一、问题
 
  已知两条直线$l_1(x_1,y_1,x_2,y_2)$和$l_2(x_3,y_3,x_4,y_4)$，现希望判断$l_1$与$l_2$间是否重合。
 
二、分析
 
  $l_1$的直线方程：
 $$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_1=-(y_2-y_1)\\ b_1=x_2-x_1\\ c_1=(y_2-y_1)x_1-(x_2-x_1)y_1\end{array}$$
 
  若$l_2$的起点$p_3(x_3,y_3)$和终点$p_4(x_4,y_4)$不是同一个点，且都在直线$l_1$上，则$l_2$与$l_1$重合。
   判断条件：p3!=p4 && a1*x3+b1*y3+c1==0 && a1*x4+b1*y4+c1==0
 
三、实现
 
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;
using namespace cv;

Vec4d g_line1(100, 300, 300, 300), g_line2(500, 300, 700, 300); // 重合的两条线

// 判断两条线是否重合
bool lines_coincidence(const Vec4d l1, const Vec4d l2)
{
    double x1 = l1[0], y1 = l1[1], x2 = l1[2], y2 = l1[3];                      // 两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
    double a1 = -(y2 - y1), b1 = x2 - x1, c1 = (y2 - y1) * x1 - (x2 - x1) * y1; // 一般式：a1x+b1y1+c1=0
    double x3 = l2[0], y3 = l2[1], x4 = l2[2], y4 = l2[3];
    Point2d p3(x3, y3), p4(x4, y4);
    if (p3 != p4 && a1 * x3 + b1 * y3 + c1 == 0 && a1 * x4 + b1 * y4 + c1 == 0) // 判断条件
        return true;
    else
        return false;
}

// 画虚线
void draw_dotted_line(Mat img, const Point2d p1, const Point2d p2, const Scalar color, const int thickness)
{
    double n = 15; // 小虚线的长度
    double w = p2.x - p1.x, h = p2.y - p1.y;
    double l = sqrtl(w * w + h * h);
    // 矫正线长度，使线个数为奇数
    int m = l / n;
    m = m % 2 ? m : m + 1;
    n = l / m;

    circle(img, p1, 1, color, thickness); // 画起点
    circle(img, p2, 1, color, thickness); // 画终点
    // 画中间点
    if (p1.y == p2.y) //水平线：y = m
    {
        double x1 = min(p1.x, p2.x);
        double x2 = max(p1.x, p2.x);
        for (double x = x1, n1 = 2 * n; x < x2; x = x + n1)
            line(img, Point2d(x, p1.y), Point2d(x + n, p1.y), color, thickness);
    }
    else if (p1.x == p2.x) //垂直线, x = m
    {
        double y1 = min(p1.y, p2.y);
        double y2 = max(p1.y, p2.y);
        for (double y = y1, n1 = 2 * n; y < y2; y = y + n1)
            line(img, Point2d(p1.x, y), Point2d(p1.x, y + n), color, thickness);
    }
    else
    {
        // 直线方程的两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) -> y = (y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1)+y1
        double n1 = n * abs(w) / l;
        double k = h / w;
        double x1 = min(p1.x, p2.x);
        double x2 = max(p1.x, p2.x);
        for (double x = x1, n2 = 2 * n1; x < x2; x = x + n2)
        {
            Point p3 = Point2d(x, k * (x - p1.x) + p1.y);
            Point p4 = Point2d(x + n1, k * (x + n1 - p1.x) + p1.y);
            line(img, p3, p4, color, thickness);
        }
    }
}

// 画延长线
void draw_extension_line(Mat img, const Vec4d l, Scalar color)
{
    double x1 = l[0], y1 = l[1], x2 = l[2], y2 = l[3];
    double a = -(y2 - y1), b = x2 - x1, c = (y2 - y1) * x1 - (x2 - x1) * y1;
    Point2d p1(0, 0), p2(0, 0);
    if (b != 0)
    {
        p1 = Point2d(0, -c / b);
        p2 = Point2d(img.cols, ((-a * img.cols - c) / b));
    }
    else
    {
        p1 = Point2d(-c / a, 0);
        p2 = Point2d(-c / a, img.rows);
    }
    draw_dotted_line(img, p1, p2, color, 1);
}

// 画图
void draw(const Mat img, const Vec4d l1, const Vec4d l2)
{
    line(img, Point2d(l1[0], l1[1]), Point2d(l1[2], l1[3]), Scalar(0, 255, 0), 2); // 画绿线
    line(img, Point2d(l2[0], l2[1]), Point2d(l2[2], l2[3]), Scalar(0, 255, 0), 2); // 画绿线
    if (lines_coincidence(l1, l2))                                                 // 重合
    {
        putText(img, "yes", Point2d(10, 25), cv::FONT_HERSHEY_COMPLEX, 0.5, Scalar(0, 255, 0));
        draw_extension_line(img, l1, Scalar(0, 255, 0)); // 画延长线
    }
    else
    {
        putText(img, "no", Point2d(10, 25), cv::FONT_HERSHEY_COMPLEX, 0.5, Scalar(0, 0, 255));
    }
}

