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  • ·公理3:如果个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.·公理4:平行于同一条直线直线互相平行.·定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,...

    考纲原文

    理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

    ·公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.

    ·公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

    ·公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

    ·公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

    ·定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.

    知识点详解

    一、平面的基本性质及应用

    1.平面的基本性质

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    二、空间两直线的位置关系

    1.空间两直线位置关系的分类

    空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式:

    (1)从有无公共点的角度分类:

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    【注意】异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.

    2.异面直线所成的角

    (1)异面直线所成角的定义

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    (3)两条异面直线垂直的定义

    如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作ab.

    三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系

    1.直线与平面、平面与平面位置关系的分类

    (1)直线和平面位置关系的分类

    ①按公共点个数分类:

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    (2)平面和平面位置关系的分类

    两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:

    (1)两个平面平行——没有公共点;

    (2)两个平面相交——有一条公共直线.

    2.直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

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    3.常用结论

    (1)唯一性定理

    ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

    ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

    ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

    ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

    (2)异面直线的判定方法

    经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

    考向分析

    考向一 平面的基本性质及应用

    (1)证明点共线问题,就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是公理3.常用方法有:

    ①首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上;

    ②选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.

    (2)证明三线共点问题,一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合公理3,证明该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.

    (3)证明点或线共面问题,主要有两种方法:

    ①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;

    ②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.

    考向二 空间线面位置关系的判断

    两条直线位置关系判断的策略:

    (1)异面直线的判定常用到的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.

    (2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型,以正方体为主线,直观感知并认识空间点、线、面的位置关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直.

    (3)对于异面直线的条数问题,可以根据异面直线的定义逐一排查.

    考向三 异面直线所成的角

    求异面直线所成的角的常见策略:

    (1)求异面直线所成的角常用平移法.

    平移法有三种类型,利用图中已有的平行线平移,利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移,利用补形平移.

    (2)求异面直线所成角的步骤

    ①一作:即根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;

    ②二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;

    ③三求:解三角形,求出作出的角.

    如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.

    (3)判定空间两条直线是异面直线的方法

    ①判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.

    ②反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.

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  • 平行线(1)概念:在同一平面内,不相交的两直线称为平行线,用符号“‖”表示,在同一平面,直线的位置关系只有种:相交或平行。(2)基本性质 ①经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行②如果条...
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    提要

    平行线的判定及其性质是初中几何的基本内容,是进一步研究几何问题的基础,难点主要有两个方面:一个是“三线八角”识别,这是正确运用性质与判定的基础;另一个是性质与判定的区分。

    知识全解

    一.平行线

    (1)概念:在同一平面内,不相交的两条直线称为平行线,用符号“‖”表示,在同一平面,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。

    (2)基本性质

    ①经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行

    ②如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,即a‖b,c‖b,那么a‖c。

    二.平行线的判定、

    (1)同位角相等,两直线平行。

    (2)内错角相等,两直线平行。

    (3)同旁内角互补,两直线平行。

    三.平行线的性质

    (1)两直线平行,同位角相等。

    (2)两直线平行,内错角相等。

    (3)两直线平行,同旁内角互补。

    提示:平行线的性质是两直线平行以后才有角之间的关系,而平行线的判定是在已知某些角之间的关系条件下,得到两直线平行的结构。为了有效区分性质与判定,可记住下列口诀:“已知平行用性质,要证平行用判定”。

    方法点拨

    类型1 判定两条直线位置关系

    例1 如果所示,PE平分∠BEF,PF平分∠DFE,∠1=35度,∠2=55度,AB与CD平行吗

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    【分析】由PE与PF分别为角平分线,得到两对角相等,根据∠1与∠2的度数,求出∠BEF与∠EFD的度数之和为180度,利用同旁内角互补两直线平行即可说明。

    【解答】AB‖CD,理由如下:

    ∵PE平分∠BEF,PF平分∠DFE,∠1=35度,∠2=55度

    ∴∠1=∠BEP=1/2∠BEF,∠2=∠PFD=1/2∠EFD

    ∴∠BEF=70度,∠EFD=110度,即∠BEF+∠EFD=180度

    ∴AB‖CD

    【点评】解答这一类问题的关键是将条件转化为同旁内角,再判定。

    类型2 判定角度之间的关系

    例2 如图所示

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    E在直线DF上,B在直线AC上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D,试判断∠A与∠F的关系,并说明理由

