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  • 用matlab也可以实现的卷积计算操作,主要有两种方法,第一种直接用符号运算,第二种就是用数值运算。 一、卷积是什么? 卷积积分是信号系统时域分析中的重要方法之一。连续信号的卷积积分定义如下: MATLAB进行...

    前言

    用matlab也可以实现的卷积计算操作,主要有两种方法,第一种直接用符号运算,第二种就是用数值运算。


    一、卷积是什么?

    卷积积分是信号与系统时域分析中的重要方法之一。连续信号的卷积积分定义如下:
    在这里插入图片描述

    MATLAB进行卷积计算可以通过符号运算方法和数值计算方法来实现。
    符号运算求解主要是从卷积积分的定义出发,采用积分公式直接计算,此时要注意积分变量和积分限的选取。
    数值计算方法是通过时间间隔取足够小的离散时间信号的来实现的。可调用MATLAB中的conv()函数近似地数值求解连续信号的卷积积分。如果对连续时间信号和进行等时间间隔均匀抽样,则连续信号变为离放序列。当取样间隔够小时,即为连续时间信号和。因此连续时间信号的卷积积分运算转换为
    在这里插入图片描述
    采用数值计算法,只求当t=n▲的卷积积分的值,n为整数,即
    (3-3)

    实际上就是离散序列和的卷积和。当▲足够小时,上式就是卷积积分的结果,即对连续时间信号的较好数值近似
    当取样间隔足够够小时,有
    3-4)
    通过 MATLAB实现连续信号和的卷积,可以利用各自抽样后的离散时间序列的卷积再乘上抽样间隔。抽样间隔越小,误差也就越小。

    二、计算方法

    1.符号运算

    其中用heaviside(t)表示阶跃函数,subs()是符号计算函数,表示将符号表达式中的某些符号变量替换为指定的新的变量,再进行积分操作,类似我们用图示法求解卷积的过程。

    syms tao; 
    t=sym('t','positive'); %t是限定符号变量
    xt1=str2sym('heaviside(t)-heaviside(t-2)');
    xt2=str2sym('heaviside(t)-heaviside(t-3)+heaviside(t-1)-heaviside(t-2)');
    xt_tao=subs(xt1,t,tao)*subs(xt2,t,t-tao);
    yt=int(xt_tao,tao,0,t);
    yt=simplify(yt)
    ezplot(yt,[0,10]),grid on
    title('符号运算法求解卷积');
    

    2.数值运算

    conv函数用于多项式乘法计算和矩阵卷积,用在离散信号相乘结果比较合适,然后再进行一些细节上的操作和绘图。
    最后一个是阶跃函数的封装,matlab中的表示为
    y=(t>0)

    dt=0.001;t1=-0.5:dt:3.5;
    f1=uCT(t1)-uCT(t1-2);
    t2=t1;
    f2=uCT(t2)+uCT(t2-1)-uCT(t2-2)-uCT(t2-3);
    [t,f]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt);
    
    function[f,t]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)
    f=conv(f1,f2);
    f=f*dt;
    ts=min(t1)+min(t2);
    te=max(t1)+max(t2);
    t=ts:dt:te;
    subplot(221)
    plot(t1,f1);grid on;
    axis([min(t1),max(t1),min(f1)-abs(min(f1)*0.2),max(f1)+abs(max(f1)*0.2)])
    title('f1(t)');xlabel('t')
    subplot(222)
    plot(t2,f2);grid on;
    axis([min(t2),max(t2),min(f2)-abs(min(f2)*0.2),max(f2)+abs(max(f2)*0.2)])
    title('f2(t)');xlabel('t')
    subplot(212)
    plot(t,f);grid on;
    axis([min(t),max(t),min(f)-abs(min(f)*0.2),max(f)+abs(max(f)*0.2)])
    title('f(t)-f1(t)*f2(t)');xlable('t')
    
    
    function f=uCT(t)
    f=(t>0);
    end
    

    遇到的一些问题和解决方法

    1.sym还是str2sym
    在吧heaviside表示为阶跃函数的符号定义中采用的sym在matlab版本中报错,修改为strtosym可以正常运行。
    在这里插入图片描述
    2,Heaviside还是heaviside
    在这里插入图片描述
    根据报错信息,修改为小写即可。

    一些总结

    采用了两种方法来计算卷积,第一种是比较直观的符号计算法,采用sym定义符号变量,得到要计算的两个函数符号表示,其中阶跃函数采用heaviside来进行表示,然后再利用subs操作换元,进而进行积分计算,简化后得到最终结果,ezplot绘图。第二种是更难理解的数值计算方法。巧妙利用了conv函数近似数值求解连续信号的积分。

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  • 卷积积分是一特殊的积分,它在积分变换,微分方程,信号系统等领域应用广泛,是一重要的数学工具。 卷积积分实例: 计算方法: 利用Matlab工具箱求解信号的卷积,理解卷积的概念,并与理论计算结果...