// 确定鼠标左键点击在两条直线的那个点上
Vec6d define_area(const Vec4d l1, const Vec4d l2, const Point2d p)
{
    Vec6d v(-1, 0, 0, 0, 0, 0);
    double w = 20, h = 20;
    double x1 = l1[0], y1 = l1[1], x2 = l1[2], y2 = l1[3];
    double x3 = l2[0], y3 = l2[1], x4 = l2[2], y4 = l2[3];
    Rect r0(x1 - w, y1 - h, 2 * w, 2 * h);    // l1的起点点
    Point2d p1((x2 + x1) / 2, (y1 + y2) / 2); // l1的中间点
    Rect r1(p1.x - w, p1.y - h, 2 * w, 2 * h);
    Rect r2(x2 - w, y2 - h, 2 * w, 2 * h); // l1的终点

    Rect r3(x3 - w, y3 - h, 2 * w, 2 * h);    // l2的起点
    Point2d p2((x3 + x4) / 2, (y3 + y4) / 2); // l2的中间点
    Rect r4(p2.x - w, p2.y - h, 2 * w, 2 * h);
    Rect r5(x4 - w, y4 - h, 2 * w, 2 * h); // l2的终点

    if (r0.contains(p)) // 判断点是否在矩形中
    {
        v = Vec6d(0, x1, y1, 0, 0, 0);
    }
    else if (r1.contains(p))
    {
        v = Vec6d(1, x1, y1, x2, y2, 0);
    }
    else if (r2.contains(p))
    {
        v = Vec6d(2, x2, y2, 0, 0, 0);
    }
    else if (r3.contains(p))
    {
        v = Vec6d(3, x3, y3, 0, 0, 0);
    }
    else if (r4.contains(p))
    {
        v = Vec6d(4, x3, y3, x4, y4, 0);
    }
    else if (r5.contains(p))
    {
        v = Vec6d(5, x4, y4, 0, 0, 0);
    }
    return v;
}

// 根据鼠标移动相应的修改直线的起点和终点
void modify_line(Vec4d &l1, Vec4d &l2, const Vec6d area, const double w, const double h)
{
    if (area[0] == 0)
    {
        l1[0] = area[1] + w;
        l1[1] = area[2] + h;
    }
    else if (area[0] == 1)
    {
        l1[0] = area[1] + w;
        l1[1] = area[2] + h;
        l1[2] = area[3] + w;
        l1[3] = area[4] + h;
    }
    else if (area[0] == 2)
    {
        l1[2] = area[1] + w;
        l1[3] = area[2] + h;
    }
    else if (area[0] == 3)
    {
        l2[0] = area[1] + w;
        l2[1] = area[2] + h;
    }
    else if (area[0] == 4)
    {
        l2[0] = area[1] + w;
        l2[1] = area[2] + h;
        l2[2] = area[3] + w;
        l2[3] = area[4] + h;
    }
    else if (area[0] == 5)
    {
        l2[2] = area[1] + w;
        l2[3] = area[2] + h;
    }
}

// 鼠标回调函数
void mouse_callback(int event, int x, int y, int flags, void *param)
{
    static Point2d p1(0, 0), p2(0, 0);
    static Vec6d area(-1, 0, 0, 0, 0, 0);
    switch (event)
    {
    case cv::EVENT_LBUTTONDOWN: // 鼠标左键点击
        p1 = Point2d(x, y);
        area = define_area(g_line1, g_line2, p1); // 确定鼠标所要移动的区域
        break;
    case cv::EVENT_MOUSEMOVE: // 鼠标移动
        if (area[0] > -1)     // 移动直线
        {
            p2 = Point2d(x, y);
            double w = p2.x - p1.x, h = p2.y - p1.y;
            modify_line(g_line1, g_line2, area, w, h); // 根据鼠标移动相应的修改直线的起点和终点
        }
        break;
    case cv::EVENT_LBUTTONUP: // 鼠标左键释放
        p1 = Point2d(0, 0);
        p2 = Point2d(0, 0);
        area = Vec6d(-1, 0, 0, 0, 0, 0);
        break;
    default:
        break;
    }
}

