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  • 01空间向量的线性运算、共面、数量积视频讲解1、空间向量的概念2、空间向量的加减法3、空间向量的数乘4、共线向量5、共面向量6、空间向量的夹角7、空间向量的数量积8、空间向量基本定理02空间直角坐标系、空间点...
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    本文适合高二上学期、高三一轮复习的同学阅读。先看视频再看文字,看视频时注意利用暂停,想清楚每一步变形的依据。

    01

    空间向量的线性运算、共面、数量积

    视频讲解

    1、空间向量的概念

    d2077caffc1ed299cb0fbf67fc1977d6.png101147ac6db91af42e26c4cad3fbbecf.png2f08bb50467e5c61b76dfab40a2c82b6.png

    2、空间向量的加减法

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    3、空间向量的数乘

    941369bf15e9e8a278d00f9f93024adb.pngadd01ebacbe0d0c76ccb9d768d7ac272.png

    4、共线向量

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    5、共面向量

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    6、空间向量的夹角

    eb4313dfca8fe5d5c2024cc0d7cd4f2e.png

    7、空间向量的数量积

    2ead18207d0255397a21acdfbaf46948.png50ef76877c97f29985181d5547550900.png

    8、空间向量基本定理

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    02

    空间直角坐标系、空间两点距离公式、空间向量坐标表示与运算

    视频讲解

    9、空间直解坐标系

    (1)空间直角坐标系:从空间某一定点引三条两两垂直,且有相同单位长度的数轴:x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz 。              .

    (2)相关概念:点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。

    (3).右手直角坐标系

    在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴 的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系。

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    10、空间中两点的距离公式

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    11、空间向量的正交分解与坐标表示

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    12、空间向量的坐标计算

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    03

    空间向量的平行、垂直、共面

    视频讲解

    13、空间向量的平行、垂直、模、夹角

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    (本文部分图片与视频来自于网络,仅供学习交流用,若有不妥,请联系删除。)

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  • 现求直线p1p2与直线p2p3 的夹角。 解答: 向量间夹角的余弦等于向量的数量积除以向量模的积 (LaTex语法公式) \vec{P1P2}=(x 2-x1,y2-y1,z2-z1) \vec{P2P3}=(x3-x2,y2-y1,z2-z1) |\vec{P1P2}|=\sq...
    问题:
    
    已知空间3点的坐标P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)
    
    现求直线p1p2与直线p2p3 的夹角。
    
    解答:
    
    向量间夹角的余弦等于向量的数量积除以向量模的积
    
    (LaTex语法公式)
    
    \vec{P1P2}=(x 2-x1,y2-y1,z2-z1)
    
    \vec{P2P3}=(x3-x2,y2-y1,z2-z1)
    
    |\vec{P1P2}|=\sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2}
    
    |\vec{P2P3}|=\sqrt{(x3-x2)^2+(y3-y2)^2+(z3-z2)^2}
    
    \vec{P1P2}*\vec{P2P3}=(x2-x1)*(x3-x2)+(y2-y1)*(y3-y2)+(z2-z1)*(z3-z2)
    
    cos(\vec{P1P2},\vec{P2P3})=
    
    \frac{\vec{P1P2}*\vec{P2P3}}{|\vec{P1P2}|*|\vec{P2P3}|}
    
    渲染后图片:
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    上述图片由http://thornahawk.unitedti.org/equationeditor/equationeditor.php提供在线生成。
    
    如果上述图片没有显示,则点击这里查看:
    
    
    
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    	 本文标签: 公式, 数学
    
    
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  • 有些设备正常工作时需按合适方位安装,比如GPS天线必须朝向天空才能保证信号最佳,温湿度传感器监测口必须朝向被测目标才能及时响应。...因为倾斜角不同,1g加速度按向量分解到xyz三轴:a...

