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  • 3.3 广义 ARMA 模型和 ARIMA 模型介绍一、广义 ARMA 模型(1)定义我们把 ARMA 模型中关于多项式 A(z),B(z) 的最小相位条件去掉(即允许有单位圆内的根),其余定义相同,得到的就是广义 ARMA 模型。(2)平稳解情况...

    3.3 广义 ARMA 模型和 ARIMA 模型介绍

    一、广义 ARMA 模型

    (1)定义

    我们把 ARMA 模型中关于多项式 A(z),B(z) 的最小相位条件去掉(即允许有单位圆内的根),其余定义相同,得到的就是广义 ARMA 模型。

    (2)平稳解情况

    如果 A(z) 在单位圆上有根,那么广义 ARMA 模型没有平稳解。

    如果 A(z) 在单位圆上没有根,则有

    ,使得
    在圆环

    内解析,可以进行 Laurent 级数展开(在单位圆内按正常展开,单位圆外则用倒数来替代)得到

    其中两头系数通项都负指数趋于 0,所以整体系数也负指数趋于 0,进而由唯一平稳解

    但这个平稳解中,现在的观察值会与将来的白噪声有关,并没有实际意义。此外,根据齐次差分方程理论,对于

    其特征多项式有单位圆内的根,因此通解是趋于无穷的,所以这时广义 ARMA 的其他解(通解)会趋于无穷,称为爆炸模型

    二、求和 ARIMA(p,d,q) 模型

    (1)定义

    设 d 是一个正整数,如果

    的 d 阶差分

    是一个 ARMA(p,q) 序列(最后一个等号利用二项式定理展开),则称

    是一个求和 ARIMA(p,d,q) 序列。它满足如下差分方程

    其中 A(z),B(z) 都按照 ARMA 模型的定义。

    :通常取 d=1,2,且该模型不存在平稳解

    (2)非平稳解的讨论

    情形 d=1:即 ARIMA(p,1,q) 模型,这时

    是 ARMA(p,q) 序列,给定初值可以得到

    可以通过产生 ARMA(p,q) ,进而利用该递推式来得到 ARIMA(p,1,q) 序列。该模型也称为单位根模型,当样本数据不太大时,与平稳序列差异不大,不容易区分。

    将单位根模型与如下趋势模型进行对比:

    其中 Y 是 ARMA(p,q) 序列。

    单位根模型与趋势模型得到的都是非平稳序列,单位根模型通过一次差分后,序列变为平稳;趋势模型通过减去趋势项,序列也变为平稳。但单位根模型减去趋势项,仍非平稳。

    情形 d=2:即 ARIMA(p,2,q) 模型,这时

    是一个 ARMA(p,q) 序列。由此可以得到递推关系如下

    两边对 t 求和(从 1 到 n1)得到

    到这里就得到了类似 ARIMA(p,1,q) 模型,移项得到

    再对 n1 求和(从 1 到 t )得到

    从这可以看出有一部分线性趋势,但如果减掉,剩下的还是一个类似 ARIMA(p,1,q) 序列,仍然是非平稳的。其通解可以写为如下形式

    类似地可以推广到 ARIMA(p,d,q) 情形,其通解为

    形式上看,它的通解为 ARMA 序列的 d 重求和,加上一个多项式的趋势

    (3)几种特殊情形

    a. ARI(1,1) 模型(即 ARIMA(1,1,0)),差分后得到 AR(1) 序列

    其中 a 的模小于 1,看上去是 AR(2) 但并不是,因为根在单位圆内了!

    将其非平稳解表示成 wold 系数的形式

    将 wold 系数形式代回原模型,可以得到 wold 系数的递推关系(此处不要求,步骤略写,但思想需要掌握)

    结合初值得到

    可以看出 wold 系数并不收敛于 0,所以 X_t 是非平稳的。

    b. IMA(1,1) 模型(即 ARIMA(0,1,1))--商业和经济中常用

    模型为

    设序列首次观测的时间为 -m ,则在此之前( t<-m )没有观测值,都记为 0.

    那么由模型不断递推得到

    这时一个 MA(t+m+1) 模型。

    其方差为系数的平方和

    对于较大的 m 和中等大小的 k,相关系数近似为

    其中协方差与 X_t 的方差只在 ε_t 的系数部分有差别。

    可见,当 t 增大时,方差会无限增大。并且对于多个滞后期数 k,

    高度正相关。这种周期性符合现实经济和商业的特性。

    三、季节 ARMA 模型

    (1)季节 MA 模型

    例如我们拿到了 2000-2020 年每个月份的数据,那么我们将数据按月份分为 12 组,对每组的数据用 MA 模型来建模,就得到季节 MA 模型。如果数据是按季度分的,也是同理。

    此时模型为

    计算自协方差函数如下

    序列是平稳的,并且仅在滞后 12 处才有非零的自相关性。这样得到的每一个月份都是同一个 MA 模型。

    现在我们考察周期为 s 的 MA(Q) 模型:

    从形式上看,季节 MA(Q) 模型也就是 MA(Qs) ,只不过其中很多系数都是 0。

    同样地,它也是平稳序列,并且自相关系数只在 s, 2s, 3s, ... , Qs 处非零,具体表达式如下

    分母是系数的平方和,分子是系数错一位的乘积和。

    (2)季节 AR 模型

    类似地,季节 AR(1) 模型为

    因为根在单位圆外,所以将来的白噪声和过去的观察值是不相关的。两边同乘

    ,然后取数学期望得到

    递推可得

    其中第二行利用

    利用 AR 模型的方法可以得到季节 AR(1) 模型的平稳解为

    同样可以推广到季节 AR(p) 模型

    特征多项式满足

    (3)季节 ARMA 模型

    定义周期为 s 的季节

    模型为

    这里的 p,q 为

    的阶数,P,Q 为
    的阶数。一般 p,q 不超过 3。

    :这里为什么要多出

    呢?

