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  • 学会用MATLAB实现连续信号的采样和重建 二、实验原理 1.抽样定理 若 是带限信号,带宽为 , 经采样后的频谱 就是将 的频谱 在频率轴上以采样频率 为间隔进行周期延拓。因此,当 时,不会发生频率混叠;而当 < 时...

    一、实验目的
    学会用MATLAB实现连续信号的采样和重建
    二、实验原理
    1.抽样定理
    若 是带限信号,带宽为 , 经采样后的频谱 就是将 的频谱 在频率轴上以采样频率 为间隔进行周期延拓。因此,当 时,不会发生频率混叠;而当 < 时将发生频率混叠。
    2.信号重建
    经采样后得到信号 经理想低通 则可得到重建信号 ,即:
    = *
    其中: = =

    所以:
    上式表明,连续信号可以展开成抽样函数的无穷级数。
    利用MATLAB中的 来表示 ,有 ,所以可以得到在MATLAB中信号由 重建 的表达式如下:

    我们选取信号 = 作为被采样信号,当采样频率 =2 时,称为临界采样。我们取理想低通的截止频率 = 。下面程序实现对信号 = 的采样及由该采样信号恢复重建 :
    例5-1 Sa(t)的临界采样及信号重构;
    wm=1; %信号带宽
    wc=wm; %滤波器截止频率
    Ts=pi/wm; %采样间隔
    ws=2pi/Ts; %采样角频率
    n=-100:100; %时域采样电数
    nTs=n
    Ts %时域采样点
    f=sinc(nTs/pi);
    Dt=0.005;t=-15:Dt:15;
    fa=fTswc/pisinc((wc/pi)(ones(length(nTs),1)*t-nTs’*ones(1,length(t)))); %信号重构
    t1=-15:0.5:15;
    f1=sinc(t1/pi);
    subplot(211);
    stem(t1,f1);
    xlabel(‘kTs’);
    ylabel(‘f(kTs)’);
    title(‘sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号’);
    subplot(212);
    plot(t,fa)
    xlabel(‘t’);
    ylabel(‘fa(t)’);
    title(‘由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)’);
    grid;

    三、上机实验内容
    1.验证实验原理中所述的相关程序;
    结果如上所示。

    2.设f(t)=0.5*(1+cost)*(u(t+pi)-u(t-pi)) ,由于不是严格的频带有限信号,但其频谱大部分集中在[0,2]之间,带宽wm可根据一定的精度要求做一些近似。试根据以下两种情况用 MATLAB实现由f(t)的抽样信号fs(t)重建f(t) 并求两者误差,分析两种情况下的结果。
    (1) wm=2 , wc=1.2wm , Ts=1;
    (2) wm=2 , wc=2 , Ts=2.5

    上机实验实验代码及实验报告如下:
    https://download.csdn.net/download/weixin_39589455/19646965

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  • 有图有真相——锗部分笔记主要包含关于基本信号的分类,系统的简要描述和分类等。

    第一部分信号的基本认识

    信号的分类

    1. 因果与逆因果信号

      ​ 在 t < 0 t<0 t<0 时,信号值恒为零,是因果信号;否则为逆因果信号。
      在这里插入图片描述

    2. 周期与非周期信号

      ​ 存在一个有限大小的周期的可重复信号,是周期信号;如果周期趋于 ∞ \infty 时,信号为非周期信号,即信号不存在周期。
      在这里插入图片描述

    3. 时限与非时限信号

      ​ 仅在 t 1 < t < t 2 t1<t<t2 t1<t<t2 时,信号不恒为零,是时限信号;如果 t ∈ [ − ∞ , + ∞ ] t \in [-\infty,+\infty] t[,+] 时,信号不恒为零,则为非时限信号。

      时限信号如图:
      在这里插入图片描述

    4. 连续与离散信号

      ​ 如果仅仅在特定时刻才有定义的信号,是离散信号;否则为连续信号——即,信号中的连续是定义域内连续,且允许有限的间断点和跳变点。
      在这里插入图片描述

    5. 左边、右边以及双边信号

      ​ 如果 t < t 1 t<t1 t<t1 时,信号恒为零,是右边信号;

      ​ 如果 t > t 2 t>t2 t>t2 时,信号恒为零,是左边信号;

