传送门https://zhuanlan.zhihu.com/yueaptx
 
变分法简介Part 1.（Calculus of Variations）
 
 
Dr.Stein
 
计算力学
 
​关注他
 
283 人赞了该文章
 
泛函数 (Functionals)
 
 
简而言之，泛函数是函数的函数，即它的输入是函数，输出是实数。而这个输出值取决于一个或多个函数（输入）在一整个路径上的积分而非像一般函数一样取决于离散的变量。这样说可能还是比较抽象，不过坚持看到下文的Example 1就可以更好理解了。
 
通常在变分法中，泛函数是一个积分，记做。
 
 
其中我们想要通过选择被积函数来最大化或最小化泛函数的值。同时我们称为拉格朗日函数(Lagrange function)。可以是函数和各阶导数的函数(以下均简写成)。为了说明方便，我们先姑且设是和的函数，所以我们可以进一步将泛函数写成：
 
 
积分里面我用分号;将和前面的隔开代表和是的函数。一般和的函数关系是已知的，所以想要最大或最小化泛函数，实际上是通过选择适当的函数。
 
为了透彻理解这个概念，我们可以来看一个简单的例子。
 
Example 1.
 
一个最简单直观的例子是求两个固定点之间的最短路径。当然大家都知道两点之间直线最短，这里可以用变分法做出解释。
 
 
如上图所示路径是一任意路径，我们取区中一小段微元，可以容易计算微元断的长度为：
 
,即：
 
 
积分得到总的路径长度为：
 
 
这个例子中，是泛函数，是拉格朗日函数，我们想要找一个函数使得泛函数的值最小。这次Part 1.的任务就是为解决这个问题做准备。Part 2.中我们会用变分法证明这个确实是直线的方程。
 
2. 泛函数的极值
 
 
 
这里重申下，泛函数在区间上的值取决于积分路径的选择，即取决于函数的选择。我们有理由假设存在一个这样的，可以使得泛函数取到极值。而在这个附近的任意路径我们记做。另外，我们假设两阶可微。通过引入一个微小量和一个任意可微函数，我们可以用表示:
 
 
这样做的好处是对于一个给定的，我们可以通过改变的值来得到无穷多的路径，同时对于任何，当的时候，和重合。
 
图像直观表示如下图：
 
 
由于在边界条件的限制，。这样就能保证可以通过两个固定端点。
 
这时我们可以说，所对应的泛函数的值是泛函数的极值。我们可以进一步用表示：
 
 
虽然未知，但是根据之前的合理假设，是一个存在的确定函数。所以根据上式，如果给定一个特定的，的变化只取决于的变化。所以我们现在可以把看做是的函数。用泰勒展开公式将在处展开得到：
 
 
很明显，当时，,带入上式可得到：
 
 
这里我们记，并称之为一阶变分。同理二阶变分为。
 
（这里插一句变分和微分的区别。变分在上图的直观解释是和在竖直方向上的距离，称之为，所以这个差是在同一个x上计算的。而微分则是由于x的微小变动引起的y的变动。）
 
然后我们可以类比求函数极值时的做法。求函数极值时，我们会令函数的一阶导数为零。这里同样，为了求泛函数的极值，我们令一阶变分。现在我们计算化简:
 

 
因为 , 不难得到：,,另外我们有
 
又因为当时，,将这些式子带入原式可以得到：
 
 
终于到最后一步啦，分部积分一下得到：
 
 
另就可以解得最小化泛函数的y啦。我们注意到有两个部分。对于第一个积分部分，由于是任意的，所以要想使这个部分等于零，需要保证：
 
 ()
 
这就是传说中的欧拉-拉格朗日方程(E-L equation)。
 
而第二部分等于零则是边界条件。
 
在Part 2.， 我们会以用这次介绍的内容和上述方程解决两点之间直线最短的问题为开头，继续介绍变分法。
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 
注[1]:
 