    :如果没有

    ,那么某一季节的数据只与该季节中不同年份的数据有关,而与其它季节的数据无关,与实际不符。

    如果按之前(1)(2)来建立模型

    这时白噪声不应该是白噪声,而应该是一个 ARMA(p,q) 序列,这就得到了上面的定义。

    :考虑季节 ARMA 模型

    将后移算子展开得到

    计算自协方差和自相关系数如下

    一个小发现

    的形式与模型很像,把所有的 B 换成平方,减号换加号。虽然我没有证明,但直觉上这是成立的,或者二者之间至少有某种关系。先挖个坑,之后填 。

    其自协方差函数不会很快趋于0,而是具有一定的周期性。

    :考察模型

    两边同乘

    并取数学期望得到

    经常用到:将来的白噪声和现在的观测值不相关。

    由第二行同除

    可得

    由第二行取 k = 11,并结合第一行可以解得

    ,然后再利用第二行得到

    对于其余的 k(例如 2),第二行分别用 2 和 10 来代,解得两个自协方差函数都是 0,进而自相关函数都是 0.

    (4)非平稳季节 ARIMA 模型

    如果

    是周期为 s 的季节
    模型,那么称 Xt 为季节周期 s,非季节阶数为 p,d,q ,季节阶数为 P,D,Q 的季节 ARIMA 模型,或称周期为 s的
    模型。

    说明

    为某个 d 阶多项式作用后移算子,表示横向趋势(即不同季节之间),
    为某个 D 阶多项式作用后移算子的 s 次方,表示纵向趋势(同一季节不同年份之间)。

    实际问题中 d 和 D 都很小,一般 D=0 或 1,如果取更大,那么上升速度就过快了,不是爆发的阶段一般不这么取。

    回顾建模步骤

    考察如下的周期 12 , N 年的数据

    da9170e166117d1a6dbfb6107200b3eb.png

    对第 j 列数据,将其中心化(减去均值,记为 Z )后,可以拟合一个 ARMA(p,q) 序列。

    之前提到,如果这里的白噪声真的就是白噪声,那么不同季节之间不相关,显然不合理。

    所以假设这时的

    也是一个 ARMA 序列,建立一个较低阶的 ARMA(p0,q0) 模型。

    进而得到季节 ARMA 模型

    但这样的模型没有考虑随年份,随季节的递增趋势,所以上面的 Z 实际上应该要经过差分才能得到,而不仅仅是中心化。

    由差分后得到的 Z 结合之前的季节 ARMA 模型,可以得到关于 Y 的季节 ARIMA 模型

    第四章 均值和自协方差函数的估计

    4.1 均值的估计

    通过之前对不同模型的介绍,我们了解到 AR,MA,ARMA 模型的参数都可以由其自协方差函数唯一确定。因此如何由样本来估计自协方差函数是关键的。

    估计量是自然的:用样本均值估计总体均值,样本自协方差函数估计总体自协方差函数。

    但这里需要考虑几个问题:相合性、渐近分布、收敛速度。

    (一)相合性

    定理:平稳序列的自协方差函数收敛到0,那么样本均值是总体均值的相合估计。

    根据定义,求样本均值与总体均值的均方误差

    第二个等号把求和平方写成双重求和,然后得到自协方差函数(第三个等号),再做求和指标的变换。第四个等号:类似二重积分的交换次序,先考虑 m 的范围,容易得到 1-N 到 N-1 。然后利用 m 原本的范围 1-j 到 N-j 可以得到 j 的范围是 1-m 到 N-m ,但 j 一开始已经固定在 1 到 N 中,取交集就得到这个结果。第五个等号通过对 m 的正负讨论来计数。最后一步,利用数学分析中“数列平均的极限等于通项的极限”的结论。

    进而利用切比雪夫不等式

    得到样本均值的相合性。

    此外,如果平稳序列是严平稳且遍历的,那么样本均值是强相合的。

    回顾一下,严平稳遍历序列有强大数律:

    (二)中心极限定理

    我们知道如果时间序列数据中每个样本点是独立同分布的,那么

    有了渐近分布,计算参数的置信区间就容易了。下面讨论一般的平稳列的中心极限定理。

    定理 对于线性平稳列,如果白噪声时同分布的

    其中白噪声的系数平方可和(绝对可和当然更加成立),则只要平稳列的谱密度

    在 0 处连续并且

    ,那么有如下渐近分布:

    其中渐近方差的计算如下(与之前相合性证明的过程一样):

    然后利用自协方差函数与谱密度的关系,可以得到定理中的

    ,此外也可以用平稳序列的自协方差函数公式来得到,具体步骤如下

    注意:如果考试让证明某个平稳列的中心极限定理,不能直接用这个定理来得到。过程应该是:把 X1+X2+...+Xt 用白噪声来表示,利用白噪声的独立性,由不同分布的中心极限定理来得到渐近正态性。

    展开全文
  • 3.3 广义 ARMA 模型和 ARIMA 模型介绍一、广义 ARMA 模型(1)定义我们把 ARMA 模型中关于多项式 A(z),B(z) 的最小相位条件去掉(即允许有单位圆内的根),其余定义相同,得到的就是广义 ARMA 模型。(2)平稳解情况...

    3.3 广义 ARMA 模型和 ARIMA 模型介绍

    一、广义 ARMA 模型

    (1)定义

    我们把 ARMA 模型中关于多项式 A(z),B(z) 的最小相位条件去掉(即允许有单位圆内的根),其余定义相同,得到的就是广义 ARMA 模型。

    (2)平稳解情况

    如果 A(z) 在单位圆上有根,那么广义 ARMA 模型没有平稳解。

    如果 A(z) 在单位圆上没有根,则有

    ,使得
    在圆环

    内解析,可以进行 Laurent 级数展开(在单位圆内按正常展开,单位圆外则用倒数来替代)得到

    其中两头系数通项都负指数趋于 0,所以整体系数也负指数趋于 0,进而由唯一平稳解

    但这个平稳解中,现在的观察值会与将来的白噪声有关,并没有实际意义。此外,根据齐次差分方程理论,对于

    其特征多项式有单位圆内的根,因此通解是趋于无穷的,所以这时广义 ARMA 的其他解(通解)会趋于无穷,称为爆炸模型

    二、求和 ARIMA(p,d,q) 模型

    (1)定义

    设 d 是一个正整数,如果

    的 d 阶差分

    是一个 ARMA(p,q) 序列(最后一个等号利用二项式定理展开),则称

    是一个求和 ARIMA(p,d,q) 序列。它满足如下差分方程

    其中 A(z),B(z) 都按照 ARMA 模型的定义。

    :通常取 d=1,2,且该模型不存在平稳解

    (2)非平稳解的讨论

    情形 d=1:即 ARIMA(p,1,q) 模型,这时

    是 ARMA(p,q) 序列,给定初值可以得到

    可以通过产生 ARMA(p,q) ,进而利用该递推式来得到 ARIMA(p,1,q) 序列。该模型也称为单位根模型,当样本数据不太大时,与平稳序列差异不大,不容易区分。