      ​ 如果 − ∞ < t < + ∞ -\infty< t <+\infty <t<+ 时,信号不恒为零, 是双边信号。
      在这里插入图片描述

    6. 确定与随机信号

      ​ 可以用确定的函数表示的信号,是确定信号;不能用函数表示的信号为随机信号。

    7. 实信号与复信号

      ​ 实信号:在实数域中发生并存在的信号。

      ​ 复信号:在复数域中发生并存在的信号。

    8. 能量信号与功率信号

      ​ 能量信号:能量有限,功率为0的信号。
      能 量 计 算 公 式 : ∫ − T 2 T 2 ∣ f ( t ) ∣ 2 d t < ∞ 能量计算公式:\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^{2}dt<\infty :2T2Tf(t)2dt<

      ​ 功率信号:能量无穷,功率有限的信号。
      功 率 计 算 公 式 : 1 T ∫ − T 2 T 2 ∣ f ( t ) ∣ 2 < ∞ 功率计算公式: \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^{2}<\infty :T12T2Tf(t)2<

    信号的时移问题

    时移

    f ( t ) f(t) f(t) 经过一个 t 0 t_{0} t0 时间的移动,得到 f ( t − t 0 ) f(t-t_{0}) f(tt0) ——这就是信号的时移。

    若:

    t 0 > 0 t_{0}>0 t0>0 , 则说明信号右移动;

    t 0 < 0 t_{0}<0 t0<0 , 则说明信号左移动。
    在这里插入图片描述
    简单说来就是看 f ( t ) f(t) f(t) 的自变量变化形式: t − t 0 t-t_{0} tt0 是否满足“左加右减”——即加上一个正数,实则左移动;减去一个正数,实则右移动。

    时间反转

    f ( t ) f(t) f(t) 经过纵轴的对称反转后,得到 f ( − t ) f(-t) f(t) ——这就是信号的反转。
    在这里插入图片描述

    尺度变换

    f ( t ) f(t) f(t) 经过对自变量的放大或缩小,实现对信号在时间上的展宽或压缩,得到 f ( a t ) f(at) f(at) , a > 0 ,a>0 ,a>0 ——这就是信号的尺度变换。

    PS:

    a > 1 a>1 a>1, 则表示信号压缩a倍;

    a < 1 a<1 a<1, 则表示信号展宽a倍。
    在这里插入图片描述

    信号的基本运算

    相加

    f ( t ) = f 1 ( t ) + f 2 ( t ) f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t) f(t)=f1(t)+f2(t)

    相乘

    f ( t ) = f 1 ( t ) f 2 ( t ) f(t)=f_{1}(t)f_{2}(t) f(t)=f1(t)f2(t)

    连续时间信号的导数与积分

    导 数 定 义 : f ( m ) ( t ) = d f ( m − 1 ) ( t ) d t 积 分 定 义 : f ( − k ) ( t ) = ∫ − ∞ t f ( − k + 1 ) ( τ ) d τ 导数定义: f^{(m)}(t)=\frac{df^{(m-1)}(t)}{dt} \\ 积分定义: f^{(-k)}(t) = \int_{-\infty}^{t}f^{(-k+1)}(\tau)d\tau :f(m)(t)=dtdf(m1)(t):f(k)(t)=tf(k+1)(τ)dτ

    信号的分解–偶部与奇部

    偶 部 : f e ( t ) = 1 2 [ f ( t ) + f ( − t ) ] 奇 部 : f o ( t ) = 1 2 [ f ( t ) − f ( − t ) ] 偶部:f_{e}(t) = \frac{1}{2}[f(t)+f(-t)] \\ 奇部:f_{o}(t) = \frac{1}{2}[f(t)-f(-t)] fe(t)=21[f(t)+f(t)]fo(t)=21[f(t)f(t)]

    单位阶跃信号(奇异信号)

    通常将单位阶跃信号定义为 u ( t ) u(t) u(t) t = 0 t=0 t=0 时函数值从 0 0 0 一步跃为 1 1 1 的信号。

    定义:
    u ( t ) = { 1 , t > 0 0 , t < 0 u(t) = \begin{cases} 1 &,& t>0\\ 0 &,& t<0\\ \end{cases} u(t)={10,,t>0t<0
    常用性质:
    1. d u ( t ) d t = δ ( t ) 2. ∫ − ∞ t δ ( τ ) d τ = u ( t ) 3. u ( t ) = 1 , t > 0 1.\quad \frac{du(t)}{dt} = \delta(t) \\ 2.\quad \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau = u(t) \\ 3. \quad u(t)=1, \quad t>0 1.dtdu(t)=δ(t)2.tδ(τ)dτ=u(t)3.u(t)=1,t>0
    在这里插入图片描述