    在泛函分析中,卷积、旋积或摺积(英语:Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子,表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。卷积积分是一种特殊的积分,它在积分变换,微分方程,信号与系统等领域应用广泛,是一种重要的数学工具。

    卷积积分实例:在这里插入图片描述
    计算方法:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    利用Matlab工具箱求解两个信号的卷积,理解卷积的概念,并与理论计算结果进行比较。连续时间信号卷积可以用函数conv来求解两个信号的卷积运算结果,注意卷积结果时间范围的上下限范围分别是两个信号各自上下限范围的和

    t=-1:0.01:5;
    f1=((t>0)-(t>3));
    f2=exp(-t).*(t>0);
    f3=conv(f1,f2);f3=f3*0.01;
    k=2*length(t)-1;
    k3=linspace(2*t(1),2*t(end),k);
    subplot(2,2,1)
    plot(t,f1);
    title('f1(t)')
    xlabel('t')
    ylabel('f1(t)')
    subplot(2,2,2)
    plot(t,f2)
    title('f2(t)')
    xlabel('t')
    ylabel('f2(t)')
    subplot(2,2,3)
    plot(k3,f3);
    h=get(gca,'position');
    h(3)=2.5*h(3);
    set(gca,'position',h);
    title('f(t)=f1(t)*f2(t)');
    xlabel('t');
    ylabel('f(t)');
    
    

    运行结果:
    在这里插入图片描述

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  • 鉴于FPGA和DSP各自的优势,FPGA+DSP信号处理架构,已成为...该系统不仅将两种处理器的优点集于一身,并且具有很强的通用性,可以应用于不同的雷达系统。最后分别列举了该系统在连续波雷达和脉冲雷达中的一种典型应用。
  • 傅里叶级数是一最常用的正交函数集,在信号处理,数字信号处理,滤波等等工程中有着广泛的应用. 1. 什么是傅里叶级数? 傅里叶级数是一正交函数集,通过列举法表示如下: {1, cosΩt, sinΩt, ...

    上一部分讲述了有关正交函数集的概念,是学习理解傅里叶级数、傅里叶变换的数学基础。这一部分将了解将信号表示为傅里叶级数的方法。傅里叶级数是一种最常用的正交函数集,在信号处理,数字信号处理,滤波等等工程中有着广泛的应用.

    1. 什么是傅里叶级数?

    傅里叶级数是一种正交函数集,通过列举法表示如下:
    {1, cosΩt, sinΩt, cos2Ωt, sin2Ωt,,coskΩt, sinkΩt} \{1, \space cos\Omega t,\space sin\Omega t,\space cos2\Omega t,\space sin2\Omega t, \cdots,cosk\Omega t,\space sink\Omega t \}
    其中:
    Ω=2πT=2πt2t1 \Omega = \frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{t_2-t_1}
    或使用函数集合的方式表示为:
    {cos(nΩt), sin(nΩt) n=0,1,2,} \{ cos(n\Omega t), \space sin(n\Omega t)\space |n=0,1,2,\cdots \}
    这一部分存在非常严谨的数学证明和推导,但是这里不需要过渡强调其数学的严谨性,只需要了解傅里叶级数是一种最常用的正交函数集,其表现形式如上所示即可。

    傅里叶级数具备如下性质:

    1. 正交性:函数集中的函数两两相正交,即:

    {t1t2cos(nΩt)sin(mΩt)dt=0t1t2cos(nΩt)cos(mΩt)dt=0,  mnt1t2sin(nΩt)sin(mΩt)dt=0,  mn \left\{ \begin{aligned} &\int_{t_1}^{t_2}cos(n\Omega t)sin(m\Omega t)dt = 0 \\&\int_{t_1}^{t_2}cos(n\Omega t)cos(m\Omega t)dt = 0, \space\space m\neq n \\&\int_{t_1}^{t_2}sin(n\Omega t)sin(m\Omega t)dt = 0, \space\space m\neq n \end{aligned} \right.

