矩阵间的关系有三种：等价，相似，合同，前者依次包含后者。
一、定义：
 矩阵等价：对于任意矩阵A，如果存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B，则说A与B等价,记为A~B。
 矩阵相似：对于任意矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得inv(P)AP=B，则说A与B相似，记为A~B。
 矩阵合同：对于任意矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得Transpose(P)AP=B，则说A与B合同。
二、性质：
 等价矩阵：
 a).具有相同的秩；b).具有相同的相似标准型；c).列(行)向量具有相同的相关性；d).任意矩阵都等价于它的标准型
 相似矩阵：
 a).具有相同的特征值；b).具有相同的行列式；c).迹相等；d).具有相同的特征多项式
三、相似对角化
 对于矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得inv(P)AP为对角矩阵，则称A可相似对角化。如果A满足如下条件中的一个，则A可相似对角化：
 a).矩阵A有n个线性无关的特征向量；
 b).矩阵A有n个不相同的特征值；
 c).矩阵A的k重特征值对应有k个特征向量。
**注意：A能否对角化与A是否可逆或A的秩之间没有关系，如A=[2,2;2 2]为实对称矩阵，一定可以对角化，但秩为1，它不可逆。
四、两种重要的特殊矩阵
正交矩阵：定义：transpose(A)*A=A*transpose(A)=I。正交矩阵具有如下的性质：
 a). transpose(A)=inv(A)；
 b). det(A)=1或者det(A)= —1；
 c). 如果A和B都是正交矩阵，则AB和BA都是正交矩阵；
 d). A的行(列)向量组为标准正交向量组。
 e).transpose(A)*A=A*transpose(A)=I
f).正交变换不改变内积，y=Ax，则(y1,y2)=(Ax1,Ax2)=(x1,x2)，因此也就不改变向量的长度和夹角，所以正交变
 换可以保持图形不变。
 对称矩阵：定义：transpose(A)=A。对称矩阵具有如下性质：
 a).如果A和B都是对称矩阵，则A+B为对称矩阵；AB对称的充要条件是AB=BA，即A，
 B可交换；
 b).任意矩阵A,).transpose(A)*A和A*transpose(A)都是对称矩阵；
 c).对于实对称矩阵，有如下特殊性质：
 *特征值全为实数；
 **不同特征值对应得特征向量彼此正交；
 ***一定存在正交矩阵C，使得transpose(C)*A*C=inv(C)*A*C为对角矩阵，且对角元为
 A的特征值，而C的列向量即为A的特征向量。
http://hi.baidu.com/tuenmei/blog/item/637f31326377914dac4b5fae.html

http://support.huawei.com/ecommunity/bbs/10258020.html
 
背景说明： 
 在项目和培训中多次被问题FusionSphere物理CPU和vCPU的对应或分配关系，一个物理CPU能虚拟出多少个vCPU，一个vCPU的主频是多少等问题。设置了CPU预留、份额与限制之后又是什么情况。 
 看过之前的一些讨论，也没有定论，本着实践是检验整理的唯一标准，本文通过实验，并对照相关文档来梳理这些问题，希望能让大家有更清楚的理解。 

1. 系统可用的VCPU总数计算
服务器CPU信息：
 1台R2288H V3，2个CPU， 10 核，超线程为2。总共2x10x2= 40个thread，每个Thread 2.3GHz。 
 Haswell EP CPU 02311CDJ BC1M12CPU X86 series,2300**z,1.8V,64bit,105000mW,Haswell EP Xeon E5-2650 v3,10Core,with heatsink 2 2 
服务器BMC管理界面上查看 CPU信息  

Intel官网看到E5-2650的信息

http://ark.intel.com/products/81705/Intel-Xeon-Processor-E5-2650-v3-25M-Cache-2_30-GHz 
在主机上部署FusionCompute R5C00， 登录CNA主机运行xentop命令查看CPU信息 
 CPUs:40 @ 2294 **z，主频总容量为40 x 2.294 GHz = 91.76 GHz。 
 Domain 0默认配置2个VCPU，占用2 x 2.294 = 4.588 GHz 
 用户可用的主频总容量 = 91.76 - 4.588 = 87.172 GHz 