    单位冲激信号(奇异信号)

    通常将冲激函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 理解为,在 t = 0 t=0 t=0 附近,宽度趋于0,幅度趋于无穷大( ∞ \infty ),面积为 1 1 1 的方波。

    定义:
    δ ( t ) = { ∞ , t = 0 0 , t ≠ 0 \delta(t)= \begin{cases} \infty &,& t=0 \\ 0 &,& t\neq0 \end{cases} δ(t)={0,,t=0t=0
    常用性质1:

    乘 积 性 质 : 1. f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) , f ( t ) δ ( t − t 0 ) = f ( t 0 ) δ ( t − t 0 ) 积 分 性 质 : 2. ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) , ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) 导 数 性 质 : 3. δ ( m ) ( t ) = ( − 1 ) m δ ( m ) ( − t ) 导 数 的 积 分 性 质 : 4. ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( m ) ( t ) d t = ( − 1 ) ( m ) f ( m ) ( 0 ) , ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( m ) ( t − t 0 ) d t = ( − 1 ) ( m ) f ( m ) ( t 0 ) 乘积性质: 1.\quad f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t),\quad f(t)\delta(t-t_{0})=f(t_{0})\delta(t-t_{0})\\积分性质:2.\quad \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)dt = f(0), \quad \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_{0})dt=f(t_{0})\\导数性质:3. \quad \delta^{(m)}(t)=(-1)^{m}\delta^{(m)}(-t) \\ 导数的积分性质: 4. \quad \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta^{(m)}(t)dt=(-1)^{(m)}f^{(m)}(0) \quad,\\ \quad \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta^{(m)}(t-t_{0})dt=(-1)^{(m)}f^{(m)}(t_{0}) \quad :1.f(t)δ(t)=f(0)δ(t),f(t)δ(tt0)=f(t0)δ(tt0):2.+f(t)δ(t)dt=f(0),+f(t)δ(tt0)dt=f(t0):3.δ(m)(t)=(1)mδ(m)(t):4.+f(t)δ(m)(t)dt=(1)(m)f(m)(0),+f(t)δ(m)(tt0)dt=(1)(m)f(m)(t0)
    常用性质2:
    1. 标 度 性 质 : δ ( a t ) = 1 ∣ a ∣ δ ( t ) 2. 冲 激 偶 性 质 : ( 用 于 微 分 求 解 的 快 速 判 别 ) f ( t ) δ ′ ( t ) = f ( 0 ) δ ′ ( t ) − f ′ ( 0 ) δ ( t ) 1.标度性质:\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)\\2.冲激偶性质:(用于微分求解的快速判别)\\f(t)\delta^{'}(t)=f(0)\delta^{'}(t)-f^{'}(0)\delta(t) 1.:δ(at)=a1δ(t)2.f(t)δ(t)=f(0)δ(t)f(0)δ(t)
    在这里插入图片描述

    第二部分系统的认识

    系统的定义

    1. 用于生产、处理、传输信号的物理装置。
    2. 具有输入与输出,输入信号为激励,输出信号为响应

    系统的连接方式

    1. 串联(级联):假设输入为 f ( t ) f(t) f(t) ,则经过串联系统之后满足: y ( t ) = M 2 ( M 1 ( f ( t ) ) ) y(t)=M_{2}(M_{1}(f(t))) y(t)=M2(M1(f(t)))
    2. 并联:假设输入为 f ( t ) f(t) f(t) ,则经过串联系统之后满足: y ( t ) = M 1 ( f ( t ) ) + M 2 ( f ( t ) ) y(t)=M_{1}(f(t)) + M_{2}(f(t)) y(t)=M1(f(t))+M2(f(t))
    3. 反馈连接:(常用负反馈)

