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  • 圆,是我们生活中常见的一种图形,但是它的面积应该...(2)连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,一般用字母r表示,半径的长度就是圆规个脚之间的距离。(3)通过圆心并且端都在圆上的线段叫做直径,一般用字母...

    圆,是我们生活中常见的一种图形,但是它的面积应该怎么计算?周长有应该怎么计算呢?今天英洁老师就为大家带来了有关圆的一些计算方法,快准备好笔记本来学习吧!!


    NO.1  什么是圆?

    (1)用圆规画圆时,针尖所在的点叫做圆心,一般用字母o表示。

    (2)连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,一般用字母r表示,半径的长度就是圆规两个脚之间的距离。

    (3)通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,一般用字母d表示。

    (4)在同圆或等圆中,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。即:d=2r;r=d/2。

    (5)圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。

    1:在一张长8厘米、宽6厘米的长方形纸上,如果画一个最大的圆,它的半径是多少?如果画一个最大的半圆,它的半径又是多少?

    解析:长方形中最大圆的直径应等于长方形的宽,即这个圆的半径是6÷2=3厘米;根据长方形内最大的半圆的特点可知,这个半圆的直径是6厘米,由此可以求出这个半圆的半径。

    解:由分析可知:在一张长8厘米,宽6厘米的长方形纸片上画一个最大的圆,这个圆的半径是:6÷2=3厘米;

    如果画一个最大的半圆,这个圆的半径是:8÷2=4厘米;

    答:如果画一个最大的圆,它的半径是3厘米;如果画一个最大的半圆,它的半径又是4厘米。


    NO.2  圆的周长

    圆的周长计算公式是:C=πd或C=2πr。π是一个无限不循环小数。在实际应用中,圆周率通常取它的近似值3.14。

    例2:62.8厘米的细铁丝在一根圆铁棒上刚好绕10圈,这根圆铁棒横截面的半径是多少厘米?

    解析:根据62.8厘米绕10圈,可以算出绕一圈的长度来,一圈的长度也就是这根圆铁棒横截面的周长,由周长除以2π,求出横截面的半径即可。

    解:一圈的长度为:62.8÷10=6.28(厘米)

    半径:6.28÷2÷3.14=1(厘米)

    答:这根圆铁棒横截面的半径是1厘米。


    NO.3  圆的面积

    1.圆的面积计算公式是:S=π

    2.圆环的面积公式计算公式是:S=πR²-πr²S=π(R² -r²)[来源

    例3:用周长为12.56分米的铁丝围成一个圆,它的面积是多少?

    试题分析:先利用圆的周长公式求出半径,再据圆的面积公式即可。

    解:12.56÷(2×3.14)

    =12.56÷6.28=2(分米)

    3.14×22 =12.56(平方分米)

    答:它的面积是12.56平方分米。


    .Com]

    NO.4  扇形

    扇形通常就是我们所说的几分之几圆。

    因为扇形=两条半径+弧长 

    若半径为r,扇形所对的圆心角为n°,那么扇形周长:C=2rnπr÷180

    在半径为r的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πr²所以圆心角为n°的扇形面积:S=nπr²÷360

    例4:正方形边长是10厘米,以四边为直径在正方形内部画了四个半圆,求阴影部分的面积(保留整数)。

    f1cc753bc70a22ddcfc46dd03e9f8348.png

    解析:阴影部分的面积为正方形的面积减去四空白的面积。而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积,正方形的面积为10×10=100平方厘米,2个半圆的面积为:3.14×(10/2)²=78.5平方厘米。

    解:两个空白处的面积为:

    10×10-3.14×(10/2)²

    =100-78.5=21.5(平方厘米)

    所以阴影部分的面积为:

    10×10-21.5×2=100-43=57(平方厘米)

    答:阴影部分的面积为57平方厘米。


    练习一刻  f89b3ddf29a1e873b123658b2b2aa9c9.pngf89b3ddf29a1e873b123658b2b2aa9c9.png

    1. 阴影部分是一个正方形,这个正方形的面积是14m2,求圆的面积。

    9ec52206ac735ed763a90f0cc92c62c8.png

    2.如图正方形的面积是20平方厘米,阴影部分是正方形内最大的圆,求圆的面积。

    76c9365178be23599a9c61280c4107e5.png3.计算阴影部分的面积。(单位:厘米)

    cc8a7a368188a701140ee5354fdd09ac.png

    4.一个圆形游泳池(如图所示),半径是5米,小明如果沿着游泳池走两圈是多少米?

