精华内容
下载资源
问答
  • 在平面直角坐标系中,已知A、B两点的坐标分为,,P点坐标为,且,那么我们就说P分有向线段的比为,则有:,,这就是定比分点坐标公式。当P为内分点时,;当P为外分点时,;当P与A重合时,;当P与B重合时,不存在。推导...

    摘要:在本文中,我们将探讨一下线段定比分点的性质。

    我们来回顾一下定比分点的概念。

    ea97c73db480222e51f6ecd037b2f7c5.png

    如上图所示,线段AB上有一点P分线段AB的比为

    ,即

    在平面直角坐标系中,已知A、B两点的坐标分为

    ,P点坐标为
    ,且
    ,那么我们就说P分有向线段
    的比为
    ,则有:

    ,这就是
    定比分点坐标公式

    当P为内分点时,

    ;当P为外分点时,
    ;当P与A重合时,
    ;当P与B重合时,
    不存在。

    推导过程在任何的高中课本里都有,我们就不再推导了。

    我们设过P点的一条直线方程为

    ,由于点
    在直线上,代入直线方程中便有:

    从中可以解出:

    这便是另一个定比分点公式,我们称为直线分线段比公式

    用这个公式来证明平面几何中的梅涅劳斯定理将会非常简单。

    d8598b15357102f23a481faa6a98747e.png

    如上图所示,P、R、Q三点共线,我们设三角形三个顶点的坐标分别为:

    ,直线PQ的方程为
    ,利用直线分线段比例定理分别对三角形ABC的三边使用,则有:

    P分

    的比为:

    Q分

    的比为:

    R分

    的比为:

    所以:

    如果不考虑正负号,则结果为1,这就是通常表述上的梅涅劳斯定理。

    我们再来看下面的平面几何图形:

    a0ef639249bca77f4dca7e5ca4735cdd.png

    如上图所示,点T是线段PQ上的一点,

    ,需要说明的是,线段PQ和线段AB不能相交,则有:

    证明:设四边形ABPQ的面积为S,于是:

    (利用同高的三角形面积比等于底边的比)

    证毕。

    我们称之为定比分点面积公式

    在定比分点的公式里,需要说明的是,如果我们令

    ,那么则有
    ,于是定比分点面积公式可以写成:
    ,同理可以重写定比分点坐标公式。

    最后再说一个结论,

    b8aae07a7d3be91c09d9bab43eb6d9bb.png

    如上图所示梯形ABCD,

    ,则有:

    当E、F两点是AD、BC的中点时,EF叫做梯形的中位线。类似的结论还有很多,读者可自行挖掘证明。

    展开全文
  • 尊敬的各位考官大家好,我是今天的X号考生,今天我说课的题目是《平面直角坐标系》。新课标指出:数学课程要面向全体学生,适应学生个性发展的需要,使得人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上都能得到不同...

    尊敬的各位考官大家好,我是今天的X号考生,今天我说课的题目是《平面直角坐标系》。

    新课标指出:数学课程要面向全体学生,适应学生个性发展的需要,使得人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上都能得到不同的发展。今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。

    一、说教材

    首先谈谈我对教材的理解,《平面直角坐标系》是人教版初中数学七年级下册第七章7.1.2的内容,本节课的内容是平面直角坐标系及相关概念。有序数对在上一节已经进行了讲解,并且之前也学习了数轴的概念,对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容为后面研究函数的图像提供了有力的基础。

    二、说学情

    接下来谈谈学生的实际情况。新课标指出学生是教学的主体,所以要成为符合新课标要求的教师,深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生已经具备了一定的分析能力,也能做出简单的逻辑推理,而且在生活中也为本节课积累了很多经验。所以,学生对本节课的学习是相对比较容易的。

    三、说教学目标

    根据以上对教材的分析以及对学情的把握,我制定了如下三维教学目标:

    (一)知识与技能

    掌握什么是平面直角坐标系,会通过点的坐标找到位置以及通过位置写出点的坐标。

    (二)过程与方法

    在探索平面直角坐标系以及点的坐标与位置关系时,提升逻辑推理能力以及几何直观。

    (三)情感态度价值观

    在自主探索中感受到的喜悦,激发学习数学的兴趣。

    四、说教学重难点

    我认为一节好的数学课,从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是:平面直角坐标系及相关概念。这种方法学生首次见到,难以理解,所以本节课的教学难点是:理解建立平面直角坐标系的必要性,体会平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系。

    五、说教法和学法

    现代教学理论认为,在教学过程中,学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者,教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念,结合本节课的内容特点和学生的年龄特征,本节课我采用讲授法、练习法、小组合作等教学方法。