FC portal上查看CPU信息，总容量87.17GHz正好等于系统总容量减去Domain 0占用的容量。 


结论1： 系统可用的vCPU总数(逻辑处理器) = Socket数（CPU个数）x Core数（内核）x Thread数（超线程） 
 1个VCPU = 1个超线程Thread。如下图： 


CPU QoS 
 如图所示，CPU预留容量为4.59GHz，可用容量为82.58GHz，说明除了VRM01的2个VCPU预留容量4588**z之外的VCPU主频均 是可用的，尽管该环境已创建了7台4 VCPU的VM，还可以创建更多VM，这些VM的VCPU总数可以远远超过当前系统显示可用的38个VCPU。 

 在不对VRM01的VCPU进行限制的情况下，将VCPU份额自定义为128000，显示可使用的CPU数为38，说明如果需要的话VRM01可以占用该主机上的除了Domain 0之外的所有VCPU（Domain 0占用了2个VCPU）。 





2. 虚拟机VCPU的分配与调度 
对虚拟机来说，不直接感知物理CPU，虚拟机的计算单元通过vCPU对象来 呈现。虚拟机只看到VMM呈现给它的vCPU。在VMM中，每个vCPU对应一个VMCS（Virtual-Machine Control Structure）结构，当VCPU被从物理CPU上切换下来的时候，其运行上下文会被保存在其对应的VMCS结构中；当VCPU被切换到PCPU上运 行时，其运行上下文会从对应的VMCS结构中导入到物理CPU上。通过这种方式，实现各vCPU之间的独立运行。 
从虚拟机系统的结构与功能划分可以看出，客户操作系统与虚拟机监视器共同构成了虚拟机系统的两级调度框架，如图所示是一 个多核环境下虚拟机系统的两级调度框架。客户操作系统负责第2 级调度,即线程或进程在vCPU 上的调度（将核心线程映射到相应的VCPU上）。虚拟机监视器负责第1 级调度, 即vCPU在物理处理单元上的调度。两级调度的调度策略和机制不存在依赖关系。vCPU调度器负责物理处理器资源在各个虚拟机之间的分配与调度,本质上即 把各个虚拟机中的vCPU按照一定的策略和机制调度在物理处理单元上可以采用任意的策略来分配物理资源, 满足虚拟机的不同需求。vCPU可以调度在一个或多个物理处理单元执行（分时复用或空间复用物理处理单元）, 也可以与物理处理单元建立一对一固定的映射关系（限制访问指定的物理处理单元）。


3. CPU QoS说明 
Hypervisor 层根据分时复用的原理实现对VCPU的调度，CPU QoS的原理是定期给各VCPU分配运行时间片，并对各VCPU运行的时间进行记账，对于消耗完时间片的虚拟CPU将被限制运行，直到获得时间片。以此控 制虚拟机获得物理计算资源的比例。以上分配时间片和记账的时间周期很短，对虚拟机用户来说会感觉一直在运行。 
CPU预留定义了分配给该VM的最少CPU资源。 
 CPU限制定义了分配虚拟机占用CPU资源的上限。 
 CPU份额定义多个虚拟机在竞争CPU资源的时候按比例分配。 
 CPU份额只在各虚拟机竞争计算资源时发挥作用，如果没有竞争，有需求的虚拟机可以独占主机的物理CPU资源。 
 如果虚拟机根据份额值计算出来的计算能力小于虚拟机预留值，调度算法会优先按照虚拟机预留值分配给虚拟机，对于预留值超出按份额分配的计算资源的部分，调度算法会从主机上其他虚拟机的CPU上按各自的份额比例扣除。 
 如果虚拟机根据份额值计算出来的计算能力大于虚拟机预留值，那么虚拟机的计算能力会以份额值计算为准。 
以一台主频为2800**z的单核物理机为例，如果满负载运行3台单VCPU的虚拟机A、B、C，分配情况如下。 