    1. 归一性
    • n0n\neq 0时:

    t1t2cos2(nΩt)dt=t1t2sin2(nΩt)dt=T2=t2t12 \int_{t_1}^{t_2}cos^2(n\Omega t)dt = \int_{t_1}^{t_2}sin^2(n\Omega t)dt=\frac{T}{2}=\frac{t_2-t_1}{2}

    • n=0n=0时:

    t1t21dt=T=t2t1 \int_{t_1}^{t_2}1dt=T=t_2-t_1

    可见,傅里叶级数虽然不具备归一性,但是对自身平方的积分仍是一个常数,在运算过程中相对简便。

    2. 如何将信号表示为傅里叶级数?

    2.1 傅里叶级数展开

    任意信号f(t)f(t)可以通过傅里叶级数进行如下表示:
    f(t)=a0+a1cos(Ωt)+a2cos(2Ωt)++ancos(nΩt)+b1sin(Ωt)+b2sin(2Ωt)++bnsin(nΩt)=a0+n=1+[ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)] \begin{aligned} f(t)&= a_0+a_1cos(\Omega t)+a_2cos(2\Omega t) +\cdots+a_ncos(n\Omega t) \\&+b_1sin(\Omega t) + b_2sin(2\Omega t) +\cdots+b_nsin(n\Omega t) \\&=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}[a_ncos(n\Omega t)+b_nsin(n\Omega t )] \end{aligned}
    上式的系数为:
    an=t1t2f(t)cos(nΩt)dtt1t2cos2(nΩt)dt={2t2t1t1t2f(t)cos(nΩt)dt,  n01t2t1t1t2f(t),  n=0 a_n=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)cos(n\Omega t)dt}{\int_{t_1}^{t_2}cos^2(n\Omega t)dt}= \left\{ \begin{aligned} &\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)cos(n\Omega t)dt, \space \space & n\neq0 \\&\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t), \space \space & n=0 \end{aligned} \right.

    bn=t1t2f(t)sin(nΩt)dtt1t2sin2(nΩt)dt=2t2t1t1t2f(t)sin(nΩt)dt \begin{aligned} b_n=\frac{\int_{t_1}^{t_2} f(t)sin(n\Omega t)dt}{\int_{t_1}^{t_2}sin^2(n\Omega t)dt}= \frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)sin(n\Omega t)dt \end{aligned}

    关于上述系数表达式的由来可以回顾信号与系统(6)- 信号频域研究的思路及正交函数集

    2.2 傅里叶级数展开-形式1

    由于上式中a0a_0表达起来不是很方便,需要将n进行分类讨论,因此为了将a0a_0的表达统一起来,任意信号f(t)f(t)通过傅里叶级数可以表示为:
    f(t)=a02+n=1+[ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)] f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}[a_ncos(n\Omega t)+b_nsin(n\Omega t)]
    其中每一项系数为:
    an=2t2t1t1t2f(t)cos(nΩt)dtbn=2t2t1t1t2f(t)sin(nΩt)dt \begin{aligned} a_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)cos(n\Omega t)dt \\b_n&=\frac{2}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)sin(n\Omega t)dt \end{aligned}
    上式即为傅里叶级数展开的常见表达形式之一,即:信号可以表示成为直流信号和一系列正弦信号之和。其中直流部分之所以用a02\frac{a_0}{2}而不是a0a_0是为了将a0a_0的表示进行统一。

    2.3 傅里叶级数展开-形式2

    傅里叶级数也存在另一种表现形式:
    f(t)=a02+n=1+Ancos(nΩt+φn) f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n)
    其中:
    An=an2+bn2,φn=arctanbnan \begin{aligned} A_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}, \\\varphi_n = -arctan\frac{b_n}{a_n} \end{aligned}
    这个形式的傅里叶级数展开可以看做是下列正交函数集平移后的线性组合:
    {cos(nΩt) n=0,1,2,} \{ cos(n\Omega t) \space| n= 0,1,2,\cdots\}

    • 式中系数a02\frac{a_0}{2}称为信号的直流分量
    • a1cos(Ωt),a1sin(Ωt)a_1cos({\Omega t}), a_1sin(\Omega t), 或Acos(Ωt+φ1)A_cos(\Omega t+ \varphi_1)称为信号的基波分量
    • a1cos(nΩt),a1sin(nΩt)a_1cos({n\Omega t}), a_1sin(n\Omega t), 或Acos(nΩt+φ1)A_cos(n\Omega t+ \varphi_1)称为信号的n次谐波分量

    傅里叶级数的展开形式2再次用到了线性时不变系统的性质,即系统的齐次性、叠加性以及时不变性,相关概念可以回顾信号与系统(2)- 系统

    3. 上述傅里叶级数展开的适用条件是什么?

