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    引子

    信息是什么?

    在香农的划时代论文发表前,我们对“信息”这个词的含义只有一个模糊的概念。香农针对“信息”给出了一个令人信服的定义,并且说明了如何对信息进行定量计算,并对这个定义给出了数学证明。之后,我们对“信息”的识别、传输、存储、加工等才有了坚实的数学基础;有了坚实的数学基础,才发展出各种工程应用。

    因此,毫不夸张,信息论是计算机科学的基石理论之一。

    信息熵

    香农对信息的定义:信息是不确定性减少的度量。换句话说,“信息”,能减少事物的不确定性;如果一个“信息”对事物不确定性的减少没有任何作用,那么这个“信息”的信息量是0

    我非常喜欢这个定义。它如此简洁美妙、直指本质,简直已经超越数学,向哲学领域进军。香农真是划时代的天才。

    以上只是定性的描述。更伟大的是,香农还给出了定量的计算公式:

    信息熵H(X)= -Σp(x) logp(x)

    其中p(x)是某件事情发生的概率。(这句话相对好理解但不够严谨,更严谨的说法应为p(x)是x的概率质量函数)

    同时香农在论文中给出了证明,为什么信息熵公式应该是对数,应该是这个表达式。

    以下为香农的证明,相对枯燥,对数学不感兴趣的可以跳过这段,直接看后面结论。

    现有一系列随机事件 p1,p2,…,pn的集合,它们发生的概率已知。假设存在一个能反映事件被选择的结果的不确定度的度量 H(p1,p2,…,pn),那么它应该满足下列性质:

    1.H 应该连续于pi;

    2.若所有 pi 相等(都等于 1/n ),则 H应该是 n 的单调递增函数(当可候选的事件数越多,不确定度相应地也越大)

    3.若其中一个选择被分解为两个连续的子选择,那么原始的 H 值应该为分解后的 H 值的加权平均和。图片说明如下:(截图自香农的论文)

    d41da7e94233e4a8de6a4197f0a938ad.png

    H(1/2,1/3,1/6)=H(1/2,1/2)+1/2H(2/3,1/3)

    证明:令 H(1/n,1/n,…,1/n)=A(n)

    根据条件3,从事件集合 s中一次选择 m个事件 sm等价于从 s中选择 m次一个事件:

    A(sm)=mA(s)

    同理,有

    A(tn)=nA(t)

     n 足够大,我们能找到一个 m 满足 sm≤tn<sm+1

    取对数:m/n≤logt/logs≤(m/n+1/n)

    |m/n-logt/logs|<α

    其中α是任意小的数。

     A(n)的单调性:

    A(sm)≤A(tn)≤A(sm+1)

    mA(s) ≤nA(t) ≤(m+1)A(s)

    同时除以 nA(s):

    m/n≤A(t)/ A(s)≤(m/n+1/n)

    |m/n- A(t)/ A(s)|<α

    | A(t)/ A(s)- logt/logs|<2α

    注意到α是任意小的数,因此2α也是任意小的数。

    故A(t)=Klogt

    前面是基于等概率求得的。现在假设我们依然从 n个事件里选取事件,但这次不再是等概率了,第 i个事件被选取的概率为 pi=ni/Σni。再一次使用性质3,将从总共有 Σni中可能的事件集中一次选取 n个事件分解为以概率 pi,…,pn 选取 n 次,且第 i 个被选取后,从 ni中选取是等概率的,那么有:

    KlogΣni=H(p1,…,pn)+KΣpilogni

    H=K[ΣpilogΣni-Σpilogni] = -Kσpilog(ni/Σni)= -Kσpi logpi

    (非等概率的这部分证明其实没有完全看明白,暂时先记到这里吧。)

    至此,得证。

    以上的数学证明,简化一下是这样子的:

    如果我们把信息定义为一个度量H。并且H满足如下性质:

    应该连续于pi;②若所有 pi 相等(都等于 1/n ),则 H应该是 n 的单调递增函数(当可候选的事件数越多,不确定度相应地也越大);③若其中一个选择被分解为两个连续的子选择,那么原始的 H 值应该为分解后的 H 值的加权平均和。

    这些性质是和我们通俗理解上的“信息”是一致的。

    那么,香农就从数学上证明了,这个度量H就必须是香农给出的对数表达形式:H(X)=-Σp(x) logp(x)

    香农公式

    香农信息论首先在通讯领域大放异彩,之后在加密解密、压缩、自然语言识别等多个领域都体现出了巨大价值。

    信息熵是香农信息论中的第一个重要概念,之后还有另一个有名的公式:香农公式。

    下一回,我们再说这个著名的香农公式。

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    香农定理是信息论的主要内容。香农定理实际上是多个定理构成,国内似乎比较常用“香农三定理”的提法,而在国外资料很少这么提.