    将单位根模型与如下趋势模型进行对比:

    其中 Y 是 ARMA(p,q) 序列。

    单位根模型与趋势模型得到的都是非平稳序列,单位根模型通过一次差分后,序列变为平稳;趋势模型通过减去趋势项,序列也变为平稳。但单位根模型减去趋势项,仍非平稳。

    情形 d=2:即 ARIMA(p,2,q) 模型,这时

    是一个 ARMA(p,q) 序列。由此可以得到递推关系如下

    两边对 t 求和(从 1 到 n1)得到

    到这里就得到了类似 ARIMA(p,1,q) 模型,移项得到

    再对 n1 求和(从 1 到 t )得到

    从这可以看出有一部分线性趋势,但如果减掉,剩下的还是一个类似 ARIMA(p,1,q) 序列,仍然是非平稳的。其通解可以写为如下形式

    类似地可以推广到 ARIMA(p,d,q) 情形,其通解为

    形式上看,它的通解为 ARMA 序列的 d 重求和,加上一个多项式的趋势

    (3)几种特殊情形

    a. ARI(1,1) 模型(即 ARIMA(1,1,0)),差分后得到 AR(1) 序列

    其中 a 的模小于 1,看上去是 AR(2) 但并不是,因为根在单位圆内了!

    将其非平稳解表示成 wold 系数的形式

    将 wold 系数形式代回原模型,可以得到 wold 系数的递推关系(此处不要求,步骤略写,但思想需要掌握)

    结合初值得到

    可以看出 wold 系数并不收敛于 0,所以 X_t 是非平稳的。

    b. IMA(1,1) 模型(即 ARIMA(0,1,1))--商业和经济中常用

    模型为

    设序列首次观测的时间为 -m ,则在此之前( t<-m )没有观测值,都记为 0.

    那么由模型不断递推得到

    这时一个 MA(t+m+1) 模型。

    其方差为系数的平方和

    对于较大的 m 和中等大小的 k,相关系数近似为

    其中协方差与 X_t 的方差只在 ε_t 的系数部分有差别。

    可见,当 t 增大时,方差会无限增大。并且对于多个滞后期数 k,

    高度正相关。这种周期性符合现实经济和商业的特性。

    三、季节 ARMA 模型

    (1)季节 MA 模型

    例如我们拿到了 2000-2020 年每个月份的数据,那么我们将数据按月份分为 12 组,对每组的数据用 MA 模型来建模,就得到季节 MA 模型。如果数据是按季度分的,也是同理。

    此时模型为

    计算自协方差函数如下

    序列是平稳的,并且仅在滞后 12 处才有非零的自相关性。这样得到的每一个月份都是同一个 MA 模型。

    现在我们考察周期为 s 的 MA(Q) 模型:

    从形式上看,季节 MA(Q) 模型也就是 MA(Qs) ,只不过其中很多系数都是 0。

    同样地,它也是平稳序列,并且自相关系数只在 s, 2s, 3s, ... , Qs 处非零,具体表达式如下

    分母是系数的平方和,分子是系数错一位的乘积和。

    (2)季节 AR 模型

    类似地,季节 AR(1) 模型为

    因为根在单位圆外,所以将来的白噪声和过去的观察值是不相关的。两边同乘

    ,然后取数学期望得到

    递推可得

    其中第二行利用

    利用 AR 模型的方法可以得到季节 AR(1) 模型的平稳解为

    同样可以推广到季节 AR(p) 模型

    特征多项式满足

    (3)季节 ARMA 模型

    定义周期为 s 的季节

    模型为

    这里的 p,q 为

    的阶数,P,Q 为
    的阶数。一般 p,q 不超过 3。

    :这里为什么要多出

    呢?

    :如果没有

    ,那么某一季节的数据只与该季节中不同年份的数据有关,而与其它季节的数据无关,与实际不符。

    如果按之前(1)(2)来建立模型

    这时白噪声不应该是白噪声,而应该是一个 ARMA(p,q) 序列,这就得到了上面的定义。

    :考虑季节 ARMA 模型

    将后移算子展开得到

    计算自协方差和自相关系数如下

    一个小发现

    的形式与模型很像,把所有的 B 换成平方,减号换加号。虽然我没有证明,但直觉上这是成立的,或者二者之间至少有某种关系。先挖个坑,之后填 。

    其自协方差函数不会很快趋于0,而是具有一定的周期性。

    :考察模型

    两边同乘

    并取数学期望得到

    经常用到:将来的白噪声和现在的观测值不相关。

    由第二行同除

    可得

    由第二行取 k = 11,并结合第一行可以解得

    ,然后再利用第二行得到

    对于其余的 k(例如 2),第二行分别用 2 和 10 来代,解得两个自协方差函数都是 0,进而自相关函数都是 0.

    (4)非平稳季节 ARIMA 模型

    如果

    是周期为 s 的季节
    模型,那么称 Xt 为季节周期 s,非季节阶数为 p,d,q ,季节阶数为 P,D,Q 的季节 ARIMA 模型,或称周期为 s的
    模型。

