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  • FPGA 浮点数乘法运算 VS 定点数乘法运算
    2020-08-27 14:53:04

    例子:乘数、被乘数浮点数如下

    • 2.918
    • 3.1415926


    浮点数转成定点数要定义小数需求多少位,整数需求多少位。

    第一步:
     

    [15](最高位): 1位符号位
    
    [14:12]:     3位整数位宽,可以表示0 ~ 7,即8个值
    
    [11:0]:     12位的小数位宽,最大精度:2^(-12)
    
    这16位变量的最大值 = 16’d32767,最小值 = 16’d-32768

     

    乘法结果数

    [31](最高位): 1位符号位
    
    [30:25]:     6位整数位宽,可以表示0 ~ 63,即64个值
    
    [24:0]:     25位的小数位宽,最大精度:2^(-25)

    第三步:

    2.918 进行定点化的过程为 2.918 / (8/32768) = 11952.128 ≈ 11952,

    这个值就是定点后的2.918,定点化会带来量化误差。


    3.1415926定点化表示是多少呢?

    3.1415926 / (8/32768) = 12867.9632896 ≈ 12868

    //量化后的值是3.1416015625 - 3.1415926 = 0.0000089625

     

    2.918 * 3.1415926 11952x12868

    浮点结果:2.918 * 3.1415926 = 9.1671672068
    定点结果:11952 * 12868 = 153798336 = 9.167095184326171875

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    写在前面

    在PA_2019fall中有一项任务是完成CPU中的浮点数运算,这也是我第一次认真的思考了一下真实的计算机中CPU是如何进行的浮点数运算

    在写PA的过程中一头雾水,从迷茫,到困惑,到弄懂,到完成,中间经历了各种坎坷,又无奈于手上的资料仅仅只有一个Guide和i386,剩下不会的地方全靠百度

    于是就诞生了这一篇博客,把其中的过程给大家讲的明明白白的!

    预备知识

    什么是浮点数?浮点数表示的是一个数字,其小数点所在的位置是不确定的,也就是浮动的,因此称之为浮点数

    在IEEE 754标准中,单精度的浮点数由3部分组成

    符号位,在首位,用1表示负数,0表示正数

    阶码

    math?formula=exponent 部分,一共八位,采用移码形式,偏置常数为127

    尾数部分,一共23位。

    规格化于非规格化

    规格化的数表示阶码部分不是全都为0,其23位的尾数实际上表示了24位,最高缺省位为1。而非规格化的数没有缺省位。

    尾数加上最高位可能存在的缺省的1后构成的有效数字称为

    math?formula=significand

    实现之前的思考

    排除特殊情况

    fe981895daac

    Simple

    根据表格我们可以先把边界条件排除掉,比如

    math?formula=%2B0%2C-0%2C%20%2B%5Cinfty%2C%20-%5Cinfty%2CNaN

    加减

    如何让两个浮点数相加?根据上面的知识我们知道两个浮点数的形式基本可以这样给出

    math?formula=1.ababab*2%5E%7Bexponent%7D,我们很容易就能想到两个浮点数是不能直接相加的,应该让他们同阶后再将尾数相加,这个操作我们叫对阶

    对阶

    对阶有两种方式,小阶往大阶对齐和大阶往小阶对齐,该如何选择呢?

    不妨考虑一下这样的事情,在IEEE754表示的浮点数中,对于相同的阶数来说,尾数中越靠后面的1对最后结果的影响越小。

    在对阶中,如果大阶向小阶看齐,那么实际上是将尾数左移,小阶向大阶看齐的话就是尾数右移。

    如果我们选择大阶向小阶看齐,那么我们很容易就将尾数中靠前的1给左移没了,因为尾数一共只有23位,这样对计算造成的误差相当大,所以我们选择小阶向大阶看齐

    注:考虑如何减小误差是浮点数运算中非常重要的一环

    对阶中的特殊情况

    在处理非规格化浮点数的时候,它们的阶码全都是0,但是尾数并非是0,其表示的真实值为

    math?formula=0.f*2%5E%7B-126%7D,不能将阶码理解成-127,在后面会讲为什么会有这样的结果。

    shift的计算

    在此,我们已经可以给出右移的位数

    math?formula=shift了,在这里我们假设

    math?formula=fb.exponent%3Efa.exponent

    shift = (fb.exponent==0 ? fb.exponent+1:fb.exponent) - (fa.exponent==0? fa.exponent+1:fa.exponent)