    【分析】因为∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF,所有∠DGF=∠EHF,则BD‖CE,∠C=∠ABD,又因为∠C=∠D,所有DF‖AC,,所以DF‖AC,故∠A=∠F

    【解答】∠A=∠F,理由如下

    ∵∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF

    ∴∠DGF=∠EHF

    ∴BD‖CE

    ∴∠C=∠ABD

    又∵∠C=∠D

    ∴∠D=∠ABD

    ∴DF‖AC

    ∴∠A=∠F

    【点评】解答这类问题可采用两种思考方式,一种是根据条件逐步推出结论,另一种是根据结论逆向思考,寻求解答所需的条件,再结合已知条件解答。

    类型3 添加平行线求角度

    例3 如图所示,

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    AB‖EF,BC⊥CD于C,∠ABC=30度,∠DEF=45度,则∠CDE等于()

    A.105度 B.75度 C.135度 D.115度

    【分析】本题的条件中虽然给出了平行线与垂直,还给出了两个具体角的大小,但与要求的角无直接关系,可考虑添加平行线将问题转化,过点C和D作平行线,将要求的角转化到两个已知角中。

    【解答】过点C作CM‖AB,过点D作DN‖AB

    又∵AB‖EF

    ∴AB‖CM‖DN‖EF

    ∵AB‖CM,∠ABC=30度,则∠BCM=30度

    又∵BC⊥CD,则∠BCD=90度

    ∴∠MCD=∠BCD-∠BCM=90-30=60度

    ∵CM‖DN

    ∴∠MCD=1=60度

    ∵DN‖EF

    ∴∠DEF=∠2=45度,即∠CDE=∠1+∠2=60+45=105度

    故选A

    【点评】熟练掌握平行线的条件和特征,并能灵活运用是求解本题的关键,充分运用条件,及时利用辅助线将问题转化是正确求解的前提。对于两条平行线间“折线”与“拐角”问题,一般是在拐点处作平行线,从而构造出一些相等的角或互补的角,将问题转化。

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  • 一、复习目标要求 1.平面的基本性质与推论借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的...◆公理3:如果个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线;◆公理4:平行于同...

    一、复习目标要求

    1.平面的基本性质与推论

    借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理:

    ◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内;

    ◆公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;

    ◆公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线;

    ◆公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;

    ◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

    2.空间中的平行关系

    以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理:

    ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;

    ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;

    通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明:

    ◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面交线与该直线平行;

    ◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行;

    ◆垂直于同一个平面的两条直线平行

    能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

    二、要点精讲

    1.平面概述

    (1)平面的两个特征:①无限延展 ②平的(没有厚度)

    (2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面

    (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母

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    等表示,如平面

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    、平面

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    ;用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面AC。

    2.三公理三推论:

    公理1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内:

    A

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    ,B

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    ,A

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    ,B

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    公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

    公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。

    推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

    推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。

    推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。

    3.空间直线:

    (1)空间两条直线的位置关系:

    相交直线——有且仅有一个公共点;

    平行直线——在同一平面内,没有公共点;

    异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。

    异面直线的画法常用的有下列三种:

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    (2)平行直线:

    在平面几何中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,这个结论在空间也是成立的。即公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

    (3)异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式:

    54749586e74f0ac5cf045da07be63a16.png

    54749586e74f0ac5cf045da07be63a16.png

    a是异面直线。

    4.直线和平面的位置关系

    (1)直线在平面内(无数个公共点);

    (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点);

    (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类。

    它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为

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    线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。推理模式:

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    线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。推理模式:

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    5.两个平面的位置关系有两种:两平面相交(有一条公共直线)、两平面平行(没有公共点)

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    (1)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行。

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    定理的模式:

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    推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行。

    推论模式:

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    (2)两个平面平行的性质(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面;(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

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  • 利用eigen库内矩阵运算函数,写了LinesPositionRelationship3D类。实现了确定三维空间任意两条直线位置关系并获得在平行和交错条件的两直线距离功能。该类是在确定空间两圆柱轴线关系下副产品。
  • 平行线判定和性质知识是初中几何基础内容,这部分知识掌握好坏...③两条直线被第三条直线所截,同位角相等,两直线平行;④两条直线被第三条直线所截,内错角相等,两直线平行;⑤两条直线被第三条直线所截...
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    平行线的判定和性质的知识是初中几何的基础内容,这部分知识掌握的好坏关乎整个初中几何知识的成败,所以同学们一定要打好这一基础关,为后续的学习铺平康庄大道。

    ☞平行线的判定,初一常用的有六种方法:①定义法,同一平面内不相交的两条直线是平行线;②平行于同一条直线的两条直线平行;③两条直线被第三条直线所截,同位角相等,两直线平行;④两条直线被第三条直线所截,内错角相等,两直线平行;⑤两条直线被第三条直线所截,用旁内角互补,两直线平行;⑥在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.