    说明

    为某个 d 阶多项式作用后移算子,表示横向趋势(即不同季节之间),
    为某个 D 阶多项式作用后移算子的 s 次方,表示纵向趋势(同一季节不同年份之间)。

    实际问题中 d 和 D 都很小,一般 D=0 或 1,如果取更大,那么上升速度就过快了,不是爆发的阶段一般不这么取。

    回顾建模步骤

    考察如下的周期 12 , N 年的数据

    f33778df814656fa5c38b40117696f77.png

    对第 j 列数据,将其中心化(减去均值,记为 Z )后,可以拟合一个 ARMA(p,q) 序列。

    之前提到,如果这里的白噪声真的就是白噪声,那么不同季节之间不相关,显然不合理。

    所以假设这时的

    也是一个 ARMA 序列,建立一个较低阶的 ARMA(p0,q0) 模型。

    进而得到季节 ARMA 模型

    但这样的模型没有考虑随年份,随季节的递增趋势,所以上面的 Z 实际上应该要经过差分才能得到,而不仅仅是中心化。

    由差分后得到的 Z 结合之前的季节 ARMA 模型,可以得到关于 Y 的季节 ARIMA 模型

    第四章 均值和自协方差函数的估计

    4.1 均值的估计

    通过之前对不同模型的介绍,我们了解到 AR,MA,ARMA 模型的参数都可以由其自协方差函数唯一确定。因此如何由样本来估计自协方差函数是关键的。

    估计量是自然的:用样本均值估计总体均值,样本自协方差函数估计总体自协方差函数。

    但这里需要考虑几个问题:相合性、渐近分布、收敛速度。

    (一)相合性

    定理:平稳序列的自协方差函数收敛到0,那么样本均值是总体均值的相合估计。

    根据定义,求样本均值与总体均值的均方误差

    第二个等号把求和平方写成双重求和,然后得到自协方差函数(第三个等号),再做求和指标的变换。第四个等号:类似二重积分的交换次序,先考虑 m 的范围,容易得到 1-N 到 N-1 。然后利用 m 原本的范围 1-j 到 N-j 可以得到 j 的范围是 1-m 到 N-m ,但 j 一开始已经固定在 1 到 N 中,取交集就得到这个结果。第五个等号通过对 m 的正负讨论来计数。最后一步,利用数学分析中“数列平均的极限等于通项的极限”的结论。

    进而利用切比雪夫不等式

    得到样本均值的相合性。

    此外,如果平稳序列是严平稳且遍历的,那么样本均值是强相合的。

    回顾一下,严平稳遍历序列有强大数律:

    (二)中心极限定理

    我们知道如果时间序列数据中每个样本点是独立同分布的,那么

    有了渐近分布,计算参数的置信区间就容易了。下面讨论一般的平稳列的中心极限定理。

    定理 对于线性平稳列,如果白噪声时同分布的

    其中白噪声的系数平方可和(绝对可和当然更加成立),则只要平稳列的谱密度

    在 0 处连续并且

    ,那么有如下渐近分布:

    其中渐近方差的计算如下(与之前相合性证明的过程一样):

    然后利用自协方差函数与谱密度的关系,可以得到定理中的

    ,此外也可以用平稳序列的自协方差函数公式来得到,具体步骤如下

    注意:如果考试让证明某个平稳列的中心极限定理,不能直接用这个定理来得到。过程应该是:把 X1+X2+...+Xt 用白噪声来表示,利用白噪声的独立性,由不同分布的中心极限定理来得到渐近正态性。

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  • 算法模型---时间序列模型

    万次阅读 多人点赞 2018-01-16 09:04:58
    1、时间序列时间序列是时间间隔不变的情况下收集的不同时间点数据集合,这些集合被分析用来了解长期发展趋势及为了预测未来。...常用的时间序列模型有AR模型、MA模型、ARMA模型和ARIMA模型等。2、时间

    文章来源

    时间序列

    时间序列是时间间隔不变的情况下收集的不同时间点数据集合,这些集合被分析用来了解长期发展趋势及为了预测未来。
    时间序列与常见的回归问题的不同点在于:
    1、时间序列是跟时间有关的;而线性回归模型的假设:观察结果是独立的在这种情况下是不成立的。
    2、随着上升或者下降的趋势,更多的时间序列出现季节性趋势的形式;

    常用的时间序列模型有AR模型(Autoregressive model:自回归模型)、MA模型(moving average model:滑动平均模型)、ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model:自回归滑动平均模型)和ARIMA模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model:自回归积分滑动平均模型)等。

    时间序列的预处理(使数据平稳化和随机化)

    拿到一个观察值序列之后,首先要对它的平稳性和纯随机性进行检验,这两个重要的检验称为序列的预处理。根据检验的结果可以将序列分为不同的类型,对不同类型的序列我们会采用不同的分析方法。

    平稳化处理

    平稳 就是围绕着一个常数上下波动且波动范围有限,即有常数均值和常数方差。如果有明显的趋势或周期性,那它通常不是平稳序列。序列平稳不平稳,一般采用三种方法检验:

    时序图检验

    这里写图片描述

    看看上面这个图,很明显的增长趋势,不平稳。

    利用自相关系数和偏相关系数

    自相关系数和偏相关系数的概念可参考《算法模型— 概率论基础—相关系数相关》
    下面是不平稳数据的自相关和偏相关系数的一种情形。
    这里写图片描述
    左边第一个为自相关图(Autocorrelation),第二个偏相关图(Partial Correlation)。
    平稳的序列的自相关图和偏相关图要么拖尾,要么是截尾。截尾就是在某阶之后,系数都为 0 。怎么理解呢,看上面偏相关的图,当阶数为 1 的时候,系数值还是很大, 0.914;二阶长的时候突然就变成了 0.050. 后面的值都很小,认为是趋于 0 ,这种状况就是截尾。什么是拖尾,拖尾就是有一个缓慢衰减的趋势,但是不都为 0 。
    自相关图既不是拖尾也不是截尾。以上的图的自相关是一个三角对称的形式,这种趋势是单调趋势的典型图形,说明这个序列不是平稳序列。
    平稳序列的自相关系数会快速衰减。

    单位根检验

    单位根检验是指检验序列中是否存在单位根,如果存在单位根就是非平稳时间序列。
    单位根检验:ADF是一种常用的单位根检验方法,他的原假设为序列具有单位根,即非平稳,对于一个平稳的时序数据,就需要在给定的置信水平上显著,拒绝原假设。ADF只是单位根检验的方法之一,如果想采用其他检验方法,可以安装第三方包arch,里面提供了更加全面的单位根检验方法,个人还是比较钟情ADF检验。以下为检验结果,其p值大于0.99,说明并不能拒绝原假设。

    利用差分将序列数据转换为平衡序列

    差分可以将数据转换为平稳序列。
    一阶差分指原序列值相距一期的两个序列值之间的减法运算;k阶差分就是相距k期的两个序列值之间相减。如果一个时间序列经过差分运算后具有平稳性,则该序列为差分平稳序列,可以使用ARIMA模型进行分析。
    确定不平稳后,依次进行1阶、2阶、3阶…差分,直到平稳为止。

    随机化处理

    对于纯随机序列,又称白噪声序列,序列的各项数值之间没有任何相关关系,序列在进行完全无序的随机波动,可以终止对该序列的分析。白噪声序列是没有信息可提取的平稳序列。对于平稳非白噪声序列,它的均值和方差是常数。通常是建立一个线性模型来拟合该序的发展,借此提取该序列的有用信息。ARMA模型是最常用的平稳序列拟合模型。