结论2：由于采用分时复用的方式，在不做VCPU预留的条件下，系统可分配 给VM的VCPU总数远远大于实际可提供的VCPU数目（具体能创建多少额外的VCPU依赖于物理CPU的性能和VCPU的使用情率），在出现资源争用的 时根据CPU QoS中的预留和份额来分配资源。
 
---------------------------------------------
 
云计算vCPU资源计算公式（**z）
http://support.huawei.com/ecommunity/bbs/10254390.html
 
vCPU 资源 = 物理CPU个数 * 物理CPU核数 * 单核线程数 * CPU频率 

 举例：1个CPU，双核，每核2个线程，3.0GHz，那么vCPU资源 = 1 * 2 * 2 * 3.0GHz = 12GHz = 12000**z。 

 FusionCompute发放虚拟机流程中可对CPU资源进行限制，有2个重要参数： 
 份额预留：分配的vCPU资源最小值 
 份额限制：分配的vCPU资源最大值 

 份额预留<=份额限制 

 只有将份额预留选最大值时，vCPU独占1个物理CPU线程 

 举例：创建1台2U2G的虚拟机，份额预留最大值为 2 * 3000**z = 6000**z。 

 虚拟化场景，重载，许多情况下1台虚拟机每vCPU独占1个物理CPU线程。因此，为了云计算工程师快速方便估算物理服务器可承载的虚拟机数量，可认为1个物理CPU线程 = 1个vCPU。 

 举例1：虚拟化场景，10台服务器，每台服务器2路8核2.8GHz的CPU，提供的vCPU个数 = 10 * 2 * 8 * 2 = 320个vCPU，可承载2U2G的虚拟机160个。 

 举例2：虚拟化场景，10台服务器，每台服务器2路8核2.8GHz的CPU，提供的vCPU资源 = 10 * 2 * 8 * 2 * 2.8GHz = 896GHz，可承载2个vCPU 2.8GHz的虚拟机160个。 

 桌面云场景，重载，许多情况下每个物理CPU核可承载5台虚拟机，因此，为了云计算工程师快速方便估算物理服务器的虚拟机密度，可认为 1个物理核 = 5个虚拟机。 

 举例：桌面云场景，10台服务器，每台服务器2路8核2.8GHz的CPU，虚拟机密度 = 10 * 2 * 8 * 5 = 800 个虚拟机。 


 总结： 
 虚拟化场景：1个物理CPU线程 = 1个vCPU 
 桌面云场景：1个物理核 = 5个虚拟机 


 说明：上述场景的计算方法仅供快速估算，准确vCPU个数、虚拟机密度与CPU型号、频率、domain0规格、虚拟机规格强相关，需要进行详细分析和计算。
 
 

背景说明： 
在项目和培训中多次被问题FusionSphere物理CPU和vCPU的对应或分配关系，一个物理CPU能虚拟出多少个vCPU，一个vCPU的主频是多少等问题。设置了CPU预留、份额与限制之后又是什么情况。 
看过之前的一些讨论，也没有定论，本着实践是检验整理的唯一标准，本文通过实验，并对照相关文档来梳理这些问题，希望能让大家有更清楚的理解。 

1. 系统可用的VCPU总数计算 
服务器CPU信息：
1台R2288H V3，2个CPU， 10 核，超线程为2。总共2x10x2= 40个thread，每个Thread 2.3GHz。 
Haswell EP CPU 02311CDJ BC1M12CPU X86 series,2300**z,1.8V,64bit,105000mW,Haswell EP Xeon E5-2650 v3,10Core,with heatsink 2 2 
服务器BMC管理界面上查看 CPU信息  