    ☞平行线的性质:两条平行线被第三条直线所截,①同位角相等;②内错角相等;③同旁内角互补.

    【题目呈现】

    例1.如图,在三角形ABC中,CD⊥AB,E,F,G分别在BC,AB,AC上,且EF⊥AB,∠1=∠2,试判断DG与BC的位置关系,并说明理由.

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    【分析】观察图形,DG应与BC平行,那么我们假定DG∥BC,看能推出的某些结论是否与已知条件相同,若相同了,则说明假定是正确的,若不相同或与已知矛盾或与某些定理矛盾,则假定是错误的.我们分析一下,若DG∥BC,则可推出,∠2=∠DCB,又∠1=∠2,则∠1=∠DCB,则EF∥DG,则∠BFE=∠BDC,而已知中CD⊥AB,EF⊥AB,则EF∥DG,则∠BFE=∠BDC,所以假定是正确的.另外也可以估计DG∥BC,我们看从条件是否能证出来,那么我们就大脑中搜索证明两线平行的六种方法,再结合图形看如何找具体的关系,应该试着这样考虑:①可证∠AGD=∠ACB(利用同位角相等,两直线平行推出DG∥BC).②可证∠2=∠DCB(利用内错角相等,两直线平行推出DG∥BC).③可证∠ADG=∠ABC(利用同位角相等,两直线平行推出DG∥BC).④可证∠DGC+∠GCB=180°(利用同旁内角互补,两直线平行推出DG∥BC).⑤可证∠GDB+∠DBC=180°(利用同旁内角互补,两直线平行推出DG∥BC).这5种方法脑海中闪过之后,结合条件∠1=∠2,题中有∠2出现,应用第②种方法为好,欲证∠2=∠DCB,则须证∠1=∠DCB,再看条件,CD⊥AB,EF⊥AB,则可推出EF∥DC,则可得到,∠1=∠DCB,这样问題得证.可见,有了方法之后,还看步步结合条件,步步为营,直到解决问题,这是初学者必须掌握的最基本的证明方法.分析完之后,初学者还要掌握正确的书写步骤,大多同学手懒,不写,不想写,有很多同学到了初二,初三也不会写步骤,以致明知该题如何做,考分下来之后不理想,所以我们要多写,勤写,准确写出具体步骤,初一写步骤过关之后,初二初三就轻松得多了,而且几何证明题,能证出来就能写出来.

    【解题过程】

    解:DG∥BC.理由知下:

    ∵CD⊥AB,EF⊥AB(已知),

    ∴CD∥EF(在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行),

    ∴∠1=∠DCB(两直线平行,同位角相等).

    又∵∠1=∠2(已知),

    ∴∠2=∠DCB(等量代换),

    ∴DG∥BC(内错角相等,两直线平行).

    【对应练习】

    ☞1.如图,已知AD⊥BC,FG⊥BC,垂足分別为D,G,且∠ADE=∠CFG,求证DE∥AC.

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    2.如图,已知∠ABC=180°一∠A,BD⊥CD于D,EF⊥CD于F.

    (1)求证:AD∥BC;

    (2)若∠1=36°,求∠2的度数.

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    例2.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠C的大小关系.

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    【分析】估计∠AED=∠C,看通过条件能否推出,欲证∠AED=∠C,须证∠ADE=∠B,(有的同学问,你怎么就知道证∠ADE=∠B呢?其实也可以从其他方面想,因为条件中有∠B=∠3,出现了∠B,所以我先想到利用∠B,也就想到要证∠B=∠ADE,况且∠ADE与∠3是内错角,而条件中也出现了∠3,若能证明了∠ADE=∠3,则就能证明了∠B=∠ADE,这样又须证明AB∥EF,结合条件∠2的出现,又须证明∠2=∠4,而∠1+∠2=180°,又∠1+∠4=180°,∴∠2=∠4,∴问题圆满得解.

    【解答过程】

    解:∵∠1+∠4=180°(邻补角定义),

    又∵∠1+∠4=180°(已知),

    ∴∠2=∠4(同角的补角相等),

    ∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行),

    ∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等).

