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  • 第一类曲线积分计算

    千次阅读 2020-09-26 11:07:15
    第一类曲线积分计算

    第一类曲线积分的计算
    化为x方向的
    ∫ l P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ l P ( x , y ( x ) ) d x + Q ( x , y ( x ) ) d y = ∫ l P ( x , y ( x ) ) d x + Q ( x , y ( x ) ) y ′ d x = \int_l P(x,y)dx+Q(x,y)dy =\\ \int_l P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))dy =\\ \int_l P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))y'dx =\\ lP(x,y)dx+Q(x,y)dy=lP(x,y(x))dx+Q(x,y(x))dy=lP(x,y(x))dx+Q(x,y(x))ydx=
    化为y方向的同理

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  • 2.两类曲线积分之间的联系 3.格林公式 4.曲线积分与路径无关的条件 5.斯托克斯公式 6.已知某函数的全微分求一个函数(线积分,偏积分,凑微分) 注:只有线积分和面积分,可以把被积函数代入,因为线面积分就是沿着...
    • 个人重点

    (除了对弧长的线积分,别的线积分都请注意方向!!!!)

    1.(对弧长,对坐标)曲线积分
    2.两类曲线积分之间的联系
    3.格林公式
    4.曲线积分与路径无关的条件
    5.斯托克斯公式
    6.已知某函数的全微分求一个函数(线积分,偏积分,凑微分)

    注:只有线积分和面积分,可以把被积函数代入,因为线面积分就是沿着曲线做,曲面做;重积分不能代(二重,三重)。


    • 对弧长的曲线积分(与积分路径方向无关)
    • 对坐标的曲线积分(与积分路径方向有关)

    注意:(类比走校园)
    1.两个曲线积分的被积函数相同,起点终点也不相同,但沿着不同路径得出的积分值可以不相等。
    2.沿着不同路径,曲线积分的值可以相等

    • 两类线积分之间的关系

    • 格林公式(千万注意方向,相差负号!!!)

    使用格林公式注意以下两点:
    1.P(x,y),Q(x,y)在闭区域D上处处连续的一阶偏导数
    2.积分曲线L为闭曲线且取正向

    然后是个经典例题


    • 斯托克斯公式

    直角坐标,参数方程,极坐标方程都可

    对称性,形心公式都可


    格林公式,补线

    这题有坑,换种形式的坑,注意分母不为0,别随便换积分路径

    这里卡了半天,加了个一瞥,那个定积分就不会求了,醉了。

    平面形式用斯克托斯公式行列式形式

    特征:一个曲面,平面,空间二型线积分,化空间为平面,用格林公式(方便)


    做到这题,我意识到,自己的识图环节有多菜了

    偷学两张图,终于会画了。。

    还有上次遇到的星形线


    还没复习空间解析几何,这题先记牢吧。。。


    • 补题(基础题)

    先补充一下刷到的问题。。。🤦‍


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  • 一、对坐标的曲线积分的物理意义1.变力沿曲线作功某一物体沿着位于力场内的路径ΓA→B从A移动到B,则力场对该物体所做的功基于“元素法”可得积分模型为其中ds=(△x,△y,△z)为所取弧长微元ds从运动起点(x,y,z)到...

    一、对坐标的曲线积分的物理意义

    1.变力沿曲线作功

    某一物体沿着位于力场

    内的路径ΓA→B从A移动到B,则力场对该物体所做的功基于“元素法”可得积分模型为

    其中ds=(△x,△y,△z)为所取弧长微元ds从运动起点(x,y,z)到终点(x+△x,y+△y,z+△z)的位移,该微元段的力近似为该微元中任意点的力.这样由数量积的物理意义,可以得到如上的积分模型(分割取近似,做和求极限),并根据求和的性质可得

    对于平面力场和平面运动路径:

    则物体在力场F中沿曲线路径LA→B从A移动到B作功的计算公式

    2.相关计算性质

    (1)积分的方向性:由物理上作功的方向性,有

    (2)方向的一致性:对于曲线分段积分的可加性,注意保证方向的一致性,其起点、终点首尾相接。

    (3)注意使用图形的对称性要考虑方向也要求对称,即关于坐标轴折叠图形与方向要能完全重合,这个时候可以考虑“偶零奇倍”,同样“轮换对称性”为反轮换对称性。由于条件限制很容易用错,所以一般不使用!