    有些设备正常工作时需按合适的方位安装,比如GPS天线必须朝向天空才能保证信号最佳,温湿度传感器监测口必须朝向被测目标才能及时响应。软件需求是在安装角度异常时提醒用户改变位置。那设备如何感知当前方位呢?需要一颗加速度传感器硬件支持,辅以算法实现。

    1、重力加速度

    根据物理常识,地面上任何物体静止时都受到1g的重力加速度,且方向是竖直向下。

    dcafe96d1145307fd1331f5339ecbcf8.png
    因为倾斜角的不同,1g的加速度按向量分解到xyz三轴:
    acc_x=1g.sinθ.cosϕ
    acc_y=-1g.sinθ.sinϕ
    acc_z=1g.cosϕ
    符号.代表相乘,读取加速度传感器的xyz三轴数据的细节,不是本文考虑的范畴。

    因为传感器的位数精度和量程不同,同样的1g,读寄存器的数值不同,为统一后文描述,假设数值255对应1g的加速度。物体水平静止时加速度值理想情况是(0,0,255),反向水平放置是(0,0,-255)。这个数值等比例的缩小或放大,不影响角度的判断。

    2、空间向量夹角

    假设期望的正确安装方式下三轴是(x0,y0,z0),实际三轴数据是(x1,y1,z1)。那如何得出当前偏差的角度呢?已知两空间向量的坐标为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则两向量的夹角余弦cosθ公式为:

    f1a1523c70e7ba95f74ec3331fb4ccd8.png

    在实际应用中,翻转角度为181度时,按179度处理。本文只考虑0-180度的应用,180度以上的需要额外再计算翻转。
    27e045ae37a8b037f0be3d4415d16e3c.png

    根据空间向量夹角余弦,再反余弦得出在0-180度的角度,即可判断设备安装角度是否正确。

    3、代码实现

    #include "math.h"
    #include "stdio.h"

    #define PI  3.1415926

    typedef struct
    {

        signed short x;
        signed short y;
        signed short z;
    }sensor_data_struct;

    static sensor_data_struct ref={0,0,255};
    static sensor_data_struct test={0,180,180};

    //计算当前向量与参考向量的夹角
    float get_angle(sensor_data_struct data){
        float cosine;
        float temp,angle;
        cosine=(data.x*ref.x+data.y*ref.y+data.z*ref.z)/ \
                ((sqrt(data.x*data.x+data.y*data.y+data.z*data.z))*\
                 (sqrt(ref.x*ref.x+ref.y*ref.y+ref.z*ref.z)));

         temp=acos(cosine);
         angle=(temp*180)/PI;
         return angle;
    }

    int main(int argc, char *argv[]){
        float angle;
        printf("reference vector (%d,%d,%d)\r\n",ref.x,ref.y,ref.z);
        printf("test vector (%d,%d,%d)\r\n",test.x,test.y,test.z);
        angle=get_angle(test);
        printf("angle = %f'\r\n",angle);
        return 0;
    }

    reference vector (0,0,255)
    test vector (0,180,180)
    angle = 45.000004'

    4、优化改进

    求解角度使用的三角函数,部分单片机可能不支持;对角度的精度,使用整形即可。基于这个条件,可以建立cosθ的数组表,以1度--2度--3度---180度步进,按如下代码生成数组表:

    void creat_table(void){
        float i;
        for(i=0;i<180;i++)//i的步进值决定精度
        {
            if((unsigned char )i%9==0)
            {
                printf("\r\n");
            }
            printf("%f,",cos(i*PI/180));//角度转弧度再传入
        }
    }