    信息论和香农定理

    信息论研究信息的量化,存储和传播。最初由克劳德·香农于1948年提出,他在具有里程碑意义的题为《通讯的数学原理》的论文中阐述了信号处理和通信操作(如数据压缩)的基本限制。信息论的基本的应用主题包括无损数据压缩(例如ZIP文件),有损数据压缩(例如MP3和JPEG)和信道编码(例如用于DSL)。

    信息论的一个关键量是“熵”。熵是不确定性的定量描述。例如,掷骰子的可能性。信息论中还讨论的其他一些重要的量包括:互信息、信道容量、误差指数和相对熵等等。

    上图:克劳德·艾尔伍德·香农-1916.4.30-2001.2.24,享年84岁。美国。专业领域:电子工程学和数学。

    香农定理涉及这三个部分:信道编码——主要涉及噪音下模拟信道的信道容量的定理,即香农-哈特利定理(香农-哈特利定理只描述涉及高斯噪音的模拟信道,但还有二进制信道模式的模式的对应定理这里略述)

    信源编码——包含涉及无损编码和有损编码的两个定理;

    信源采样——奈奎斯特-香农采样定理

    但国内资料常说的“香农三定理”是指前两个部分所涉及的的三个定理,下面主要详述这三个定理:

    有噪音的模拟信道编码定理(国外资料一般称“香农-哈特利定理”)

    注意:这个定理在国外资料中才通常被简称为“香农定理”

    这个定理通俗地说,就是首先表明了如果传输信息的信道存在噪音,但是也可以实现信息的传递,然后可以根据带宽等参数计算出信息传递的最大的有效速率。

    这可以通俗地类比我们熟悉的语音通话,虽然在电话里面有很多电流噪音或者环境噪音,但是我们仍然可以听懂对方讲的话。因为我们用语音和语言对信息进行了双重的编码,

    “语音”这种编码可以在大量噪音干扰的情况下仍然能够工作,那是因为我们的声音通常有一个带宽,但噪音往往只是某一个频率的声音,不一定能够覆盖我们嗓音的全频段。因此即便低音或高音被噪音干扰,我们仍然能听到对方在说什么。而另一方面,如果对方听不清楚,我们还可以提高嗓门来提升我们说话的“信噪比”,从而保证对方能够听清楚我们所说的话。

    上图:有噪信道编码定理的计算公式,可以用打电话的例子来解释一下。嗓音越高,噪音越低,嗓音越浑厚(而不是尖利,尖利的嗓音所用的频段要少一点),就越容易被听清楚。[头条·小宇堂]

    可变长无失真信源编码定理(无损编码)

    通俗地说就是我们今天用到的各种无损编码算法——我们现在用的ZIP,RAR压缩,以及APE,FLAC等编码算法都属于无损压缩,采用这些算法可以在不损失原有信息的情况下减少存储这些信息的数据量。

    这个原理通俗点说就像是对一叠纸牌:如果是有序排列的(熵较低),例如A、2、3、4、5、6、7、8、9、J、Q、K,那么就可以用一个很很短的符号,例如“A-K”来记录这个序列所代表的信息(这也说明这个序列所含有的信息很少);

    但如果这叠纸牌是乱序排列的(熵较高),那么就需要更多的符号来记录才能确保序列所传达的信息不丢失。

    如果用前面语音通话的例子来说明的话,就是某人口吃说了很多重复话,诸如:“我我我我对你很很很景景景仰……”,可以无损地编码为“我对你很景仰……”,这就是无损压缩,但完全不损失需要表达的信息(其实也丢失了口吃重复数量的信息,严格地说应该编码成“我4对你很3景3仰……”)。