    平稳时间序列建模

    某个时间序列经过预处理,被判定为平稳非白噪声序列,就可以进行时间序列建模。
    建模步骤:
    (1)计算出该序列的自相关系数(ACF)和偏相关系数(PACF);
    (2)模型识别,也称模型定阶。根据系数情况从AR§模型、MA(q)模型、ARMA(p,q)模型、ARIMA(p,d,q)模型中选择合适模型,其中p为自回归项,d为差分阶数,q为移动平均项数。
    若平稳序列的偏相关函数是截尾的,而自相关函数是拖尾的,可断定序列适合AR模型;若平稳序列的偏相关函数是拖尾的,而自相关函数是截尾的,则可断定序列适合MA模型;若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的,则序列适合ARMA模型。(截尾是指时间序列的自相关函数(ACF)或偏自相关函数(PACF)在某阶后均为0的性质(比如AR的PACF);拖尾是ACF或PACF并不在某阶后均为0的性质(比如AR的ACF)。)
    (3)估计模型中的未知参数的值并对参数进行检验;
    (4)模型检验;
    (5)模型优化;
    (6)模型应用:进行短期预测。

    混合自回归移动平均过程(公式表达)

    差分方程
    所谓差分方程即将变量 yty_t与它的滞后期联系起来的表达式。
    研究变量在第t期的值记为yty_t。假定给出的动态方程将变量y第t期的值与另外的变量wtw_t以及y的前一期联系起来:
    yt=ϕyt1+wty_t=ϕy_{t−1}+w_t
    上述称为一阶差分方程是因为仅仅只有变量的一阶滞后(yt1)(y_t−1)出现在方程中。
    移动平均
    “移动平均”的含义源于YtY_t是最近两期的ϵ\epsilon的加权平均。
    ϵt{\epsilon_t}是一个白噪声序列。
    Yt=μ+ϵt+θϵt1Y_t=μ+\epsilon_t+θ\epsilon_{t−1}
    其中μ和θ可以是任意的常数。这个时间序列称为一阶移动平均过程,记为MA(1)MA(1)
    自回归过程
    一阶自回归过程
    一个一阶自回归,记作AR(1)AR(1)满足下面的差分方程
    Yt=c+ϕYt1+ϵtY_t=c+ϕY_{t−1}+\epsilon_t
    ϵt{\epsilon_t}是一个白噪声序列。
    p阶自回归过程
    一个p阶自回归,记作AR(p)AR(p)满足下式
    Yt=c+ϕ1Yt1+ϕ2Yt2+...+ϕpYtp+ϵtY_t=c+ϕ_1Y_{t−1}+ϕ_2Y_{t−2}+...+ϕ_pY{t−p}+\epsilon_t
    混合自回归移动平均过程
    一个ARMA(p,q)ARMA(p,q)过程包括自回归和移动平均项:
    Yt=c+ϕ1Yt1+ϕ2Yt2+...+ϕpYtp+ϵt+θ1ϵt1+θ2ϵt2+...+θqϵtqY_t=c+ϕ_1Y_{t−1}+ϕ_2Y_{t−2}+...+ϕ_pY{t−p}+\epsilon_t+θ_1ϵ_{t−1}+θ_2ϵ{t−2}+...+θ_qϵ_{t−q}

    利用statsmodels库实现时间序列的分析处理

    Time Series analysis tsa
    statsmodels.tsa.arima_model.ARIMA
    AR(I)MA时间序列建模过程——步骤和python代码
    Seasonal ARIMA with Python
    Python 3中使用ARIMA进行时间序列预测的指南
    Python_Statsmodels包_时间序列分析_ARIMA模型
    时间序列实战(一)
    How to Make Predictions for Time Series Forecasting with Python
    How to Use and Remove Trend Information from Time Series Data in Python
    时间序列分析之ARIMA上手-Python
    [python] 时间序列分析之ARIMA

    python中有专门的库statsmodels可以用来作时间序列分析,但spark中则没有现成的。

    #-*- coding: utf-8 -*-
    import matplotlib.pyplot as plt
    import pandas as pd
    data=pd.read_csv('./HIS_MONTH.csv')
    b=data['fData']
    plt.plot(data['fData'])
    plt.show()
    

    数据结构如下
    这里写图片描述

    #自相关图
    from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
    plot_acf(data['fData']).show()
    

    如下所示
    这里写图片描述
    从图上可以自相关系数基本是拖尾的,稍做调整就可以使用。

    #偏自相关图
    from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
    plot_pacf(data['fData']).show()
    

    如下图所示
    这里写图片描述
    偏相关系数也基本符合拖尾。

    #平稳性检测
    from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADF
    print('原始序列的ADF检验结果为:')
    print(ADF(data['fData']))
    #返回值依次为adf、pvalue、usedlag、nobs、critical values、icbest、regresults、resstore
    

    如下所示

    原始序列的ADF检验结果为:
    (-6.561077625309946, 8.378411469638636e-09, 0L, 47L, {'5%': -2.925338105429433, '1%': -3.5778480370438146, '10%': -2.6007735310095064}, 273.5266547319719)
    

    p值远小于0.05,拒绝原假设(原假设认为存在单位根),所以该序列为平衡时间序列。

    #白噪声检验
    from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
    print('差分序列的白噪声检验结果为:')
    print(acorr_ljungbox(data['fValueData'], lags=1))
    

    结果如下

    差分序列的白噪声检验结果为:
    (array([0.05198092]), array([0.81965149]))
    

    P=0.81965149,统计量的P值大于显著性水平0.05,则接受原假设(原假设认为为白噪声序列)。

    下面对原序列做一阶差分运算

    #差分后的结果
    D_data = data['fValueData'].diff().dropna()
    D_data.columns = ['fValueData']
    #时序图
    D_data.plot()
    

    结果如下:
    这里写图片描述
    从图上看,一阶差分后,感觉数据分布更对称为随机了。

    #自相关图
    plot_acf(D_data).show()
    plt.show()
    

    结果如下
    这里写图片描述
    从图上看,一阶差分对数据有改善,振荡衰减更明显

    #偏自相关图
    plot_pacf(D_data).show()
    

    结果如下
    这里写图片描述
    从图上看,偏相关系数虽然没有自相关系数好,但基本能满足平稳序列的要求。

    #平稳性检测
    print('差分序列的ADF检验结果为:')
    print( ADF(D_data))
    