    根据代码生成数组表后,查找余弦表,数组的下标即为角度。

    static const float cos_table[180]={
        1.000000,0.999848,0.999391,0.998630,0.997564,0.996195,0.994522,0.992546,0.990268,
        0.987688,0.984808,0.981627,0.978148,0.974370,0.970296,0.965926,0.961262,0.956305,
        0.951057,0.945519,0.939693,0.933580,0.927184,0.920505,0.913545,0.906308,0.898794,
        0.891007,0.882948,0.874620,0.866025,0.857167,0.848048,0.838671,0.829038,0.819152,
        0.809017,0.798636,0.788011,0.777146,0.766044,0.754710,0.743145,0.731354,0.719340,
        0.707107,0.694658,0.681998,0.669131,0.656059,0.642788,0.629320,0.615661,0.601815,
        0.587785,0.573576,0.559193,0.544639,0.529919,0.515038,0.500000,0.484810,0.469472,
        0.453991,0.438371,0.422618,0.406737,0.390731,0.374607,0.358368,0.342020,0.325568,
        0.309017,0.292372,0.275637,0.258819,0.241922,0.224951,0.207912,0.190809,0.173648,
        0.156434,0.139173,0.121869,0.104528,0.087156,0.069756,0.052336,0.034900,0.017452,
        0.000000,-0.017452,-0.034899,-0.052336,-0.069756,-0.087156,-0.104528,-0.121869,-0.139173,
        -0.156434,-0.173648,-0.190809,-0.207912,-0.224951,-0.241922,-0.258819,-0.275637,-0.292372,
        -0.309017,-0.325568,-0.342020,-0.358368,-0.374607,-0.390731,-0.406737,-0.422618,-0.438371,
        -0.453990,-0.469472,-0.484810,-0.500000,-0.515038,-0.529919,-0.544639,-0.559193,-0.573576,
        -0.587785,-0.601815,-0.615661,-0.629320,-0.642788,-0.656059,-0.669131,-0.681998,-0.694658,
        -0.707107,-0.719340,-0.731354,-0.743145,-0.754710,-0.766044,-0.777146,-0.788011,-0.798635,
        -0.809017,-0.819152,-0.829038,-0.838671,-0.848048,-0.857167,-0.866025,-0.874620,-0.882948,
        -0.891007,-0.898794,-0.906308,-0.913545,-0.920505,-0.927184,-0.933580,-0.939693,-0.945519,
        -0.951057,-0.956305,-0.961262,-0.965926,-0.970296,-0.974370,-0.978148,-0.981627,-0.984808,
        -0.987688,-0.990268,-0.992546,-0.994522,-0.996195,-0.997564,-0.998630,-0.999391,-0.999848,
    };

    unsigned short get_angle(sensor_data_struct data){
        float cosine;
        unsigned short i;

        cosine=(data.x*ref.x+data.y*ref.y+data.z*ref.z)/ \
                ((sqrt(data.x*data.x+data.y*data.y+data.z*data.z))*\
                 (sqrt(ref.x*ref.x+ref.y*ref.y+ref.z*ref.z)));

        for(i=0;i<180;i++)
        {
            if(cos_table[i]//查表
            {return i;
            }
        }return 180;//error
    }int main(int argc, char *argv[]){unsigned short angle;//改成整形printf("reference vector (%d,%d,%d)\r\n",ref.x,ref.y,ref.z);printf("test vector (%d,%d,%d)\r\n",test.x,test.y,test.z);
        angle=get_angle(test);printf("angle = %d'\r\n",angle);return 0;
    }

    reference vector (0,0,255)
    test vector (0,180,180)
    angle = 46'

    查表得出46度,因为查表以及浮点的精度,所以角度误差+-1度,但这个不影响业务逻辑。

    5、小节

    1、空间向量夹角公式可在基于xyz三轴的传感器中应用。
    2、针对范例中的应用,两个向量的参数必须是在静止情况下采样,根据向量模进行过滤,否则角度计算错误。
    3、未考虑大于180度的翻转。

    展开全文
  • 微信公众号“中学数学教与学”教师群公告微信QQ教师群入群方式及介绍中学数学教与学★学生QQ群【837494287】初中数学教与学★教师QQ群...01空间向量的线性运算、共面、数量积视频讲解1、空间向量的概念2、空...