    7d06d2cdea4c0d27c4aeeb82c5a579b0.png

    (答案见下期804100d701650256b2de3a6552d1faaf.png804100d701650256b2de3a6552d1faaf.png)


    上期答案

    1.解析:D     因为y=-2(x-3)²+4是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点,顶点坐标为(3,4),故选D.

    2.解析:C

    A、∵a=1>0,∴抛物线开口向上,选项A不正确;

    B、∵-2a/b=1/2抛物线的对称轴为直线x=1/2,选项B不正确;

    C、当x=0时,y=x²-x=0,∴抛物线经过原点,选项C正确;

    D、∵a>0,抛物线的对称轴为直线x=1/2x>1/2时,y随x值的增大而增大,选项D不正确,故选C.

    3.解析:A     二次函数y=x²-x+m-1的图象与x轴有交点,∴⊿=(-1)²-4×1×(1/4m-1)≥0,解得m≤5,故选A.

    4.解析:D

    A、当t=9时,h=136;当t=13时,h=144;所以点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同,此选项错误;

    B、当t=24时h=1≠0,所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m,此选项错误;

    C、当t=10时h=141 m,此选项错误;

    D、由h=-t²+24t+1=-(t-12)²+145知火箭升空的最大高度为145m,此选项正确.故选D.


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    44a1fc6ebebd62931c80e153eca9c2dd.png

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  • 2018.07.13 数学技巧

    2018-07-13 09:40:00
    早上大概是学了一个叫做切比雪夫距离的东西。 切比雪夫距离的数学定义大概是这样的:对于两个点(x1,y1),(x2,y2)(x1,y1),(x2,y2),它们...观察两点之间的切比雪夫距离计算公式,惊奇的发现可以将两点间的切比雪夫距离...

    早上大概是学了一个叫做切比雪夫距离的东西。

    切比雪夫距离的数学定义大概是这样的:对于两个点(x1,y1),(x2,y2)(x1,y1),(x2,y2),它们之间的切比雪夫距离是max(|x1x2|,|y1y2|)max(|x1−x2|,|y1−y2|),这个东西有什么用呢?观察两点之间的切比雪夫距离计算公式,惊奇的发现可以将两点间的切比雪夫距离转化成为曼哈顿距离。将两个点的坐标进行变形,变成(x1+y1,x1y1),(x2+y2,x2y2)(x1+y1,x1−y1),(x2+y2,x2−y2),好的两个新点的切比雪夫距离就是两个旧点的曼哈顿距离。

    另一方面,两点之间的曼哈顿距离也可以变成切比雪夫距离,对于两个点(x1,y1),(x2,y2)(x1,y1),(x2,y2),将两个点的坐标进行变形,变成((x1+x2)/2,(x1y1)/2),((x2+y2)/2,(x2y2)/2)((x1+x2)/2,(x1−y1)/2),((x2+y2)/2,(x2−y2)/2),这时两个新点的曼哈顿距离就是两个旧点的切比雪夫距离,这两个变形的具体证明随便讨论一下绝对值就行了。

    转载于:https://www.cnblogs.com/ldxcaicai/p/9738448.html

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  • 估计基础矩阵

    2019-04-17 21:04:47
    基础矩阵 什么是基础矩阵 当我们从个视角拍摄三维空间中某一物体时,物体中的会投影到个像平面中 ...T为个照相机中心之间的距离 设X在C,C’坐标系中的相对坐标分别p,p’,则有 p=Rp’+T x=Kp,则p=(...

    基础矩阵

    什么是基础矩阵

    当我们从两个视角拍摄三维空间中某一物体时,物体中的点会投影到两个像平面中
    在这里插入图片描述
    C和C’为两个照相机的中心。X是三维世界中的点,x和x’为投影到像平面中的点。
    在这里插入图片描述
    e和e’为两个照相机中心和像平面的交点,ee’叫做基线,I和I’叫做对极线,e和e’叫做对极点。
    在这里插入图片描述
    T为两个照相机中心之间的距离
    设X在C,C’坐标系中的相对坐标分别p,p’,则有 p=Rp’+T
    x=Kp,则p=(K^-1)*x;
    同理,x’=K’p’,则p’=(K’^-1)*x’
    又因为基线,CP还有C’P’三线共平面,有

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    E为本质矩阵,它描述了空间中的点在两个坐标系中的坐标对应关系
    在这里插入图片描述
    基础矩阵描述了空间中的一个点投影在两个像平面(即不同坐标系)之间的对应关系

    如何估计基础矩阵

    由这个公式
    在这里插入图片描述
    我们可以知道,通过两幅图像的匹配点 x 与 x’ 可以估计出两视图的基础矩阵
    假设
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    把基础矩阵FF的各个元素当作一个向量处理

    f=[f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8,f9]