    最后我们得到的临时的阶码就是

    math?formula=fb.exponent

    流程图

    先让我们把目前的东西总结一下,后面结合实际栗子来讲也会更加清晰

    fe981895daac

    流程图

    在这个图中,我们可以看到在对阶之前先判断了

    math?formula=X%2CY的值是否为0,如果不是那就开始对阶

    在对阶的过程中,小阶慢慢变大,这会导致尾数右移(前面已经提到过),在尾数右移的过程中,我们有可能把尾数移为23个0,如果是这样,我们简单的判断为是阶数小的数实在是太小了,就像10亿+1,那个1加不加我们可能都没有直观的体验

    再接下来,我们对尾数进行相加,这个过程中要考虑符号位,如果是做减法,那就对减数的尾数位采用广义上的 取反加一

    相加完后,如果尾数变成0,那结果就是0,如果不是0,那就考虑一下尾数有没有溢出(尾数溢出指相加后最高位缺省位达到了2)。如果溢出了,那我们就右移一次,然后判断一下阶数的情况即可

    要是没有溢出,那当然万事大吉,但是我们接下来还需要将我们的浮点数规格化一下,意思是规格化的浮点数为

    math?formula=1.ababab*2%5E%7Bexponent%7D,但是我们计算出来的浮点数可能是

    math?formula=0.0000ab*2%5E%7Bexponent%7D,那么我们需要小数点移位,降低阶数,将最高缺省设置成1

    当然,规格化的过程中阶数也有可能等于0,这里需要一次特判。

    小小的总结

    到这里浮点数的加减基本上已经介绍完了,对于乘除法就很简单了,只需要将指数相加,尾数相乘就行了,当然,其中涉及到的一些溢出情况都需要单独判断,在这里不多做讨论

    附加位与舍位

    一个贴近生活的栗子

    加入你是亿万富翁,你的银行卡中有1000亿元,你每天稳定收入1000元,但是由于银行的计算机用的是上面的实现方法,这1000块钱在放进你的卡中的过程中需要进行对阶,对着对着尾数变成了0,相当于你存进去0块

    那么该怎么办呢?当然你可以设置一些if语句,让1000加多点,加到足够影响1000亿的时候再一起加上去,这是目前计算机的一个研究方向之一。

    附加位

    根据IEEE754的规定,所有浮点数运算的中间结果右边都必须至少保留两位的附加位,依次是保护位(guard,G)和舍入位(round,R),为了进一步提高精度,舍入位的右侧还有一个粘位(sticky,S),只要舍入位右边有任何非0的数字,粘位就是1,否则为0。

    我们简称这三位为

    math?formula=GRS,下面用一个实例来展示一下它的作用

    保护位

    x = 1.000..00 * 2^1 y = 1.11...11 * 2^0

    // without guard bits

    x = 1.000...00 * 2^1

    - y = 0.111...11 * 2^1

    z = 0.000...01 * 2^1

    = 1.000...00 * 2^-22

    // with guard bits

    x = 1.000...00 0000 * 2^1

    - y = 0.111...11 1000 * 2^1

    z = 1.000...00 0000 * 2^-23

    可以很明显的观察到,在多了保护位后,计算结果明显更精确了

    但是解决了一个问题后又出现了第二个问题,那就是我们的尾数只有23位,就算我们使用了保护位,也只能保护计算过程中的误差,那么对于结果来说,依然有可能不精确

    所以接下来,我们引入舍位

    舍位

    为了保证运算过程中的最大精确度,我们会把23位+3位附加位的浮点数扩展到64位,相加完后再进行规格化,规格化完后我们要对这三位进行舍入操作。舍入的方法采用就近舍入,中间值4按照奇偶来舍入,确定舍入后,完成尾数的后三位右移操作。

    缺陷

    我们不妨考虑这个栗子

    math?formula=652.13%2B(-7.48)%3D644.65

    \\省略对阶

    1 010001100 1 010001100 000000

    -0 000000111 0 000000111 011110

    1 010000101 1 010000100 100010

    645.0 644.0

    就算有了舍位,在单精度下我们依然很难给出两个浮点数加减的准确答案。

    关于浮点数的表示

    如果都是规格化的浮点数,那么我们很容易知道我们是没法表示0的,因为最小就是

    math?formula=2%5E%7B-127%7D,所以为了表示0,我们将

    math?formula=2%5E%7B-127%7D

    math?formula=-2%5E%7B-127%7D的和用来表示0,那

    math?formula=2%5E%7B-127%7D该怎么办呢?

