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  • 常用的时间序列模型

    2021-05-13 14:25:35
    白噪声模型 时间序列算法之ARIMA模型 对非平稳时间序列的分析方法可以分为确定因素分解时序分析和随机时序分析两个...根据时间序列的不同特点,随机时序分析可以建立的模型有ARIMA模型、残差自回归模型季节模型.
    1. 白噪声模型
      在这里插入图片描述
    2. 时间序列算法之ARIMA模型
      对非平稳时间序列的分析方法可以分为确定性因素分解的时序分析和随机时序分析两个大类。
      确定性因素分解的方法把所有序列的变化都归结为4个因素:长期趋势、季节变动、循环变动和随机波动。其中长期趋势和季节变动的规律性信息通常比较容易提取,而由随机因素导致的波动则非常难确定和分析,对随机信息浪费验证,会导致模型拟合精度差。
      随机时序分析法的发展就是为了弥补确定性因素分解方法的不足。根据时间序列的不同特点,随机时序分析可以建立的模型有ARIMA模型、残差自回归模型、季节模型、异方差模型。

    相距d期的两个序列值之间的减法运算称为d阶差分运算。

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  • 前言:前一篇介绍了对平稳时间序列的分析方法和流程,在没有考虑季节效应情况下,模型建立的并不成功。本篇以美国1980年-2015年月度失业率为对象,进行一个更为完善、有季节效应非平稳时间序列分析流程。 理论...

    前言:前一篇介绍了对平稳时间序列的分析方法和流程,在没有考虑季节效应的情况下,模型建立的并不成功。本篇以美国1980年-2015年月度失业率为对象,进行一个更为完善的、有季节效应的非平稳时间序列分析流程。
    理论支持:
    拿到非平稳时间序列,首先进行的就是差分法消除趋势性,然后根据情况判断拟合季节加法模型或乘法模型,最后进行模型检验。常用的模型有两种:ARIMA和因素分解模型。

    1. ARIMA(加、乘法)模型,本篇分析采用。
    2. 因素分解模型:序列收三个因素影响:长期趋势,季节效应,随机波动。剔除前两者后留下随机波动。使用方法为简单中心移动平均法提取趋势效应,加法乘法提取季节效应。数学运算涉及较多,步骤繁琐,此处不多赘述。

    步骤:
    一. 数据录入,做出时序图

    data unem;
    input rate@@;
    time=intnx('month','01jan1980'd, _n_ -1);
    format time monyy.;
    cards;
    …………
    ;
    run;
    proc gplot data=unem;
    plot rate*time/ vaxis=2 to 13 by 0.5;
    symbol v=none c=red i=join;
    run;
    

    在这里插入图片描述
    初步观察发现,序列有明显的趋势性和周期性。
    二. 对原序列进行1阶12步差分,做出差分后时序图并进行ADF、白噪声检验

    data unem;
    input rate@@;
    difrate=dif12(dif(rate));
    time=intnx('month','01jan1980'd, _n_ -1);
    format time monyy.;
    cards;
    ………
    proc gplot;
    plot rate*time difrate*time;
    symbol v=none c=red i=join;
    proc arima data=unem;
    identify var=difrate stationarity=(adf);
    run;
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    由ADF和白噪声检验得知,差分后的序列为平稳非白噪声序列。
    三. 模型定阶,选择加法还是乘法模型
    通常来说,加法模型适用于序列的季节效应,趋势效应和随机波动彼此之间很容易分开。但实践中更常见的情况是,序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间存在复杂的交互影响关系,简单的加法模型不足以充分提取相关关系,此时应当使用乘法模型。
    在这里插入图片描述
    此例中,自相关图显示延迟12阶自相关系数显著大于二倍标准差,说明差分后的序列具有显著的季节效应,此外延迟2、3、5阶也大于二倍标准差,意味着差分后序列还具有短期相关性。在通过加法模型无法充分提取的情况下,我们尝试使用乘法模型,构造原理如下:

    1. 用低阶ARMA(p,q)模型提取序列短期相关性。
    2. 当序列有季节效应,季节效应本身又具有相关性的时候,用以周期步长为单位的ARMA(P,Q)S 提取季节相关性。
    3. 拟合模型实际上为ARMA(p,q)和ARMA(P,Q)S的乘积,记为ARMA(p,d,q) * ARMA(P,D,Q)S

    定阶分析过程:
    首先观察1阶12步差分后系列12阶以内的自相关系数和偏自相关系数的特征,以确定短期相关模型。自相关图和偏自相关图显示12阶以内均不截尾,考虑使用ARMA(1,1)模型提取短期自相关信息。
    再考虑季节相关性,检查延迟12阶、24阶等以周期长度(12)为单位的自相关系数和偏自相关系数的特征。自相关图12阶自相关系数显著,但是24阶系数在二倍标准差范围之内。而偏自相关图显示12阶和24阶都显著,且12阶到24阶之间没有超出二倍标准差范围。因而可以认为季节自相关特征是自相关系数截尾、偏自相关系数拖尾。此时用以12步为周期的ARMA(0,1)12模型提取季节自相关信息。
    综上,最终要拟合的乘法模型为ARIMA(1,1,1)*(0,1,1)12。