    那么上面式子可以写为

    [u1u2,u1v2,u1,v1u2,v1v2,v1,u2,v2,1]⋅f=0
    对于其他的点对也使用同样的表示方法。这样将得到的所有方程放到一起,得到一个线性方程组

    在这里插入图片描述
    上述求解的的F不一定能满足秩为2的约束,因此 还要在F基础上加以约束。
    通过SVD分解可以解决上述问题
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    这样求解出来的F当然这只是理想中的情况,由于噪声、数值的舍入误差和错误的匹配点的影响,仅仅求解上面的线性方程组得到的基础矩阵非常的不稳定,因此在8点法的基础上有各种改进方法。
    接下来介绍图像坐标归一化方法
    将上面公式中由匹配的点对坐标组成的矩阵记为系数矩阵A,Af=0,因为矩阵各列的数据尺度差异太大, 最小二乘得到的结果精度一般很低,所以要对各个列向量进行归一化操作。
    归一化操作步骤如下

    1. 对点进行平移使其形心位于原点。
    2. 对点进行缩放,使它们到原点的平均距离为2–√2
    3. 对两幅图像独立进行上述变换

    设H是归一化的变换矩阵,可记为如下形式
    在这里插入图片描述
    其中,μ¯,ν¯是图像像点坐标两个分量的平均值,S表示尺度,其表达式为
    在这里插入图片描述
    这样,首先对原始的图像坐标进行归一化处理,再利用8点法求解基础矩阵,最后将求得的结果解除归一化,得到基础矩阵F。

    RANSAC算法
    基于匹配点对估算两视图的基础矩阵,唯一的已知条件就是匹配的点对坐标。在实践中,点对的匹配肯定是存在误差的,对于基础矩阵的估算,不匹配的点能够造成很大的误差,即使是只有一对错误的匹配都能使估算值极大的偏离真实值。因此,需要找到一种方法,从包含错误点(外点)的匹配点对集合中,筛选出正确的匹配点(内点)。这时,我们就需要用到RANSAC算法,它的原理之前已经详细阐述过,请阅读这篇博文(https://blog.csdn.net/qq_42617827/article/details/88907831)

    实现代码和运行结果

    from PIL import Image
    from numpy import *
    from pylab import *
    import numpy as np
    
    from PCV.geometry import camera
    from PCV.geometry import homography
    from PCV.geometry import sfm
    from PCV.localdescriptors import sift
    from imp import reload
    camera = reload(camera)
    homography = reload(homography)
    sfm = reload(sfm)
    sift = reload(sift)
    
    im1 = array(Image.open('D:/inputimages/im2/aa_5.jpg'))
    sift.process_image('D:/inputimages/im2/aa_5.jpg', 'im1.sift')
    
    im2 = array(Image.open('D:/inputimages/im2/aa_6.jpg'))
    sift.process_image('D:/inputimages/im2/aa_6.jpg', 'im2.sift')
    
    l1, d1 = sift.read_features_from_file('im1.sift')
    l2, d2 = sift.read_features_from_file('im2.sift')
    
    matches = sift.match_twosided(d1, d2)
    
    ndx = matches.nonzero()[0]
    x1 = homography.make_homog(l1[ndx, :2].T)
    ndx2 = [int(matches[i]) for i in ndx]
    x2 = homography.make_homog(l2[ndx2, :2].T)
    
    d1n = d1[ndx]
    d2n = d2[ndx2]
    x1n = x1.copy()
    x2n = x2.copy()
    
    figure(figsize=(16,16))
    sift.plot_matches(im1, im2, l1, l2, matches, True)
    show()
    
    def F_from_ransac(x1, x2, model, maxiter=5000, match_threshold=3):
         from PCV.tools import ransac
        data = np.vstack((x1, x2))
        d = 10 # 20 is the original
        # compute F and return with inlier index
        F, ransac_data = ransac.ransac(data.T, model,
                                       8, maxiter, match_threshold, d, return_all=True)
        return F, ransac_data['inliers']
    
    model = sfm.RansacModel()
    F, inliers = F_from_ransac(x1n, x2n, model, maxiter=5000, match_threshold=1e-5)
    print (F)
    
    P1 = array([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0]])
    P2 = sfm.compute_P_from_fundamental(F)
    
    print (P2)
    print (F)
    
