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  • 几何中夹角余弦可用来衡量个向量方向的差异,机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。 (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式: (2) 个n维样本a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…...

    夹角余弦(Cosine)

     也可以叫余弦相似度。 几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异,机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。
    (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:

    (2) 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦
           类似的,对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n),可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

      即:

           余弦取值范围为[-1,1]。求得两个向量的夹角,并得出夹角对应的余弦值,此余弦值就可以用来表征这两个向量的相似性。夹角越小,趋近于0度,余弦值越接近于1,它们的方向更加吻合,则越相似。当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。当余弦值为0时,两向量正交,夹角为90度。因此可以看出,余弦相似度与向量的幅值无关,只与向量的方向相关。

    import numpy as np
    x=np.random.random(10)
    y=np.random.random(10)
    
    #方法一:根据公式求解
    d1=np.dot(x,y)/(np.linalg.norm(x)*np.linalg.norm(y))
    
    #方法二:根据scipy库求解
    from scipy.spatial.distance import pdist
    X=np.vstack([x,y])
    d2=1-pdist(X,'cosine')

    两个向量完全相等时,余弦值为1,如下的代码计算出来的d=1。

    d=1-pdist([x,x],'cosine')

    皮尔逊相关系数(Pearson correlation)

    (1) 皮尔逊相关系数的定义

    前面提到的余弦相似度只与向量方向有关,但它会受到向量的平移影响,在夹角余弦公式中如果将 x 平移到 x+1, 余弦值就会改变。怎样才能实现平移不变性?这就要用到皮尔逊相关系数(Pearson correlation),有时候也直接叫相关系数

    如果将夹角余弦公式写成:

    表示向量x和向量y之间的夹角余弦,则皮尔逊相关系数则可表示为:

    皮尔逊相关系数具有平移不变性和尺度不变性,计算出了两个向量(维度)的相关性。

     在python中的实现:'

    import numpy as np
    x=np.random.random(10)
    y=np.random.random(10)
    
    #方法一:根据公式求解
    x_=x-np.mean(x)
    y_=y-np.mean(y)
    d1=np.dot(x_,y_)/(np.linalg.norm(x_)*np.linalg.norm(y_))
    
    #方法二:根据numpy库求解
    X=np.vstack([x,y])
    d2=np.corrcoef(X)[0][1]

    相关系数是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法,相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大,则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时,相关系数取值为1(正线性相关)或-1(负线性相关)。

     

     

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  • 相似度计算——余弦相似度

    千次阅读 2019-06-17 16:30:46
    余弦相似度用向量空间中向量夹角的余弦值作为衡量个个体之间差异的大小。余弦值越接近1,表明个向量的夹角越接近0度,则个向量越相似。 我们把个向量,向量a和向量b的夹角叫做θ,那么根据余弦定理可得 ...

    余弦相似度用向量空间中两向量夹角的余弦值作为衡量两个个体之间差异的大小。余弦值越接近1,表明两个向量的夹角越接近0度,则两个向量越相似。

    我们把两个向量,向量a和向量b的夹角叫做θ,那么根据余弦定理可得

    在二维空间中如果有两个向量,向量a(x1,y1),向量b(x2,y2),根据点积定义方式可得

    此计算公式不局限与维度,即余弦的这种计算方法对n维向量也成立。在n维空间中如果有两个向量,向量a(a1,a2,a3,....,an),向量b(b1,b2,b3,....bn),根据点积公式可得

     

    tips:百度百科里解释点积这个名词时,说到点积的几何定义方式的公式只对二维和三维空间有效,这是不对的。

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  • 常用的统计分析方法-相似度计算

    千次阅读 2019-06-28 22:00:56
    欧几里得相似度计算是一种基于用户之间直线距离的计算公式。它用来表示三维空间中的真实距离。 个物品或者用户距离越大,可以看到其相似度越小;距离越小则相似度越大。 第二种:基于余弦角度的相似度...

     

    基于欧几里得距离的相似度计算

    欧几里得相似度计算是一种基于用户之间直线距离的计算公式。它用来表示三维空间中两个点的真实距离。

    d=\sqrt{(x1-x2)^{2}+(y1-y2)^{2})}

    两个物品或者用户距离越大,可以看到其相似度越小;距离越小则相似度越大。

    第二种:基于余弦角度的相似度计算

    如果两个目标较为相似,那么线段所形成的夹角越小。如果两个用户不相近,那么两条射线所形成的夹角越大。可以用夹角的大小反应目标之间的相似性。

    两者的区别:欧几里得相似度用以表现不同目标的绝对差异性,从而分析目标之间的相似度与差异情况。而余弦相似度更多是对目标从方向趋势上区分,对特定坐标数字不敏感。

     

     

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  • (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:(2) 个n维样本a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦类似的,对于个n维样本a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2...

    夹角余弦(Cosine)

    也可以叫余弦相似度。 几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异,机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

    (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:

    (2) 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦

    类似的,对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n),可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

    即:

    余弦取值范围为[-1,1]。求得两个向量的夹角,并得出夹角对应的余弦值,此余弦值就可以用来表征这两个向量的相似性。夹角越小,趋近于0度,余弦值越接近于1,它们的方向更加吻合,则越相似。当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。当余弦值为0时,两向量正交,夹角为90度。因此可以看出,余弦相似度与向量的幅值无关,只与向量的方向相关。

    import numpy as np

    x=np.random.random(10)

    y=np.random.random(10)

    #方法一:根据公式求解

    d1=np.dot(x,y)/(np.linalg.norm(x)*np.linalg.norm(y))

    #方法二:根据scipy库求解

    from scipy.spatial.distance import pdist

    X=np.vstack([x,y])

    d2=1-pdist(X,'cosine')

    两个向量完全相等时,余弦值为1,如下的代码计算出来的d=1。

    d=1-pdist([x,x],'cosine')

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    如果将夹角余弦公式写成:

    表示向量x和向量y之间的夹角余弦,则皮尔逊相关系数则可表示为:

    皮尔逊相关系数具有平移不变性和尺度不变性,计算出了两个向量(维度)的相关性。

    在python中的实现:'

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    x=np.random.random(10)

    y=np.random.random(10)

    #方法一:根据公式求解

    x_=x-np.mean(x)

    y_=y-np.mean(y)

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    X=np.vstack([x,y])

    d2=np.corrcoef(X)[0][1]

    相关系数是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法,相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大,则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时,相关系数取值为1(正线性相关)或-1(负线性相关)。

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  • 计算几何

    热门讨论 2012-08-06 21:49:17
    1. 平面上两点之间距离 1 2. 判断两点是否重合 1 3. 矢量叉乘 1 4. 矢量点乘 2 5. 判断点是否在线段上 2 6. 求一点饶某点旋转后的坐标 2 7. 求矢量夹角 2 ㈡ 线段及直线的基本运算 1. 点与线段的关系 3 2....
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  • 向量:使用积和叉积

    2020-12-20 23:54:50
    这就是积的计算公式。 其中θ为向量之间夹角,||A||为A的大小。 当个向量都归一化后(即它们的大小都是1),这个公式就非常有用了,那么这个公式就简化为。 表明积与个向量之间的角
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空空如也

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两点之间夹角计算公式