// 主函数
int main()
{
    string window_name = "image";
    namedWindow(window_name, WINDOW_AUTOSIZE);
    int w = 800, h = 600;
    Mat image_original = Mat(h, w, CV_8UC3, Scalar(255, 255, 255));
    cv::setMouseCallback(window_name, mouse_callback); // 调用鼠标回调函数
    while (true)
    {
        Mat img = image_original.clone(); // 拷贝空白图片，方便重复画图
        draw(img, g_line1, g_line2);      // 画图
        imshow(window_name, img);
        char c = waitKey(3);
        if (c == '1') // l1,l2与x轴平行
        {
            g_line1 = Vec4d(100, 300, 300, 300);
            g_line2 = Vec4d(500, 300, 700, 300);
        }
        else if (c == '2') // l1,l2与x轴垂直
        {
            g_line1 = Vec4d(400, 50, 400, 250);
            g_line2 = Vec4d(400, 350, 400, 550);
        }
        else if (c == '3') // l1,l2与x轴右倾斜
        {
            g_line1 = Vec4d(100, 500, 300, 400);
            g_line2 = Vec4d(500, 300, 700, 200);
        }
        else if (c == '4') // l1,l2与x轴左倾斜
        {
            g_line1 = Vec4d(100, 200, 300, 300);
            g_line2 = Vec4d(500, 400, 700, 500);
        }
        else if (c > 0 && (c < '1' || c > '4')) // 退出循环
        {
            break;
        }
    }
    return 0;
}
 
操作方法：
   鼠标点击两条直线的起点或终点并按住移动，由此可以修改直线。鼠标点击两条直线的中间点并按住移动，由此可以平移直线。
   键盘按住1、2、3或4可选择对应的模式，画出不同角度下两条直线重合的情况。键盘按其它的键会退出程序。
 
两条直线不重合时：
 
 模式1：
 
 模式2：
 
 模式3：
 
 模式4：
 

 
烹饪原料在加工过程中，损失最大的营养素是维生素，其中又以维生素C损失最大。
 
谈谈你对ERP的认识。
 
The forms of intercultural communication include: ___________ communication; interracial communication, __________ communication, _____________ communication.
 
埃及纸草文书上记录了神庙向“swtjw”提供物品的情况,”swjtw“指代( )
 
(84－86题共用题干)第84题：
 
背景(六) 某施工企业与业主签订了某工程的施工承包合同。经监理工程师审核批准的施工进度计划如图
 
二、根据以下资料，回答126－130题 A4744 B5397C9901 D13178
 
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：()
 
监理单位进行的工作不包括下列内容：()A.审核施工升降机安装、拆卸工程专项施工方案B.监督安装单位
 
可以利用施工升降机的导轨架、横坚支撑、层站等悬挂较小的绳缆标语、旗帜等。
 
工作时间内司机不得擅自离开施工升降机。当有特殊情况需离开时,应将施工升降机停到最高层,关闭电
 
施工升降机主电缆线应直接接入一级配电箱。
 
职工因工致残被坚定为一至四级的，应当退出生产，工作岗位，终止劳动关系，发给工商伤残抚恤证件。
 
评估从事新工作的雇员的培训需求是相当简明的事情，其中培训需求评估的主要内容：A、评估新雇员
 
1972年11月16日，联合国教科文组织大会第17届会议在()通过了《保护世界文化和自然遗产公约》。A、日
 
浆膜下肌瘤、肌壁间肌瘤常表现为月经量过多，随肌瘤逐渐增大，经期延长。
 
拓片传拓的对象主要是() A古代的器物 b刻石 c古字画 d古书A.aB.abcdC.bD.ab
 
小儿眉间、鼻柱及唇周色青，属于()A、寒凝气滞B、瘀血内阻C、小儿惊风D、疼痛剧烈E、肝郁脾虚
 
自动扶梯口的监控图像应能清晰显示上下人员的体貌特征。()
 
《重点单位重要部位安全技术防范系统要求》(第9部分、零售商业)及《补充通知》中，对仓储式会员店的
 
[单选,A1型题] 继发性腹膜炎毒性强的原因主要是因为感染菌为()。
 
[问答题,简答题] 科技人员的根本任务是什么？
 
[单选] 下列关于精神发育迟滞的描述不正确的是()
 
[单选,A1型题] 下列中毒性细菌性痢疾的治疗措施，错误的是()。
 
[判断题] 易燃易爆气体一旦溢漏，因其本身的化学性质，可能引起火灾、爆炸、中毒、灼伤、冻伤等事故。
 
[单选] 在网络上信息传输速率的单位是()。
 
[判断题] 行政决策不是领导人个人思考的结果，集体决策才是最完美的。
 
[多选] 下列关于正当防卫和紧急避险的说法正确的是()
 
