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  • 推导前置:点之间距离公式 图一: 已知AB点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)。 过A做一直线与X轴平行,过B做一直线与Y轴平行,两直线交点为C。 则AC垂直于BC(因为X轴垂直于Y轴) 则三角形ACB为直角三角形 由勾股...

    推导前置:两点之间距离公式

    图一:
    在这里插入图片描述
    已知AB两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)。
    过A做一直线与X轴平行,过B做一直线与Y轴平行,两直线交点为C。
    则AC垂直于BC(因为X轴垂直于Y轴)
    则三角形ACB为直角三角形
    由勾股定理得
    A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2 AB2=AC2+BC2

    A B = A C 2 + B C 2 AB=\sqrt{AC^2+BC^2} AB=AC2+BC2

    已知直线方程:

    一般式
    A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0
    点斜式
    ( y 1 − y 2 ) ( x 1 − x 2 ) = k \frac{(y1-y2)}{(x1-x2)}=k (x1x2)(y1y2)=k

    过P(x0,y0)作直线L的垂线Li,垂足为D(x,y),p(x0,y0)到D(x,y)的距离为d
    在这里插入图片描述

    由一般式直线方程可知,直线L的斜率为:-
    k = − A B k=-\frac{A}{B} k=BA

    由于两线垂直斜率乘积为-1,所以垂线Li的斜率为:
    k i = B A ki=\frac{B}{A} ki=AB

    代入点斜式直线方程:

    y 0 − y x 0 − x = B A \frac{y0-y}{x0-x}=\frac{B}{A} x0xy0y=AB

    即得到直线方程二:
    B x − A y + A y 0 − B x 0 = 0 Bx-Ay+Ay0-Bx0=0 BxAy+Ay0Bx0=0

    通过一般式可知:
    x = − ( c + B y ) A x=\frac{-(c+By)}{A} x=A(c+By)

    y = − ( c + A x ) B y=\frac{-(c+Ax)}{B} y=B(c+Ax)

    代入直线方程二

    B x + A C + A 2 ∗ x B + A y 0 − B x 0 = 0 Bx+\frac{AC+A^2*x}{B}+Ay0-Bx0=0 Bx+BAC+A2x+Ay0Bx0=0

    计算得到D(x,y)的坐标为:

    x = B 2 ∗ x 0 − A B y 0 − A C B 2 + A 2 x=\frac{B^2*x0-ABy0-AC}{B^2+A^2} x=B2+A2B2x0ABy0AC

    y = A 2 ∗ y 0 − A B x 0 − B C B 2 + A 2 y=\frac{A^2*y0-ABx0-BC}{B^2+A^2} y=B2+A2A2y0ABx0BC

    x − x 0 = − A ( A x 0 + B y 0 + C ) B 2 + A 2 x-x0=\frac{-A(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2} xx0=B2+A2A(Ax0+By0+C)

    y − y 0 = − B ( A x 0 + B y 0 + C ) B 2 + A 2 y-y0=\frac{-B(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2} yy0=B2+A2B(Ax0+By0+C)

    根据推导前置图一勾股定理可知:

    d 2 = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 d^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2 d2=(xx0)2+(yy0)2

    所以代入x-x0,y-y0得到:
    d 2 = ( − A ( A x 0 + B y 0 + C ) ( B 2 + A 2 ) ) 2 + ( − B ( A x 0 + B y 0 + C ) ( B 2 + A 2 ) ) 2 d^2=\frac{(-A(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2))^2}+\frac{(-B(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2))^2} d2=(B2+A2))2(A(Ax0+By0+C)+(B2+A2))2(B(Ax0+By0+C)

    d 2 = A 2 ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 + B 2 ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 d^2=\frac{A^2(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2}+\frac{B^2(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2} d2=(B2+A2)2A2(Ax0+By0+C)2+(B2+A2)2B2(Ax0+By0+C)2

    d 2 = ( A 2 + + B 2 ) ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 d^2=\frac{(A^2++B^2)(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2} d2=(B2+A2)2(A2++B2)(Ax0+By0+C)2

    d 2 = ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) d^2=\frac{(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)} d2=(B2+A2)(Ax0+By0+C)2

