作者：xdedzl

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以下是原文，我把格式整理一下，方便大家理解阅读

1. 2D空间的直线相交

在二维空间中，利用两个直线方程 我们可以直接计算出交点，但是这种方法麻烦了些，并且套用到三维空间用公式就更麻烦了，接下来介绍的是如何利用向量叉乘求出直线交点。并且由于利用叉乘最后可以的到一个比例值，这个值的大小还可以判断四个点所得到的两个线段是延长线相交还是线段相交。

2. 向量叉乘

三维空间中，两个向量叉乘得到的是一个垂直于两向量组成的平面的向量，方向可利用右手螺旋法则获取，这一点百度谷歌一搜一大把，不细说了大小可由下面的公式得到，注意和点乘的区别。

向量叉乘的几何意义是得到一个三角形的有向面积，如下图所示，向量 和 叉乘的到的向量大小的二分之一就等于三角形 的面积

有了以上基础，我们就可以开始计算三维空间中的直线交点了 

3. 三维空间中的两直线交点 

下图 CE 和 AB 是平行线且长度相等。

首先确定两条直线是否平行，利用向量点乘结果是否等于 0 来判断，等于 0 垂直，等于 1 则平行。

接着我们需要确定两条直线在一个平面内，否则无论如何也无法相交，这个用向量叉乘来判断，即判断  和  叉乘得到的向量是否垂直于 。

然后明确一个目标，在四个点 ABCD 已知的情况下，求交点 O 我们只需要知道  就可以了。通过观察发现， 的面积比  的面积等于线段 AO 和 AB 的比值，我们来证明一下，步骤很简单。

证明 ： 

和  相似
；
CE = AB  所以等式成立。

问题转化成要计算两个三角形的面积，那么我们只需要 ， 和  就可以了，开始写代码

4.代码实现 

利用叉乘求交点少了很多 if / else 的判断，并且可以做到二维和三维的通用，传递参数的时候只要将所有点和向量 y 轴的值设为 0 就可以当作二维来使用了。

利用代码中得到的比例值 num2 的大小还可以判断是延长线相交还是线段相交

注意下述方法所传入的参数是两个点和两个方向，可以改写成传入四个点。

        /// <summary>
        /// 判断线与线之间的相交
        /// </summary>
        /// <param name="intersection">交点</param>
        /// <param name="p1">直线1上一点</param>
        /// <param name="v1">直线1方向</param>
        /// <param name="p2">直线2上一点</param>
        /// <param name="v2">直线2方向</param>
        /// <returns>是否相交</returns>
        public static bool LineLineIntersection(out Vector3 intersection, Vector3 p1, Vector3 v1, Vector3 p2, Vector3 v2)
        {
            intersection = Vector3.zero;
            if (Vector3.Dot(v1, v2) == 1)
            {
                // 两线平行
                return false;
            }
 
            Vector3 startPointSeg = p2 - p1;
            Vector3 vecS1 = Vector3.Cross(v1, v2);            // 有向面积1
            Vector3 vecS2 = Vector3.Cross(startPointSeg, v2); // 有向面积2
            float num = Vector3.Dot(startPointSeg, vecS1);
 
            // 打开可以在场景中观察向量
            //Debug.DrawLine(p1, p1 + v1, Color.white, 20000);
            //Debug.DrawLine(p2, p2 + v2, Color.black, 20000);
 
            //Debug.DrawLine(p1, p1 + startPointSeg, Color.red, 20000);
            //Debug.DrawLine(p1, p1 + vecS1, Color.blue, 20000);
            //Debug.DrawLine(p1, p1 + vecS2, Color.yellow, 20000);
 
            // 判断两这直线是否共面
            if (num >= 1E-05f || num <= -1E-05f)
            {
                return false;
            }
 
            // 有向面积比值，利用点乘是因为结果可能是正数或者负数
            float num2 = Vector3.Dot(vecS2, vecS1) / vecS1.sqrMagnitude;
 
            intersection = p1 + v1 * num2;
            return true;
        }

根据原作者的实现， 0<= num2<=1时，交点在线段上； 否则，在延长线上

叉乘(向量的外积)是物理里面常常用到的概念, 它是由两个向量得到一个新的向量的运算。一般我们都是从几何意义下手: 向量\(\vec a\)和\(\vec b\)叉乘, 得到一个垂直于\(\vec a\)和\(\vec b\)的向量\(\vec a \times \vec b\), 它的方向由右手螺旋法则确定, 它的长度是\(\vec a\)和\(\vec b\)张开的平行四边形的面积:
\[| \vec a \times \vec b | = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \theta\]
其中\(\theta\)是\(\vec a\)和\(\vec b\)的夹角.

