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  • 在线性代数中,相似矩阵是指存在相关性的矩阵,这个相关性是什么呢?炫云:线性代数24——矩阵的对角化和方幂1长方矩阵...对于 来说,我们对它的特征向量和行列式一无所知,需要根据 来判断其正定性: 当且仅当Ax=...

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    在线性代数中,相似矩阵是指存在相关性的矩阵,这个相关性是什么呢?

    炫云:线性代数24——矩阵的对角化和方幂

    1长方矩阵与正定矩阵

    我们之前一直在讨论方阵,但大量的实际问题应用到了长方矩阵,比如在最小二乘中用到了

    如果A是一个m×n的长方矩阵,那么

    是一个对称矩阵,当然也是方阵,我们感兴趣的是
    的正定性。对于
    来说,我们对它的特征向量和行列式一无所知,需要根据
    来判断其正定性:

    7d50ab68b7491e54ebd18e1c19ec3d99.png

     当且仅当Ax=0时,上式等于0,因此只需要看看什么时候Ax=0。

    我们在矩阵零空间中讨论过,对于一个m×n的长方矩阵来说,如果是矩阵是列满秩,m > n,那么该矩阵的零空间只有零向量。因此,当

    是列满秩的矩阵时,仅当
    x=0Ax=0,此时对于任意非零向量,一定有
    是正定的。

    2相似矩阵

    AB都是n×n的方阵,若存在可逆矩阵M,使得

    ,则称
    AB互为相似矩阵,记作A~B

    2.1 相似矩阵与特征值

    实际上我们早就见过相似矩阵。如果A有n个线性无关的特征向量,则A可以对角化为

    ,相当于
    和其特征值矩阵
    互为相似矩阵,这里的
    ,是特征向量矩阵。实际上
    A的相似矩阵有很多,我们可以用任意可逆矩阵M代替S,从而求得其他的相似矩阵,
    是众多相似矩阵中最简洁的一个。

    召唤一个矩阵:

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    ΛA互为相似矩阵。如果取另一组可逆矩阵,可以得到A的另一个相似矩阵:

    a3715e3285c11c0e7e19f2a9e82cf434.png

    观察B会发现,它的迹是4(特征向量之和),行列式是3(特征向量之积),这暗示我们B的特征向量和A相同。实际上这正是相似矩阵的特性:相似矩阵具有同样的特征值。实际上所有特征是是3和1的二阶矩阵都是A的相似矩阵。

    为什么相似矩阵会出现相同的特征值呢?现在设AB互为相似矩阵,

    ,根据特征方程:

    3bb62506fbd5ae0f0c57bf2ec69fb92f.png

    现在出现了新的特征方程,B的特征向量是

    ,特征值是λ,和
    A的特征值一致。当然,别指望特征向量也相同,如果特征向量也相同,就变成了完全相等的同一个矩阵。

    2.2 相似矩阵的性质

    对于

    ,设
    是任意同阶方阵,则有:

    (1)反身性:A~A

    (2)对称性:若A~B,则B~A

    (3)传递性:若A~BB~C,则A~C

    (4)若A~B,则二者的特征值相同、行列式相同、秩相同、迹相同。

    (5)若A~B,且A可逆,则B也可逆,

    3特征值相同的情况

    A的所有特征值互不相同时,A必然存在n个线性无关的特征向量,此时A能够对角化;如果存在完全相等的特征值,是否能够对角化就不好说了,需要另行判断,我们对这类矩阵的相似矩阵同样感兴趣。

    e7c849047475a1dfb3e05503e98c5c6e.png

    上面的对角矩阵有两个相同的特征值:

    ,如果
    A有相似矩阵,我们看看这个相似矩阵是什么:

    65d1c6f37b698ccc58216249f1bc74cd.png

    此时

    的相似矩阵是
    本身,类似
    这种特征值重复的对角矩阵,它们只和自己相似。

    另一种特征值相同的矩阵则可能有很多相似矩阵,两个特征值都是4的这类矩阵中最简洁的是:

    489a50e5a2ff20fa2fbe534ace7b0bc1.png

    这个矩阵无法对角化,如果它能对角化,那么:

    927c009a96ea135563314773000282d0.png

    这显然是不成立的。类似A的矩阵虽然有完全相同的特征向量,但无法对角化,比如把右上角的元素1改成其他值。其中A是这类矩阵中最简单的一个,称为诺尔当标准型。

    3.1 诺尔当标准型

    诺尔当指出,对于特征值完全相同的方阵A,就算不能对角化,也一定能够通过变换得到与对角矩阵很接近的诺尔当标准型。具体来说,对于方阵A,一定有同样规模的可逆矩阵P,使得

    是诺尔当标准型。

    若尔当块形如J i=

    ,对角线上为重特征值
    ,上对角线为1,其它位置的元素均为0,每个若尔当块只有1个特征向量。若干个若尔当块可以拼成一个若尔当矩阵。

    若尔当矩阵:J=

    两个矩阵具有相同的特征值和特征向量个数,但是其若尔当块的尺寸不同,两者也并不是相似矩阵。

    诺尔当标准型到底是个啥?举个例子:

    476fdf39d1f0ba77a3a9e6d1bd8786f8.png

    上面的矩阵就是诺尔当标准型,其中空白区域的元素全是0,每一个红色方块是一个诺尔当块。每个诺尔当块都要满足两个性质:主对角线元素完全相同(特征值完全相同),主对角线上方的次对角线元素全为1(如果有次对角线的话)。上面的矩阵是5个诺尔当块构成的,其中[4]比较特别,它只有主对角线,没有次对角线,是大小为1的诺尔当块。

    若尔当标准型是由若干个若尔当块按对角排列组成的准对角矩阵。

    有时候,诺尔当标准型不是那么容易辨别。来看几个诺尔当标准型:

    12e55f8956e8b52810385c6a25b5cd8b.png

    J1和J2比较容易:

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    J3不是诺尔当标准型,它的次对角线是1,主对角线元素不全相等。

    J4也是诺尔当标准型,包含了三个大小为1的诺尔当块。

    3.2 诺尔当标准型与相似矩阵

    诺尔当告诉我们,如果一类矩阵可以化为相同的标准诺尔当型J,则这些矩阵全部是相似矩阵,都可以用

    来表示。

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    A是诺尔当标准型,把右上角的元素1改成其他值,同样可以转换成A的形式,它们都是相似矩阵。

    下面的一组也是相似矩阵:

    68a9c537995a53cf9e18fad60ebf415b.png

    B的第一个块可以很容易地通过矩阵变换转换成诺尔当块。

    如果两个同阶矩阵有相同数量的诺尔当块,但尺寸不同,则这两个矩阵不是相似矩阵:

    aba63c25f1d9cd0bf14cf091cbfdf87f.png

    C由一个大小为3和1的诺尔当块构成,D由两个大小为2的诺尔当块构成,虽然诺尔当块的数量相同,但尺寸不同,它们并不是相似矩阵。

    3.3诺尔当理论

    任意n阶矩阵A都与一个诺尔当矩阵J相似。诺尔当矩阵中的每一个诺尔当块对应一个特征向量。若矩阵具有n个不同的特征向量,则可以对角化,此时其诺尔当标准型J就是对角矩阵Λ。若出现重特征值,则特征向量个数变少。

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  • 行列式及其应用 A是方阵 det不仅可以求数字矩阵行列式,也可以求包含符合的行列式。 A = round(10*randn(5)) %产生随机数矩阵 D = det(A);...所以 交换行列式值变号 A = round(10*randn(5)

    行列式及其应用

    A是方阵在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    det不仅可以求数字矩阵的行列式,也可以求包含符合的行列式。
    在这里插入图片描述

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    A = round(10*randn(5))  %产生随机数矩阵
    D = det(A);	% 计算矩阵行列式
    A(:,[1 3])=A(:,[3 1]); % 互换矩阵A的1 3两列
    A1 = A	% 赋值给新变量
    D1 = det(A1); % 计算交换过后的行列式
    e1 = D1/D % 查看是否变号
    