    结果如下

    差分序列的ADF检验结果为:
    (-4.595500765524432, 0.0001316587309452837, 10L, 36L, {'5%': -2.9459512825788754, '1%': -3.626651907578875, '10%': -2.6116707716049383}, 270.35268975914374)
    

    p值远小于0.05,拒绝原假设(原假设认为存在单位根),所以该序列为平衡时间序列。

    #白噪声检验
    from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
    #返回统计量和p值
    print('差分序列的白噪声检验结果为:')
    print(acorr_ljungbox(D_data, lags=1))
    

    结果如下:

    差分序列的白噪声检验结果为:
    (array([12.35619393]), array([0.00043953]))
    

    P=0.00043953,统计量的P值小于显著性水平0.05,则拒绝原假设(原假设认为为白噪声序列),所以一阶差分后该序列为非白噪声序列,有进一步分析的价值。

    Holt-Winters模型原理及python实现

    本部分来源,也可以参考该文

    原理分析

    公式前面也写过,这里再表述一下,有时间再来整理
    假设随机时间序列为:
    xt(t=1,2,,N,N=n)x_t(t=1,2,\ldots,N,N=n)
    时间序列数据一般有以下几种特点:1.趋势(Trend) 2. 季节性(Seasonality)。
    趋势描述的是时间序列的整体走势,比如总体上升或者总体下降。下图所示的时间序列是总体上升的:
    这里写图片描述
    季节性描述的是数据的周期性波动,比如以年或者周为周期,如下图:
    这里写图片描述
    三次指数平滑算法可以对同时含有趋势和季节性的时间序列进行预测,该算法是基于一次指数平滑和二次指数平滑算法的。

    移动平均(The simple moving average (MA))

    直观上,最简单的平滑时间序列的方法是实现一个无权重的移动平均,目前已知的方法是用窗口函数,平滑统计量 StS_t就是最近k个观察值的均值。公式如下:

    st=1kn=0k1xtn=xt+xt1++xtk+1k=st1+xtxtkk s_t=\frac{1}{k} \sum_{n=0}^{k-1} x_{t-n}=\frac{x_t+x_{t-1}+\ldots + x_{t-k+1}}{k}=s_{t-1}+\frac{x_t -x_{t-k}}{k}

    这样的方法存在明显的缺陷,当k比较小时,预测的数据平滑效果不明显,而且突出反映了数据最近的变化;当k较大时,虽然有较好的平滑效果,但是预测的数据存在延迟。而且最少需要k个值(窗口有限)。

    加权移动平均

    一种稍微复杂的方法是先选择一组权重因子来计算加权移动平均
    ω1,ω2,,ωk,n=1kωn=1 {\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_k},满足\sum_{n=1}^{k}\omega_n=1
    然后用这些权重来计算这些平滑统计量:
    st=n=1kωnxtn+1=ω1xt+ω2xt1++ωkxtk+1 s_t=\sum_{n=1}^{k}\omega_n x_{t-n+1}=\omega_1x_t+\omega_2 x_{t-1}+\ldots+\omega_{k}x_{t-k+1}
    在实践中,通常在选择权重因子时,赋予时间序列中的最新数据更大的权重,并减少对旧数据的权重。这个方法也需要最少k个值,并且计算复杂。

    简单指数平滑法

    幸运地是有一种方法可以避免上述问题,它叫做指数平滑法。最简单的指数平滑法如下:
    si=αxi+(1α)si1 s_i = \alpha x_i + (1-\alpha)s_{i-1}
    其中α\alpha是平滑因子,0<α<10 < \alpha < 1sis_i是当前时刻的平滑值。换句话说,平滑统计值SiS_i是当前统计值XtX_t与上一时间平滑值Si1S_{i-1}加权平均。这个简单指数平滑是很容易被应用的,因为只要有两个观察值就能计算了。这里α的选取,我们可以采用最小二乘来决定α\alpha(最小化(stxt)2(s_t-x_t)^2)。
    一次指数平滑算法进行预测的公式为:
    xi+h=six_{i+h}=s_i
    其中i为当前最后的一个数据记录的坐标,亦即预测的时间序列为一条直线,不能反映时间序列的趋势和季节性。

    为什么被称为“指数”平滑法
    从它的递推公式就能发现:

    简单指数平滑法适用于没有总体趋势的时间序列。如果用来处理有总体趋势的序列,平滑值将往往滞后于原始数据,除非α的值接近1,但这样一来就会造成不够平滑。

    二次指数平滑(HoltWinters-无季节趋势)

    为了解决上述问题,于是引出了二次指数平滑,能够保留总体趋势信息。因为将指数平滑应用了两次,所以被称为二次指数平滑。与简单指数平滑相比,二次指数平滑加入了时间趋势统计量tit_i,公式如下:
    si=αxi+(1α)(si1+ti1)ti=β(sisi1)+(1β)ti1 s_i=\alpha x_i + (1-\alpha)(s_{i-1}+t_{i-1})\\ t_i=\beta (s_i-s_{i-1}) + (1-\beta)t_{i-1}
    sis_i添加了与一次指数平滑相比,添加了一个新的趋势项tit_i;而tit_i的表达式与一次指数平滑形式上是一样的,只不过用将xix_i换成(sisi1)(s_i-s_{i-1}),趋势可以想像成增量,就是在此刻与上一刻的差值,趋势当然应该用平滑后的数据的差值;同时将一次平滑中的si1s_{i-1}换成ti1t_{i-1}
    二次指数平滑的预测公式为
    xi+h=si+h ti x_{i+h}=s_i+h \ t_i
    二次指数平滑的预测结果是一条斜的直线

