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  • 2020-11-04 12:19:34

    摘要:在本文中,我们将探讨一下线段定比分点的性质。

    我们来回顾一下定比分点的概念。

    ea97c73db480222e51f6ecd037b2f7c5.png

    如上图所示,线段AB上有一点P分线段AB的比为

    ,即

    在平面直角坐标系中,已知A、B两点的坐标分为

    ,P点坐标为
    ,且
    ,那么我们就说P分有向线段
    的比为
    ,则有:

    ,这就是
    定比分点坐标公式

    当P为内分点时,

    ;当P为外分点时,
    ;当P与A重合时,
    ;当P与B重合时,
    不存在。

    推导过程在任何的高中课本里都有,我们就不再推导了。

    我们设过P点的一条直线方程为

    ,由于点
    在直线上,代入直线方程中便有:

    从中可以解出:

    这便是另一个定比分点公式,我们称为直线分线段比公式

    用这个公式来证明平面几何中的梅涅劳斯定理将会非常简单。

    d8598b15357102f23a481faa6a98747e.png

    如上图所示,P、R、Q三点共线,我们设三角形三个顶点的坐标分别为:

    ,直线PQ的方程为
    ,利用直线分线段比例定理分别对三角形ABC的三边使用,则有:

    P分

    的比为:

    Q分

    的比为:

    R分

    的比为:

    所以:

    如果不考虑正负号,则结果为1,这就是通常表述上的梅涅劳斯定理。

    我们再来看下面的平面几何图形:

    a0ef639249bca77f4dca7e5ca4735cdd.png

    如上图所示,点T是线段PQ上的一点,

    ,需要说明的是,线段PQ和线段AB不能相交,则有:

    证明:设四边形ABPQ的面积为S,于是:

    (利用同高的三角形面积比等于底边的比)

    证毕。

    我们称之为定比分点面积公式

    在定比分点的公式里,需要说明的是,如果我们令

    ,那么则有
    ,于是定比分点面积公式可以写成:
    ,同理可以重写定比分点坐标公式。

    最后再说一个结论,

    b8aae07a7d3be91c09d9bab43eb6d9bb.png

    如上图所示梯形ABCD,

    ,则有:

    当E、F两点是AD、BC的中点时,EF叫做梯形的中位线。类似的结论还有很多,读者可自行挖掘证明。

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    数学是高考最能拉开差距的科目,如何学好数学也成了每个高中学子首当其冲的要务。其实学好数学的第一步是“记住并深刻理解公式”,这样在做题时才会有货。