    有损信源编码定理,又称传输率-扭曲定律

    该定理通俗的解释可以沿用前面语音通话的例子,我们用“语音”的编码方式规避了信道噪音,此外我们还可以用“语言”编码的方式“长话短说”来让对方大概了解我要表达的意思。

    例如:“我对你的景仰,犹如长江之水滔滔不绝,如黄河泛滥一发”这句话,可以压缩成“我好敬仰你”这五个字,如果打电话这么说就省时间和电话费了(例如国际或者星际长途)。但是这个压缩的过程是丢失了信息的,诸如那种“滔滔不绝”和“泛滥一发”的情态和赶脚就没有了。

    所以有损压缩是在设定的一个信息丢失率标准之下来寻找一个满足此要求的算法,香农告诉你你一定找得到,就这么个意思。

    所以,如果你对刚才那句表达景仰的话的“保真率”要求提高一点,可以这么编码:“我对你的景仰犹如长江黄河之水泛滥不绝”。[头条·小宇堂]

    当然要保真,“成本”就高了,就得多花点时间说和更多的电话费。

    上图:无损(上)和有损(下)压缩的差异比较。有损压缩可以有更大的压缩率,但是还原之后损失了信息量。

    总结

    我们用语音通话的例子来通俗地解说香农定理,请特别注意“语音”和“语言”两种编码方式,分别对应香农定理当中的“信道编码”和“信源编码”两个不同的部分。语音是解决传输过程中噪音问题而做的编码(如果是通过心灵感应就没这个需求了);语言编码则可以是有损或者无损压缩的,甚至是不压缩的(就让他结巴吧)。

    香农定理或者说香农的理论对旅行者号深空任务的成功,光盘的发明,手机通讯的可行性,互联网的发展,语言学和人类感知的研究,乃至对黑洞的理解和许多其他领域都有非常深远的影响。

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    标题:Approximate Dynamic Programming for Storage Problems

    和上次读过的那篇论文一样,这篇论文也是从ICML上面下载的,公式较多,读起来也感到很吃力。尽管标题写的是近似动态规划解决存储问题,却并不像背包问题那样易懂,好在大致思想都是一致的(后一个状态的情况取决于前一个状态),在这篇论文中反映的就是那几个递推式。

    下面摘抄几点(还是有很多地方没能看懂):

    1、  storage problems

    A special subclass of multistage stochastic optimization problems

    存储问题也就是多级随机优化问题下的一个子类,这类问题中常见的是判断对一种资源(能源,财产,股票等)该如何持有,以便为现在带来一个稳定的收入或者在以后得到不确定的回报。在每一个时间段内,决策者都需要在当前消耗资源得到的回报与把资源储存起来在未来得到的回报之间进行权衡。

    针对这种问题的解决,通常情况下是建立一棵树列举所有情况(可以预料到树的高度将会以指数形式增加),本文作者提出用近似动态规划的算法: We simulate only T time periods in advance and nonparametrically approximate shape restricted value functions. With the approximations, the problem is then solved via backward recursion.也就是只超前预测T个时间段,得到不带参数的近似受限估值函数,当有了近似后,问题可以通过反向递归求解。

    2、  multistage stochasitc optimization and storage

    A single stage stochastic optimization problem:

    其中x是连续决策变量,f是通用函数,S(ξ)是限制集。由single stage就可以引出T-stage stochastic optimization problem:

     

    考虑到上述这个T-stage的式子过于复杂,可以简化为下面这个式子:

    针对存储问题,一个很明显的特点是 value functions between times t-1 and t are tied together only by a storage variable, Rt, which denotes the amount of a resource in storage at time t.所以式子可以进一步简化为:

    3、  day ahead wind commintment

    这是本文中作者举的一个例子,作者也正是采用近似动态规划算法对这个例子进行了求解。这里不想对此加以详细描述,只是大致说下:

    风能发电场能够产生能源,管理者为了能够保证利益最大化要进行决策,这些决策依赖于以下几个因素(其实也就是需要满足的条件):

    Place a bid(未来24小时电力市场上的价格)

    Generate power(24个小时内产生的风能)

    Distribute power to satisfy commitment(得到的风能可以拿到电力市场上进行交易承诺,或者是存储,再或者就是白白浪费。同时承诺的量可以来自于当天的风能,或者来自之前存储的风能,再或者来自从其他地方购买的能源-风能不济时只能购买别的能源填补缺口)