    为了填上0到

    math?formula=2%5E%7B-127%7D这段上的实数,我们设置了非规格化的浮点数,并且将

    math?formula=2%5E%7B-127%7D

    math?formula=2%5E%7B-126%7D的数扩展到了整个0到

    math?formula=2%5E%7B-126%7D上,这之间的每个数间隔都是一样的

    最大的数为

    math?formula=0.1..1*2%5E%7B-126%7D%20%3D%20(1-2%5E%7B-23%7D)*2%5E%7B-126%7D

    其中每个数的间隔都是

    math?formula=0.00..1*2%5E%7B-126%7D%20%3D%202%5E%7B-149%7D

    math?formula=2%5E%7B-126%7D和最大数之间的距离是

    math?formula=2%5E%7B-126%7D%20-%20(1-2%5E%7B-23%7D)*2%5E%7B-126%7D%20%3D%202%5E%7B-149%7D

    Summary

    Floating-point representation

    Operations

    Addition

    Precision Consideration

    展开全文
  • 浮点数的乘除法运算

    千次阅读 2020-12-23 21:29:47
    运算规则:浮点数相乘,乘积的阶码应为相乘数的阶码之和,乘积的尾数应为相乘数的尾数之积。浮点数相除,商的阶码为被除数的阶码减去除数的阶码,尾数为被除数的尾数除以除数的尾数所得的商,下面用数学...


    我们学习了浮点数的加减法运算,乘除法运算的掌握当然也是比较容易的,下面是一些有关浮点数乘除法运算的相关知识点的总结。

    浮点数乘除法的运算规则

    运算规则:两个浮点数相乘,乘积的阶码应为相乘两数的阶码之和,乘积的尾数应为相乘两数的尾数之积。两个浮点数相除,商的阶码为被除数的阶码减去除数的阶码,尾数为被除数的尾数除以除数的尾数所得的商,下面用数学公式来描述。

    假设有两个浮点数x和y:

    x=Sxx r^jx

    y=Syx r^jy

    那么有

    xy=(Sx xSy)x r^ (r^jx+ r^jy)

    x/y=(Sx /Sy))x r^ (r^jx+ r^jy)

    我们可以看出,浮点数乘除运算不存在两个数的对阶问题,故比浮点数的加减法还要简单。

    提醒:在运算过程中,需要考虑规格化和舍入问题。

    浮点数乘除法运算步骤

    浮点数的乘除运算可归纳为以下4个步骤。

    第一步: 0操作数检查。

    对于乘法:检测两个尾数中是否一一个为0,若有一个为0,则乘积必为0,不再做其他操作;若两尾数均不为0, 则可进行乘法运算。

    对于除法:若被除数x为0,则商为0;若除数y为0,则商为∞,另作处理。若两尾数均不为0,则可进行除法运算。

    第二步:阶码加减操作。

    在浮点乘除法中,对阶码的运算只有4种,即+1、-1、两阶码求和以及两阶码求差。当然,在运算的过程中,还要检查是否有溢出,因为两个同号的阶码相加或异号的阶码相减可能产生溢出。

    第三步:尾数乘/除操作。

    对于乘法:第2章讲解了非常多的定点小数乘法算法,两个浮点数的尾数相乘可以随意选取一种定点小数乘法运算来完成。

    对于除法:同上。

    第四步:结果规格化及舍入处理。

    可以直接采用浮点数加减法的规格化和舍入处理方式。主要有以下两种:

    1)第一种:无条件地丢掉正常尾数最低位之后的全部数值。这种办法被称为截断处理,其好处是处理简单,缺点是影响结果的精度。

    2)第二种:运算过程中保留右移中移出的若干高位的值,最后再按某种规则用这些位上的值进行修正尾数。这种处理方法被称为舍入处理。

    当尾数用原码表示时,舍入规则比较简单。最简便的方法是,只要尾数的最低位为1,或移出的几位中有为1的数值,就使最低位的值为1.另一种是0舍1入法,即当丢失的最高位的值为1时,把这个1加到最低数值位上进行修正。