假设和是给定的常数，是一个特定的在上连续的函数，那么如果对于任意连续可微的函数都成立，则 ()。
 
（任意函数和一个非零的特定函数的乘积仍是任意函数，由于无法保证任意函数的积分是零，所以这个特定函数必须在这个区间上恒等于零使得乘积为零，这样可以保证积分为零。）

点到直线的最短距离
 
​ 根据直线的表示方式p = at + b，可以设一个点P(px,py)，任意一点A(x0,y0)到点P的距离可以根据两点间距离公式求出。
 
 
 
D^2 = (px-x0)^2+(py-y0)^2 
 
 
= (axt+bx-x0)^2+(ayt+by-y0)^2 
 
 
= (ax^2+ay^2)t^2 + 2{ax(bx-x0)+ay(by-x0)}t+(x0^2+y0^2)
 
 
​ 然后根据对表达式求二阶导数，可以证明该函数存在最小值。
 
​ 令一阶导数等于零可以求得取最小值时，t的取值。将t带入可以计算出最短距离的平方。最后算得
 
 
 
t = {ax(x0-bx)+ay(y0-by)}/(ax^2+ay^2)
 
 
点到线段的最短距离
 
​ 根据点到直线的距离的计算方式，把线段看成是直线，最后计算出t，然后根据t的值将t缩小到[0,1]之间。
 
if t < 0
than t = 0
if t > 1
than t = 1
 
​ 这样就可以计算点到线段的最短距离了。

 
我们经常在考试当中看到求线段之和最小的问题，首先来看下这几个数学模型：
 
模型1：两点之间线段最短
 

  
 
 
要在l找点P，使得PA+PB最短，这模型最简单，两点之间线段最短。
 
模型2：将军饮马问题
 

  
 
 
在l上找一点P，使得PA+PB最短，作对称。其中BA’就是最短的值
 
模型3：两动点找三角形周长最小
 

  
 
 
在OA，OB上找点M、N，使得△PMN周长最小，把P关于OA，OB分别作对称，然后连接两个对称点，交点记为所求，然后周长最小值为P’P’’
 
模型4：两动点加垂线段最短
 

  
 
 
在OA上找一点M，使得M到OB的距离与M到P的距离之和最短。作P关于OA的对称点，然后在对称点P’上作OB的垂线，交点即为所求，P’N就是最短值。
 
模型5：四边形周长
 
如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的
 
周长最小。
 

  
 
 
总结一句话，要在哪找点，我们就关于谁作对称！是不是很好理解？
 
一
 
题型1：直线类
 
例题1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
 
作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M
 
则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小
 
如右图，在直角△AB'E中，
 
AE = AC+CE = 10+30 = 40
 
EB' = 30
 
所以：AB' = 50
 
总费用为：50×3 = 150万
 

  
 
 

  
 
 
一
 
题型2：角类
 
如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
 

  
 
 
一
 
题型3：三角形类
 
如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为  。
 

  
 
 
如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
 

  
 
 
在直角△DBC'中
 
DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=√5
 
如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值。
 

  
 
 
一
 
题型4：矩形类
 
如图，若四边形ABCD是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值。
 

  
 
 
作点C关于BD的对称点C'，过点C'，作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值。
 
直角△BCD中，CH =20/5
 
直角△BCH中，BH = 8
 
△BCC'的面积为：BH×CH = 160
 
所以 C'E×BC = 2×160 则CE' = 16
 
一
 
题型5：菱形类
 
如图，若四边形ABCD是菱形， AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值。
 

  
 
 
一
 
题型6：直角梯形类
 
已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为( )
 

  
 
 

  
 
 
一
 
题型7：圆类
 
已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是︵AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
 

  
 
 
如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )
 
A.2√2 B.√2
 
C.1 D.2
 

  
 
 
一
 
题型8：一次函数类
 
在平面直角坐标系中，有A(3，－2)，B(4，2)两点，现另取一点C(1，n)，当n =______时，AC + BC的值最小．
 
点C(1，n)，说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小
 
设直线A'B的解析式为y=kx+b，则
 
-2=-k+b
 
2=4k+b
 
解得：k = (4/5) b = - (6/5)
 
所以：y = (4/5)x-(6/5)
 
当x = 1时，y = -(2/5)
 
故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小
 

  
 
 
一
 
题型9：二次函数类
 
如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.
 