    四. 参数估计
    模型定阶之后,参数估计就简单很多了。

    /*注释:乘法模型常见格式为ARIMA(p,1,q)*(m,1,n)s, sas拟合命令为:
    identify var=x(1,s); 
    estimate p=(p)(ms)q=(q)(ns)
    第一句命令要求系统进行一阶s步差分,这里我们前面差分过了因此不用写。
    第二局命令要求系统对差分后序列拟合非季节效应模型ARMA(p,q)与季节效应模型ARMA(m,n)s。合并起来就完成了乘法模型的拟合。*/
    estimate p=(1) q=(1)(12) noint;
    run;
    

    五. 模型检验

    1. 可以发现参数显著性检验通过
      在这里插入图片描述
    2. 残差自相关检验中,P值在小于等于延迟24阶时都不大于5%显著性水平,因而不能认为残差序列已经是白噪声序列,即该模型拟合不显著,结合下面残差相关性检验结果进行分析原因。
      在这里插入图片描述

    六、问题原因及处理:
    传统的纯随机性检验都是借助LB检验统计量进行的,而LB检验统计量是在序列满足方差齐性的假定下构造的。当序列存在异方差属性时,LB统计量不在近似服从卡方分布。所以在条件异方差存在的场合,白噪声检验结果不再准确。通常现象就是残差序列的相关系数很小,近似白噪声序列,但是LB检验结果P值很小。因此,在异方差可能存在的场合,如果自相关系数很小(<0.2),则可以认为残差序列近似为白噪声序列。
    残差自回归性检验和异方差性检验:
    使用model语句,让系统建立序列关于时间的线性回归模型,检验残差序列5阶延迟的自相关性并输出DW检验的p值,同时对残差序列进行异方差检验:

    proc autoreg data=unem;
    model difrate=time/nlag=5 dwprob archtest; 
    run;
    

    DW检验结果,R方很小,模型不显著,证明残差序列不具有显著的自相关性,这与我们之前分析的结果相同(相关系数<0.2,残差序列可以认为是白噪声)。
    在这里插入图片描述
    参数估计也表明回归模型不显著,因而总结为残差序列不具有自相关性
    在这里插入图片描述

    异方差性(ARCH)检验:
    在这里插入图片描述
    图中Q统计量和LM统计量的P值均小于0.05显著性水平,因而可以认定该序列方差非齐。
    剩下的步骤为构建GARCH或ARCH模型以及检验,最后预测,内容较多,放在下一篇讨论。

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  • 时间序列拆解

    千次阅读 2016-02-01 15:31:17
    因此建立准确的季节性时间序列预测模型具有高度挑战,一方面要体现它周期特征,呈现相对稳定有规律重复;另一方面还要准确拟合季节性时间序列的非线性变化。 传统季节性时间总体模型一般分为两类:一类...

    季节性的时间序列预测模型是用来拟合季节性的时间序列的变化规律,预测其下一个周期的各个数据点的值。季节性的时间序列具有高度负责的非线性结构,同事表现为周期性的变化的重要特征。因此建立准确的季节性时间序列预测模型具有高度的挑战,一方面要体现它的周期特征,呈现相对稳定的有规律的重复;另一方面还要准确的拟合季节性时间序列的非线性变化。

    传统的季节性时间总体模型一般分为两类:一类随机季节模型,认为相隔一个周期的时间点上的随机变量具有相对较强的相关性,即季节性时间序列表现为同期相关性,利用这种同期相关性拟合相隔一个周期的两个数据点之间的变化规律进行建模。

    另一类模型认为季节性时间序列一般会受到三种因素的影响即趋势项、周期性和不规则变化项。假如用T表示趋势项,用S表示周期项,用I表示随机变化项,时间序列又分为加法模型和乘法模型。加法模型即Y=T+S+I,乘法模型即Y=T*S*I。

    这三种模型奠定了季节性时间序列的基础。


    季节性时间序列建模

    选择建立季节性时间序列预测模型,通常有两种思路:一是建立能对所有时间序列都能准确预测的模型,称为总体模型选择;另一种是针对不同的序列选择相应的最合适的预测模型,即用组合的方法。总体模型选择主要有ARIMA/神经网络(ANN)、支持向量回归(SVR)。

    而组合模型的一种思路是把时间序列分为线性和非线性两部分,分别对这两部分采用不同的方法,神经网络适用于非线性预测,arima适应于线性预测。组合模型的另一种思路是吧时间序列分为趋势项、周期项和随机项,对每一项采用相应的方法。对于周期项可以直接对其进行非线性的多步预测也可以把他转化为多个单步预测(比如对于一天这个周期分成24个小时,每天24小时用24次纵向预测)。


