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    希望我整理的内容对路过的你有所帮助,点赞或评论,都是相互的鼓励~

     

    【问题】根据下图中某啤酒生产企业2010-2015年各季度的销售量数据,预测2016年各季度产量

    1. 绘制时间序列图,观察啤酒销售量的构成要素

     从上图可以明显看出,啤酒销售量具有明显季节成分,而且后面年份销量比前面年份高,因此其中含有趋势成分,但其周期性难以判断。可以认定啤酒销售量序列是一个含有季节性成分和趋势成分的时间序列。

    2. 确定季节成分,计算季节指数

    2.1 计算移动平均值

    -- 对于季节数据,从2010年1季度开始,每4个季度计算4项移动平均,如:

    年份/季度4项移动平均计算4项移动平均值

    4项移动平均

       对应季度

    2010/1, 2010/2,2010/3, 2010/4(25.0+32.0+37.0+26.0) / 430.002.50
    2010/2,2010/3, 2010/4, 2011/1(32.0+37.0+26.0+30.0) / 431.253.50
    2010/3, 2010/4, 2011/1, 2011/2(37.0+26.0+30.0+38.0) / 432.754.50

    这里出现的问题是,计算出的4项移动平均,没有对应着具体的某个季度,而是在季度之间!

    为了解决这个问题,需要进行中心化处理。

    -- 对计算结果进行中心化处理,也就是再进行一次二项移动平均,得出中心化移动平均值CMA。

    这样处理之后,移动平均值便对应具体季度。思路如下(给我自己做的图点赞❤):

    按照上述思路,计算出的中心化移动平均值CMA情况如下:

    年份时间代码销售量4项移动平均中心化移动平均值
    CMA
    2010/1125.0  
     1.5   
    2232.0  
     2.5 30.000 
    3337.0 30.625
     3.5 31.250 
    4426.0 32.000
     4.5 32.750 
    2011/1530.0 33.375
     5.5 34.000 
    2638.0 34.500
     6.5 35.000 
    3742.0 34.875
     7.5 34.750 
    4830.0 34.875
     8.5 35.000 
    2012/1929.0 36.000
     9.5 37.000 
    21039.0 37.625
     10.5 38.250 
    31150.0 38.375
     11.5 38.500 
    41235.0 38.500
     12.5 38.500 
    2013/11330.0 38.625
     13.5 38.750 
    21439.0 39
     14.5 39.250 
    31551.0 39.125
     15.5 39.000 
    41637.0 39.375
     16.5 39.750 
    2014/11729.0 40.250
     17.5 40.750 
    21842.0 40.875
     18.5 41.000 
    31955.0 41.250
     19.5 41.500 
    42038.0 41.625
     20.5 41.750 
    2015/12131.0 41.625
     21.5 41.500 
    22243.0 41.875
     22.5 42.250 
    32354.0  
     23.5   
    42441.0  

    2.2 计算季节比率

    销售量 同 中心化移动平均值CMA 的比值 = 季节比率

    在乘法模型中,季节指数是以其平均数等于100%为条件而构成的,它反映了某一季度的数值占全年平均数值的大小。

    这里,我们计算出的四个季节比率的平均数为0.9963,不等于1,需进行调整。

    2.3 季节指数调整

    将每个季节比率的平均值除以四个季节比率的总平均值,得到季节指数

    从季节指数变动图可以看出,啤酒销售量的旺季是3季度,淡季是1季度。

    3. 分离季节成分

    将实际销售量分别除以相应的季节指数,将季节成分从时间序列中分离出去,得到分离季节成分的序列。

    4. 建立预测模型

    剔除季节成分后,可以观察到啤酒销量有明显的线性增长趋势。用一元线性模型进行回归分析,得到分离季节因素后的序列对应的线性趋势方程为:\widehat{Y_{t}} = 30.6067 + 0.5592 * t

    5. 预测2016年度销量

    根据趋势方程,带入t=25,可以求得2016年1季度销售量(不含季节因素),再乘以对应的季度指数,就可以求得最终的销售量预测值。

    将实际销售量和最终预测值进行做图比对,可以看出,预测效果非常好。

     

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    指数平滑法

    概念:对过去的观察值得加权平均值进行预测的一种方法,适用于水平历史数据

    一次指数平滑法:Ft+1 =aYt+(1-a)Ft

    Ft表示t时预测值,Yt表示t时观察值。t取1时,F1=Y1。a为平滑系数,介于0到1之间。

    最终的式子展开为

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-XhE6Rwlp-1623998906940)(C:\Users\lizhihan_sx\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210617172220632.png)]

    平滑系数接近1:越近的值影响越大,模型对时间序列的反应越及时,适合随机波动较大的数列

    平滑系数接近0:更适合时间序列比较平稳的序列

    实际应用时,应该用均方误差来判断预测误差的大小。但是如果数据是有整体趋势的,指数平滑法并不适用(因为无论如何调整参数都是误差极大的)

    二次指数平滑Holt’s linear trend method

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0onbHqnd-1623998906943)(C:\Users\lizhihan_sx\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210617170536686.png)]

    lt表示时间序列水平的估计,bt表示时间序列趋势的估计。

    a和b都表示参数,a和一次指数平滑

    二次指数平滑的结果是可以有趋势的,不是平坦的

    这种预测方法

    在未来无限地呈现出恒定的趋势(增加或减少)。经验证据表明,这些方法倾向于过度预测,特别是长期预测

    damped trend method 衰减趋势法

    引入一个参数可以很好的解决二次平滑法长期预测过度预测的问题

    在这里插入图片描述

    Holt-Winters’ seasonal method

    Holt-Winters的季节性方法包括预测方程和三个平滑方程–一个是水平ℓt,一个是趋势bt,一个是季节性成分st,有相应的平滑参数α、β和γ。我们用m来表示季节性的频率,即一年中的季节数。例如,对于季度数据m=4,而对于月度数据 m = 12 .

    当季节性变化在整个系列中大致不变时,加法是首选,而当季节性变化与系列的水平成比例变化时,乘法是首选。在加法中,季节性成分在观察到的系列规模中以绝对值表示,而在水平方程中,系列通过减去季节性成分而进行季节性调整。在每一年内,季节性成分加起来大约为零。在乘法中,季节性成分是以相对术语(百分比)表示的,系列的季节性调整是通过除以季节性成分来进行的。在每一年内,季节性成分的总和将达到大约 m

    Holt-Winters’ additive method

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-bgFfHqmz-1623998906949)(指数平滑法笔记.assets/image-20210618100854263.png)]

    式中k为(h−1)/m的整数部分,保证用于预测的季节指数估计数来自样本的最后一年。水平方程表示时间t的季节调整观测(yt−st−m)与非季节预报(ℓt−1+bt−1)之间的加权平均。趋势方程与Holt的线性方法相同。季节方程表示当前季节指数(yt−ℓt−1−bt−1)与去年同期(即m个时期以前)的季节指数的加权平均值。
    在这里插入图片描述

    Holt-Winters’ multiplicative method在这里插入图片描述

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    import pandas as pd
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        ets = ExponentialSmoothing(y, trend='add', seasonal='add', seasonal_periods=12)
        r = ets.fit()
        pred = r.predict(start=len(y), end=len(y) + 12)
        data[i][37:] = pred
        pd.DataFrame({
        'origin': data[i],
        'fitted': r.fittedvalues,
        'pred': pred
    }).plot(legend=True)
        plt.title(i)
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    https://www.cnblogs.com/lfri/p/12243268.html

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