[单选] 若模具闭合厚度大于注朔机允许的模具最大厚度时，则可采用()来调整，使模具闭合。
 
[单选] 铣削时由于每个刀刃的切削厚度是变化的，所以使铣削总是处于()的工作状态，影响了加工精密。
 
[单选] 精密成型磨削可以达到的外形尺寸精度是()？
 
[单选] ()年。美国试制出世界第一台三坐标数控铣床。
 
[单选] 现代化的精密机床的液压系统常用()泵。
 
[单选] 螺纹有紧固、防松及传动作用，紧固联接通常用()螺纹。
 
[单选] 钢经调质后所获组织为()。
 
[单选] 键联接中因键强度不够而被破坏是由()引起的。
 
[单选] “三个臭皮匠定格诸葛亮”、“一个好汉三个帮”。与此谚语内涵相符的选项是()
 
[单选] 社会主义职业道德的核心是()
 
[单选] 下列关于道德的说法中，正确的是()。
 
[单选] 所谓享乐主义，其本质是()。

 
背景介绍
 
最近在水面无人艇(USV)模拟仿真中，用到了一些点和线的关系求解，本文主要讲述一下两点确认直线，点到直线距离，两条直线的交点等问题的解决方法，并给出python程序。部分内容非原创，文中给出链接，需要者可以参考。
 
博客更新可参见github点线关系
 
两点确定直线
 
表达式定义
 
空间直线的表达式有多种，比如一般式Ax+By+C=0、点斜式y-y0=k(x-x0)、截距式x/a+y/b=1、两点式:(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)等，它们具有彼此的约束条件，如下所示。
 

 
由上可以看出来，一般式的适用范围最广，不需要单独做处理和判断，所以在计算机领域处理二维图像数据中一般式用的最多。
 
已知直线上的两点P1(X1,Y1)和P2(X2,Y2)，P1和P2两点不重合，对于AX+BY+C=0，则有:
 
A=Y2-Y1
 
B=X1-X2
 
C=X2*Y1-X1*Y2
 
python源代码
 
def GeneralEquation(first_x,first_y,second_x,second_y):
 
# 一般式 Ax+By+C=0
 
# from http://www.cnblogs.com/DHUtoBUAA/
 
A=second_y-first_y
 
B=first_x-second_x
 
C=second_x*first_y-first_x*second_y
 
return A,B,C
 
点到直线距离
 
表达式定义
 
设直线L的方程为Ax+By+C=0,点P的坐标为(x0,y0)，则点P到直线L的距离为：
 
d=\frac{\left | A\times x0+B\times y0+C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}
 
博客园对Markdown插入数学公式支持不友好，可以转移到看github点线关系查看最新版。如果有博客园数学公式插入方法，欢迎留言指教。
 
两条直线的交点
 
表达式定义
 

 
在已知直线两点的情况下，利用上面的直线一般式可以求得直线的参数A、B和C，那么两条直线的一般式表达可以列成二元一次方程组，其解即为两条直线的交点坐标。注意处理两条直线平行的特殊情况。
 

 
根据二元一次方程的解，假设两条直线的参数分别为A1,B1,C1和A2,B2,C2，那么两条直线的交点可以表示为：
 
x=\frac{C2\times B1-C1\times B2}{A1\times B2-A2\times B1}
 
y=\frac{C1\times A2-C2\times A1}{A1\times B2-A2\times B1}
 
python源代码
 
def GetIntersectPointofLines(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4):
 
# from http://www.cnblogs.com/DHUtoBUAA/
 
A1,B1,C1=GeneralEquation(x1,y1,x2,y2)
 
A2, B2, C2 = GeneralEquation(x3,y3,x4,y4)
 
m=A1*B2-A2*B1
 
if m==0:
 
print("无交点")
 
else:
 
x=(C2*B1-C1*B2)/m
 
y=(C1*A2-C2*A1)/m
 
return x,y
 
程序运行结果：两直线交点为x=32.857142857142854,y=65.71428571428571，符合数学计算。部分内容参考自两条线段是否相交,计算交点公式。

工程源码下载地址:https://download.csdn.net/download/cwj066/10667645
 
struct QUICKSORT
 {
 
     int iIndex;
     float fAngle;
 
    QUICKSORT(int iIndex, float fAngle)
     {
 
         this->iIndex = iIndex;
         this->fAngle = fAngle;
     }
     QUICKSORT() {memset(this, 0, sizeof(*this));}
 };
 
//定义点结构体
 struct myPoint
 {
 
     int x; //点的x坐标
     int y; //点的y坐标
 
    myPoint(){memset(this, 0, sizeof(*this));}
     myPoint(int x, int y)
     {
 
         this->x = x;
         this->y = y;
     }
 
    bool operator==(const myPoint &other) const
     {
 
         return (this->x == other.x && this->y == other.y);
     }
 };
 
1：