    当尾数用补码表示时,所用的舍入规则应该与用原码表示时产生相同的处理效果。具体规则是:

    1)当丢失的各位均为0时,不必舍入。

    2)当丢失的各位数中的最高位为0,且以下各位不全为0时,或者丢失的最高位为1,

    3)当丢失的最高位为1,以下各位不全为0时,执行在尾数最低位加1的修正操作。

    我们依旧根据例题来加深我们对其的理解:

    【例1】假设, 分别有如下补码(尾数): 1100001.11100000 1110101010111100试对上述4个补码进行只保留小数点后4位有效数字的舍入操作。

    解析:对于1.01110000,由于待丢失的后4位全为0,因此应该遵循规则1),当丢失的各位均为0时,不必舍入。因此,舍入后的补码为1.0111。

    对于1.01111000,待丢失的后4位为100与规则2)相吻合,即丢失的最高位为1,以下各位均为0时,舍去丢失位上的值。因此,舍入后的补码为1.0111。

    对于1.01110101,待丢失的后4位为0101,与规则2)相吻合,即当丢失的各位数中的最高位为0,且以下各位不全为0时,舍去丢失位上的值。因此,舍入后的补码为1.0111

    对于1.01111100待丢失的后4位为1100,与规则3)相吻合,即当丢失的最高位为1,以下各位不全为0时,执行在尾数最低位加1的修正操作。因此,舍入后的补码为1.0111+1=1.1000。

    展开全文
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    按:计算机组成课程第四周作业

    算法证明

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 1       浮点数的表示

    浮点数的表示如上图所示,我们要做的是将按如上方式存储的两个浮点数相乘,将其结果用如上的方式表示。

    符号位只是两者的异或,指数位基本上是两指数的相加,而尾数位就需要在正常的乘法之余考虑到移位(和随之而来的指数为的溢出)和进位的情况。

    下面就来讨论一下尾数的运算:

    在尾数前补上1,进行无符号数乘法。小数点仅作为算法分析时的记号,实际上不参加运算。用64位的long long类型的数来存储运算结果。

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 2       尾数相乘(用“画图”程序画的)

    如上图所示,后46个数字是结果的小数点后的数据,小数点的的问号处可能只有1,可能是1X(10或11,在算法中没有太大区别)。若问号处只有1,说明已经规格化完成;若是1X,需要将整个数右移一位,质数加一,从而使问号处只有1。

    规格化后要进行round操作,如下图所示。如果第23位是0,这一位之前的23位就是所需要的尾数。如果第23位是1,截取这位之前的数,加一(类似于四舍五入)。判断结果是否仍规格化。若没有规格化,从规格化开始继续做,直到找到规格化后的23位尾数。

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 3       有效数处理(用“画图”程序画的)

    程序框图

    主要流程如下图所示。在代码注释中的Step1到step5即分别对应流程图中的1至5部分。有所不同的是,因为后面只会增加exponent而不会减少,所以我的程序在step1就判断是否overflow,在step3也判断是否overflow就行了,规格化完成后再判断underflow。

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 4       浮点乘法程序框图

    使用方法

    输入两个数,程序用自带的scanf将其作为单精度浮点数读入。通过一系列的无符号数的计算,得到用单精度浮点数表示的结果,将其输出(为了更详细地看到整个数,输出的数小数点后有20位)。如果overflow或underflow,输出的是相应的提示。为了验证计算是否正确,在输出的数据后面有个括号,里面放了是直接让机器进行的单精度浮点数的乘法的结果。

    特殊处理

    特殊输入数据

    有些输入的数据是在太大或太小,以至于数据本身就已经overflow或underflow,从而根本无法存贮到单精度浮点数中,不是合法的单精度浮点数。对于这样的数,我们不应该对其提供任何服务,不然只会闹出笑话。

    对于零要特殊处理,因为0在浮点数中的表示并不是按照一般的规范来的。

    溢出

    这里的溢出指的是乘数和被乘数本身是合法的单精度浮点数,但相乘后造成了溢出。

    因为后面只会增加exponent而不会减少,所以与上面的流程图不同,我的程序在step1就判断是否overflow,在step3也判断是否overflow就行了,规格化完成后再判断underflow。