(1)求点B的坐标；
 
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
 
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.(注意：本题中的结果均保留根号)
 

  
 
 
一
 
题型10：建桥选址类
 
如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
 

  
 
 
一
 
题型11：立体图形
 
一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？
 

  
 
 
垂线段最短型
 
如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．
 

  
 

 
 
全文共4129字，预计学习时长11分钟
 
 
 
图源：unsplash
 
“两点之间直线最短”，两千多年前阿基米德给出的答案已经深入了我们脑海里。在一张平面纸上任意地方放上两个点，用你能想象到的任何直线、曲线或几何路径将这两个点连接起来。那么你会发现，只要这张纸保持平整，没有弯曲和折叠，那么直线就是连接它们的最短路径。
 
 
 
这正是我们三维宇宙空间的运行规律：在平面中，两点之间直线距离最短。无论如何旋转、定向或以其他方式定位这两个点，这个规律都是成立的。
 
 
 
但是我们的宇宙不仅由三个空间维度组成，而是由四个时空维度组成。这点并不难发现，很多人轻描淡写地以为：“好吧，其中三个维度是空间维度，还有一个是时间维度，这就是所谓的时空嘛。”这话没错，但仅仅是管中窥豹，毕竟两个时空事件之间的最短距离将不再是一条直线。
 
 
通常，我们用位移的距离来测量两点之间的距离，例如图中连接点A和点B的线，但实际上，它们之间最短的距离应该是连接A与B的直线。当然，这只适用于空间距离。| 图源：SIMEON87/WIKIMEDIACOMMONS；E.SIEGEL
 
 
 
大多数人第一次接触两点之间直线距离最短这一概念，通常都通过毕达哥拉斯定理。你一定还记得勾股定理，把每一条短边平方并加在一起，就等于长边的平方。如果短边是a和b，而长边是c，那么它们之间的关系式是a²+b²=c²。
 
 
 
然而，仔细想想其内涵，不仅仅是从纯数学的角度，而是从距离的角度。这意味着，如果你在一个空间维度上移动一定量（例如a），然后在垂直维度上移动另一个量（例如b），那么你开始的地方和结束的地方之间的距离等于c，正如毕达哥拉斯定理所定义的那样。换言之，平面上任何两点之间的距离，这些点在一个维度上被a隔开，在另一个维度中被b隔开，则c=√（a²+b²）。
 
 
 
 
有很多方法可以解决和可视化简单的毕达哥拉斯方程，如a²+b²=c²，但当涉及到以不同的数学方式扩展该方程时，可视化并不一直有效。
 
当然，在宇宙中，我们的生活并不局限于在一张平面纸上。我们的宇宙不仅有长度和宽度（也有人喜欢把其称为x和y方向），还有深度（z方向）。如果想计算出空间中任意两点之间的距离，那么方法与在二维中的方法完全相同，只是增加了一个维度。无论两个点在x方向、y方向和z方向上的距离是多少，你都可以像在平面中一样算出两点之间的距离。
 
 
 
只不过，由于三维空间多出一个维度，它们之间的距离——我们称之为d——将由d=√（x²+y²+z²）得出。这个方程式可能看起来复杂，但它只是表达任何两点之间的距离是由连接它们的直线来确定的：这条直线是x方向、y方向和z方向的组合，它从三个维度的角度解释了两点之间的距离。
 
 
 
 
三维空间中任意两点之间的距离，如此处所示的原点和点P，等于三个（x、y和z）方向上距离差平方和的平方根。| 图源：CRONHOLM144/WIKIMEDIA COMMONS
 
 
 