Intel官网看到E5-2650的信息 

http://ark.intel.com/products/81705/Intel-Xeon-Processor-E5-2650-v3-25M-Cache-2_30-GHz 
在主机上部署FusionCompute R5C00， 登录CNA主机运行xentop命令查看CPU信息 
CPUs:40 @ 2294 **z，主频总容量为40 x 2.294 GHz = 91.76 GHz。 
Domain 0默认配置2个VCPU，占用2 x 2.294 = 4.588 GHz 
用户可用的主频总容量 = 91.76 - 4.588 = 87.172 GHz 

FC portal上查看CPU信息，总容量87.17GHz正好等于系统总容量减去Domain 0占用的容量。 

结论1： 系统可用的vCPU总数(逻辑处理器) = Socket数（CPU个数）x Core数（内核）x Thread数（超线程） 
1个VCPU = 1个超线程Thread。如下图： 


CPU QoS 
如图所示，CPU预留容量为4.59GHz，可用容量为82.58GHz，说明除了VRM01的2个VCPU预留容量4588**z之外的VCPU主频均是可用的，尽管该环境已创建了7台4 VCPU的VM，还可以创建更多VM，这些VM的VCPU总数可以远远超过当前系统显示可用的38个VCPU。 

在不对VRM01的VCPU进行限制的情况下，将VCPU份额自定义为128000，显示可使用的CPU数为38，说明如果需要的话VRM01可以占用该主机上的除了Domain 0之外的所有VCPU（Domain 0占用了2个VCPU）。 




2. 虚拟机VCPU的分配与调度 
对虚拟机来说，不直接感知物理CPU，虚拟机的计算单元通过vCPU对象来呈现。虚拟机只看到VMM呈现给它的vCPU。在VMM中，每个vCPU对应一个VMCS（Virtual-Machine Control Structure）结构，当VCPU被从物理CPU上切换下来的时候，其运行上下文会被保存在其对应的VMCS结构中；当VCPU被切换到PCPU上运行时，其运行上下文会从对应的VMCS结构中导入到物理CPU上。通过这种方式，实现各vCPU之间的独立运行。 
从虚拟机系统的结构与功能划分可以看出，客户操作系统与虚拟机监视器共同构成了虚拟机系统的两级调度框架，如图所示是一个多核环境下虚拟机系统的两级调度框架。客户操作系统负责第2 级调度,即线程或进程在vCPU 上的调度（将核心线程映射到相应的VCPU上）。虚拟机监视器负责第1 级调度, 即vCPU在物理处理单元上的调度。两级调度的调度策略和机制不存在依赖关系。vCPU调度器负责物理处理器资源在各个虚拟机之间的分配与调度,本质上即把各个虚拟机中的vCPU按照一定的策略和机制调度在物理处理单元上可以采用任意的策略来分配物理资源, 满足虚拟机的不同需求。vCPU可以调度在一个或多个物理处理单元执行（分时复用或空间复用物理处理单元）, 也可以与物理处理单元建立一对一固定的映射关系（限制访问指定的物理处理单元）。 


3. CPU QoS说明 
Hypervisor层根据分时复用的原理实现对VCPU的调度，CPU QoS的原理是定期给各VCPU分配运行时间片，并对各VCPU运行的时间进行记账，对于消耗完时间片的虚拟CPU将被限制运行，直到获得时间片。以此控制虚拟机获得物理计算资源的比例。以上分配时间片和记账的时间周期很短，对虚拟机用户来说会感觉一直在运行。 
CPU预留定义了分配给该VM的最少CPU资源。 
CPU限制定义了分配虚拟机占用CPU资源的上限。 
CPU份额定义多个虚拟机在竞争CPU资源的时候按比例分配。 
CPU份额只在各虚拟机竞争计算资源时发挥作用，如果没有竞争，有需求的虚拟机可以独占主机的物理CPU资源。 
如果虚拟机根据份额值计算出来的计算能力小于虚拟机预留值，调度算法会优先按照虚拟机预留值分配给虚拟机，对于预留值超出按份额分配的计算资源的部分，调度算法会从主机上其他虚拟机的CPU上按各自的份额比例扣除。 
如果虚拟机根据份额值计算出来的计算能力大于虚拟机预留值，那么虚拟机的计算能力会以份额值计算为准。 
以一台主频为2800**z的单核物理机为例，如果满负载运行3台单VCPU的虚拟机A、B、C，分配情况如下。 