    六、说教学过程

    下面我将重点谈谈我对教学过程的设计。

    (一)新课导入

    首先是导入环节,那么我先提问:上节课学习的内容是什么?能否举一个例子。

    根据学生回答追问:有序数对所表示的位置如何直观表示?从而引出本节课的课题《平面直角坐标系》

    利用有序数对而不用数轴进行导入,是因为有序数对是上节课学习的内容,而数轴是上学期学习的内容,距离学生相对比较远。这样利用学生刚刚学过的知识进行导入,更好的从学生的角度出发,学生更容易接受。

    (二)新知探索

    接下来是教学中最重要的新知探索环节,我主要采用讲解法、小组合作、启发法等。

    学生对于该问题能够根据之前的知识经验考虑使用数轴,我便和学生一起回顾数轴的三要素。接下来进一步引导:对于有序数对有两个数应该如何表示,进而转到用两个数轴。

    继续追问:用两个什么样的数轴?

    为了更好的解决这个问题,通过画一个不垂直的数轴让学生进行感受。学生通过直观的感受以及电影院座位的例子,得出结论:用相互垂直的两条数轴。还可以让学生利用数轴的三要素,类比找到y轴的三要素。

    给出总结:由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系,水平的数轴称为x轴或横轴,取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

    利用数轴的三要素进行讲解,既考察了学生对之前知识的掌握情况,还能够利用相类似的知识提高学生的类比、迁移的能力。

    接下来我会在平面直角坐标系中给出A、B、C、D四个点的位置,然后讲解如何用有序数对确定一点的坐标。例如A点,过点A分别向x轴、y轴做垂线,垂足所对的坐标分别为横坐标和纵坐标。记为A(2,1)。接下来让学生以同桌为单位找出B、C、D点的坐标。

    通过对A、B、C、D观察,发现在平面直角坐标系的不同位置,从而给出象限的概念。

    利用导入中学生给出的有序数对,以及新给出的(2,0)和(3,0)让学生在平面直角坐标系中找到对应坐标的位置。

    从而引出x轴、y轴上的坐标有什么特点。

    最后是一个难点,提问学生数轴上的点与坐标是什么关系?想一想平面上的点与坐标又是什么关系?

    学生能够用类比的方法得到平面上的点与坐标是一一对应的。

    至此本节课的主要教学内容已经完成,做到了突出重点,突破难点。

    在选点的过程中我选择不同象限的点让学生标出坐标,这样为讲解不同的象限奠定基础。

    (三)课堂练习

    接下来是巩固提高环节。

    给出几个点的坐标,让学生在平面直角坐标系中描出各点。

    这样的问题的设置,让学生对知识进一步巩固,让学生逐渐熟练掌握。

    (四)小结作业

    在课程的最后我会提问:今天有什么收获?

    引导学生回顾:什么是平面直角坐标系,如何根据坐标找点,如何根据点找坐标;平面直角坐标系内点与坐标之间有什么关系?

    本节课的课后作业我设计为:

    思考平面直角坐标系中不同位置的点的坐标有何特点?

    这样的设计能让学生理解本节课的核心,感受数形结合思想。

    七、说板书设计

    我的板书设计遵循简介明了突出重点部分,以下是我的板书设计:

    5532f4ad2a4d20d4194c680b429e22bf.png
    展开全文
  • 平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式

    万次阅读 多人点赞 2017-10-24 20:14:46
    平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式今天做数字图像处理作业时遇到一个关于图片旋转变换的问题,要用到坐标的旋转变换公式,突然不记得公式是怎么来的了,于是乎,就琢磨了一番。。。首先上公式:逆时针(如下图):...

    首先上公式:

    逆时针(如下图):
    x1=xcos(β)-ysin(β);
    y1=ycos(β)+xsin(β);

    顺时针(图未给出):
    x1=xcos(β)+ysin(β);
    y1=ycos(β)-xsin(β);

    其中x,y表示物体相对于旋转点旋转β的角度之前的坐标,x1,y1表示物体旋转β后相对于旋转点的坐标。此公式仅为在下图坐标中的变换公式,坐标系的选取不同可能会有不同的结果,但是推导方式一样,请大家注意。

    下面是推导过程:

    从数学上来说,此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标,例如:A(x,y)绕B(a,b)旋转β度后的位置为C(c,d),则x,y,a,b,β,c,d有如下关系式:

    这里写图片描述
    1.设A点旋转前的角度为δ,则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β

    2.求A,B两点的距离:dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)

    3.求C,B两点的距离:dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

    4.显然dist1=dist2,设dist1=r所以:
      r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)
      
    5.由三角函数两角和差公式知:
      sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)
      cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)
      