    %% 结果 e1 = -1 。所以 交换两列 行列式值变号
    

    在这里插入图片描述

    A = round(10*randn(5))
    D = det(A);
    A(:,1)=3*A(:,1); % 将A的第1列乘3
    A2 = A;
    D2 = det(A2);
    e2 = D2/D
    

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    性质二成立
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    性质三成立

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    性质四成立
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    特征值和特征向量

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    拖动鼠标,使其旋转
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    ax 与x共线
    当x与初始位置夹角45度时,ax与x共线。
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    再次共线
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    x旋转360度,轨迹是一个单位圆。AX的轨迹是一个椭圆。

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    四阶及其以上的特征值及其困难。
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    相似对角化

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    我们发现,幼年成活率太低。我们要保护环境。
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    二次型

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    得到了正交矩阵Q 和对角矩阵D
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    正交变换,相当于构建一个新的直角坐标系。
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    图一,任何x1 x2都大于零。 二次型正定
    图二 任何x1 x2都小于零 二次型 负定
    图三不定
    图四半正定
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  • 本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程...本讲介绍相似矩阵,矩阵相似意味着什么。 正定矩阵 回顾上讲内容,正定矩阵有xTAx>0,也可直接通过特征值,主元或者行列式来做判断。 假设A是一个正定矩
    本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址:http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  
    第二十九课时:相似矩阵和若尔当形
    本讲介绍相似矩阵,两个矩阵相似意味着什么。

    正定矩阵
    回顾上讲内容,正定矩阵有xTAx>0,也可直接通过特征值,主元或者行列式来做判断。
    假设A是一个正定矩阵,它是一个对称矩阵,那么A的逆矩阵也是对称的,而且,A的逆的特征值等于原矩阵特征值的倒数,如果能判断原矩阵是正定的,那么它的逆也能确定是正定的
    如果A,B都是正定矩阵,那么A+B也是正定的。证明:已知xTAx>0,xTBx>0,那么xT(A+B)x>0。
    实际上大量的物理问题需要用长方形矩阵描述。

    正定矩阵从何而来?它来自最小二乘法。最小二乘的关键在于矩阵ATA,可证明它是一个正定矩阵
    假设有长方矩阵Am×n,那么ATA是对称矩阵。
    xT(ATA)x = (Ax)T(Ax) = |Ax|>= 0,当Ax为零向量时等式等于0,Ax=0,如何保证A的零空间里只有零向量?
    当A各列线性无关,rank(A)=n时,零空间只有零向量。此时,ATA是正定的,最小二乘方程将存在最优解。

    正定性把以前的内容都串联起来。现在要进入线性代数最核心的内容了。

    相似矩阵
    A和B是两个n×n方阵,如果存在某个可逆矩阵M,使得:B=M-1AM,那么A和B是相似的
    其中任意两个互为相似的矩阵满足上述等式。
    假设A有无关的特征向量,通过特征向量矩阵S,有:S-1AS=Λ,那么A相似于Λ。对角阵是这类矩阵(互为相似矩阵)中最与众不同的。它是这类矩阵里面最简洁的一个。矩阵A的所有相似矩阵里面,Λ是最好的,还有许多其他矩阵与A相似。我们可以用任意的可逆矩阵M代替S,都得到一个新的矩阵,这个新的矩阵与A相似。那么A与其他所有的相似矩阵的共同点是什么?

    性质1)相似矩阵具有相同的特征值;(注意特征向量并不相同)
    具有相同特征值的一类矩阵,两个矩阵之间由一个可逆M联系起来,这类矩阵里面最特殊的就是对角阵Λ。为什么相似矩阵具有相同的特征值?
    有Ax=λx,假设λ是A的特征值,那么AMM-1x=λx,等式两边同时乘以M-1M-1AMM-1x=λM-1x,同时有B=M-1AM,所以前面的式子化为:BM-1x =λM-1x,此等式表明λ是B的一个特征值。由此也可得性质2.
    性质2)B=M-1AM, B的特征向量等于M的逆乘以矩阵A的特征向量
    对角阵Λ是A的最简单特殊的相似矩阵,Λ的特征向量为(1 0),(0 1)