    1. Direchlet证明,当满足以下3个条件时,在n趋向于无穷大时,傅里叶级数可以没有误差的表示信f(t)f(t)

      • f(t)f(t)绝对可积,即:t1t2f(t)dt<\int_{t_1}^{t_2}|f(t)|dt<\infty;

      • f(t)f(t)在区间[t1,t2][t_1,t_2]内有有限个间断点;

      • f(t)f(t)在区间[t1,t2][t_1,t_2]内有有限个极值点,举个反例,如sin(1t)sin(\frac{1}{t})这个函数有无穷多个极值点

      • Direchlet同时也为傅里叶级数作为子信号的完备性提出了证明。至此,子信号应具备的正交性、归一性以及完备性均得到了讨论和论述。其中归一性虽然不满足,但是结果相对容易进行计算。

      • 一般情况下,n的取值无法趋近于无穷大,因此这种正交展开是存在一定误差的,并且n越大,误差越小,在误差允许的范围内,这种展开仍是一种非常好的展开。

    2. f(t)=a02+n=1+[ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)]f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}[a_ncos(n\Omega t)+b_nsin(n\Omega t)]可见,等式右边是一个周期信号的和,所以仍为周期信号。所以这种分解可以用在2个场合

      • 研究函数在区间(t1,t2)(t_1,t_2)内德分解。

      • 研究周期为T的函数在整个时间区间的分解。

      • 其中第2种场合是常使用的场合,比如正弦稳态响应等分析,都是研究周期函数在整个时间区间的分解。

    4. 傅里叶级数如何展开的特例-周期信号的傅里叶级数展开

    若信号f(t)f(t)的周期为T,因此通常研究或关注的时间区间为[1T,1T][-\frac{1}{T},\frac{1}{T}][0,T][0,T]。比如对方波信号进行傅里叶展开:
    f(t)={1,  0<t<T21,  T2<t<T f(t)=\left\{ \begin{aligned} 1, \space \space 0<t<\frac{T}{2} \\-1, \space \space \frac{T}{2}<t<T \end{aligned} \right.
    按照定义,方波信号的傅里叶级数展开如下:
    an=2T0Tf(t)cos(nΩt)dt=0 a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(n\Omega t)dt=0
    bn=2T0Tf(t)sin(nΩt)dt={4nπ,  n0,  n b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(n\Omega t)dt=\left\{ \begin{aligned} &\frac{4}{n\pi}&, \space \space &n为奇数 \\&0&, \space \space &n为偶数 \end{aligned} \right.

    因此,方波周期信号的傅里叶级数展开为
    f(t)=4π[sin(Ωt)+13sin(3Ωt)+15sin(5Ωt)++1nsin(nΩt)],n f(t) = \frac{4}{\pi}[sin(\Omega t)+\frac{1}{3}sin(3\Omega t)+\frac{1}{5}sin(5\Omega t)+\cdots + \frac{1}{n}sin(n\Omega t)], n为奇数
    由此可见,方波周期信号的傅里叶级数展开是一组仅含有奇次谐波的不同幅值的正弦信号的叠加,随着谐波数的增加,频率分量的幅值逐渐减少,如下图所示:

    该图片引自知乎论坛真情妙语著文章,作者的MATLAB程序可以非常直观的对通过傅里叶级数合成周期信号进行展示。

    下图是一个通过傅里叶级数对周期方波信号的表示,可以看到,随着n的增加,合成的信号越来越接近原信号。下图源于Brilliant

    ## 5. Gibbs现象

    在用傅里叶级数表示周期的方波信号时,在方波信号的跳变边缘会出现一个超跳,如下图所示,图片来源于Brilliant

    这个现象称为Gibbs现象,即:随着n趋向于无穷,在函数的间断点附近至少存在一点,其函数的分解误差收敛于函数在这点上跳变值得8.948987%

    问题:Gibbs现象证明存在误差,而Direchlet证明没有误差,这里是不是矛盾?