    得出点到直线距离公式为:

    d = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 d=\frac{|Ax0+By0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} d=A2+B2 Ax0+By0+C

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  • 点到直线距离公式推导

    千次阅读 2020-02-13 18:16:12
    今天在 PPT 里看到一个点到超平面的距离公式,看了半天没看懂为什么这样算,遂去问学霸,答曰“平面情况下就是点到直线距离公式”。本文地址:blog.lucien.ink/archives/495

    点到直线的距离公式推导

    本文地址:blog.lucien.ink/archives/495

    摘自 点到直线距离公式的几种推导 - 三横先生的文章 - 知乎 的三角形面积法,稍作修改并更正书写错误。

    起因

    今天在 PPT 里看到一个点到超平面的距离公式 d = 1 ∥ w ∥ ∣ w ⋅ x 0 + b ∣ d = \frac{ 1 }{ \left\| \boldsymbol w \right\| }| \boldsymbol w \cdot \boldsymbol x_0 + \boldsymbol b | d=w1wx0+b,看了半天没看懂为什么这样算,遂去问学霸,答曰“平面情况下就是点到直线的距离公式”。

    万分惭愧,我连初中数学都忘了。

    三角形面积法

    图片来自知乎

    直线 l l l 方程为 A x + B y + C = 0 Ax + By + C = 0 Ax+By+C=0 A A A B B B 均不为 0 0 0,点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0),设点 P P P l l l 的距离为 d d d

    设点 R ( x R , y 0 ) R(x_R, y_0) R(xR,y0),点 S ( x 0 , y S ) S(x_0, y_S) S(x0,yS)

    R , S R, S R,S 在直线 l l l 上,得到

    A x R + B y 0 + C = 0 Ax_R + By_0 + C = 0 AxR+By0+C=0 A x 0 + B y S + C = 0 Ax_0 + By_S + C = 0 Ax0+ByS+C=0

    所以

    x R = − B y 0 − C A x_R = \frac{ -By_0 - C }{ A } xR=ABy0C y S = − A x 0 − C B y_S = \frac{ -Ax_0 - C }{ B } yS=BAx0C

    ∣ P R ∣ = ∣ x 0 − x R ∣ = ∣ x 0 − − B y 0 − C A ∣ = ∣ A x 0 + B y 0 + C A ∣ | PR | = | x_0 - x_R | = | x_0 - \frac{ -By_0 - C }{ A } | = | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ A } | PR=x0xR=x0ABy0C=AAx0+By0+C ∣ P S ∣ = ∣ y 0 − y S ∣ = ∣ y 0 − − A x 0 − C B ∣ = ∣ A x 0 + B y 0 + C B ∣ | PS | = | y_0 - y_S | = | y_0 - \frac{ -Ax_0 - C }{ B } | = | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ B } | PS=y0yS=y0BAx0C=BAx0+By0+C

    于是

    ∣ R S ∣ = P R 2 + P S 2 = A 2 + B 2 A B ⋅ ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ | RS | = \sqrt{ { PR }^2 + { PS }^2 } = \frac{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }{ AB } \cdot | Ax_0 + By_0 + C | RS=PR2+PS2 =ABA2+B2 Ax0+By0+C

    Δ P S R \Delta_{PSR} ΔPSR

    d ⋅ ∣ R S ∣ = ∣ P R ∣ ⋅ ∣ P S ∣ d \cdot | RS | = | PR | \cdot | PS | dRS=PRPS

    d = ∣ P R ∣ ⋅ ∣ P S ∣ ∣ R S ∣ = ∣ A x 0 + B y 0 + C A ∣ ⋅ ∣ A x 0 + B y 0 + C B ∣ A 2 + B 2 A B ⋅ ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 d = \frac{ | PR | \cdot | PS | }{ | RS | } = \frac{ | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ A } | \cdot | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ B } | }{ \frac{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }{ AB } \cdot | Ax_0 + By_0 + C | } = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } d=RSPRPS=ABA2+B2 Ax0+By0+CAAx0+By0+CBAx0+By0+C=A2+B2 Ax0+By0+C