    有一种坏情况
    当矩阵A有重复的特征值,那么意味着A的特征向量会共线,矩阵可能无法对角化。
    假设A的特征值:λ1=λ2=4,A=([4 0],[0 4]),那么M-1AM仍旧为A,这样的对角矩阵是单一的一类矩阵,它的相似矩阵只有自己
    另一种情况,如上,下部分,λ1=λ2=4,这是一个无法对角化的矩阵,它可以找到一类矩阵与它相似,如果把右上角的元素换成10或者其他的数,也是一样的能找到相应的M使之与其相似,但右上角是1的特征值重复的三角矩阵称为若尔当标准型Jordan form若尔当标准型是最接近对角阵的一个,但又不完全对角化。
    对于之前无法对角化的矩阵,都可以通过某种特殊方法,完成近似的“对角化”。如果想要对角化任何矩阵,则必须学习这种方法。
    另一类相似矩阵:他们的迹和行列式相等。比如下面的,他们的特征值相等,且所有的特征值都是重复的
    另一类矩阵,若尔当认为它们并不是相似的。
    如下第一个矩阵,λ1=λ2=λ3=λ4=0,特征向量为整个零空间,零空间是二维的。如果把第一行的第三个元素改为7,特征值仍然相等,特征向量个数仍然相等,修改过的矩阵和原先的矩阵相似,但因为之前的矩阵很美观,所以选择前者。注意对角线上的1,每增加一个1,特征向量就减少1个。
    第二个矩阵,4个特征值仍然全为0,特征向量的个数为2,但若尔当认为第二个矩阵并不相似与第一个矩阵。第一个矩阵由3×3的矩阵和1×1的矩阵若尔当块组成,第二个矩阵由两个2×2的分块组成,这些分块称为若尔当块。因为若尔当块大小不一样,所以若尔当认为两个矩阵并不相似
      

    若尔当块:Ji表示i阶的若尔当块,它只有一个重复的特征值,对角线上全是λi,下面是0,上面是1,它的对角线上都是同一个数,只有一个特征向量。即,每个若尔当块只有一个特征向量
    若尔当阵J:由若尔当块构成的矩阵,特征值位于对角线上,对角线上方有若干个1,若尔当块的数量等于特征向量的个数,因为每一块对应于一个特征向量
    若尔当定理:每个方阵A都相似于一个若尔当阵J。如果方阵A有n个互不相同的特征值,那么它是一个可对角化的矩阵,对应的若尔当阵就是对角阵Λ,J=Λ,d=n
    若尔当研究了所有情况,包含特征值重复的情况,此时特征向量的个数变少,这就是若尔当的理论。
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  • 相似变换矩阵 左乘P逆,右乘P

    千次阅读 2013-11-19 21:18:55
    相似矩阵有许多相同的性质: 两者的秩相等。两者的行列式相等。两者的迹数相等。两者拥有同样的特征值,尽管相应的特征向量一般不同。两者拥有同样的特征多项式。两者拥有同样的初等因子。



    两个相似的矩阵有许多相同的性质:

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  • 判定矩阵是否相似不是件容易的事,即使他们有相同的特征多项式、迹和行列式,他们仍然可能不相似。那么我们的想法是:如果能将给定的矩阵A,B通过相似性转换成同一类矩阵,那么他们必然是相似的。而由于种种...
  • 矩阵相关定义

    2018-07-11 11:24:51
    如何理解矩阵的迹 如何理解相似矩阵 如何理解矩阵乘法坐标系在线性代数里面称为基映射法则在线性代数里面称为线性变换综合上面点,其实,所谓矩阵就是指定基下的线性变换。同一个线性变换在不同基下的矩阵,就是...
  • 为什么会有矩阵这东西,矩阵到底有什么用

    万次阅读 多人点赞 2018-12-30 20:37:39
    在《线性代数》书中,行列式矩阵总是如影随行,而且个确实长得很相似,所以也经常有人混淆两者。 矩阵:有勾必火 行列式:是指将一些数据建立成计算方阵,经过规定的计算方法最终得到一个数。换句话说,...
  • Jordan 矩阵有什么用呢?