    ∗ y ( t ) = M 1 { e ( t ) } ∗ b ( t ) = M 2 { y ( t ) } ∗ e ( t ) = f ( t ) + b ( t ) *\quad y(t)=M_{1}\{e(t)\}\\ *\quad b(t)=M_{2}\{y(t)\} \\ *\quad e(t)=f(t)+b(t) y(t)=M1{e(t)}b(t)=M2{y(t)}e(t)=f(t)+b(t)

    系统的性质

    记忆性

    即连续时间系统中任意时刻 t 0 t_{0} t0的响应 y ( t ) y(t) y(t) 仅仅与当前时刻 t 0 t_{0} t0 的输入 f ( t ) f(t) f(t) 有关,则为非记忆性系统。

    反之,则为记忆性系统——记忆性也被称为动态特性,即具有动态特性的系统。

    因果性

    即连续时间系统任意时刻 t 0 t_{0} t0的响应 y ( t ) y(t) y(t) 仅仅与 t 0 t_{0} t0 时刻以后的输入 f ( t ) f(t) f(t) 无关,则为因果系统——即,系统与未来无关。

    反之,则为非因果系统。

    可逆性

    简述为:不同的输入拥有不同的输出(响应),即输入与输出满足一一映射的关系。

    满足以上定义,则为可逆系统,反之为不可逆系统。

    稳定性

    简述为:有限的输入拥有有限的输出。

    满足以上定义,则为稳定系统,反之为不稳定系统。

    形式:
    ∣ f ( t ) ∣ < A 1 < ∞ < = f ( t ) 为 输 入 有 限 ∣ y ( t ) ∣ < A 2 < ∞ < = y ( t ) 为 输 出 有 限 |f(t)|\quad<A_{1}<\quad\infty \quad <= f(t)为输入有限\\ |y(t)|\quad<A_{2}<\quad\infty \quad <= y(t)为输出有限\\ f(t)<A1<<=f(t)y(t)<A2<<=y(t)

    时不变性 ⋆ ⋆ ⋆ \star\star\star

    简述为:延时的响应等于响应的延时。

    满足以上定义,则为时不变系统,反之为时变系统。

    形式:
    y 1 ( t ) = M { f ( t ) } y 2 ( t ) = M { f 1 ( t ) } , f 1 ( t ) = f ( t − t 0 ) y 2 ( t ) = y 1 ( t − t 0 ) \quad \quad \quad \quad y_{1}(t)=M\{f(t)\}\\ y_{2}(t)=M\{f_{1}(t)\},\quad f_{1}(t)=f(t-t_{0})\\ y_{2}(t)=y_{1}(t-t_{0})\\ y1(t)=M{f(t)}y2(t)=M{f1(t)},f1(t)=f(tt0)y2(t)=y1(tt0)

    齐次性 ⋆ ⋆ ⋆ \star\star\star

    简述为:和的响应等于响应的和。

    满足以上定义,则为线性系统,反之为非线性系统。

    形式:
    y 1 ( t ) = f 1 ( t ) , y 2 ( t ) = f 2 ( t ) f ( t ) = a 1 f 1 ( t ) + a 2 f 2 ( t ) y ( t ) = a 1 y 1 ( t ) + a 2 y 2 ( t ) y_{1}(t) = f_{1}(t), \quad y_{2}(t) = f_{2}(t)\\ f(t)=a_{1}f_{1}(t)+a_{2}f_{2}(t)\\ y(t)=a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t) y1(t)=f1(t),y2(t)=f2(t)f(t)=a1f1(t)+a2f2(t)y(t)=a1y1(t)+a2y2(t)
    PS:

    y ( t ) = a f ( t ) y(t)=af(t) y(t)=af(t) 是线性系统,而 y ( t ) = a f ( t ) + b y(t)=af(t)+b y(t)=af(t)+b 不是线性系统——不满足叠加原理,被称为增量线性系统。

    线性时不变系统

    简述为:同时满足齐次性与时不变性的系统。

    形式:
    y ( t ) = ∑ i = 1 N a i f 1 ( t − t i ) y(t)=\sum_{i=1}^{N}a_{i}f_{1}(t-t_{i}) y(t)=i=1Naif1(tti)

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  • 用matlab也可以实现的卷积计算操作,主要有两种方法,第一种直接用符号运算,第二种就是用数值运算。 一、卷积是什么? 卷积积分是信号系统时域分析中的重要方法之一。连续信号的卷积积分定义如下: MATLAB进行...