关于这种关系，我们发现了一个有趣的事情——无论我们如何定位可视化的x、y、z维度，两点之间的距离都是一条直线。同样我们也可以更改坐标，使x、y和z维度处于任何（相互垂直）方向上，或将这两点沿任意方向旋转任意角度，他们之间的距离始终不会改变。
 
 
 
当然，如果旋转透视图或旋转连接这两个点的直线，各个部分将发生变化，因为当旋转时，该直线的长度、宽度和深度的定义将发生更改。但是这两个点之间的距离并没有发生改变；不管你如何旋转它们，这两点之间的距离仍然是不变量，即没有发生改变。
 
 
 
 
图片中代表“双行星”的两个物体之间有一定的距离。无论如何确定坐标系的方向或如何在空间中旋转这些行星，它们之间的距离保持不变。| 图源：美国宇航局
 
现在，除了考虑空间外，让我们把时间也考虑进去。你可能会想：“如果时间也是一个维度，那么时空中任何两点之间的距离也会是一样的。”例如，如果我们将时间维度表示为t，那么你可能会认为距离是通过三维空间维度和时间维度连接两个点的直线。用数学术语表示，那么任意两点之间距离的分离方程式应该类似于d=√（x²+y²+z²+t²）。
 
 
 
这是一个合理的尝试，毕竟这和我们从二维上升到三维时做出的调整基本相同，只不过这次是从三维上升到四维。该方程式准确的描述了如果不仅只有三个空间维度，而是拥有四个空间维度时的真实情况。
 
 
 
但是我们并没有四个空间维度，我们有的是三个空间维度和一个时间维度。不管你的直觉怎么样告诉你，时间都不仅仅是“一个维度”。
 
 
 
 
相机预测物体在时间中的运动仅仅将时间看作一个维度的一个实际应用。| 图源：索尼
 
 
 
如果将时间看作为一个维度，那么我们可以用两种方法发现它与空间的不同。
 
 
 
第一个简单的方法是：如果不采用某种方法将二者进行相互转换，那么就不能把空间（一种距离的度量）和时间（一种度量时间的方法）放在同一个基础上。爱因斯坦相对论启示我们——距离和时间之间有一个重要的、基本的联系：光速或是其他粒子的速度，在没有静止质量的情况下在宇宙中穿梭。
 
 
 
 
你在宇宙中所处的位置可以用空间坐标（在何处）描述的同时也可以用时间坐标（在何时）描述。如果不改变时间状态，也就无法改变空间位置。
 
 
 
真空中的光速（每秒299792458米）精确地传达了如何将空间中的运动与时间中的运动联系起来：通过这个基本常数本身。在使用“一光年”或“一光秒”这样的术语时，我们指的是时间上的距离：例如，光在一年（或一秒钟）内传播的距离。如果想把“时间”转换成一个距离，我们需要乘以真空中的光速。
 
 
 
 
在光锥中，所有可能出现的光线到达或离开时空的一个点的三维表面。在空间中移动的越多，在时间中的移动就越少，反之亦然。只有包含在过去光锥中的东西才能影响今天；只有包含在未来光锥中的东西才能在未来被感知。| 图源：WIKIMEDIA COMMONS
 
 
 
但第二个方法需要一个理解上的巨大飞跃，这是19世纪末20世纪初最伟大的思想也无法理解的，核心思想在于我们都在宇宙中同时穿越时空。如果只是坐在这里，静止不动，根本不在空间中移动，那么我们就以我们都熟悉的特定的速率穿越时间：每秒一秒。
 
 
 
然而，关键点在于，在空间中移动的越快，穿越时间的速度就越慢。这点在其他维度并不成立。例如，在空间中通过x维的运动，完全独立于通过y和z维的运动。但是相对于任何其他观察者来说，你在空间中的总运动，决定了你在时间中的运动。在其中一个（空间或时间）中移动得越多，在另一个中移动得就越少。
 
 
 