叉乘满足的基本的性质如下:

1. \(\vec a \times \vec a = \vec0\), 因为夹角是0, 所以平行四边形面积也是0, 即叉积长度为0
2. \(\vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a)\), 等式两边的叉积等大反向, 模长因为平行四边形不变而相同, 方向因为右手法则旋转方向相反而相反
3. \((\lambda \vec a)\times b = \lambda (\vec a \times \vec b)\), 这点比较好想, 因为: ①正数\(\lambda\)数量乘不会影响\(\vec a\)的方向, 所以左右的叉积方向一样; 负数\(\lambda\)使得\(\vec a\)反向了, 但也使得左右叉积方向相反. ②对\(\vec a\)进行缩放, 平行四边形面积也同等缩放.
4. \((\vec a+\vec b) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c\), 这种分配率是以前最难想象的了.

上述3. 4.两点结合起来, 说明叉乘具有一种线性性质, 再结合2.就是双线性了(同时对左右具有线性性质). 一直以来我都想找到性质4. 的一种几何证明, 可它就像一个过不去的坎, 挡住了我追求完美的心.

每次想到性质4., 都会去想象空间中一点出发的三个随机向量, 然后又叉乘出两个新向量, 一共5个向量, 甚至画图都很难. 这个问题一直持续了很久, 后来某天突然想到, 可以固定一个向量, 剩余的工作在二维投影面完成啊~

结论4的证明

这里证明4.的等价结论: \(\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c\). 如下图所示, 把向量\(\vec b\)和\(\vec c\)按照向量\(\vec a\)的负方向, 投影到与\(\vec a\)垂直的平面S.

这里先要说明, 向量\(\vec a\)和\(\vec b\)的叉乘, 等于和\(\vec b\)的投影\(\vec b \,'\)的叉乘:
\[ \vec a \times \vec b = \vec a \times \vec b \, ' \]
这个结论很好想象, 这种投影其实是把\(\vec b\)掰成与\(\vec a\)垂直的等价部分: 叉乘方向不会变, 并且平行四边形面积不变(底乘高,高没变).

那么这就好说了, 直接在投影面分析:

1. \(\vec a \times \vec b\)就是\(\vec b \,'\)逆时针旋转90度, 并且伸缩\(|\vec a|\)(蓝色的向量)
2. \(\vec a \times \vec c\)就是\(\vec c\,'\)逆时针旋转90度, 并且伸缩\(|\vec a|\)(绿色的向量)
3. \(\vec a \times (\vec b +\vec c)​\)就是\(\vec b\,'+\vec c\,'​\)逆时针旋转90度, 并且伸缩\(|\vec a|​\)(红色的向量)

换句话说, 两个平行四边形是相似的. 在左边那个平行四边形里, 我们得到了结论
\[ \vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec b. \]

几何证明以后...

所有性质得到几何理解以后, 就感觉整个理论都通畅很多呢...

比如就可以分析, 解析几何下怎么计算叉乘:
\[ {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={}&(u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} )\times (v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} )\\={}&u_{1}v_{1}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+u_{1}v_{2}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+u_{1}v_{3}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+{}\\&u_{2}v_{1}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+u_{2}v_{2}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+u_{2}v_{3}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+{}\\&u_{3}v_{1}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+u_{3}v_{2}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+u_{3}v_{3}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} )\\\end{aligned}} \]
就是说, 利用前面的分配率, 我们就能够将坐标形式的叉乘归结为基底的叉乘! 对于基底, 我们按照最开始的叉乘定义可以求出他们的值(右手坐标系下):
\[ \mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} \]
\[ \left\{ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} \times \mathbf {j} &=\mathbf {k} \\\mathbf {j} \times \mathbf {k} &=\mathbf {i} \\\mathbf {k} \times \mathbf {i} &=\mathbf {j} \end{aligned}}} \right. \quad\quad \left\{ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j\times i} &=-\mathbf {k} \\\mathbf {k\times j} &=-\mathbf {i} \\\mathbf {i\times k} &=-\mathbf {j} \end{aligned}}} \right. \]
最后就是熟悉的形式:
\[ {\displaystyle {\begin{aligned} \mathbf {u\times v} &=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} \\ &={\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} \\ &={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}} \end{aligned}}} \]