    1 、函数的单调性  

    5dc5cfd68b9152a3a0019bbe0723d54b.png

    2 、函数的奇偶性  

    1669f4ae359584529b6c430e845315fd.png

    3、 函数在某处的导数的几何意义  

    68316e6b7e303f02fb4dec192551e776.png

    4、几种常见函数的导数  

    9f4d290c4689c36313b24f0c36846400.png

    5、导数的运算法则  

    8f10b85f12bd43c98f0f0b4f91827663.png

    6、求函数的极值  

    ebfd07665392ed092f48a09081244079.png

    7、分数指数幂  

    a143263ddd105dd8abdcfb7e452f894c.png

    8、根式的性质  

    e57272f78e5e96599181ec6126a55d7e.png

    9、有理数指数幂的运算性质  

    cdb5f4dc277f0244cf329880f811a73a.png

    10、对数公式  

    d94f7c835df1208b8075b2b8a87cc905.png

    11、常见的函数图像  

    b58bf2cb28ff54a7d0235f9cc2dec24d.png

    12、同角三角函数的基本关系式  

    3090e55bc501dd89c0e67879dd1fb84b.png

    13、正弦、余弦的诱导公式  

    420bdbc9d4897634b36d393cfd4b9efb.png

    14、和角与差角公式  

    a4872d1e55390f1c47bad232af8ed320.png

    15、二倍角公式  

    0763c9f7c0733104822708e2945eaffc.png

    16、三角函数的周期  

    5456f5049c30dcf00bbf40c4646a8c1a.png

    17、正弦定理  

    b08e0e78fab6d50c59abf7f238f56e0d.png

    18、余弦定理  

    69ce817caa6aec2146d0c2ae117116d1.png

    19、面积定理

    fe76478bd57fe3f1d2f68165fbd56090.png

    20、三角形内角和定理

    dd8e7693b2a65c9a29775a2e506a01be.png

    21、a与b的数量积

    15485bf0ea972b439923c6eb2cac46bb.png

    22、平面向量的坐标运算

    7f4c89a59a56be2e6eda46f2f6f5e19b.png

    23、两向量的夹角公式

    11553150ad475b0eb1012b3b08df38ad.png

    24、平面两点间距离公式

    96e83f9ca5ab4ea367eff536664f23ae.png

    25、向量的平行与垂直

    f99207cb24380ee4339f727a82967bba.png

    26、数列通项公式与前n项和的关系

    769e35f2f5bb311cb73bad7ba081229d.png

    27、等差数列通项公事与前n项和公式

    9c20b145bfa7588e0f131b1b04af3929.png

    28、等差数列的性质

    6bc37f7b2ec8c4a46ed448f5be8ac1ee.png

    29、等比数列的通项公式与前n项和公式

    fa0079446581e01c3b6da8385e7e0bf8.png

    30、等比数列的性质

    1e4223929b2465a78386010a50e37fbe.png

    31、常用不等式

    0bf2b2b4ebea9abef065faa4056ff222.png

    32、直线的三角方程

    d5884382f7103b4a4cb945754013bfe6.png

    33、两条直线的垂直和平行

    85794f544be7e27a073d7ba211a2e42a.png

    34、点到直线的距离

    42efd218be518293dad2366b46f54b0a.png

    35、圆的两种方程

    3763f9815605340fb4ee76fd03f2aafd.png

    36、点与圆的位置关系

    04b7d341973bdf9fb33e996c7578ab86.png

    37、直线与圆的位置关系

    635096996e7d478459f9acea305d9d94.png

    38、椭圆、双曲线、抛物线的性质

    eb6581e9590e9c6b19b80a3e865c9b66.png

    39、双曲线方程与渐近线方程的关系

    57eb0ba997aa44f1f544578ca1d0f009.png

    40、抛物线的焦半径公式

    d75df64bad465fbbf570d602b3288728.png

    41、平方差标准差的计算

    f0e0587251759e8f58f533bfe3ec2fda.png

    42、回归直线方程

    90ab03a76f415442d0bc858bcbf3f9ba.png

    43、独立性检验

    4c222f09d45ce024d49949972678fe2a.png

    44、复数

    7c3573f30651255dda9c1270f55cb2ca.png

    45、参数方程、极坐标化为直角坐标

    56ba76e238dfc38bbe2ba4a17c3643e4.png

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    1函数的单调性

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    2函数的奇偶性

    f9e175dd3110963d1cfbc62042b3da7d.png

