P―ABCD,PD⊥平面AC,PD=DC,E为PC的中点。(1)求证:PA∥平面EDB;

    (2)求EB和平面AC成角的正切值

    7、平面α的斜线l在α内的射影为l/,与平面α内的直线a成角记为∠(l,a),

    l/与直线a成角记为∠(l/,a),

    l与平面α、直线l/成角分别记为∠(l, α)、∠(l,l/)

    (1) 判断∠(l,

    α)与∠(l,l/)什么关系;(2)∠(l,

    a)、∠(l,l/)、∠(l/,a)的余弦值有什么关系? (3)由此得到什么结论,将此结论写出来并记住

    8*、(1)求证正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直。(2)将之改成长方体还是否成立?在什么条件下成立?  (3)一般的直四棱柱(侧棱与底面垂直的四棱柱)呢?

    【答案】

    1、450;   2、900;θ;     3、image524.gif;   4、600;     5、5image526.gif

    6、(1)设BD∩AC=Oimage528.gifPA∥平面EDB

    (2)设DC的中点为H,则EH∥PD,∵PD⊥平面AC∴EH⊥平面AC∴∠EBH为EB与平面AC的成角tan∠EBH=image530.gif=image532.gif

    image534.gif

    image536.gif

    7、(1)相等;(2)设斜足为O,A为l上异于点O的一点,A在平面α内的射影为A/,过A作AB⊥c于B,由三垂线结论,c⊥A/B,则cos∠(l, a)=cos∠AOB=image538.gif,cos∠(l,l/)=cos∠AOA/=image540.gif,cos∠(l/,a)=cos∠A/OB=image542.gif,∴cos∠(l,

    a)=cos∠(l,l/).cos∠(l/,a)

    (3)两条直线成角的余弦值等于直线与其在平面内射影成角的余弦值同射影与第二条直线成角余弦值的乘积

    8*、

    image544.gif(1)BD⊥AC,AC为A1C在平面AC内的射影image050.gifBD⊥A1C;    (2) 不一定成立,那个表面是正方形对那个成立;   (3)只要对角线互相垂直的四边形就可以成立

    [教后感想与作业情况]

    1.2.4空间的平面与平面 (1)----平行

    [教学目标]

    一、知识与技能:

    1、理解并掌握两个平面平行、相交的定义;

    2、会画面面平行或相交的图形,并会用符号表示,进而培养学生的空间想象能力;

    3、掌握面面平行的判定及性质定理,并能用其解决一些简单问题

    二、过程与方法:演示思考→汇总→练习,培养学生的自主学习与探究能力

    三、情感态度和价值观:使学生认识学习方法的多样性,体会汇总的方式与方法,逐步体会寻找适合自己的学习方式与方法

    [教学重点]面面关系,面面平行的判定和性质

    [教学难点] 面面平行的判定和性质的应用,本节是课件

    [教学流程]

    新课导入:

    问题1.前面已经学习和研究了空间中两条直线的位置关系:直线和平面的位置关系,而空间的基本元素是点、线、面,那么还有什么位置关系我们没有研究呢?

    问题2.空间两个平面之间的位置关系有哪些呢?请同学们结合生活的教室,找到空间平面的几种位置关系,并通过与同桌交流,讨论得到.

    (平行与相交)

    空间平面位置关系分类的依据是什么呢?

    新知探究

    1.空间两个平面有几种位置关系?

    问题1.空间两个平面有几种位置关系?

    问题2.如何来定义两个平面相交和平行?

    问题3.若两个平面有公共点,则公共点有几个?这些公共点有什么特点?

    问题4.有没有空间三个平面有且只有一个公共点的情况?若有,请举例说明.

    位置关系

    两平面平行

    两平面相交

    公 共 点

    没有公共点

    有一条公共直线

    符号表示

    α∥β

    α∩β= a

    图形表示

    image546.gif

    image547.gif

    image548.gif

    2.两个平面平行的判定

    (1)根据定义.

    (2)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

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  • 刘亚琼地区: 河南省 - 许昌市 - 襄城县学校:...了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系, 知道平行公理以及平行公理的推论.3.会用符号语方表示平行公理推论, 会用三角尺和直尺过已知直线外...

    刘亚琼

    地区: 河南省 - 许昌市 - 襄城县

    学校:襄城县茨沟乡初级中学 共1课时

    5.2 平行线及其判定 初中数学       人教2011课标版 1教学目标

    1.经历观察教具模式的演示和通过画图等操作,交流归纳与活动,进一步发展空间观念.毛

    2.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系, 知道平行公理以及平行公理的推论.