    数位扩展

    整个程序都是按照单精度的浮点数来写的,数位扩展可能有点麻烦。如果要扩展为双精度的,需要更改代码中的大量参数。鉴于浮点数一般也就只有单精度和双精度两种,我觉得不是太必要提高做成可扩展的。

    实例分析

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 5       大数的乘法

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 6       overflow

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 7       underflow(本程序判为underflow,而C语言自己的浮点数乘法计算结果为0.000000)

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 8       对0的乘法

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 9       很大的与很小的正数相乘

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 10     观察精确度

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 11     对负数乘法的测试

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 12     对于无法用浮点数表示的输入数据

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    图表 13     对于过小的数据

    结果分析

    我们对过于大的数据和过于小的数据,以及精度太大的数据都做了试验。从上述结果可以看到,这个程序的结果与C程序自带的浮点数乘法结果基本吻合。说明这个程序还是比较可靠的。

    通过对精度的测试,我们发现浮点数虽然能表示较大较小的数据,但有效数字还是有限的。如-100与0.6相乘的结果,整数部分60是对的,小数点五位后就出现了偏差。一连串8与1相乘,结果的头部只有7个8。可以大致地认为浮点数的表示与计算的十进制有效数位是7位。

    可以更进一步的工作

    l  程序中对于无符号整数的加法、乘法,对于exponent的有符号整数运算都是直接使用的,其实可以调用之前写的相关程序,做成更加本质的浮点数乘法。

    Source Code

    #include

    union unionfloat{

    float f;

    unsigned long l;

    };

    union unionfloat x,y,product;

    /*

    disp(union unionfloat x)

    {

    long i;

    unsigned long m;

    printf("%f:",x.f);

    m=0x80000000;

    for(i=0; i<32; i++){

    if((i&7)==0)printf(" ");

    if(m&x.l)printf("1");

    else printf("0");

    m>>=1;

    }

    printf("\n");

    }*/

    int mul(void){

    //Step 1

    int exponent;

    exponent=(x.l&0x7F800000)>>23;

    exponent-=0x7F;

    exponent+=(y.l&0x7F800000)>>23;

    exponent-=0x7F;

    if(exponent>=128) return 1;

    //Step 2

    unsigned long long raw_product;

    unsigned long long raw_x=x.l&0x007FFFFF|0x00800000;

    unsigned long long raw_y=y.l&0x007FFFFF|0x00800000;

    int carry;

    raw_product = raw_x * raw_y;

    /*int i=64;

    unsigned long long p=0x8000000000000000;

    while(i--){

    if(i%4==3)printf(" ");

    if(raw_product&p)printf("1");

    else printf("0");

    p=p>>1;

    }

    printf("\n");*/

    //相乘结果若小数点前有两位

    do{

    //Step 3

    if(raw_product>>47){

    raw_product = raw_product>>1;

    exponent++;

    if(exponent>=128) return 1;//printf("Overflow");

    }

    //Step 4

    if(raw_product & 0x0000000000400000){

    raw_product = ((raw_product>>23)+1)<<23;

    }

    }while(raw_product>>47);//still normalized?

    //Step 5

    product.l = ((x.l>>31)^(y.l>>31))<<31;

    if(exponent<=-127)return -1;//printf("Underflow");

    //-127

    product.l = product.l | ((unsigned long)(exponent+127))<<23;

    product.l = product.l|((unsigned long)((raw_product&0x00003FFFFF800000)>>23));

    //disp(product);

    printf("%.20f(%.20f)\n",product.f,x.f*y.f);

    return 0;

    }

    int main(void){

    while(~scanf("%f%f",&x.f,&y.f)){

    //printf("Input %.10f %.10f\n",x.f,y.f);

    //disp(x);disp(y);

    if(x.l==0||y.l==0)

    printf("%f(%f)\n",0,x.f*y.f);

    else if((((x.l>>23)&0x000000FF)==0) || (((x.l>>23)&0x000000FF)==0x000000FF))

    printf("The first number is unavailable\n");

    else if((((y.l>>23)&0x000000FF)==0) || (((y.l>>23)&0x000000FF)==0x000000FF))

    printf("The second number is unavailable\n");

    else{

    switch(mul()){

    case 1:printf("Overflow(%f)\n",x.f*y.f);break;

    case -1:printf("Underflow(%f)\n",x.f*y.f);break;

    default:break;

    }

    }

    }

    return 0;

    }

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两浮点数乘法运算需要进行

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