    不矛盾,只是两者对“相等”的理解不同。Direchlet的相等指的是“方均”意义上的相等,即等号两端的方均误差为0,也称为方均收敛。而Gibbs的相等指的是逐点收敛。具体细节涉及到很多数学论证,这里不多进行讨论。

    在工程中,由于动态原件,如电容和电感的存在,系统很难出现这样的跳变,因此傅里叶级数是可以非常好的对任意符合Direchlet条件的周期信号进行表示的。

    下一步将阐述对复指数形式的傅里叶变换,也是使用最广泛的一种形式。

    谢谢阅读,如有不当之处请批评指出,谢谢!

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  • 信号系统

    2019-09-28 20:34:17
    引言 信号系统是在多个应用领域中出现的概念,...信号系统理论提供了一基础的数学模型,可以对各种领域的信号系统进行统一的描述和分析。信号的定义,性质和运算与其数学域有关;而系统的定义和性质则是...

    引言

    信号与系统是在多个应用领域中出现的概念,虽然其物理本质不同,但是都具有两个基本特征。信号是一个依赖于一个或多个独立变量的函数,包含着一些现象本质或行为的信息;
    而系统是一个关于信号的函数,对于特定的信号,会产生其它信号或一些期望的行为。
    信号与系统理论提供了一种基础的数学模型,可以对各种领域的信号与系统进行统一的描述和分析。信号的定义,性质和运算与其数学域有关;而系统的定义和性质则是从各种物理系统中总结出来的,如稳定性、可逆性、因果性、无记忆性等。
    本文在第一、二节分别介绍时域、频域中的LTI 系统,建立基本概念,并在第三节讨论一些实例,如滤波器、调制器,来加深这种认识。第四、五节介绍了离散信号的时频域分析,侧重于数字信号处理中的一些问题。最后在第六节讨论了谱域分析及其在线性反馈系统中的应用。本文着重于介绍各种分析之间的联系,从而略过了一些数学模型的建立过程。

    时域系统

    信号在时域中是一个时间函数,对应于各个时间点上的量化信息。借助于$\delta$函数,信号可以表示为:

    $x(t)=\delta(t)\bigotimes x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-\tau)x(\tau)d\tau$

    如果系统具有线性时不变(LTI)的特性,$Y[ax+by]=aY[x]+bY[y],Y[x(t-\tau)](t)=Y[x(t)](t-\tau),h(t-\tau)=Y[\delta(t-\tau)]$
    那么系统可以用一个卷积公式来表示,h(t)称为系统冲激响应。

    $y(t)=Y[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-\tau)x(\tau)d\tau]=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)x(\tau)d\tau=h(t)\bigotimes x(t)$

    系统特性可以具体表示为:

    • 因果性:$h(t) = 0, t<0$;
    • 稳定性:$h(t)$绝对可积;
    • 无记忆性:$h(t)=K\delta(t)$;
    • 可逆性:$h(t)*h^{-1}(t)=\delta(t)$

    如果采用阶跃函数分解信号,则可以得到基于阶跃响应的卷积公式,并且$h_d(t)= h_s(t)’$。另外,很大一部分LTI 系统可以用常系数微分方程来表示,并且可以用形象的系统框图来表示。

    频域系统

    有相当一部分信号可以分解成正弦信号的线性组合,因此在频域中,采用如下公式来分解信号。

    $x(j\omega)=\delta(j\omega)\bigotimes x(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(j\omega-jw)x(w)dw$

    类似于时域公式,系统的LTI 特性表示如下:
    $S[aX(j\omega)+bZ(j\omega)] = aS[X(j\omega)] + bS[Z(j\omega)],S[X(j\omega-j\omega_0](j\omega) = S[X(j\omega)](j\omega-j\omega_0)$以及乘积公式:
    $Y(j\omega) =$F[y(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}F[h(t-\tau)]x(\tau)d\tau=H(j\omega)\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau=H(j\omega)X(j\omega)$

    利用傅立叶变换,其系统性质定义为:

    • 因果性:$H(j\omega) = 0, t<0$;
    • 无记忆性:$H(j\omega)=K$;
    • 可逆性:$H(j\omega)H^{-1}(j\omega)=1$。