    3.会用符号语方表示平行公理推论, 会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 2重点难点

    重点:探索和掌握平行公理及其推论.

    难点:对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质. 3教学过程 3.1第一学时教学活动 活动1【讲授】平行线

    一、创设问题情境

    1.复习提问:两条直线相交有几个交点?相交的两条直线有什么特殊的位置关系?

    学生回答后,教师把教具中木条b与c重合在一起,转动木条a确认学生的回答.教师接着问:在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗?

    2.教师演示教具.

    顺时针转动木条b两圈,让学生思考:把a、b 想像成两端可以无限延伸的两条直线,顺时针转动b时,直线b与直线a的交点位置将发生什么变化?在这个过程中, 有没有直线b与c木相交的位置?

    3.教师组织学生交流并形成共识.

    转动b时,直线b与c的交点从在直线a上A点向左边距离A点很远的点逐步接近A点,并垂合于A点,然后交点变为在A点的右边,逐步远离A点.继续转动下去,b与a 的交点就会从A点的左边又转动A点的左边......可以想象一定存在一个直线b的位置,它与直线a左右两旁都没有交点.

    二、平行线定义,表示法

    1.结合演示的结论,师生用数学语言描述平行定义:同一平面内,存在一条直线a与直线b不相交的位置,这时直线a与b互相平行.换言之,同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线.

    直线a与b是平行线,记作"∥",这里"∥"是平行符号.

    教师应强调平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是设有交点的两条直线.

    2.同一平面内,两条直线的位置关系

    教师引导学生从同一平面内,两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系.

    在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交.

    三、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论

    1.在转动教具木条b的过程中,有几个位置能使b与a平行?

    本问题是学生直觉直线b绕直线a外一点B转动时,有并且只有一个位置使a与b平行.

    2.用直线和三角尺画平行线.

    已知:直线a,点B,点C.

    (1)过点B画直线a的平行线,能画几条?

    (2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗?

    3.通过观察画图、归纳平行公理及推论.

    (1)由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.

    (2)在学生充分交流后,教师板书.

    平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

    (3)比较平行公理和垂线的第一条性质.

    共同点:都是"有且只有一条直线",这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.

    不同点:平行公理中所过的"一点"要在已知直线外,两垂线性质中对"一点"没有限制,可在直线上,也可在直线外.

    4.归纳平行公理推论.

    (1)学生直观判定过B点、C点的a的平行线b、c是互相平行.

    (2)从直线b、c产生的过程说明直线b∥直线c.

    (3)学生用三角尺与直尺用平推方验证b∥c.

    (4)师生用数学语言表达这个结论,教师板书.

    结果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.

    结合图形,教师引导学生用符号语言表达平行公理推论:

    如果b∥a,c∥a,那么b∥c.

    (5)简单应用.

    练习:如果多于两条直线,比如三条直线a、b、c与直线L都平行, 那么这三条直线互相平行吗?请说明理由.

    本练习是让学生在反复运用平行公理推论中掌握平行公理推论以及说理规范.

    四、作业

    1.课本P19.7,P20.11.

    2.选用课时作业设计.

    课时作业设计

    一、填空题.

    1.在同一平面内,两条直线的位置关系有_________.

    2.在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________.

    3.同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________.

    4.两条直线相交,交点的个数是________,两条直线平行,交点的个数是_____个.

    二、判断题.

    1.不相交的两条直线叫做平行线.( )

    2.如果一条直线与两条平行线中的一条直线平行, 那么它与另一条直线也互相平行.( )

    3.过一点有且只有一条直线平行于已知直线.( )

    三、解答题.

    1.读下列语句,并画出图形后判断.

    (1)直线a、b互相垂直,点P是直线a、b外一点,过P点的直线c垂直于直线b.

    (2)判断直线a、c的位置关系,并借助于三角尺、直尺验证.

    2.试说明三条直线的交点情况,进而判定在同一平面内三条直线的位置情况.

    5.2 平行线及其判定 课时设计 课堂实录

    5.2 平行线及其判定 1第一学时 教学活动 活动1【讲授】平行线

    一、创设问题情境

    1.复习提问:两条直线相交有几个交点?相交的两条直线有什么特殊的位置关系?

    学生回答后,教师把教具中木条b与c重合在一起,转动木条a确认学生的回答.教师接着问:在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗?

    2.教师演示教具.

    顺时针转动木条b两圈,让学生思考:把a、b 想像成两端可以无限延伸的两条直线,顺时针转动b时,直线b与直线a的交点位置将发生什么变化?在这个过程中, 有没有直线b与c木相交的位置?

    3.教师组织学生交流并形成共识.