    又∵∠B=∠3(已知),

    ∴∠B=∠ADE(等量代换),

    ∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行),

    ∴∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等).

    例3.如图,已知AB∥DC,∠BAD=∠DCB,说明AD∥BC.

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    【分析】此题不难,可有的同学不知道要证AD∥BC,需要找哪两个角的关系,若要用"内错角相等,两直线平行“,应该用∠1=∠2,而不能用∠3=∠4,若要用同旁内角互补,两直线平行,应该用∠BAD+∠ABD=180°,或∠ADC+∠DCB=180°,而不能用∠BAD+∠ADC=180°,或∠ABC+∠DCB=180°,换句话说,有的同学不明白,内错角相等推出哪两条线平行;同旁内角互补推出哪两条线平行,或者不明白,两条直线平行,推出哪两个角相等,哪两个角互补.就拿本题来说,AB∥DC,∠3的边AC与∠4的边CA重合,AC是截线∠3的另一边AB与∠4的另一边CD,是被截线,两条被截线平行,只能推出∠3与∠4这一对内错角相等,而推不出∠1=∠2,∠1的边AC虽然与∠2的边CA重合为AC,但∠1的另一边是AD,∠2的另一边是BC,它们两边既不是AB又不是CD,∴AB∥CD只能推出∠3=∠4,可见,两线平行,只能推出与两线有关的角的关系,同样通过两角的关系也只能推出与角有关的线平行,而且是被截线平行,明白了这层关系本题也就解答了.

    【解答过程】

    解:∵AB∥DC(已知),

    ∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等).

    又∠1=∠BAD一∠3,∠2=∠DCB一∠4,且∠BAD=∠DCB(已知),

    ∴∠1=∠2(等式的性质),

    ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).

    当然本题也可用同旁内角互补证得.

    例4.如图,DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°,试判断BF和AC的关系,并说明理由.

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    【分析】BF与AC的关系应是互相垂直,题中已有DE⊥AC,则只要推出BF∥DE即可,从图看,应证∠2+∠3=180°,再结合∠1十∠2=180°,应证∠1=∠3,须证FG∥BC,而又有条件∠AGF=∠ABC,则可得FG∥BC,得证.

    【解答过程】

    解:BF和AC的关系是互相垂直,理由如下:

    ∵∠AGF=∠ABC(已知),

    ∴GF∥BC(同位角相等,两直线平行),

    ∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等).

    ∵∠1+∠2=180°(已知),

    ∴∠3+∠2=180°,

    ∴BF∥DE(同旁内角互补,两直线平行),

    ∴∠BFC=∠DEC(两直线平行,同位角相等),

    ∵DE⊥AC(已知),

    ∴∠DEC=90°(垂直定义),

    ∴∠BFC=90°,

    ∴BF⊥AC(垂直定义).

    例5.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,请问:AD和BC平行吗?说明理由.

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    【分析】AD可能与BC平行,观察条件,∠1=∠2,∠3=∠4,看不出什么,而∠5=∠6,可推出ED∥AB,抓住这一条件就找到了突破口,一直推下去可得到解答,ED∥AB,可得∠3=∠7,而∠3=∠4,∴∠4=∠7,可得AE∥BD,则可得∠2=∠8,而∠2=∠1,则∠1=∠8,∴AD∥BC,得证.

    【解答过程】

    解:AD与BC平行,理由如下:

    ∵∠5=∠6(已知),

    ∴ED∥AB(内错角相等,两直线平行),

    ∴∠3=∠7(两直线平行,内错角相等).

    ∵∠3=∠4(已知),

    ∴∠4=∠7(等量代换),

    ∴AE∥BD(同位角相等,两直线平行),

    ∴∠2=∠8(两直线平行,内错角相等).

    ∵∠1=∠2(已知),

    ∴∠1=∠8(等量代换),

    ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).

    也可以这样证,简单写一下,在△AED中,∠2=180°一∠4一∠6,在△ABD中,∠8=180°一∠3一∠5,而∠3=∠4,∠5=∠6,∴∠2=∠8,又∠1=∠2,∴∠1=∠8,∴AD∥BC.

    【总结】相交线与平行线这部分知识一般不难,注意平行线的判定与性质的相互运用,通过平行关系,立即推角的关系,通过角的关系联系条件,得到下一组角的关系,再得到下一组线平行,这样相互推证,最终获解,注意书写规范,图果关系明确,推证合理.

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两直线重合的条件