    千次阅读 2018-11-01 14:09:57
    判定矩阵是否相似不是件容易的事,即使他们有相同的特征多项式、迹和行列式,他们仍然可能不相似。 那么我们的想法是:如果能将给定的矩阵A,B通过相似性转换成同一类矩阵,那么他们必然是相似的。 而由于...
  • 矩阵的三角分解! 文章目录一、三角分解1.1、内容回顾 ...LU分解主要应用在数值分析中,用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。 1.1、内容回顾 方阵的个重要分解: 一是相似对角化 A=Pdiag⁡{λ1,λ2,⋯ ,λn}...
  • 矩阵迹的几何意义

    2018-12-04 15:34:33
    线性代数中有个不变量很有意思, 一个是方阵的行列式,另一个是方阵的迹。行列式是对角阵元素乘起来的相似不变量, 而迹是对角阵元素加起来的相似不变量。二者背后的本质和意义是相同的,因此本篇文章就一起来解释...
  • 基础知识,如行列式、特征值、可逆矩阵相似对角化等,这里就不提了。 1、线性空间的判断。书P1 加法封闭性、乘法封闭性,且满足8条运算规则:加法交换律、加法结合律、存在零元素、存在负元素、1、个系数一个...
  • 对图像变换的分类进行一个简单的梳理: ** 1、等距变换 ...在等距变换下,欧几里得距离(旋转矩阵是正交的)不变(行列式的值为1或-1)的齐次坐标变换。 ** 2、相似变换 ** 相似变换其实是等距变换与均匀
  • 等距变换:在仿射变换下,欧几里得距离(旋转矩阵是正交的)不变(行列式的值为1或-1)的齐次坐标变换。 变换矩阵: 变换矩阵可以简化为 等距变化有三个自由度,个点构成四个方程解参数。 变换效应:长度...
  • 文章目录1 浙大四版目录2 学习2.1 行列式行列式的一些性质余子式2.2 矩阵运算一些性质 1 浙大四版目录 行列式 矩阵及运算 矩阵的初等变换与线性方程组 向量的线性相关性 相似矩阵及二次型 线性空间与线性变换 2 ...
  • 线性代数知识

    2018-04-23 21:34:00
    线性代数,行列式交换任意行列式变号一次,那么这行一定要相邻吗?如果是矩阵呢?矩阵用变号吗,为什么? 行列式行行之间、列列之间交换不必相邻。矩阵行列互换不用变号,互换后相当于左乘或右乘一个初等...
  • 行列式的关系:联立个方程 3. 不同特征值对应的特征向量线性无关 4. 实对称矩阵 不同特征值对应的特征向量必正交 5. 属于特定特征值的特征向量的个数 6. A与对角矩阵相似 7. 相似对角化的条件 和 5 区分 8...
  •  5.2.1 矩阵相似的概念   5.2.2 相似矩阵的性质   5.3 方阵可对角化的条件   5.3.1 方阵相似于对角形矩阵的充分必要条件(ⅰ)   5.3.2 方阵相似于对角形矩阵的充分条件   5.3.3 方阵相似于对角...
  • 一、数学&运筹优化 1 线性代数 01 Gauss-Jordan(高斯-诺尔当)算法:消个算什么?我一次消N个 02 线性方程组的解的情况(矩阵的秩) 03 齐次/非齐次线性方程组的解...08 矩阵相似矩阵的幂(相似对角化) ...
  • “线性代数”,同微积分一样,是高等数学中大入门课程之一,不仅是一门...本课程讲述了矩阵理论及线性代数的基本知识,侧重于那些与其他学科相关的内容,包括方程组、向量空间、行列式、特征值、相似矩阵及正定矩阵
  • 本书是高等学校的主干基础课"高等代数"课程的教材,它是作者积...上册讲述线性代数的具体研究对象:线性方程组,行列式,数域K上的n维向量空间K^n,矩阵的运算,欧几里得空间,矩阵的相抵与相似,二次型与矩阵的合同。

空空如也

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两矩阵相似行列式