    三次指数平滑

    三次指数平滑将时间序列的季节性这一特征也考虑进去了。
    季节性被定义为时间序列数据的趋势,它表现出每一个周期重复自身的行为,就像任何周期函数一样。“季节”这个词用来表示行为每隔时间段L就开始自我重复。在自然界中有不同类型的季节性“累加性”(additive)和“累乘性“(multiplicative),就像加法和乘法是数学的基本运算。
    如果每个12月都比每个11月多卖出1000套公寓,我们就说这样的季节趋势是“累加性”的。可以用绝对增⻓来表示。如果我们在夏季比冬季多卖出10%的公寓,那么季节趋势在自然中是“累乘性”的。
    累乘性公式如下:
    下面的式子中kk表示季节频率,这个还需要查资料进行理解
    si=αxipik+(1α)(si1+ti1)ti=β(sisi1)+(1β)ti1pi=γxisi+(1γ)ptk s_i=\alpha \frac{x_i }{p_{i-k}} +(1-\alpha)(s_{i-1}+t_{i-1})\\ t_i=\beta (s_i-s_{i-1}) + (1-\beta)t_{i-1}\\ p_i=\gamma \frac{x_i}{s_i} + (1-\gamma)p_{t-k}\\
    上式中k为周期, 累乘三次指数平滑的预测公式为:
    xi+h=(si+h ti)pik+(h mod k) x_{i+h}=(s_i+h\ t_i)p_i-k+(h\ mod\ k)
    或者
    xi+h=(si+h ti)pik+1+(h1) mod k x_{i+h}=(s_i+h\ t_i)p_{i-k+1+(h-1) \ mod \ k}
    两个公式还需要确认下
    累乘性公式初始值的计算
    sk=1k(s1+s2++sk)tk=1k[xk+1x1k+xk+2x2k++xk+kxkk]p1=x1sk,p2=x2sk,,pk=xksk s_k=\frac{1}{k} (s_1+s_2+\cdots+s_k)\\ t_k=\frac{1}{k}\left[ \frac{x_{k+1}-x_1}{k}+\frac{x_{k+2}-x_2}{k}+\cdots+\frac{x_{k+k}-x_k}{k} \right]\\ p_1=\frac{x_1}{s_k},p_2=\frac{x_2}{s_k},\cdots,p_k=\frac{x_k}{s_k}

    累加性公式如下:
    si=α(xipik)+(1α)(si1+ti1)ti=β(sisi1)+(1β)ti1pi=γ(xisi)+(1γ)pikxi+h=si+hbi+pik+h mod k s_i=\alpha (x_i-p_{i-k} )+(1-\alpha)(s_{i-1}+t_{i-1})\\ t_i=\beta (s_i-s_{i-1}) + (1-\beta)t_{i-1}\\ p_i=\gamma (x_i-s_i) + (1-\gamma)p_{i-k}\\ x_{i+h}=s_i+hb_i + p_{i-k+h \ mod \ k}
    或者
    xi+h=si+hbi+pik+1+(h1) mod k x_{i+h}=s_i+hb_i + p_{i-k+1+(h-1) \ mod \ k}
    两个公式还需要确认下
    累加性公式初始值的计算
    sk=1k(s1+s2++sk)tk=1k[xk+1x1k+xk+2x2k++xk+kxkk]p1=x1sk,p2=x2sk,,pk=xksk s_k=\frac{1}{k} (s_1+s_2+\cdots+s_k)\\ t_k=\frac{1}{k}\left[ \frac{x_{k+1}-x_1}{k}+\frac{x_{k+2}-x_2}{k}+\cdots+\frac{x_{k+k}-x_k}{k} \right]\\ p_1=x_1-s_k,p_2=x_2-s_k,\cdots,p_k=x_k-s_k
    其中 α\alpha是数据平滑因子, 0<α<10 < \alpha < 1;β\beta是趋势平滑因子,0<β<10 < \beta < 1; γ\gamma是季节改变平滑因子0<γ<10 < \gamma < 1
    αβγ\alpha,\beta,\gamma的值都位于[0,1]之间,可以多试验几次以达到最佳效果。

    s,t,ps,t,p初始值的选取对于算法整体的影响不是特别大,通常的取值为s0=x0,t0=x1x0s_0=x_0,t_0=x_1-x_0,累加时p=0p=0,累乘时p=1p=1.
    对三次指数平滑法而言,我们必须初始化一个完整的“季节”pip_i的值,不过我们可以简单地设置为全1(针对累乘式)或全0(针对累加式)。只有当序列的⻓度较短时,我们才需要慎重考虑初始值的选取。
    我们这里讲的Holt-Winters模型就是三次指数平滑法。哇,终于切入正题了。
    所有的指数平滑法都要更新上一时间步⻓的计算结果,并使用当前时间步⻓的数据中包含的新信息。它们通过“混合”新信息和旧信息来实现,而相关的新旧信息的权重由一个可调整的拌和参数来控制。各种方法的不同之处在于它们跟踪的量的个数和对应的拌和参数的个数。三次指数平滑法,功能最强大,既能体现趋势性又能体现季节性,所以三次指数平滑法的参数最多,有三个。
    下图为使用累加三次指数平滑进行预测的效果:其中红色为源时间序列,蓝色为预测的时间序列,αβγ\alpha,\beta,\gamma的取值为0.45,0.2,0.95:

    下图为累乘三次指数平滑进行预测的效果,αβγ\alpha,\beta,\gamma的取值为0.4,0.05,0.9:

    可以看到三次指数平滑算法可以很好的保存时间序列数据的趋势和季节性信息,在International Airline Passengers数据集上累乘平滑指数算法的效果更好。

    python代码实现

    我们知道HoltWinters模型有三个可调参数,我们的目的就是训练出有效的α,β, γ
    。我们有两种方法,一种就是自己取值来试试,一种就是采用数值优化的思想,比如
    前面我们提到的最小二乘来最小化误差来求参数(注意不一定能全局收敛!这个问题
    实在是让人头痛。。。)我们就采用最小二乘法(L-BFGS)。

    RMSE的实现

    statsmodels中的holtwinters

    statsmodels.tsa模块
    statsmodels.tsa.holtwinters源码
    statsmodels.tsa.holtwinters.ExponentialSmoothing
    ExponentialSmoothing - 指数平滑算法

    基于SVM作短期时间序列的预测

    传统的做法是提取1、2、3、4、5、7、9、13个单位时间的数据作为特征进行预测;
    举个例子进行分析,比如每天都有口香糖的销量,那么如何通过几周的数据预测明天的数据,
    就可以选择前1、2、3、4、5、7、14天的数据作为特征,从而预测明天的数据,
    通过构建特征,再选择核函数进行预测,其中调参的参数尽量要进行最优化,
    参考方法:如果选择RBF核函数,那么其中就会有三个参数,固定两个,然后不停的优化另外一个,直到得到最优解。

    具体应用的例子:

    (1)SVM预测风场:http://wenku.baidu.com/link?url=SCCIJJe8tXLbTjLMZ81x5Qy6elsceAKIOwtkZ0QxfSCQQ4KaWKwo8Biepjs3Ss2LJ2ewhisNR0ixrDY4kV1Rd7BcqWRenuTaG85K80E-30y
    (2)SVM预测股票指数:基于SVM修正的模糊时间序列模型在沪指预测中的应用
    (3)SVM预测时间序列其他方面:http://www.docin.com/p-233353900.html