结论2：由于采用分时复用的方式，在不做VCPU预留的条件下，系统可分配给VM的VCPU总数远远大于实际可提供的VCPU数目（具体能创建多少额外的VCPU依赖于物理CPU的性能和VCPU的使用情率），在出现资源争用的时根据CPU QoS中的预留和份额来分配资源。 

线性子空间（linear subspace）

        线性子空间（又称向量子空间，简称子空间）是线性空间中部分向量组成的线性空间。设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间.

        定义 设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间（或向量子空间），或简称子空间。 [2] 

注：1.V的非空子集W是子空间的充分必要条件是：

                 （1）子集合W的任意两个向量α与β之和α+β仍是W中的向量；

                 （2）域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。

       2.在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。

       3.线性空间V自身与单独一个零向量都是V的线性子空间。这两个特殊的子空间称为V的平凡子空间；除平凡子空间外的线性子空间称为V的非平凡子空间。

1.子空间的交

       线性子空间的交一定是线性子空间。令W1与W2是两个线性子空间，那么子空间的交可定义为W= W1∩W2=(x|x belong to W1 且 x belong to W2) 。若这些子空间公共的唯一向量为零向量，i.e.W={0}，则称子空间W1、W2无交连（disjoint）。

2.子空间的并

       线性子空间的并不一定是线性子空间，直观的理解为两个集合的并，不满足加法的封闭性。只是单纯把每个元素累积起来。

exp:L1=（3,1,0,0,0）(0,2,1,0,0)   L2=(1,1,2,0,0) (0,2,1,0,0)

      则L1∪L2={ (3,1,0,0,0)，(0,2,1,0,0) ，(1,1,2,0,0) ，(0,2,1,0,0) }

3.子空间的和

       线性子空间的和是由各个子空间的一组线性无关的基向量所构成一个空间，是一个线性子空间。其定义可为W=(x1+x2|x1 belong to W1 and x2 belong to W2)称之为W1与W2的和，记为W1+W2。

        在子空间的和运算中，满足交换律与结合律。

       交换律： W1+W2=W2+W1；

       结合律：  (W1+W2)+W3 = W1+(W2+W3)；

       引理：同时可以推导出线性空间维数的关系有

                                              dim W1+dim W2 = dim ( W1+W2 ) +dim(W1∩W2)

exp:假设L1=（3,1,0,0,0）(0,2,1,0,0)   L2=(1,1,2,0,0) (0,2,1,0,0)

       则L1+L2为三维空间，其中子空间的交为一维空间.

       求解方法：把所有子空间的组合所构成的矩阵化为标准阶梯型即可求出线性无关的基向量.

4.子空间的直和

        直和的定义：V的两个子空间W1与W2，如果对a属于W1+W2有 a=a1+a2(a1 belong to W1,a2 belong to W2)是唯一的，则称W1+W2为W1与W2的直和，记W1圈加W2.

        由此可以推出，当W1+W2为W1与W2的直和时，则有dim(W1∩W2) = 0；

        故：dim W1+dim W2 = dim ( W1+W2 )

5.子空间的补空间

        设W是线性空间V的一个线性子空间，那么存在一个子空间U,使得

                                                             V = W 圈加 U

那么称U为W的补子空间。

6.子空间的正交

        若U,W为欧式空间V的线性子空间，对于任意的x属于U与y属于W，都有

                                                             （x，y）=0

则称U与W正交，记U⊥W.

        如果一个向量x与W的任意一个向量正交，则称x与W正交，记x⊥W.

        正交空间的交集为0，且正交空间的和为直和。

 

参考：张祥朝 线性子空间的交、和、直和[0]复旦大学光科学与工程系 2013.5.19

           百度百科