    二、对坐标的曲线积分的基本计算方法的计算思路与步骤

    1.基本计算思路与步骤

    第一步:写出积分曲线的参数方程,并写出参数的取值范围,明确起点的参数值与终点的参数值。

    第二步:直接将被积表达式中的所有变量用各变量的参数表达式替换,写成关于参变量的定积分描述形式,并且积分的下限取为有向积分曲线起点的参数值,上限取为终点对应的参数值,写出定积分表达式。

    如平面曲线L与空间曲线Γ的参数方程为:

    L:x=x(x),y=y(t), t:a→b;

    Γ:x=x(x),y=y(t), z=z(t),t:a→b,

    则有

    第三步:计算定积分得到最终积分结果。

    【注1】如果积分曲线不能用一个参数方程描述,则对积分曲线进行分段处理,并对各分段曲线按照上面的步骤计算出相应的积分值,然后依据积分对积分曲线的可加性,累加各积分值得到最终结果。

    【注2】对于曲线积分,不论是对弧长的还是对坐标的曲线积分,描述积分曲线的等式可以直接代入被积函数转换或者简化被积函数。

    2.一般计算思路与步骤

    对坐标曲线积分的一般思路与思考步骤:

    第一步:明确被积表达式中的P(x,y)和Q(x,y)函数(d前面的P(x,y),dy前面的是Q(x,y),如果有负号,记得带上负号。)

    第二步:计算Q(x,y)关于x的偏导数,P(x,y)关于y的偏导数。如果两者之差比较简单,则我们分以下两种情况进行处理。

    (1)如果两者之差不等于0,则考虑使用格林公式转换为二重积分进行计算。如果积分曲线不为封闭曲线,则考虑添加辅助线,让积分曲线转换为封闭曲线。然后用二重积分计算的结果减去辅助线上的积分就得到需要的曲线积分。

    (2)当如果两者之差等于0,则表明积分与路径无关,这个时候可以自己选择合适的路径,利用曲线积分计算的基本方法完成计算。

    在不满足以上条件下,继续考虑第三步。

    第三步:如果问题中包含有与弧长相关的元素,则考虑将借助于两类曲线积分之间的关系,即

    将对坐标的曲线积分转换为对弧长的曲线积分来进行计算,其中(cosα,cosβ)为与有向积分曲线同向的曲线的单位切向量。然后利用曲线积分的基本计算方法来完成计算,或者根据问题的需求对积分进行变换。

    第四步:如果以上方法都不适用,则直接使用对坐标的曲线积分的基本计算方法来完成计算。即写出积分曲线的参数方程,然后将被积表达式中的所有变量用各变量对应的参数表达式替换,并取有向曲线的起点对应的参数值作为定积分的下限,终点对应的参数值作为定积分的上限,将对坐标的曲线积分直接转换为定积分来计算。

    三、两类曲线积分之间的关系

    将曲线的切向量r’(t)化为单位向量

    则有

    即有

    其中为积分曲线在处的单位切向量,其方向为顺着积分曲线的方向.即有

    其中(cosα,cosβ)为与积分曲线L同向的曲线的单位切向量;(cosα,cosβ,cosγ)为与积分曲线Γ同向的曲线的单位切向量。

    四、对坐标的曲线积分的物理应用

    设在平面上某区域D中分布一向量场

    L为D内的简单光滑闭曲线,其方程为

    由a变至b对应L的逆时针方向.称积分

    分别为场沿曲线L的环量和通过L的流量,其中T为L在(x,y)处与L方向一致的单位切向量,即

    n为L在(x,y)处指向外侧的法向量,假设向量场v为流速场,则环量和流量分别刻画了向量场沿曲线L流动的速度和通过L的流动速度.

    从而由两类曲线积分之间的关系,有:

    环量可表示成下面对坐标曲面积分的形式

    由于L上的外侧单位法向量n为

    所以,流量亦可表示为对坐标的曲面积分

    因此,对于向量场,沿场中闭曲线L的环量和通过L的流量分别为

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  • 曲线积分

    万次阅读 多人点赞 2018-06-17 23:34:15
    曲线积分可以分为两类: 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 我们分别介绍 对弧长的曲线积分 对弧长曲线积分的现实(物理)含义:弧长 × 物理量 = 对弧长曲线积分值; 举例说明: 计算曲型物体质量:弧长 ...