    LSTM模型分析及对时序数据预测的具体实现(python实现)

    来源:2017年09月30日 10:28:08

    如何用LSTM自编码器进行极端事件预测?(含Python代码)

    时间序列的并行实现

    spark里面的库是没有时间序列算法的,但是国外有人已经写好了相应的算法。其github网址是:https://github.com/sryza/spark-timeseries
    sryza/spark-timeseries
    Spark-TimeSeries使用方法
    A New Library for Analyzing Time-Series Data with Apache Spark
    【Spark Summit East 2017】使用Spark进行时间序列分析

    基于小波变换的时间序列预测,Python实现,来自雪球

    清华AIOps算法:KPI聚类

    其他资料

    时间序列挖掘-预测算法-三次指数平滑法(Holt-Winters)
    Holt-Winters原理和初始值的确定
    时间序列模型Prophet使用详细讲解

    展开全文
  • ARIMA模型可以对具有季节效应的序列建模,根据季节效应提取的难易程度可以分为简单季节模型与乘积季节模型。简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其他效应之间是加法关系,即简单季节模型实际上就是通过...

    ARIMA模型可以对具有季节效应的序列建模,根据季节效应提取的难易程度可以分为简单季节模型乘积季节模型

    简单季节模型

    简单季节模型是指序列中的季节效应和其他效应之间是加法关系,即

    c077d6fcc240a142b3b9ee1d2918f48b.png

    简单季节模型实际上就是通过趋势差分、季节差分将序列转化为平稳序列,具体分为三步:

    • 第一步:通过简单的低阶差分将趋势信息提取成分;
    • 第二步:通过简单的周期步长差分将序列中的季节信息提取充分;
    • 第三步:提取完季节信息和趋势信息之后的残差序列就是一个平稳序列,再用ARMA模型拟合。

    R语言中用arima函数中的seasonal选项拟合季节模型,相关命令如下 :

    arima(x,order=,include.mean=,method=,transform.pars=,fixed=,seasonal=)

    -x:要进行模型拟合的序列命。

    -order:指定模型阶数。

    -include.mean:指定是否需要拟合常数项。

    -method:指定参数估计方法。

    -transform.pars:指定是否需要人为干预参数。

    -fixed:对疏系数模型指定疏系数的位置。

    -seasonal:指定季节模型的阶数与季节周期,该选项的命令格式为:

    seasonal = list(order=c(P,D,Q),period = pi)

    (1)加法模型:P=0,Q=0

    (2)乘法模型:P,Q不全为零

    例如:拟合1962—1991年德国工人季度失业率序列

    d

    展开全文
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  • 本文从比利时皇家天文台的太阳黑子指数数据中心网站获得1700年至2016年的太阳黑子年度数据,时间跨度为317年,共获得317个数据,对数进行分析,建立季节时间序列模型,并对模型进行检验,最后对太阳黑子数据进行预测...
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    2021-01-05 03:42:53
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  • 测试序列稳定性:看以看到整体的序列并没有到达稳定性要求,要将时间序列转为平稳序列,有如下几种方法:DeflationbyCPILogarithmic(取对数)FirstDifference(一阶差分)SeasonalDifference(季节差分)...
  • 论文研究-结构时间序列模型季节调整方面的应用——与X-12季节调整方法的比较分析 .pdf,
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    2020-08-22 21:46:30
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  • 之前我们有简要地介绍过季节模型,这里我们来正式介绍乘法季节ARMA模型。定义季节周期为s的乘法季节 模型: ,AR特征多项式为 ,MA特征多项式为 。这里, , , , 事实上,这只是一个特殊的ARMA模型,这里,AR部分的...
  • 基于时间序列模型的预测

    千次阅读 2017-06-22 21:54:36
    时间序列预测 自相关与偏自相关 读取数据 可视化数据 稳定时间序列 ARIMA模型 可视化时间序列预测 在需要考虑季节性上的模型使用SARIMA模型 SARIMA模型 Jupyter 设置 In [1]: %%...
  • 今天学习了一下时间序列模型中的指数平滑模型。 时间序列数据的常用模型包括:Holt-Winters Model以及著名的Arima Model。 时间序列模型一般包含3种components: Trend Component Seasonal Component Irregular ...
  • 时间序列模型在预测临床血液需求量中的应用,王岩,吕霞,应用时间序列模型对临床血液需求量进行预测。利用时间序列的复合模型对2005~2008年的数据建模,预测2008年和2009年各季节临床血液需求量
  • 模糊时间序列模型季节模型都是基于时间序列的模型,为了探讨在时间序列表现出一定的周期性时,哪种模型的预测效果会更好,分别利用模糊时间序列模型季节模型对南京某商场的客流量进行预测,计算并比较两种方法下...
  • 当我们分析时间序列模型的结果时,一个常见的问题是明显的季节性变化,在这种情况下,时间系列在一年之内出现有规律的运动。乍一看,使用自回归时间序列模型似乎可以排除季节性。毕竟,自相关系数会因季节而异。但是...
  • data = pd.read_excel('时间序列预测数据集.xlsx') # data.columns=[时间,投递人数,投递次数,工程师投递人数,工程师投递次数,招聘发布公司量,发布职位量,工程师岗位发布公司,工程师岗位发布量] for i in dat
  • 0 SARIMAX模型时间序列分析步骤 1.用pandas处理时序数据 2. 检验时序数据的平稳性 3. 将时序数据平稳化 4. 确定order 的 p.d.q值 5. 确定season_order的四个值 6.应用SARIMAX模型对时序数据进行预测 其实...
  • 1数学建模时间序列模型1、与实践有关系的一组数据,叫做时间序列;2、得到时间序列的数据后,要构建模型,其中平稳时间序列的模型,是本节课重点介绍的;3、y=at+季节性+周期性一、 平稳时间序列分析导论1、时间序列...
  • 并应用熵权法确定各参数权重,建立工作面涌水量预测的非线性回归修正模型,并将模拟预测结果与忽略季节效应的ARIMA模型预测的涌水量进行对比,结果表明,建立的非线性时间序列模型计算的涌水量更为接近实测涌水量,...

空空如也

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季节时间序列模型