    转动b时,直线b与c的交点从在直线a上A点向左边距离A点很远的点逐步接近A点,并垂合于A点,然后交点变为在A点的右边,逐步远离A点.继续转动下去,b与a 的交点就会从A点的左边又转动A点的左边......可以想象一定存在一个直线b的位置,它与直线a左右两旁都没有交点.

    二、平行线定义,表示法

    1.结合演示的结论,师生用数学语言描述平行定义:同一平面内,存在一条直线a与直线b不相交的位置,这时直线a与b互相平行.换言之,同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线.

    直线a与b是平行线,记作"∥",这里"∥"是平行符号.

    教师应强调平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是设有交点的两条直线.

    2.同一平面内,两条直线的位置关系

    教师引导学生从同一平面内,两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系.

    在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交.

    三、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论

    1.在转动教具木条b的过程中,有几个位置能使b与a平行?

    本问题是学生直觉直线b绕直线a外一点B转动时,有并且只有一个位置使a与b平行.

    2.用直线和三角尺画平行线.

    已知:直线a,点B,点C.

    (1)过点B画直线a的平行线,能画几条?

    (2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗?

    3.通过观察画图、归纳平行公理及推论.

    (1)由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.

    (2)在学生充分交流后,教师板书.

    平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

    (3)比较平行公理和垂线的第一条性质.

    共同点:都是"有且只有一条直线",这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.

    不同点:平行公理中所过的"一点"要在已知直线外,两垂线性质中对"一点"没有限制,可在直线上,也可在直线外.

    4.归纳平行公理推论.

    (1)学生直观判定过B点、C点的a的平行线b、c是互相平行.

    (2)从直线b、c产生的过程说明直线b∥直线c.

    (3)学生用三角尺与直尺用平推方验证b∥c.

    (4)师生用数学语言表达这个结论,教师板书.

    结果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.

    结合图形,教师引导学生用符号语言表达平行公理推论:

    如果b∥a,c∥a,那么b∥c.

    (5)简单应用.

    练习:如果多于两条直线,比如三条直线a、b、c与直线L都平行, 那么这三条直线互相平行吗?请说明理由.

    本练习是让学生在反复运用平行公理推论中掌握平行公理推论以及说理规范.

    四、作业

    1.课本P19.7,P20.11.

    2.选用课时作业设计.

    课时作业设计

    一、填空题.

    1.在同一平面内,两条直线的位置关系有_________.

    2.在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________.

    3.同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________.

    4.两条直线相交,交点的个数是________,两条直线平行,交点的个数是_____个.

    二、判断题.

    1.不相交的两条直线叫做平行线.( )

    2.如果一条直线与两条平行线中的一条直线平行, 那么它与另一条直线也互相平行.( )

    3.过一点有且只有一条直线平行于已知直线.( )

    三、解答题.

    1.读下列语句,并画出图形后判断.

    (1)直线a、b互相垂直,点P是直线a、b外一点,过P点的直线c垂直于直线b.

    (2)判断直线a、c的位置关系,并借助于三角尺、直尺验证.

    2.试说明三条直线的交点情况,进而判定在同一平面内三条直线的位置情况.

    Tags:平行线,及其,判定,教学设计,模板

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    python计算两个矩形框重合百分比的实例

    如下所示:

    def mat_inter(box1,box2):

    # 判断两个矩形是否相交

    # box=(xA,yA,xB,yB)

    x01, y01, x02, y02 = box1

    x11, y11, x12, y12 = box2

    lx = abs((x01 + x02) / 2 - (x11 + x12) / 2)

    ly = abs((y01 + y02) / 2 - (y11 + y12) / 2)

    sax = abs(x01 - x02)

    sbx = abs(x11 - x12)

    say = abs(y01 - y02)

    sby = abs(y11 - y12)

    if lx <= (sax + sbx) / 2 and ly <= (say + sby) / 2:

    return True

    else:

    return False

    def solve_coincide(box1,box2):

    # box=(xA,yA,xB,yB)

    # 计算两个矩形框的重合度

    if mat_inter(box1,box2)==True:

    x01, y01, x02, y02 = box1

    x11, y11, x12, y12 = box2

    col=min(x02,x12)-max(x01,x11)

    row=min(y02,y12)-max(y01,y11)

    intersection=col*row

    area1=(x02-x01)*(y02-y01)

    area2=(x12-x11)*(y12-y11)

    coincide=intersection/(area1+area2-intersection)

    return coincide

    else:

    return False

    以上这篇python计算两个矩形框重合百分比的实例就是小编分享给大家的全部内容了,希望能给大家一个参考,也希望大家多多支持我们。

    时间: 2018-11-04

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空空如也

空空如也

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两条直线重合符号

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