    另一种形式

    设函数 f ( x , y ) = A x + B y + C f(x, y) = Ax + By + C f(x,y)=Ax+By+C,直线 l : A x + B y + C = 0 l: Ax + By + C = 0 l:Ax+By+C=0 的法向量为 v ( A , B ) \boldsymbol v(A, B) v(A,B)

    则点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0) 到直线 l l l 的距离 d d d

    d = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 = f ( x 0 , y 0 ) ∥ v ∥ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } = \frac{ f(x_0, y_0) }{ \left\| \boldsymbol v \right\| } d=A2+B2 Ax0+By0+C=vf(x0,y0)

    注: ∥ v ∥ \left\| \boldsymbol v \right\| v 为向量 v \boldsymbol v v 的 2-范数

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  • 空间直线间距离公式(文档篇)....第一篇38高等数学研究 Vo.l9,No.2STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMar.,2006点到空间直线距离公式种简洁证明王 焕(西北大学数学系 西安 710069)*摘 要 对空间中任意一点P(x0,y0,z...

    空间两直线间距离公式(文档篇).doc

    空间两直线间距离公式(文档8篇)

    以下是网友分享的关于空间两直线间距离公式的资料8篇,希望对您有所帮助,就爱阅读感谢您的支持。

    第一篇

    38

    高等数学研究 Vo.l9,No.2

    STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMar.,2006

    点到空间直线距离公式的两种简洁证明

    王 焕

    (西北大学数学系 西安 710069)

    *

    摘 要 对空间中任意一点P(x0,y0,z0)到直线l:(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n1

    →→

    1 A1x+B1y+C1z+D1=0

    的距离公式:d=

    2 A2x+B2y+C2z+D2=0

    n1 n2

    ,介绍另两种过程简洁并且几何意义明显的证明

    关键词 距离;外接圆直径;二重矢量积公式 中图分类号 O172

    文[1]中利用求条件极值的拉格朗日乘数法,给出空间中点P(x0,y0,z0)到直线

    l:

    的距离公式

    d=

    1 A1x+B1y+C1z+D1=0 2 A2x+B2y+C2z+D2=0

    →→

    (1)

    (A1x

    0+B1y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n1

    n1 n2

    (2)

    其中ni=(Ai,Bi,Ci),i=1,2,并作了证明.使用该公式求P点到直线l的距离时,不需要预先求出直线l上的任何点.本文试图对公式(2)介绍另两种过程简洁并且几何意义明显的证明.

    如图,平面 1, 2相交于直线l,点P(x0,y0,z0)到 1, 1,l的射影分别为A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则点P到l的距离d=.

    证法1 由题设和作图易知:P,A,B,C四点共圆,线段PC就是 PAB外接圆的直径,由正弦定理得

    d=2R==x2=x0+tA2

    n1n2=→→

    sin APBn1 n2x1=x0+sA1

    (3)

    令=tn2=sn1y2=y0+tB2,,y1=y0+sB1,以及直线方程(1)易得

    z2=z0+tC2z1=z0+sC1

    A2x0+B2y0+C2z0+D2A1x0+B1y0+C1z0+D1

    t=-s=-222222A2+B2+C2A1+B1+C1

    从而

    第9卷第2期 王 焕:点到空间直线距离公式的两种简洁证明

    39

    AB

    2

    =AB=(PB-PA)=

    2

    2

    2

    2

    2

    (tn2-sn1)=tn2+sn1-2tsn1n2=

    (A1x0+B1

    y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n(A1+B1+C1)(A2+B2+C2)

    因而n1n2=(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n1,代入(3)式即得(2)式.

    证法2 设Q是直线l上任意一点,取直线l的方向为=n1 n2则由矢量积的几何意义得 n1 n2

    不妨就取Q点位于C点处,则由三个矢量的二重矢量积公式可得

    d=

    由题设和作图易知

    d=

    =

    n1 n2 (4)

    =

    n1 n2

    n1 n2

    =

    (n1 PC)n2-(n2 PC)n1

    →→→→→→

    n1 n2

    (5)

    n1 PC=n1 PA=-(A1x0+B1y0+C1z0+D1)

    n2 PC=n2 PB=-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)

    代入(5)式即得(2)式.