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    微信公众号“中学数学教与学”教师群公告

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    初中数学教与学★教师QQ群【460287009】

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    先看视频再看文字,看视频时注意利用暂停,想清楚每一步变形的依据。

    01

    空间向量的线性运算、共面、数量积

    视频讲解

    1、空间向量的概念

    44a49ff540c048e4d9bfd237be3b59b8.pngc9ebea14aaddfded8b6acb48f69f6971.png5ce51ee4b5df4988dd132f7b26c41fbd.png

    2、空间向量的加减法

    dde5536b2785964070dedad1d1ac3299.png

    3、空间向量的数乘

    36d9a1c6474302e5f9bbfb8fda4fbbf7.pnga8a81631c6ca72f0a0b3f4a01d53183b.png

    4、共线向量

    36086183c3ca5b745dee9d3cd502bbbb.pnged15f1570d9e866673b13e5b38eccd39.png

    5、共面向量

    4179d816d87ad437083868c50a87f493.png

    6、空间向量的夹角

    6fb4b03f13ef8c9252fd03de9b76fef2.png

    7、空间向量的数量积

    f407cc1f4fa1650473cfe3d060a16065.pngec8b72c67e159e8b070d9931300fc883.png

    8、空间向量基本定理

    ff83f98350fce5faf3aa5f685015e10c.png61c1f74793b5626ffca66d19e89ffac6.pngfda3ebf3ae859002223bd85b4511f219.png

    02

    空间直角坐标系、空间两点距离公式、空间向量坐标表示与运算

    视频讲解

    9、空间直解坐标系

    (1)空间直角坐标系:

    从空间某一定点引三条两两垂直,且有相同单位长度的数轴:x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz 。    

              .

    (2)相关概念:

    点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。

    (3)右手直角坐标系:

    在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴 的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系。

    固定布局                                                        工具条上设置固定宽高
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    10、空间中两点的距离公式

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    11、空间向量的正交分解与坐标表示

    ae1e68490372c42848869a6b5443d13f.png10af3412808c0f77c6104fe1c9b99463.png

    12、空间向量的坐标计算

    69bb923cac1f61407c4619b25f886d79.pngfda3ebf3ae859002223bd85b4511f219.png

    03

    空间向量的平行、垂直、共面

    视频讲解

    13、空间向量的平行、垂直、模、夹角

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  • 已知两空间向量的坐标为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则两向量的夹角余弦公式为:
  • C++求向量的夹角

    千次阅读 2019-11-30 11:28:40
    已知个非零向量,作在空间任取一点O,作,则称为向量的夹角,如下图当,向量同向,否则等于180度向量反向。 求向量的公式为: C++代码如下: #include<iostream> #include<cmath> using ...
  • 【考点聚焦突破】考点一 用空间...异面直线所成角的范围是θ∈,两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补...
  • 空间直线方程及直线的夹角 空间直线的一般方程 方向向量 直线的点向式(对称式)方程 直线的夹角 直线相互垂直和平行的充分必要条件
  • 无论对于空间向量还是平面向量,我们所熟知的是:给出任意个向量,我们都能够根据公式计算它们的夹角,但是这个夹角必须是将向量的起点重合后所夹成的小于等于π的角,可是,这是为什么呢? 它其实来源于...
  • 本章考点与要求:向量垂直、平行的条件;面面、线面、线线之间的夹角,点到直线的距离以及点到平面的距离,求平面方程和直线方程,利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。下面的★表示该题...
  • 向量代数与空间解析几何知识点:(1)向量代数知识点(2)平面夹角与直线夹角公式两平面夹角和直线夹角公式(3)点到直线距离公式点到直线距离(4)常见二次曲线常见二次曲线题型一:求曲线上一点到某一固定平面...
  • 参考:... 在文本挖掘中计算2篇文章相似度常用向量空间模型中的余弦定理公式判断。 ...1、 向量空间模式介绍 ...在空间模型中,条线的夹角越小,它们的余弦值就越大,而它们越相似(重叠或者平行)
  • 个人重点 ...容易搞错的一个是向量积的方向交换后加上负号,还有轮换不变号和交换个变号,还有直线与平面的夹角公式求出来的是sinθ,还有投影曲线不要忘记写另一个参数=0。 ...
  • 一、空间直角坐标系及点的描述1、空间直角坐标系2、空间中点和向量的坐标描述3、空间两点的距离公式及中点公式二、向量基本概念1、向量的基本概念2、向量的基向量描述与方向余弦3、向量的基本运算三、两向量的数量积...
  • 向量代数与空间解析几何知识点:(1)向量代数知识点(2)平面夹角与直线夹角公式两平面夹角和直线夹角公式(3)点到直线距离公式点到直线距离(4)常见二次曲线常见二次曲线题型一:求曲线上一点到某一固定平面...
  • 如下图所示,在直线L上取点与,则得到向量,与构成向量,根据下式计算得到两向量夹角。那么到直线L距离为 方法二: 使用向量叉乘得到,如下图所示: 具体参考matlab中推导:...
  • 设二维空间内有向量U和V,它们的夹角为θ([0, π]),则内积定义为以下实数: 向量点乘的公式:U·V = |U||V|cosθ 根据该公式可以退到下面五条结论: 1. **U·V** > 0,表示向量**U**和**V**之间
  • 向量点乘的几何定义设二维空间内有向量U和V,它们的夹角为θ([0, π]),则内积定义为以下实数: 向量点乘的公式:U·V = **|U||V|**cosθ 根据该公式可以退到下面三条结论: 1. U·V > 0,表示向量U和V...
  • 常用距离公式