这里再放一张维基百科的图:

维基百科里还有更多性质的介绍和证明:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product

1.2D空间的直线相交

在二维空间中，利用两个直线方程y = kx + b我们可以直接计算出交点，但是这种方法麻烦了些，并且套用到三维空间用公式就更麻烦了，接下来介绍的是如何利用向量叉乘求出直线交点。并且由于利用叉乘最后可以的到一个比例值，这个值的大小还可以判断四个点所得到的两个线段是延长线相交还是线段相交。

2.向量叉乘

三维空间中，两个向量叉乘得到的是一个垂直于两向量组成的平面的向量，方向可利用右手螺旋法则获取，这一点百度谷歌一搜一大把，不细说了大小可由下面的公式得到，注意和点乘的区别。

向量叉乘的几何意义是得到一个三角形的有向面积，如下图所示，向量OA和OB叉乘的到的向量大小的二分之一就等于三角形OAB的面积

有了以上基础，我们就可以开始计算三维空间中的直线交点了 

3.三维空间中的两直线交点 

下图CE和AB是平行线且长度相等。

首先确定两条直线是否平行，利用向量点乘结果是否等于0来判断，等于0垂直，等于1则平行。

接着我们需要确定两条直线在一个平面内，否则无论如何也无法相交，这个用向量叉乘来判断，即判断向量CA和向量AB叉乘得到的向量是否垂直于向量CD。

然后明确一个目标，在四个点ABCD已知的情况下，求交点O我们只需要知道CO/CD就可以了。通过观察发现，三角形ACD的面积比三角形CDE的面积等于线段CO和CD的比值，我们来证明一下，步骤很简单。

证明 ：S三角形ACD/S三角形CDE  =  AO比AB

三角形AFO和三角形EGC相似
AF / EG = AO/CE；
CE = AB  所以等式成立

问题转化成要计算两个三角形的面积，那么我们只需要  向量AB，CD和CA就可以了，开始写代码

3.代码实现 

利用叉乘求交点少了很多if else的判断，并且可以做到二维和三维的通用，传递参数的时候只要将所有点和向量y轴的值设为0就可以当作二维来使用了。

利用代码中得到的比例值num2的大小还可以判断是延长线相交还是线段相交

注意下述方法所传入的参数是两个点和两个方向，可以改写成传入四个点。

        /// <summary>
        /// 判断线与线之间的相交
        /// </summary>
        /// <param name="intersection">交点</param>
        /// <param name="p1">直线1上一点</param>
        /// <param name="v1">直线1方向</param>
        /// <param name="p2">直线2上一点</param>
        /// <param name="v2">直线2方向</param>
        /// <returns>是否相交</returns>
        public static bool LineLineIntersection(out Vector3 intersection, Vector3 p1, Vector3 v1, Vector3 p2, Vector3 v2)
        {
            intersection = Vector3.zero;
            if (Vector3.Dot(v1, v2) == 1)
            {
                // 两线平行
                return false;
            }

            Vector3 startPointSeg = p2 - p1;
            Vector3 vecS1 = Vector3.Cross(v1, v2);            // 有向面积1
            Vector3 vecS2 = Vector3.Cross(startPointSeg, v2); // 有向面积2
            float num = Vector3.Dot(startPointSeg, vecS1);

            // 打开可以在场景中观察向量
            //Debug.DrawLine(p1, p1 + v1, Color.white, 20000);
            //Debug.DrawLine(p2, p2 + v2, Color.black, 20000);

            //Debug.DrawLine(p1, p1 + startPointSeg, Color.red, 20000);
            //Debug.DrawLine(p1, p1 + vecS1, Color.blue, 20000);
            //Debug.DrawLine(p1, p1 + vecS2, Color.yellow, 20000);

            // 判断两这直线是否共面
            if (num >= 1E-05f || num <= -1E-05f)
            {
                return false;
            }

            // 有向面积比值，利用点乘是因为结果可能是正数或者负数
            float num2 = Vector3.Dot(vecS2, vecS1) / vecS1.sqrMagnitude;

            intersection = p1 + v1 * num2;
            return true;
        }