    组合模型的拆解

    1.中心化移动平均法分解

    设序列X(1),X(2),..X(M)为季节性的时间序列的月度数据,其中m为序列的长度,对于周期是12的序列,用中心化移动平均法可以提取不含周期波动的趋势项:


    周期项为:


    2.R语言中decompose函数可以把原来时间序列拆分为:趋势项、周期项、随机波动项

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    d7256f667679bd30e4c59327f12756c0.png

    葛大娘

    分享数分小技能

    人生路上持续成长

      基本概念  ■ (一)时间序列同一现象在不同时期的观察值排列而成的序列,如经济序列、人口序列,通过观测发展趋势、变化方向及速度等,建立预测模型。(二)乘法模型f1011ef08f515d63823aeb234bcf7e2e.pngYt为t时间内的序列;Tt为t时间内的趋势变动,即长期内呈现的某种持续上升或持续下降的变动;St为t时间内的季节变动,即一年内重复出现的周期性波动;Ct为t时间内的周期性或循环波动;It为t时间内的随机性或不规则波动。■  描述性分析  ■ (一)图形观察通过作图,观察数据随时间变化的模式及趋势,一般较多使用折线图。(二)计算增长率1、环比增长率848c7df25efe138c6583271ffbb9d130.png2、定基增长率cb9ad338240547dedae020c73df50132.png3、平均增长率也称平均增长速度、环比发展速度b196d0d1c3f77bde1808f50ca0b6133d.png4、两点要注意(1)时间序列中有0值时不宜计算,这个因为不能除以0嘛。(2)要将增长率与绝对水平结合来看。■  预测步骤  ■ (一)确定时间序列所包含的成分,即乘法模型中的趋势、季节、周期性等。(二)找出适合此类时间序列的预测方法。(三)评估预测方案,确定最佳预测方案。(四)利用最佳预测方案进行预测。■  实例  ■ 数据为葛大娘菜店历年各季度销售额25461b4dda7e8ecf8eced2a6dc3c35ad.png(一)确定成分1、通过折线图判定季节性是否存在。绘制出折线图后发现:各年趋势基本一致,呈现一定的季节性变化,并且都是逐年提升,应该存在一定上升的趋势。84037357aa4066d02611474bf3ed876c.png2、通过折线图判定趋势是否存在。需要先将宽型表格调整为长型表格,具体方法见今天的另一篇文章《你表宽,我表长,我转宽来你转长》。绘制折线图,添加趋势线后,发现整体趋势呈上升状态,并且波动呈季节性变化,与上述图形表达一致。6a192721d96026db19ee53e0f0da9ccd.png(二)选择预测方法已经判定有季节性和趋势成分,试着使用EXCEL中的“回归”方法来进行。(三)评估预测方法1、构造季节性辅助列

    957f45c110ce26672b9321a498136d33.png2、数据→数据分析→打开回归分析对话框

    8e9d76800ada65dc01c910dbaf9b9fbd.png

    6bda2f675c19bc6d2ee5bf95a29ea127.png3、在因变量区域输入销售额列,在自变量区域输入趋势、季度辅助列,勾选“标志”,输出区域可选本工作表,再勾选一下残差图和线性拟合图。

    cdc2d391767b0fe08ccd9411ea14a6a9.png

    4、确定后会得出一片表格和一堆图,只需要挑重点来看就可以。

    回归统计表中主要看R2为,多重判定系数,用来评价回归方程的拟合程度,取值范围为[0,1],越接近1,表明拟合程度越好。一般实践中0.8以上就很理想了。

    方差分析中主要看F检验量,用来检验自变量选择的是在α=0.05的水平下进行的检验,F显著性水平值远远小于0.05,表明自变量与因变量之间存在显著线性关系。

    最后一个表中主要看各变量的显著性和回归系数,P值均远小于0.05,表明各自变量与因变量之间存在显著线性关系。

    98f66838a68984adeec46d5c2bc7183d.png(四)使用预测方法进行预测

    1、通过上一步得到回归方程,

    2、增加预测值列,代入回归方程,计算得到各预测值。

    8db10b4b5c929d66a853965b8be8bfce.png

    3、选择实际销售额与预测值,绘制折线图

    18cfe2d92f8af1e965baaad85392ba22.png4、预测下一年度销售额

    在表格中将相关变量填写完整,预测值列会自动计算预测值。

    a65fe7042cdb59db25e90ee3eec19e15.png5、绘制折线图,完工,撒花,再也不怕领导让你拍脑袋拍大腿瞎估啦!

    10a11fd638c4a7f5a58f638a16cd0640.png

    ■  END  ■e2cce37d85d234814a0d95813186ea5d.png
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季节性时间序列模型的建立