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2020-11-04 12:19:34
摘要:在本文中,我们将探讨一下线段定比分点的性质。
我们来回顾一下定比分点的概念。
如上图所示,线段AB上有一点P分线段AB的比为
,即
。
在平面直角坐标系中,已知A、B两点的坐标分为
,
,P点坐标为
,且
,那么我们就说P分有向线段
的比为
,则有:
,
,这就是
当P为内分点时,
;当P为外分点时,
;当P与A重合时,
;当P与B重合时,
不存在。
推导过程在任何的高中课本里都有,我们就不再推导了。
我们设过P点的一条直线方程为
,由于点
在直线上,代入直线方程中便有:
,
从中可以解出:
。
这便是另一个定比分点公式,我们称为直线分线段比公式。
用这个公式来证明平面几何中的梅涅劳斯定理将会非常简单。
如上图所示,P、R、Q三点共线,我们设三角形三个顶点的坐标分别为:
,
,
,直线PQ的方程为
,利用直线分线段比例定理分别对三角形ABC的三边使用,则有:
P分
的比为:
,
Q分
的比为:
,
R分
的比为:
,
所以:
。
如果不考虑正负号,则结果为1,这就是通常表述上的梅涅劳斯定理。
我们再来看下面的平面几何图形:
如上图所示,点T是线段PQ上的一点,
,需要说明的是,线段PQ和线段AB不能相交,则有:
。
证明:设四边形ABPQ的面积为S,于是:
(利用同高的三角形面积比等于底边的比)
证毕。
我们称之为定比分点面积公式。
在定比分点的公式里,需要说明的是,如果我们令
,那么则有
,
,于是定比分点面积公式可以写成:
,同理可以重写定比分点坐标公式。
最后再说一个结论,
如上图所示梯形ABCD,
,
,则有:
。
当E、F两点是AD、BC的中点时,EF叫做梯形的中位线。类似的结论还有很多,读者可自行挖掘证明。
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1 、函数的单调性
2 、函数的奇偶性
3、 函数在某处的导数的几何意义
4、几种常见函数的导数
5、导数的运算法则
6、求函数的极值
7、分数指数幂
8、根式的性质
9、有理数指数幂的运算性质
10、对数公式
11、常见的函数图像
12、同角三角函数的基本关系式
13、正弦、余弦的诱导公式
14、和角与差角公式
15、二倍角公式
16、三角函数的周期
17、正弦定理
18、余弦定理
19、面积定理
20、三角形内角和定理
21、a与b的数量积
22、平面向量的坐标运算
23、两向量的夹角公式
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25、向量的平行与垂直
26、数列通项公式与前n项和的关系
27、等差数列通项公事与前n项和公式
28、等差数列的性质
29、等比数列的通项公式与前n项和公式
30、等比数列的性质
31、常用不等式
32、直线的三角方程
33、两条直线的垂直和平行
34、点到直线的距离
35、圆的两种方程
36、点与圆的位置关系
37、直线与圆的位置关系
38、椭圆、双曲线、抛物线的性质
39、双曲线方程与渐近线方程的关系
40、抛物线的焦半径公式
41、平方差标准差的计算
42、回归直线方程
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1函数的单调性
2函数的奇偶性
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为轴按右手定则转动
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可用矩阵乘法计算
其中为
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事实上, 数学上更规范的做法是用四元数表示该矩阵.推导
推导的思路是用,
和
三个已知量经过数乘,内积和叉乘三种运算,表示出旋转后的矢量
,再拆成三个分量,即可得到线性变换,进而写出矩阵. 注意该思路与推导平面旋转矩阵 的思路不一样.
图 1:绕轴旋转矩阵的推导 如图,
绕单位矢量
旋转后得到
.
在
方向的分量为
在与垂直方向的分量为
为了构成一组正交基底,令
则相当于
绕
旋转 90°. 现在有了正交的
,
就可以表示出
绕
旋转
角后的结果
即
将式 4 式 5 式 6 代入式 8 , 即可求出关于
,
和
的矢量表达式. 把结果写成分量的形式,化简可得到
关于
的线性变换与系数矩阵.
由旋转矩阵推导出匀速圆周运动的线速度
我们可以用旋转矩阵得到(式 5 ), 这也验证了旋转矩阵的正确性.
在无穷小的时间内,点
绕轴转过
角,则
, 此时有
和
. 旋转矩阵变为
下面乘以某点的列矢量,得到变换后的坐标,再减掉变换前的坐标,得位移矢量
两边除以,得
.
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