      所以得出:
    c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)
      d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)

    即旋转后的坐标c,d只与旋转前的坐标x,y及旋转的角度β有关
    从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动,圆周的半径为|AB|,利用这点就可以使物体绕圆周运动,即旋转物体。

    另外,顺时针旋转可以理解为逆时针一个负角度,根据sin(),cos()的奇偶性,即sin(-β)=-sin(β),cos(-β)=cos(β),可得顺时针旋转的变换公式:

    x1=xcos(β)+ysin(β);
    y1=ycos(β)-xsin(β);

    展开全文
  • 在平面直角坐标系中求三角形的面积,是比较重要的知识,体现了数形结合的思想、转化与化归的思想。在平面直角坐标系中,求图形面积的方法较多,除了利用图形的面积公式外,还可能会将一个图形的面积转化为多个图形...

    在平面直角坐标系中求三角形的面积,是比较重要的知识点,体现了数形结合的思想、转化与化归的思想。在平面直角坐标系中,求图形面积的方法较多,除了利用图形的面积公式外,还可能会将一个图形的面积转化为多个图形的面积进行计算。在上一篇文章中,我们介绍了在平面直角坐标系中求图形面积的基础方法,本篇接着介绍介绍其它方法。在基础求法中,我们知道,如果三角形有一条边在坐标轴上,或者有一条边平行与坐标轴,那么我们就选择这条边作为该三角形的底,然后去找出对应的高即可。

    225ad182d2cda1332994342654c93518.png

    例题1:已知:A(4,2),B(1,4),求△AOB的面积。

    216d77a20778eec7317e68137b470bbc.png

    在坐标轴上找到A、B两点,发现△OAB的三边都不在坐标轴上,也没有哪条边平行与坐标轴,遇到这样的三角形怎么处理呢?

    首先想到的应该为割补法,我们可以将之补成正方形或直角梯形,通过正方形或直角梯形减去三角形的面积,即可得到△OAB的面积。

    be2b519704de297f00343a02bb46f4da.png

    比如补成正方形OCEF,那么△OAB的面积应该等于正方形OCEF的面积减去△OBF、△AOC、△BAE的面积,也可以补成直角梯形OCEB,那么此时△OAB的面积应该等于直角梯形OCEB的面积减去△OAC、△ABE的面积。

    还可以过点A、点B分别做x轴的垂线,可以发现,△OAB的面积等于△OBD的面积加上直角梯形BDCA的面积再减去△OBC的面积。

    7a605d8d9971b8e5467ea0bbf4c01c8e.png

    学习到一次函数后,我们也可以延长BA交x轴于点P,利用△OBP的面积减去△OAP的面积,因为△OBP和△OAP都有一条边OP在x轴上,就转化为我们前面所讲的求三角形面积的基础解法。

    dba61c7e83fb2fe3cd18c0106222beb0.png

    例题2:已知,四边形AOBC 中,A(0,2), B(5,0),C(3,4),求四边形AOBC的面积。

    6840f29a392e13f02b3d10345413964e.png

    本题求四边形的面积,我们可以选择“割”。连接OC,即可将四边形AOBC的面积分割成△AOC与△BOC面积之和。我们也可以选择“补”,将其转化为长方形,利用长方形的面积减去两个小三角形的面积得到四边形AOBC的面积。

    这是对上一篇在平面直角坐标系中求图形面积的补充,也是进阶篇,后续还会有平面直角坐标系求三角形面积高级篇,求三角形的面积多种多样,在不同的函数中也有其独特的方法。

    dc6c6610ed6b2f24b60e99c3f0de6cb3.png

    求图形的面积,是数形结合、转化与化归思想的体现。

    展开全文
  • 设Oxy,O'x'y'是直角坐标系,坐标轴有相同的方向,O'在Oxy中的坐标为(x0,y0).我们用(x,y),(x',y')分别代表M在坐标系Oxy,O'x'y'中的坐标. 在移轴下,坐标转换公式是 x=x'+x0,y=y'+y0. 2.单纯转轴. 设新旧坐标系...
  •  设Oxy,O'x'y'是直角坐标系,坐标轴有相同的方向,O'在Oxy中的坐标为(x0,y0).我们用(x,y),(x',y')分别代表M在坐标系Oxy,O'x'y'中的坐标. 在移轴下,坐标转换公式是   x=x'+x0, y=y'+y0. 2.单纯转轴. 设新旧...
  • 今天为大家整理了高中数学必备公式知识,速来围观!!1函数的单调性2函数的奇偶性3函数在某处的导数的几何意义4几种常见函数的导数5导数的运算法则6求函数的极值7分数指数幂8根式的性质9有理数指数幂的运算性质10...
  • [ZZ]不同平面直角坐标系之间的坐标转换公式 1.单纯移轴. 设Oxy,O'x'y'是直角坐标系,坐标轴有相同的方向,O'在Oxy中的坐标为(x0,y0).我们用(x,y),(x',y')分别代表M在坐标系Oxy,O'x'y'中的坐标. 在...
  • 对数公式11.常见的函数图像12.同角三角函数的基本关系式13.正弦、余弦的诱导公式14.和角与差角公式15.二倍角公式16.三角函数的周期17.正弦定理18.余弦定理19.面积定理20.三角形内角和定理21....
  • 其实学好数学的第一步是“记住并深刻理解公式”,这样在做题时才会有货。1 、函数的单调性 2 、函数的奇偶性 3、 函数在某处的导数的几何意义 4、几种常见函数的导数5、导数的运算法则 6、求函数的极值 7、分数指数...
  • 大地坐标与空间直角坐标转换

