摘要：在本文中，我们将探讨一下线段定比分点的性质。
我们来回顾一下定比分点的概念。
如上图所示，线段AB上有一点P分线段AB的比为
，即
。
在平面直角坐标系中，已知A、B两点的坐标分为
，
，P点坐标为
，且
，那么我们就说P分有向线段
的比为
，则有：
，
，这就是
定比分点坐标公式。
当P为内分点时，
;当P为外分点时，
;当P与A重合时，
；当P与B重合时，
不存在。
推导过程在任何的高中课本里都有，我们就不再推导了。
我们设过P点的一条直线方程为
，由于点
在直线上，代入直线方程中便有：
，
从中可以解出：
。
这便是另一个定比分点公式，我们称为直线分线段比公式。
用这个公式来证明平面几何中的梅涅劳斯定理将会非常简单。
如上图所示，P、R、Q三点共线，我们设三角形三个顶点的坐标分别为：
，
，
，直线PQ的方程为
，利用直线分线段比例定理分别对三角形ABC的三边使用，则有：
P分
的比为：
，
Q分
的比为：
，
R分
的比为：
，
所以：
。
如果不考虑正负号，则结果为1，这就是通常表述上的梅涅劳斯定理。
我们再来看下面的平面几何图形：
如上图所示，点T是线段PQ上的一点，
，需要说明的是，线段PQ和线段AB不能相交，则有：
。
证明：设四边形ABPQ的面积为S，于是：
（利用同高的三角形面积比等于底边的比）
证毕。
我们称之为定比分点面积公式。
在定比分点的公式里，需要说明的是，如果我们令
，那么则有
，
，于是定比分点面积公式可以写成：
，同理可以重写定比分点坐标公式。
最后再说一个结论，
如上图所示梯形ABCD， 
 ， 
 ，则有：
 。
当E、F两点是AD、BC的中点时，EF叫做梯形的中位线。类似的结论还有很多，读者可自行挖掘证明。

尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《平面直角坐标系》。
新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材
首先谈谈我对教材的理解，《平面直角坐标系》是人教版初中数学七年级下册第七章7.1.2的内容，本节课的内容是平面直角坐标系及相关概念。有序数对在上一节已经进行了讲解，并且之前也学习了数轴的概念，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容为后面研究函数的图像提供了有力的基础。
二、说学情
接下来谈谈学生的实际情况。新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生已经具备了一定的分析能力，也能做出简单的逻辑推理，而且在生活中也为本节课积累了很多经验。所以，学生对本节课的学习是相对比较容易的。
三、说教学目标
根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：
(一)知识与技能
掌握什么是平面直角坐标系，会通过点的坐标找到位置以及通过位置写出点的坐标。
(二)过程与方法
在探索平面直角坐标系以及点的坐标与位置关系时，提升逻辑推理能力以及几何直观。
(三)情感态度价值观
在自主探索中感受到的喜悦，激发学习数学的兴趣。
四、说教学重难点
我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：平面直角坐标系及相关概念。这种方法学生首次见到，难以理解，所以本节课的教学难点是：理解建立平面直角坐标系的必要性，体会平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系。
五、说教法和学法
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用讲授法、练习法、小组合作等教学方法。
六、说教学过程
下面我将重点谈谈我对教学过程的设计。
(一)新课导入
首先是导入环节，那么我先提问：上节课学习的内容是什么?能否举一个例子。
根据学生回答追问：有序数对所表示的位置如何直观表示?从而引出本节课的课题《平面直角坐标系》
利用有序数对而不用数轴进行导入，是因为有序数对是上节课学习的内容，而数轴是上学期学习的内容，距离学生相对比较远。这样利用学生刚刚学过的知识进行导入，更好的从学生的角度出发，学生更容易接受。
(二)新知探索
接下来是教学中最重要的新知探索环节，我主要采用讲解法、小组合作、启发法等。
学生对于该问题能够根据之前的知识经验考虑使用数轴，我便和学生一起回顾数轴的三要素。接下来进一步引导：对于有序数对有两个数应该如何表示，进而转到用两个数轴。
继续追问：用两个什么样的数轴?
为了更好的解决这个问题，通过画一个不垂直的数轴让学生进行感受。学生通过直观的感受以及电影院座位的例子，得出结论：用相互垂直的两条数轴。还可以让学生利用数轴的三要素，类比找到y轴的三要素。
给出总结:由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴称为x轴或横轴，取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
利用数轴的三要素进行讲解，既考察了学生对之前知识的掌握情况，还能够利用相类似的知识提高学生的类比、迁移的能力。
接下来我会在平面直角坐标系中给出A、B、C、D四个点的位置，然后讲解如何用有序数对确定一点的坐标。例如A点，过点A分别向x轴、y轴做垂线，垂足所对的坐标分别为横坐标和纵坐标。记为A(2,1)。接下来让学生以同桌为单位找出B、C、D点的坐标。
通过对A、B、C、D观察，发现在平面直角坐标系的不同位置，从而给出象限的概念。
利用导入中学生给出的有序数对，以及新给出的(2,0)和(3,0)让学生在平面直角坐标系中找到对应坐标的位置。
从而引出x轴、y轴上的坐标有什么特点。
最后是一个难点，提问学生数轴上的点与坐标是什么关系?想一想平面上的点与坐标又是什么关系?
学生能够用类比的方法得到平面上的点与坐标是一一对应的。
至此本节课的主要教学内容已经完成，做到了突出重点，突破难点。
在选点的过程中我选择不同象限的点让学生标出坐标，这样为讲解不同的象限奠定基础。
(三)课堂练习
接下来是巩固提高环节。
给出几个点的坐标，让学生在平面直角坐标系中描出各点。
这样的问题的设置，让学生对知识进一步巩固，让学生逐渐熟练掌握。
(四)小结作业
在课程的最后我会提问：今天有什么收获?
引导学生回顾：什么是平面直角坐标系，如何根据坐标找点，如何根据点找坐标;平面直角坐标系内点与坐标之间有什么关系?
本节课的课后作业我设计为：
思考平面直角坐标系中不同位置的点的坐标有何特点?
这样的设计能让学生理解本节课的核心，感受数形结合思想。
七、说板书设计
我的板书设计遵循简介明了突出重点部分，以下是我的板书设计：