    其稳定性一般针对于这样的系统进行分析,即在时域中可以用常系数微分方程来表示。
    在频域中,其系统为一个有理分式,其极点都分布在实轴负平面时,对应的时域系统 h(t)绝对可积。
    另外,对于很多有用的信号都不能做傅立叶变换,因此采用$e^{-st},s=\sigma+j\omega}$进行拉普拉斯变换,以此建立谱域,主要分析自控系统的稳定性。

    时频域分析

    对于频率选择的滤波器来说,在频域设计是一种直接、方便的方法,而且可以在(Bode)图上直接对$H(j\omega)$的各个分量进行计算。为了得到不失真的信号输出,需要考虑滤波器幅度和相移两个方面。为了使各个频率分量在时域得到统一的延迟,需要相移保持线性,或群延迟为常数。
    非理想滤波器有通带波纹,禁带波纹和过渡宽度三个指标。通常需要在指标与成本之间做出权衡。在时域上,这些指标可以通过系统阶跃响应的上升时间和铃振效应来测量。以二阶系统为例,其系统函数为:

    $H(s)=\frac{1}{s^2+2\zeta s+b^2}$

    $\zeta$为阻尼系数。$\zeta$越大,系统极点越深入负半轴,系统越稳定。反之$\zeta$越小,阶跃响应的上升时间越小,但是系统就越不稳定,以至出现振荡。

    实际上,调制解调器不是一个LTI 系统,但是可以利用傅立叶变换得到其频谱加以分析。以幅度调频为例,其频谱占据以载波频率为中心的信号带宽。
    $y(t) = x(t)e^{j\omega t},Y(j\omega  = X(j\omega-j\omega_c),x(t) = y(t)e^{-j\omega t}$
    对于异步解调系统来说,用包络来近似调制信号,有两个比较重要的假定:$x(t)>0,\omega_c >>\omega_x$。如果用正弦信号来担任载波,则其频谱会显示出两个边带,表现出带宽和能量的损失。另外,对于窄带调频系统,系统输出信号会表现出类似AM-DB/WC 的频谱。
    线性反馈系统是LTI 系统构成前向和反馈通路的线性时变系统。反馈通路改变了系统的极点分布,所以可以完成系统求逆、系统补偿、系统稳定和系统跟踪等方面。其稳定性可以由根轨迹和奈奎斯特方法来判断。
    根,即系统极点,依赖于系统的前向和反馈表达式。随着增益的变化,其极点会形成一个轨迹。相角准则要求$\angle G(s)H(s)=n\pi$,使得G(s)H(s)与k 一样为实数。根,称为闭环极点,
    从G(s)H(s)的极点开始到零点结束。在左半平面的轨迹对应的k 值使得系统稳定。
    $R(s) = G(s)H(s) + 1/k = 0$
    奈奎斯特(Nyquist)准则不需要G(s)H(s)的解析表达式,利用复平面的包围定理,如果右半平面没有极点分布,那么其围线的R(s)映射围绕原点的次数与R(s)零点相同,或者说G(s)H(s)映射围绕原点的次数与G(s)H(s)零点相同。另外需要考虑的是增益裕量和相角裕量,前者是反馈相角为零时的最小增益;后者是增益为1 时的最小相角。

    离散域分析

    所谓离散信号建立在归一化的时间或频率上。与连续信号相似,LTI 系统可以表示为:
    时域:$y[n] = x[n]*h[n]$,频域:$Y(j\omega) = X(j\omega)H(j\omega)$。与其不同的是:由于时间或频率的离散性,其频域响应以2为周期或其时域响应以T 为周期,两者具有对偶性。相应的傅立叶变换变成:
    时间离散:$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(j\omega)e^{j\omega n}d\omega,X(j\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}$

    由$z=e^{jk\omega_0}$,可得到Z变换:$x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint_C X(z)z^{n-1}dz,X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$

    因此判断变换域Z中的系统特性,大都与频域相似,只有稳定性要求系统极点分布在单位圆内。Z 域分析主要应用在数字信号处理领域。
    频率离散:$X[jk\omega_0]=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt,x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[jk\omega_0]e^{jk\omega_0t}$