    曲线积分可以分为两类:

    1. 对弧长的曲线积分
    2. 对坐标的曲线积分

    我们分别介绍

    对弧长的曲线积分

    对弧长曲线积分的现实(物理)含义:弧长 × 物理量 = 对弧长曲线积分值;
    举例说明:

    • 计算曲型物体质量:弧长 × 线密度 = 曲型物体质量

    对弧长曲线积分的定义式:

    Lf(x,y)ds ∫ L f ( x , y ) d s
    其中 f(x,y) f ( x , y ) 叫做被积函数; L L 叫做积分弧段,即被积分的弧长区域

    对弧长的曲线积分的计算法:
    将弧L转换为参数方程形式:

    {x=ϕ(t)y=ζ(t),(αtβ) { x = ϕ ( t ) y = ζ ( t ) , ( α ⩽ t ⩽ β )
    带入定义式可得:
    Lf(x,y)ds=βαf[ϕ(t),ζ(i)][ϕ(t)]2+[ζ(t)]2dt ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f [ ϕ ( t ) , ζ ( i ) ] [ ϕ ′ ( t ) ] 2 + [ ζ ′ ( t ) ] 2 d t
    需要注意的是:在对弧长的曲线积分中, 积分下限一定要小于积分上限

    对坐标的曲线积分

    对坐标曲线积分的现实(物理)含义:弧长 × 矢量 = 对坐标曲线积分值;
    举例说明:

    • 力沿弧形路径前进所做的功:路径弧长 × 力 = 对坐标积分值

    由对坐标曲线积分的物理含义可以看出,因为这个曲线积分是对矢量的积分,通常情况下需要借助坐标系来把矢量分解为 x x y两个方向,所以叫做对坐标的曲线积分。

    对坐标曲线积分的定义式:

    X:LP(x,y)dx X 方 向 上 力 做 的 功 : ∫ L P ( x , y ) d x
    Y:LQ(x,y)dy Y 方 向 上 力 做 的 功 : ∫ L Q ( x , y ) d y
    :LF(x,y)dr=LP(x,y)dx+Q(x,y)dy 合 力 做 的 功 : ∫ L F ( x , y ) d r = ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y

    对坐标曲线积分的计算法:
    ①将弧 L L 转换为参数方程形式:

    {x=ϕ(t)y=ζ(t),(αtβ)
    当参数 t t 单调地由α变到 β β 时,力的作用点由起点逐渐变到终点
    将参数方程带入定义式可得:

    LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=βα{P[ϕ(t),ζ(t)]ϕ(t)+Q[ϕ(t),ζ(t)]ζ(t)}dt ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ α β { P [ ϕ ( t ) , ζ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) + Q [ ϕ ( t ) , ζ ( t ) ] ζ ′ ( t ) } d t

    ②若给出L的参数方程为 y=ϕ(x) y = ϕ ( x ) x=ζ(y) x = ζ ( y )
    例如:
    1、当给出 y=ϕ(x) y = ϕ ( x ) ,则有:

    LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=ba{P[x,ϕ(x)]+Q[x,ϕ(x)]ϕ(x)}dx ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ a b { P [ x , ϕ ( x ) ] + Q [ x , ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x ) } d x
    其中下限 a a 表示L的起点对应的 x x 坐标,上限b表示 L L 的终点对应的x坐标
    2、当给出 x=ϕ(y) x = ϕ ( y ) ,则有:
    LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=dc{P[ζ(y),y]ζ(y)+Q[ζ(y),y]}dy ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ c d { P [ ζ ( y ) , y ] ζ ′ ( y ) + Q [ ζ ( y ) , y ] } d y
    其中下限 c c 表示L的起点对应的 y y 坐标,上限d表示 L L 的终点对应的y坐标

    要注意的是:在对坐标的曲线积分中,积分下限对应的是L的起点的x/y坐标,积分上限对应的是L的终点的x/y坐标

    两类曲线积分之间的联系

    在平面曲线弧L上,两类曲线积分有如下关系:

    L(Pcosα+Qcosβ)ds=LPdx+Qdy ∫ L ( P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β ) d s = ∫ L P d x + Q d y

    cosαcosβ cos ⁡ α 、 cos ⁡ β 为有向弧L在点 (ϕ(t),ζ(t)),(x,y) ( ϕ ( t ) , ζ ( t ) ) , 即 ( x , y ) 上的切向量分别对 xy x 、 y 方向上的方向余弦

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两类曲线积分的计算公式

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