    万次阅读 2019-09-16 20:12:30
    1大地坐标换算到空间直角坐标 1P投影到椭球面上,大地高为H 空间直角坐标换算到大地坐标 解算大地纬度的时候需要进行迭代计算, 保证前后次迭代<e-10时,可保证计算精度达到0.0001″ aa ...
  • ( 一)空间直角坐标系 空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心,Z轴指向参考椭球的北极,X轴指向起始子午面与赤道的交点,Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角,某点中的坐标可用该在此坐标系的各个...
  • 数学模型:个空间直角坐标系进行转换,需要7个参数来描述,分别是3个旋转角,3个平移距离,1个比例因子。 算法实现:使用面向对象的方法,实现了个空间直角坐标系相对位置关系的标定和坐标中坐标的转换问题。
  • 上周,我们总结了讲述“数”的前世今生的《数的发展史》及超级接地气的《从有理数开始》节体验课程后,,今天来体验数学中一个重要的哲学思想:《数与形的完美结合--- 平面直角坐标系》,一起领略一下数形结合的...
  • 通常情况下,旋转变换是可以与圆的相关知识联系起来,因此在最值问题大家庭中,除了“两点之间线段最短”和“垂直线最短”之外,有了圆的加盟,形式更加丰富了,在圆内涉及到的最值定理有“直径是圆内最长的弦”,圆...
  • 一、复习目标1.理解并掌握旋转的性质.2. 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形,欣赏旋转在现实生活中的应用.3.... 理解关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即P(x,y)关于原点的...
  • 本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。这个个坐标系有时很容易弄混淆!  ( 一)空间直角坐标系  空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心,Z轴指向参考椭球的北极,X轴...
  • 经纬度坐标映射到平面直角坐标

    万次阅读 2017-03-17 20:27:22
    本文介绍了测量中常见的坐标系,并总结了一些坐标系投影的方法和工具,以及一些源码,主要关于从经纬度坐标到平面直角坐标系,即空间大地坐标系到平面直角坐标系的映射。
  • §1 平面直角坐标系及其变换   1.直角坐标系(笛卡儿坐标系) 坐标系:O-XY M(x,y),x为横坐标,y为纵坐标. 在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个象限中坐标x,y的符号为: 象限 Ⅰ ...
  • 大地经纬度和直角坐标系之间的换算工具,支持西安80和北京54种坐标系统。
  • 直角坐标与极坐标互相转化

    千次阅读 2020-06-10 10:30:35
    在 平面内取一个定点O, 叫...极坐标系中的个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值 x = r*cos(θ), y = r*sin(θ), 由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 坐标如何计算出极坐标下的坐
  • 旋梯技术:把旋转楼梯想象是一个物体,我们在物体中测量需要自己的一个位置,在三维空间得到三个数据(X轴、Y轴和Z轴)。如果从平面二维能快速变换为三维空间的思维,那就是技术的提升并有着深厚的功底了。直梯和...
  • 一、路端场景应用 在车路协同中,我们感知的时候经常需要把感知的目标转为经纬度,...1、已知两点经纬度,求两点间距离; 2、已知两点经纬度,求一点相对于另一点航向; 3、已知一点经纬度及与另一点距离和航向,求另一
  • 七参数空间直角坐标系坐标转换

    千次阅读 2019-05-09 15:42:02
    在测绘领域中,经常遇到不同空间直角坐标系之间转换的问题,比如在空间大地测量,摄影测量以及GIS,GPS在测量中经常会用到WGS-84坐标系与我国北京54坐标系或与地方坐标系之间的转换,空间直角坐标转换的七参数模型...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 7,071
精华内容 2,828
关键字:

两点之间坐标公式