    千次阅读 2018-08-21 11:36:54
    余弦相似度用向量空间向量的夹角的余弦值来衡量个文本间的相似度,相比距离度量,余弦相似度更加注重个向量在方向上的差异,一般情况下,用Embedding得到个文本的向量表示之后,可以使用余弦相似度计算...
  • 1.余弦相似度可用来计算向量的相似程度 对于如何计算向量的相似程度问题,可以把这它们想象成...以二维空间为例,上图的a和b是个向量,我们要计算它们的夹角θ。余弦定理告诉我们,可以用下面的公式求得:
  • 余弦相似度在NLP的任务里,会对生成个词向量进行相似度的计算,常常采用余弦相似度公式计算。余弦相似度用向量空间个向量夹角的余弦值作为衡量个个体间差异的大小...它通过计算向量的夹角的余弦值来衡量...
  • 一些基础几何图形的极坐标...r为此点到极点(中心点)的距离,$\theta$ 为此点到极点的线段与极轴(类似x轴)的夹角。 很多几何图形公式都可以用极坐标简洁的表示,例如: 阿基米德螺旋线:(公式1) r=a+b*$\theta$
  • 在上篇文章中介绍了如何利用余弦定理计算个...例如,向量A(1,1,1),向量B(5,5,5),如果用余弦定理计算,那么这向量的夹角大小为0°,即在方向上是完全一致的,所以算法会认为这个向量极相似。但是我们仔...
  • POJ 2412:Equidistance 一道立体几何题

    千次阅读 2011-12-20 19:37:37
    个城市位于同一位置时,也就是平面的法向量为0时,不可用向量的夹角公式求解向量的夹角。  2.四舍五入的一个小技巧,原浮点数加0.5之后取整。  这道题我写了个版本,一个是用了STL的find函数,自己重载了=...
  • 欧氏距离 曼哈顿距离(城市街区距离(City Block distance)) 切比雪夫距离 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance) 闵氏距离不是一种距离,...在二维空间向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式个n维样本点
  • (1)在二维空间向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:(2) 个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦类似的,对于个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,...
  • 距离:闵可夫斯基距离公式,也叫 Lp 范数: 当p=1时,变为曼哈顿距离公式,也即...皮尔逊相关系数,即相关分析中相关系数,对个个体的向量基于总体标准化后计算向量夹角的余弦值: Jaccard相似系数,主要用于计
  • 向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而计算a和b间的夹角θ 判断这向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为: a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交,相互...
  • 相似度计算——余弦相似度

    千次阅读 2019-06-17 16:30:46
    余弦值越接近1,表明向量的夹角越接近0度,则个向量越相似。 我们把个向量,向量a和向量b的夹角叫做θ,那么根据余弦定理可得 在二维空间中如果有个向量,向量a(x1,y1),向量b(x2,y2),根据点积定义...

空空如也

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两空间向量的夹角公式