    3函数在某处的导数的几何意义

    3e048b66ad1bdc6b3e4dc491a538a795.png

    4几种常见函数的导数

    440bd78efd8d7e8cf53a062dd409b430.png

    5导数的运算法则

    ccdfcb4950bc31207f6f62f8e094ec6e.png

    6求函数的极值

    9980bb1f970f88c62606ea92e5aad9ef.png

    7分数指数幂

    ef4ffa4d0bc2413bc281e970a3181179.png

    8根式的性质

    bb0230589ca5ab8b66d818f7c0a188c7.png

    9有理数指数幂的运算性质

    4e23522be1b6848e77514c5f2ef15945.png

    10对数公式

    bda07874782ea157826f0eab9a18887d.png

    11常见的函数图像

    4205cf32efecb910843a9612547a06ae.png

    12同角三角函数的基本关系式

    f5dfa459f425ef855c4bb96655599872.png

    13正弦、余弦的诱导公式

    9c6dfec4f984b04f1d6abe9bc6f073c0.png

    14和角与差角公式

    29cd760056a2be2fa9bd57d637bce36d.png

    15二倍角公式

    10d2daddc94a457ebac4db103dd5bb9b.png

    16三角函数的周期

    19f3442a739cb4da6fd918859bed6e0a.png

    17正弦定理

    25472a348da80ae9765d9691eb7f381d.png

    18余弦定理

    aef091ae01a231fb0dd8dea727fee1f7.png

    19面积定理

    ae34c8860dbb89d578db451d4c591719.png

    20三角形内角和定理

    8b0a93b969dfc58f08a22eba7cc404e4.png

    21a与b的数量积

    b27a393cb7fc583a753866a73f048df3.png

    22平面向量的坐标运算

    ba93f8ad8e8fd61f5f75bcbd1347956d.png

    23两向量的夹角公式

    b9a64eae42f03127486cbdfbc43c4f8d.png

    24平面两点间距离公式

    8fa2bce6d8cf489aef513eb398b909fc.png

    25向量的平行与垂直

    32c8fd8933943358f4a6728f642089fe.png

    26数列通项公式与前n项和的关系

    30efffe57127028eee77d931e94fa7d7.png

    27等差数列通项公事与前n项和公式

    12168c633f88332fc750bfe0097af1c2.png

    28等差数列的性质

    037a5464c6ea284a878bb1f207e6150e.png

    29等比数列的通项公式与前n项和公式

    248eeb351203982db9999bba4bc8e5f0.png

    30等比数列的性质

    563e0c6e317cf183feb77fd6df6231e1.png

    31常用不等式

    264928137745fdbdacf589f152f4aae7.png

    32直线的三角方程

    5ae852377b21328ee25f18db8b7efa1d.png

    33两条直线的垂直和平行

    75f6a2ea43d221e4bf90d70ceae0a4c2.png

    34点到直线的距离

    3b7723b6d77ea5fc3e11254f95d3c235.png

    35圆的两种方程

    1a970317b7a425f846c00276c3d529d2.png

    36点与圆的位置关系

    4e22096116d8d512e4f01a71c6577d9e.png

    37直线与圆的位置关系

    84d204b5b67693922a51d67f207ff175.png

    38椭圆、双曲线、抛物线的性质

    7a4e2641adeafeb1dce49afe3a30d983.png

    39双曲线方程与渐近线方程的关系

    4c5fd6bacedb32e7cf49ee5d88a32c7d.png

    40抛物线的焦半径公式

    5a43234c20b86a7cd46ecb0d3e8fc160.png

    41平方差标准差的计算

    0f53bef8101a9ea2427ef66c7b556751.png

    42回归直线方程

    0973517dc7427bba387a984fc5176f5b.png

    43独立性检验

    d98b12512a214d9f2bdda6430552b2db.png

    44复数

    4bb2e1738bae6590c985b52e19c6e0d0.png

    45参数方程、极坐标化为直角坐标

    946c6b4c2a4d079440cdab67a5e5a37a.png

    b7cee152a1eda3198e128107238ddf21.pngb7cee152a1eda3198e128107238ddf21.pngb7cee152a1eda3198e128107238ddf21.png电子版获取方式: 请扫码或长按2秒识别下方二维码关注 “高中生家长” ,然后在公众号后台回复: “43 ,即可立即免费获取!】 1eb99118f2392e5274032713c7706744.png

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  • (建议阅读原文) 预备知识 空间旋转矩阵,圆周运动的速度 直角坐标系中,某 以单位矢量 为轴按右手定则转动 角的得到的 可用矩阵乘法计算 其中 为绕轴旋转矩阵 其中 事实上, 数学上更规范的做法是用四元数...