    前言

    用matlab也可以实现的卷积计算操作,主要有两种方法,第一种直接用符号运算,第二种就是用数值运算。


    一、卷积是什么?

    卷积积分是信号与系统时域分析中的重要方法之一。连续信号的卷积积分定义如下:
    在这里插入图片描述

    MATLAB进行卷积计算可以通过符号运算方法和数值计算方法来实现。
    符号运算求解主要是从卷积积分的定义出发,采用积分公式直接计算,此时要注意积分变量和积分限的选取。
    数值计算方法是通过时间间隔取足够小的离散时间信号的来实现的。可调用MATLAB中的conv()函数近似地数值求解连续信号的卷积积分。如果对连续时间信号和进行等时间间隔均匀抽样,则连续信号变为离放序列。当取样间隔够小时,即为连续时间信号和。因此连续时间信号的卷积积分运算转换为
    在这里插入图片描述
    采用数值计算法,只求当t=n▲的卷积积分的值,n为整数,即
    (3-3)

    实际上就是离散序列和的卷积和。当▲足够小时,上式就是卷积积分的结果,即对连续时间信号的较好数值近似
    当取样间隔足够够小时,有
    3-4)
    通过 MATLAB实现连续信号和的卷积,可以利用各自抽样后的离散时间序列的卷积再乘上抽样间隔。抽样间隔越小,误差也就越小。

    二、计算方法

    1.符号运算

    其中用heaviside(t)表示阶跃函数,subs()是符号计算函数,表示将符号表达式中的某些符号变量替换为指定的新的变量,再进行积分操作,类似我们用图示法求解卷积的过程。

    syms tao; 
    t=sym('t','positive'); %t是限定符号变量
    xt1=str2sym('heaviside(t)-heaviside(t-2)');
    xt2=str2sym('heaviside(t)-heaviside(t-3)+heaviside(t-1)-heaviside(t-2)');
    xt_tao=subs(xt1,t,tao)*subs(xt2,t,t-tao);
    yt=int(xt_tao,tao,0,t);
    yt=simplify(yt)
    ezplot(yt,[0,10]),grid on
    title('符号运算法求解卷积');
    

    2.数值运算

    conv函数用于多项式乘法计算和矩阵卷积,用在离散信号相乘结果比较合适,然后再进行一些细节上的操作和绘图。
    最后一个是阶跃函数的封装,matlab中的表示为
    y=(t>0)

    dt=0.001;t1=-0.5:dt:3.5;
    f1=uCT(t1)-uCT(t1-2);
    t2=t1;
    f2=uCT(t2)+uCT(t2-1)-uCT(t2-2)-uCT(t2-3);
    [t,f]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt);
    
    function[f,t]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)
    f=conv(f1,f2);
    f=f*dt;
    ts=min(t1)+min(t2);
    te=max(t1)+max(t2);
    t=ts:dt:te;
    subplot(221)
    plot(t1,f1);grid on;
    axis([min(t1),max(t1),min(f1)-abs(min(f1)*0.2),max(f1)+abs(max(f1)*0.2)])
    title('f1(t)');xlabel('t')
    subplot(222)
    plot(t2,f2);grid on;
    axis([min(t2),max(t2),min(f2)-abs(min(f2)*0.2),max(f2)+abs(max(f2)*0.2)])
    title('f2(t)');xlabel('t')
    subplot(212)
    plot(t,f);grid on;
    axis([min(t),max(t),min(f)-abs(min(f)*0.2),max(f)+abs(max(f)*0.2)])
    title('f(t)-f1(t)*f2(t)');xlable('t')
    
    
    function f=uCT(t)
    f=(t>0);
    end
    

    遇到的一些问题和解决方法

    1.sym还是str2sym
    在吧heaviside表示为阶跃函数的符号定义中采用的sym在matlab版本中报错,修改为strtosym可以正常运行。
    在这里插入图片描述
    2,Heaviside还是heaviside
    在这里插入图片描述
    根据报错信息,修改为小写即可。

    一些总结

    采用了两种方法来计算卷积,第一种是比较直观的符号计算法,采用sym定义符号变量,得到要计算的两个函数符号表示,其中阶跃函数采用heaviside来进行表示,然后再利用subs操作换元,进而进行积分计算,简化后得到最终结果,ezplot绘图。第二种是更难理解的数值计算方法。巧妙利用了conv函数近似数值求解连续信号的积分。

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  • 信号系统、数字信号处理——复试常见问题

    千次阅读 多人点赞 2021-03-13 20:14:31
    数字信号处理的课程脉络:围绕数字系统的分析和设计展开,分析了数字系统的响应、IIR和FIR滤波器的设计。 从分析方法的角度来看,可以分为时域分析和变换域分析。时域分析主要是用线性卷积来求解系统的零状态响应;...