    Get revenue(利益来自于承诺的量和价格的乘积)

    具体参数如下:

    然后我们针对该问题列出storage problem求解公式:

     

    在解决上述问题时,需要做一些改动。

    做了以上改动后,我们可以把式子变成如下形式(是第2点中的通式非针对本例):

    4、  Dirichlet Process Mixture Models

    上面例子中求解公式有一个ωn(s1,s2)的参数,论文后面介绍这个参数如何求出。这里完全看不懂,只做摘抄了。

    A Dirichlet process mixture model places a prior over the number of observed components, their parameters, and the associations between observed data and components.

    得到的式子如下:

    其中p是一个权重函数,Cj是一个划分集合(generated by K(p) unique parameter values,),Zi代表的就是数据。

     

    小结:这篇论文和上篇论文写作思路差不多,也是讲把一个算法应用到具体问题中进行求解。尽管没能完全看懂,但还是有不少收获,尤其是风能发电场的那个例子,作者先指出约束条件和目的,然后定义其中包含的一系列变量,最后列式求解,思路极其清晰。显然针对大部分问题,都可以通过这种方法转换为一个数学问题,虽然无法保证一定能解出结果,但这已经是很不错的了。最后,感谢冯阳童鞋帮忙打印论文。

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    1.单元格各类型数据读取

    1.1 基本类型

    处理的Excel数据包括字符型数据,数字、日期、公式等。

    下面是单元格类型说明:

    0d4ab8f0c3b3032176762ec604f28b59.png

    2实例

    解析excel中数据,要求转换为文本方式存储

    2.1 写一个excel解析的抽象类

    public abstract class ExcelParser {

    private String fileName;

    private InputStream inputStream;

    private final static String excel2003L = ".xls";//2003- 版本的excel

    private final static String excel2007U = ".xlsx";//2007+ 版本的excel

    protected final static DecimalFormat decimalFormat = new DecimalFormat("0");

    protected final static SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy/MM/dd");

    protected final static String[] columnStr = new String[]{

    "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G", "H", "I", "J", "K", "L", "M", "N", "O", "P", "Q", "R", "S", "T", "U", "V", "W", "X", "Y", "Z"

    };

    protected OrderExcelParser(String fileName, InputStream inputStream) {

    this.fileName = fileName;

    this.inputStream = inputStream;

    }

    protected Workbook getWorkbook() throws Exception {

    try {

    String fileType = fileName.substring(fileName.lastIndexOf("."));

    if (excel2003L.equals(fileType)) {

    return new HSSFWorkbook(inputStream); //2003-

    } else if (excel2007U.equals(fileType)) {

    return new XSSFWorkbook(inputStream); //2007+

    } else {

    throw new Exception();

    }

    } catch (Exception e) {

    throw new Exception("解析的文件格式有误!");

    }

    }

    protected abstract void parseTitles(int rowIndex) throws Exception;

    protected String getCellStringValue(Cell cell) throws Exception {

    String cellValue = "";

    if (cell == null) {

    return cellValue;

    } else if (cell.getCellType() == Cell.CELL_TYPE_STRING) {

    cellValue = cell.getStringCellValue();

    } else if (cell.getCellType() == Cell.CELL_TYPE_NUMERIC) {

    if (HSSFDateUtil.isCellDateFormatted(cell)) {

    double d = cell.getNumericCellValue();

    Date date = HSSFDateUtil.getJavaDate(d);

    cellValue = simpleDateFormat.format(date);

    } else {

    cellValue = decimalFormat.format((cell.getNumericCellValue()));

    }

    } else if (cell.getCellType() == Cell.CELL_TYPE_BLANK) {

    cellValue = "";

    } else if (cell.getCellType() == Cell.CELL_TYPE_BOOLEAN) {

    cellValue = String.valueOf(cell.getBooleanCellValue());

    } else if (cell.getCellType() == Cell.CELL_TYPE_ERROR) {

    cellValue = "";

    } else if (cell.getCellType() == Cell.CELL_TYPE_FORMULA) {

    cellValue = cell.getCellFormula();

    }

    return cellValue.trim();

    }

    }

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空空如也

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