首先上公式：

逆时针（如下图）： 

        x1=xcos(β)-ysin(β); 

        y1=ycos(β)+xsin(β);

顺时针（图未给出）： 

        x1=xcos(β)+ysin(β); 

        y1=ycos(β)-xsin(β);

其中x，y表示物体相对于旋转点旋转β的角度之前的坐标，x1，y1表示物体旋转β后相对于旋转点的坐标。此公式仅为在下图坐标中的变换公式，坐标系的选取不同可能会有不同的结果，但是推导方式一样，请大家注意。

下面是推导过程：

从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标，例如：A（x，y）绕B（a，b)旋转β度后的位置为C（c，d），则x，y，a，b，β，c，d有如下关系式：



1.设A点旋转前的角度为δ，则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β

2.求A，B两点的距离：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)

3.求C，B两点的距离：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

4.显然dist1=dist2，设dist1=r所以： 

　　r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β) 

　　 

5.由三角函数两角和差公式知： 

　　sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β) 

　　cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β) 

　　 

　　所以得出： 

       c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β) 

　　d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)

即旋转后的坐标c，d只与旋转前的坐标x，y及旋转的角度β有关 

从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动，圆周的半径为|AB|，利用这点就可以使物体绕圆周运动，即旋转物体。

另外，顺时针旋转可以理解为逆时针一个负角度，根据sin(),cos()的奇偶性，即sin(-β)=-sin(β),cos(-β)=cos(β),可得顺时针旋转的变换公式:

x1=xcos(β)+ysin(β); 

  y1=ycos(β)-xsin(β);

在平面直角坐标系中求三角形的面积，是比较重要的知识点，体现了数形结合的思想、转化与化归的思想。在平面直角坐标系中，求图形面积的方法较多，除了利用图形的面积公式外，还可能会将一个图形的面积转化为多个图形的面积进行计算。在上一篇文章中，我们介绍了在平面直角坐标系中求图形面积的基础方法，本篇接着介绍介绍其它方法。在基础求法中，我们知道，如果三角形有一条边在坐标轴上，或者有一条边平行与坐标轴，那么我们就选择这条边作为该三角形的底，然后去找出对应的高即可。
例题1：已知：A(4，2)，B(1，4)，求△AOB的面积。
在坐标轴上找到A、B两点，发现△OAB的三边都不在坐标轴上，也没有哪条边平行与坐标轴，遇到这样的三角形怎么处理呢？
首先想到的应该为割补法，我们可以将之补成正方形或直角梯形，通过正方形或直角梯形减去三角形的面积，即可得到△OAB的面积。
比如补成正方形OCEF，那么△OAB的面积应该等于正方形OCEF的面积减去△OBF、△AOC、△BAE的面积，也可以补成直角梯形OCEB，那么此时△OAB的面积应该等于直角梯形OCEB的面积减去△OAC、△ABE的面积。
还可以过点A、点B分别做x轴的垂线，可以发现，△OAB的面积等于△OBD的面积加上直角梯形BDCA的面积再减去△OBC的面积。
学习到一次函数后，我们也可以延长BA交x轴于点P，利用△OBP的面积减去△OAP的面积，因为△OBP和△OAP都有一条边OP在x轴上，就转化为我们前面所讲的求三角形面积的基础解法。
例题2：已知，四边形AOBC 中，A(0，2)， B(5，0)，C(3，4)，求四边形AOBC的面积。
本题求四边形的面积，我们可以选择“割”。连接OC，即可将四边形AOBC的面积分割成△AOC与△BOC面积之和。我们也可以选择“补”，将其转化为长方形，利用长方形的面积减去两个小三角形的面积得到四边形AOBC的面积。
这是对上一篇在平面直角坐标系中求图形面积的补充，也是进阶篇，后续还会有平面直角坐标系求三角形面积高级篇，求三角形的面积多种多样，在不同的函数中也有其独特的方法。
求图形的面积，是数形结合、转化与化归思想的体现。