    数字信号处理的课程脉络:围绕数字系统的分析和设计展开,分析了数字系统的响应、IIR和FIR滤波器的设计。

    从分析方法的角度来看,可以分为时域分析和变换域分析。时域分析主要是用线性卷积来求解系统的零状态响应;变换域主要用z变换求响应,用零极点图、收敛域等工具判断系统的特性。用傅里叶变换分析系统滤波特性、用DFT分析有限长序列、为了减小DFT的运算量提出FFT。
    信号在时域和频域的对偶关系:连续——非周期、离散——周期

    信号与系统Q&A

    为什么要引入拉普拉斯变换?
    拉式变换的引入是因为指数增长信号的傅里叶级数不存在。由于指数增长信号不收敛,我们把它和收敛因子ⅇ^(−σt) 相乘,用s控制衰减。这使得拉式变换相较于傅式变换研究信号范围变大了。

    时域

    卷积convolution
    什么是卷积?
    卷积的本质就是加权求和,它可以联系时域和频域。
    引入卷积运算有什么意义?
    在对系统进行分析时,系统的传递函数和输入信号进行卷积就得到了输出信号。而我们知道卷积的本质是加权求和,那么输出信号实际上就是把输入信号进入系统后不同时间点的响应进行叠加。
    卷积的应用?
    1.应用于图像处理;2.卷积定理可以简化运算,比如FFT的使用。
    卷积和如何计算?
    对位相乘相加法。卷积后序列的长度:N+M-1

    序列的周期性:2π/ω是有理数时,正弦序列Asin(ωn+φ)是周期序列。

    变换域(z变换)

    关于ROC:圆内/圆环/圆外。对于有限长序列一般是全域,严格来讲要讨论0点和无穷远点。ROC内一定不包含极点。

    因果性:先有输入后有输出;LSI系统因果的充要条件是h(n)是因果序列收敛域在圆外
    稳定性:有界输入有界输出;LSI系统稳定的充要条件是h(n)绝对可和收敛域包含单位圆

    为什么幅频特性能用来判断滤波器类型?
    在这里插入图片描述
    傅里叶变换以2π为周期。那么中间(π)就是变化最快的点,即高频;两端(0和2π)是变化最慢的点,即低频。所以只需要画出0到π上的幅频特性图,就足以看出系统的滤波类型。

    关于DTFT

    DTFT即对序列做傅里叶变换。
    DTFT是其原连续时间信号的傅里叶变换的周期延拓。
    DTFT是序列在单位圆上的z变换。

    关于DFT

    为什么要引入DFT呢?
    在进行了DTFT后人们发现,离散时间的傅里叶变换仍然是连续谱。为了在频域得到离散信号以便于计算机分析,人们对DTFT进行采样,得到了DFT。

    DTFT和DFT的关系:离散傅里叶变换DFT是离散时间傅里叶变换DTFT在(0,2π)上的N点等间隔采样。
    DFT和DFS的关系:DFT是DFS的主值序列;DFS是DFT以N为周期的周期延拓序列。
    DFT和z变换的关系:DFT是z变换在单位圆上的N点等间隔采样。
    DFT是有限长序列的傅里叶变换。

    DFT的圆周移位性质:如果序列x(n)发生m点圆周移位,移位后序列的DFT是原序列的DFT乘 W N − m k W_{N}^{-m k} WNmk

    DFT的误差:

    1. 混叠失真:采样频率不够,导致不满足采样定理,出现混叠。解决方法:抽样之前先将信号通过一个低通滤波器,滤除高频部分。
    2. 频谱泄露:由于加窗函数造成很多旁瓣的产生,从而产生谱间干扰。解决方法:选择合适的(缓变型的)窗函数、或者加大窗的宽度。
    3. 栅栏效应:对频谱进行采样时,只能看到各采样点上的频谱,而可能会有重要的峰值没有被采到,就像是隔着栅栏一样。解决方法:增加抽样点数、或尾部补零以增加数据长度。