    参考文献

    [1]高遵海.点到空间直线距离的一个公式.高等数学研究.2005.(8)2,4-5

    →→→

    (6)

    (上接第37页)6 函数fx,y)在点(x0,y0)偏导数存在,但不一定可微

    (x,y) (0,0),例6 讨论f(x,y)=在点(0,0)处的可导性及可微性+y

    0,(x,y)=(0,0)

    解 由xlim=0,得f ,0)=0.同理f ,0)=0,故函数f(x,y)在点(0,0)x(0y(0→0x处的各偏导数存在.

    z-fx(0,0) x-fy(0,0) y但由于 lim=lim=lim不存在,所以→0 x→0x→0( x)+( y) y→0( x)+( y) y→0

    z-fx(0

    ,0) x-fy(0,0) y 0( ),( →0),故f(x,y)在点(0,0)处不可微.综上讨论,二元函数在一点处有极限、连续、偏导数存在以及可微等性质之间的相互关系与一元函数的有关性质有相似之处,亦有许多不同之处.搞清二元函数的上述几个概念及其相互关系,是学好多元函数微积分的基础.

    一元函数与多元函数性质的关系图

    多元函数:一元函数:

    参考文献

    [1]朱时.数学分析扎记.贵州省教育出版社.

    [..

    第二篇

    空间两点间的距离公式

    海南中学 陈封军

    一、教学任务分析

    (1)通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。

    (2)通过推导和应用空间两点间的距

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  • 摘要:本文将介绍几种推导点到直线距离公式的方法。本文默认情况下,直线的方程为,A,B均不为0,斜率为,点的坐标为P(x0,y0),点到的距离为。推导一(面积法):如上图所示,设,,由R,S在直线上,得到:,,所以...

    摘要:本文将介绍几种推导点到直线的距离公式的方法。

    本文默认情况下,直线的方程为

    ,A,B均不为0,斜率为

    ,点的坐标为P(x0,y0),点

    的距离为

    推导一(面积法):

    如上图所示,设

    ,由R,S在直线

    上,得到:

    所以:

    所以:

    于是:

    所以从三角形面积公式知:

    从而有:

    推导二(三角函数斜率法):

    如上图所示,直线的倾角为α,同推导一,

    又有

    及三角函数公式

    代入消去α,便有:

    推导三(求点法):

    如上图所示:因为

    ,所以

    所以直线PQ方程为:

    联立

    求出Q点的坐标为

    所以:

    推导四(造圆切线法):

    如上图所示,以点P为圆心,作圆与直线

    相切,则此圆的方程为:

    联立直线方程

    消去y得:

    由相切的条件知:

    即:

    解得:

    推导五(函数极值法):

    如上图所示,该问题可以转化为求直线

    上一动点Q,使得PQ的距离最短,当然我们已经知道d是最短的,这样,问题就变为了一个二元函数的条件极值问题,函数为:

    ,d就是函数,条件就是

    ,求最小值,由于距离始终大于0,我们考虑根号里面的二元二次函数极值问题,我们采用拉格朗日乘数法。

    所以

    解得:

    代入函数中,即得:

    推导六(对称求点法):

    如上图所示,设

    关于直线

    的对称点,于是有:

    解得:

    所以:

    推导七(求高法):

    如上图所示,由直线方程可求得R、S的坐标,即

    ,于是三角形ROS的面积为:

    所以:

    所以:

    推导八(相似三角形法):

    如图所示,

    ,于是

    ,于是

    由直线分线段比公式(三横先生:定比分点公式及定理)可得:

    所以

    总结:平面解析几何主要的研究对象是直线与圆锥曲线,而平面几何主要的对象是直线以及由线段组成的几何图形,因此在解析几何的问题中,往往使用平面几何的知识就能带来更加简洁的过程,同时,我们可以发现,即便是一个简单的问题,也会有许多不同的办法,每一种办法都是一个知识点的应用,善于发现并比较这些方法,会更让我们的思维开阔,创新就是这么来的!

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  • 点到直线距离推导

    2019-12-06 22:05:31
    点到直线距离推导 以前学的东西,突然有人问到了,就看了一会。这个推导很简单,没有用到复杂的数学公式

空空如也

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两直线距离公式推导