    (建议阅读原文) 预备知识 空间旋转矩阵,圆周运动的速度
       直角坐标系中,某点

    以单位矢量
    为轴按右手定则转动
    角的得到的点
    可用矩阵乘法计算

    其中
    绕轴旋转矩阵

    其中

    事实上, 数学上更规范的做法是用四元数表示该矩阵.

    推导
       推导的思路是用

    ,
    三个已知量经过数乘,内积和叉乘三种运算,表示出旋转后的矢量
    ,再拆成三个分量,即可得到线性变换,进而写出矩阵. 注意该思路与推导平面旋转矩阵 的思路不一样.

    669587754b41c74bd0e89f220eede537.png
    图 1:绕轴旋转矩阵的推导

       如图,

    绕单位矢量
    旋转后得到
    方向的分量为

    在与
    垂直方向的分量为

    为了构成一组正交基底,令

    相当于
    旋转 90°. 现在有了正交的
    ,
    就可以表示出
    旋转
    角后的结果


    将式 4 式 5 式 6 代入式 8 , 即可求出
    关于
    ,
    的矢量表达式. 把结果写成分量的形式,化简可得到
    关于
    的线性变换与系数矩阵.

    由旋转矩阵推导出匀速圆周运动的线速度
       我们可以用旋转矩阵得到

    (式 5 ), 这也验证了旋转矩阵的正确性.

       在无穷小的时间
    内,点
    绕轴转过
    角,则
    , 此时有
    . 旋转矩阵变为

    下面
    乘以某点的列矢量,得到变换后的坐标,再减掉变换前的坐标,得位移矢量

    两边除以
    ,得
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  •  设Oxy,O'x'y'是直角坐标系,坐标轴有相同的方向,O'在Oxy中的坐标为(x0,y0).我们用(x,y),(x',y')分别代表M在坐标系Oxy,O'x'y'中的坐标. 在移轴下,坐标转换公式是   x=x'+x0, y=y'+y0. 2.单纯转轴. 设新旧...
  • 直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按 逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角 α称为直线的倾斜角.规定:直线与x轴平行...
  • 平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式

    万次阅读 多人点赞 2017-10-24 20:14:46
    平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式今天做数字图像处理作业时遇到一个关于图片旋转变换的问题,要用到坐标的旋转变换公式,突然不记得公式是怎么来的了,于是乎,就琢磨了一番。。。首先上公式:逆时针(如下图):...
  • 高中数学第4章圆与方程4.3空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式教材梳理素材新人教A版必修2
  • 用复数平面,复数的乘积等理论,推导出在平面直角坐标系下的旋转变换的坐标变换公式
  • 极坐标方程化为直角坐标方程

    千次阅读 2021-01-30 19:12:29
    极坐标方程与直角坐标的转化23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标 系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 C1: x=-2, 圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系....
  • 通常情况下,旋转变换是可以与圆的相关知识联系起来,因此在最值问题大家庭中,除了“两点之间线段最短”和“垂直线最短”之外,有了圆的加盟,形式更加丰富了,在圆内涉及到的最值定理有“直径是圆内最长的弦”,圆...
  • 2018_2019学年高中数学第四章圆与方程4.3.1_4.3.2空间直角坐标系空间两点间的距离公式练习新人教A版必修2
  • 如题,需要一个简单的公式 哪位达人直接告诉我一、用EXCEL进行高斯投影换算 从经纬度BL换算到高斯平面直角坐标XY(高斯投影正算),或从XY换算成BL(高斯投影反 算),一般需要专用计算机软件完成,在目前....
  • 直角坐标怎么化极坐标

    千次阅读 2021-01-14 14:10:48
    把极坐标的原点和直角坐标原点放在一起,极坐标的半径就是直角坐标系里的到原点的距离,勾股定理可以求解,极坐标里的角度就是直角坐标系里和原点的连线与x轴的夹角,用正弦公式可以求解~4.如何在直角坐标中画出...

空空如也

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两点之间坐标公式

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