    如果对时间、频率都进行离散归一化,可以得到离散傅立叶级数,此时频谱有限,信号具有周期性。
    时频离散:$x(nt_0)=\sum_{k=0}^{K-1}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0 nt_0},X(jk\omega_0)=\frac{1}{T}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\omega_0 n}$

    采样定理

    采样定理讲述了在什么样的条件下,连续信号才可以被其采样数据唯一表示或重建。设x(t)为带宽有限信号,$x(j\omega)=0, |\omega|>\omega_M$,x(t)被其采样信号x(nT),n=0, …, 唯一决定的条件是,$\omega_S>2\omega_M,\omega_S=2\pi/T$。

    $\hat{x}=\sum_{m=-\infty }^{\infty }x(mT)\delta(t-mT)$

    $\hat{X}(j\omega)=F[\hat{x}(t)]=\frac{1}{2\pi}F[x(t)]F[\delta_t(t)]=\frac{1}{2\pi}X(j\omega)\Delta_t(j\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty }^{\infty }X(j\omega-jk\frac{2\pi}{T})$

    可见,原信号频谱经周期采样后被延拓了,加一个低通滤波器即可恢复出原信号频谱。采样定理保证了频谱延拓后不致混迭。如果不满足采样条件,则会发生伪信号(aliasing)现象。从频谱分析上看,$\omega_S<2\omega_M$会使得低通滤波器选择$|\omega_S -k\omega_0|<\omega_S /2$,造成信号频率的变化。另外信号采样可以看作是连续信号到离散信号的一个桥梁。其逆向过程是通过插值来实现的,常用的有零阶保持、线性插值两种方法。

    • 零阶保持方法加入一个系统,使得信号在采样间隔保持恒定,其冲激响应为:h(t) = 1, 0<=t<=T;h(t) = 0, 其它。值得注意的是,它改变了频谱,需要在低通滤波器中加以恢复。
    • 线性插值系统的冲激响应为: h(t) = 1, 0<=t<=T;h(t) = 0。

    对于离散信号,同样有采与插值两个过程。其不之处在时间具比例 对于离散信号,同样有采与插值两个过程。其不之处在时间具比例 对于离散信号,同样有采与插值两个过程。其不之处在时间具比例 对于离散信号,同样有采与插值两个过程。其不之处在时间具比例缩放的作用。

    线性周期时变(LPTV)系统

    线性周期时变(LPTV)系统的基本信号为复指数函数,这里时变性是系统的一般特征,周期性是系统函数h(t)的时域特征。

    $x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_ke^{jk\omega_0t},y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_kY[e^{jk\omega_0t}]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k\sum_{i=-\infty}^{\infty}h_{i,k}e^{ji\omega_0t}$

    $Y=HX\,where\,Y=[Y[jk\omega_0]]^T,X=[X[jk\omega_0]]^T, H=[h^{i,k}]$

    可以证明LPTV系统的并联,串联和反馈仍然是LPTV系统。如果满足公式(1),LPTV系统退化成离散频域中的LTI系统,因此LPTV系统与LTI系统连接仍然是LPTV系统。如果满足公式(2),LPTV系统是一个混频器,即时域乘法器。

    $\left\{\begin{matrix}h_{i,k}=0\,if\,i\neq k...(1)\\ h_{i,k}=h_{i+n,k+n}=g_{i-k}...(2)\end{matrix}\right.$

    与LTI系统相比,LPTV系统表现出频率转换的系统特性,更适用于通信领域。

    结语

    图表 1: 不同信号域之间的变换关系

    图表左边是连续信号的三个域:时域T、频域F和谱域S。谱域S是频域F更一般的形式,可以描述不稳定系统。图表右边是离散信号的三个域:时域Nt、频域Nf和变换域Z,其中变换域Z是频域Nf的一般形式。因此利用时频变换关系分析系统特性,在离散域和连续域是极其相似的。

    离散域与连续域之间的对应关系是信号的周期性或离散性引起的,也造成了其间傅立叶变换的不同形式。同时也要看到离散域与连续域之间的变换关系,例如信号脉冲采样,变量归一化。在分析数模混合过程的系统特性时,要注意这些变换的一致性,例如保持频谱一致的采样定理。

    参考文献

    [1] Alan V. Oppenheim, et al, SIGNAL & SYSTEM II, Prentice Hall Inc. 1997

    [2]程佩青,数字信号处理,清华大学出版社

    转载于:https://www.cnblogs.com/liuyunfeng/p/8011949.html

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