    DFT 的性质:线性、圆周移位、圆周卷积、共轭对称

    什么是圆周卷积?
    圆周卷积相当于周期延拓后的序列做周期卷积后再取主值区间。
    什么是周期卷积?
    周期卷积就是两个周期序列的卷积,具体计算和线性卷积相同。

    在什么条件下圆周卷积的结果和线性卷积相同?
    设两序列的长度为M、N,在序列后补零到L=M+N-1,进行L点圆周卷积,结果就与线性卷积相同。
    or to say, 圆周卷积的长度≥线性卷积的长度时,圆周卷积即和线性卷积相同。

    关于FFT

    FFT的算法原理:①基于时间:按序列在时间上的次序是奇数还是偶数分解为两个更短的子序列。
    04261537倒位序的树状结构

    按时间抽选的基-2FFT算法流图特点:①输入是码位序倒置排列、输出是自然顺序;②基本计算单元是蝶形计算
    FFT的运算量:在这里插入图片描述

    IIR滤波器与FIR滤波器设计

    IIR与FIR的区别:
    IIR是无限长单位冲激响应,有极点,有递归结构;
    FIR是有限长单位冲激响应,没有极点,一般没有递归结构,除非采用零极点相互抵消的方式。

    模拟信号数字化的过程:1.通过滤波器滤除高频部分;2.A/D转换;3.数字信号处理;4.D/A转换;5.通过滤波器平滑信号

    窗函数法设计FIR滤波器:要求窗函数频谱的主瓣尽可能高、窄,旁瓣尽可能短小,但这两个要求不能同时满足,因为主瓣升高旁瓣也会升高,因此只能折中。

    双线性法设计IIR滤波器的步骤:1.确定滤波器参数;2,数字滤波器参数换成模拟滤波器参数;3.设计模拟低通滤波器;4.转化为数字低通滤波器。

    全通系统:

    采样定理

    采样频率:单位时间(一般一秒)内的采样点数

    带宽:指的是信号的主体占据的频率范围

    频率分辨率:分辨两个不同频率信号的最小间隔f_{0} =\frac{1}{T} ,所以信号越长,分辨率越好,T就是采样前模拟信号的时间长度

    根据采样定理,最低的采样频率必须是信号频率的两倍;也就是说如果给定了采样频率,则信号频率是采样频率的一半,这时称这个信号频率为奈奎斯特频率。如果信号频率超过了奈奎斯特频率,就会发生畸变。比如,风扇在转速较高的时候,人眼看来会出现倒转的情况,这就是因为风扇的转动频率超过了人眼的采样频率,出现了频谱混叠。

    并不是采样点数越多,分辨率就越高,因为T是确定的。只有增加点数的同时增加长度,才能提高分辨率。要注意在DFT补零的过程中是没有增加有效数据的长度的。

    带通采样定理:带通信号的频谱处在某个频段之内,而不是在零频附近。并且通频带的中心频率一般都远大于带宽。如果按照采样定理采样,采样频率就会变得无意义得高。为了减少采样频率,提出带通采样定理如下:当信号的最高频率是带宽的整数倍时,取采样频率为2倍带宽即 f s = 2 Δ f 0 f_{s} =2\Delta f_{0} fs=2Δf0若最高频率不是带宽的整数倍,就将通带延伸一段使它变成整数倍。则抽样频率的取值范围为 2 Δ f 0 ≤ f s < 4 Δ f 0 2\Delta f_{0}\leq f_{s}<4\Delta f_{0} 2Δf0fs<4Δf0

    其他常见问题

    在AD转换前、DA转换后要通过低通滤波器的作用分别是什么?
    A\D转换前通过低通滤波器,是为了限制信号的最高频率以满足采样定理。D\A转换后通过低通滤波器是为了滤除高频延拓,让抽样保持的阶梯型输出平滑化。

    什么是吉布斯现象?
    在对有间断点的周期函数进行傅里叶展开时,将有限项进行合成。当参与合成的项数越多,合成后的波的峰起就越靠近间断点。当项数足够多时,这个峰起值会趋于总跳变值的9%

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