 
时间膨胀（L）和长度收缩（R）表明，越接近光速，时间越慢，距离就越小。当接近光速时，时钟会向根本不经过的时间扩张，而距离则会缩小到无穷小。| 图来源：WIKIMEDIA
 
 
 
这就是为什么爱因斯坦的相对论给了我们时间膨胀和长度收缩这样的概念。如果以与光速相比非常低的速度移动，就不会注意到这些影响：时间似乎以每秒一秒的速度移动，而其长度似乎也与地球上通常可以达到的速度相同。
 
 
 
但当接近光速时，或者更确切地说，当你感知到一个物体，并且你和它之间的相对速度接近光速时，你会观察到它是沿着它的相对运动方向收缩的，而且相对于你自己的时钟来说，时钟的运行速度似乎更慢（扩张）。
 
 
 
爱因斯坦认识到这一点的原因很简单：因为所有观察者的光速都是一样的。如果你想象时钟是由两个反射镜之间来回反射的光来定义的，那么当别人的时钟接近光速时，观察他们的时钟必然会比你的时钟慢。
 
 
 
 
一个由光子在两个反射镜之间反射形成的光钟将为所有观察者定义时间。尽管这两位观察者可能在时间流逝的问题上意见不一致，但他们将在物理定律和宇宙常数（如光速）上达成一致。一个静止的观察者会看到正常的时间流逝，但是一个在空间中快速移动的观察者，他们的时钟相对于静止的观察者运行得慢一些。（约翰·诺顿）
 
 
 
这其中还有一个更深刻的见解，最初连爱因斯坦自己都没有发现。如果把时间当作一个维度（这只是想象的而并非真实的），乘以光速，那么我们就可以用先前定义距离的方式来定义“时空间隔”。只是，由于虚数i只是√（-1），这意味着时空间隔实际上是d=√（x²+y²+z²-c²t²）。[注意时间坐标上的减号！]
 
 
 
换言之，从“空间中的运动或分离”到“时间上的运动通过或分离”也是一种旋转，但它不是在空间的笛卡尔坐标系（其中x、y和z都是实数），而是通过时空的双曲坐标系，如果空间坐标是实数，那么时间坐标一定是虚数。
 
 
 
在命运的大转折中，第一个把这些拼图拼凑起来的人是爱因斯坦之前的老师，赫尔曼·明科夫斯基，他在1907年8月指出，“从今往后，空间和时间都注定要消失在阴影中，只有两者的结合才能保持一个独立的现实。”在明可夫斯基严谨的数学基础上，时空概念诞生了并一直存在下去。
 
 
 
 
用红蓝两色绘制的双曲坐标，与传统的笛卡尔网格坐标相比，这两组不同轴之间的数学关系完全不同。| 图源：WIKIMEDIA
 
值得注意的是，爱因斯坦虽然缺乏数学洞察力，无法准确理解时间维度与空间的三个常规维度之间的关系，但仍然具有能够拼凑出这一关键的物理洞察力。增加你在空间中的运动会减少你在时间中的运动，反之亦然。所有对空间和时间的测量都只对观察者有意义，并且取决于观察者对被观察者的相对运动。
 
 
 
然而，时空间隔保持不变。不管是谁在观察，也不管他们移动的有多快，所有观察者在任何物体时空中的联合运动这一点上都能达成一致。
 
 
 
从某种程度上说，相对论的成功更让人印象深刻。闵可夫斯基对他后来的学生马克斯·伯恩（Max Born）曾评价爱因斯坦到：“对我来说（相对论）是一个巨大的惊喜。在学生时代，爱因斯坦是个真正的懒鬼。”
 
 
 
幸运的是，在物理学中，宇宙本身才是科学真理的最终仲裁者，而不是某个人的观点。
 
 
 
 
一起分享AI学习与发展的干货
 
欢迎关注全平台AI垂类自媒体 “读芯术”
 
 
（添加小编微信：dxsxbb，加入读者圈，一起讨论最新鲜的人工智能科技哦～）