    X = sfm.triangulate(x1n[:, inliers], x2n[:, inliers], P1, P2)
    
    cam1 = camera.Camera(P1)
    cam2 = camera.Camera(P2)
    x1p = cam1.project(X)
    x2p = cam2.project(X)
    
    figure(figsize=(16, 16))
    imj = sift.appendimages(im1, im2)
    imj = vstack((imj, imj))
    
    imshow(imj)
    
    cols1 = im1.shape[1]
    rows1 = im1.shape[0]
    for i in range(len(x1p[0])):
        if (0<= x1p[0][i]<cols1) and (0<= x2p[0][i]<cols1) and (0<=x1p[1][i]<rows1) and (0<=x2p[1][i]<rows1):
            plot([x1p[0][i], x2p[0][i]+cols1],[x1p[1][i], x2p[1][i]],'c')
    axis('off')
    show()
    
    d1p = d1n[inliers]
    d2p = d2n[inliers]
    
    im3 = array(Image.open('D:/inputimages/im2/aa_7.jpg'))
    sift.process_image('D:/inputimages/im2/aa_7.jpg', 'im3.sift')
    l3, d3 = sift.read_features_from_file('im3.sift')
    
    matches13 = sift.match_twosided(d1p, d3)
    
    ndx_13 = matches13.nonzero()[0]
    x1_13 = homography.make_homog(x1p[:, ndx_13])
    ndx2_13 = [int(matches13[i]) for i in ndx_13]
    x3_13 = homography.make_homog(l3[ndx2_13, :2].T)
    
    figure(figsize=(16, 16))
    imj = sift.appendimages(im1, im3)
    imj = vstack((imj, imj))
    
    imshow(imj)
    
    cols1 = im1.shape[1]
    rows1 = im1.shape[0]
    for i in range(len(x1_13[0])):
        if (0<= x1_13[0][i]<cols1) and (0<= x3_13[0][i]<cols1) and (0<=x1_13[1][i]<rows1) and (0<=x3_13[1][i]<rows1):
            plot([x1_13[0][i], x3_13[0][i]+cols1],[x1_13[1][i], x3_13[1][i]],'c')
    axis('off')
    show()
    
    P3 = sfm.compute_P(x3_13, X[:, ndx_13])
    
    print (P1)
    print (P2)
    print (P3)
    
    

    1.输入图像为室内的一组图片

    在这里插入图片描述图1和图2的基础矩阵为:
    [[-2.93642624e-07 -2.52569110e-05 7.38926311e-03]
    [ 2.53520405e-05 -1.64899641e-06 -1.09529468e-02]
    [-9.00898246e-03 1.06519327e-02 1.00000000e+00]]
    三幅图像的三维坐标分别为:
    [[1 0 0 0]
    [0 1 0 0]
    [0 0 1 0]]
    [[ 2.65992345e+00 -3.94270860e+00 3.59957339e+02 3.98241368e+02]
    [-2.94271054e+00 4.36194186e+00 -3.98250377e+02 3.59967991e+02]
    [-9.95264482e-03 -9.78262168e-03 7.48498556e+00 1.00000000e+00]]
    [[ 3.50322468e-03 -5.19264181e-03 4.74071724e-01 5.24493917e-01]
    [-3.87562055e-03 5.74482146e-03 -5.24509875e-01 4.74086962e-01]
    [-1.31734650e-05 -1.29476838e-05 9.87091711e-03 1.32239549e-03]]

    2.输入的图像为室外一组图像:

    在这里插入图片描述
    图1和图2的基础矩阵为:
    [[-2.71867271e-07 4.00941354e-06 -1.66039812e-03]
    [-6.40785546e-07 2.93404328e-07 -1.16262050e-02]
    [-4.03101746e-04 1.00548758e-02 1.00000000e+00]]
    三幅图像的三维坐标分别为:
    [[1 0 0 0]
    [0 1 0 0]
    [0 0 1 0]]
    [[-7.45286786e-01 -5.21851401e+00 4.48847823e+02 -2.54066399e+03]
    [-4.21851399e+00 -2.95382811e+01 2.54066359e+03 4.48857877e+02]
    [-1.00645428e-02 -4.57820172e-04 -2.53651254e+01 1.00000000e+00]]
    [[ 7.05546882e-03 -2.24434525e-03 -2.20058159e-01 -7.78153655e-01]
    [-2.50581167e-03 -2.38118897e-03 4.75318747e-01 3.43171335e-01]
    [ 7.46195840e-06 -1.98349272e-06 -2.26475206e-03 -3.82436335e-04]]

    在运行代码的过程中会出现:did not meet fit acceptance criteria
    这是因为两幅图像的匹配点过少的原因,我们需要重新输入图像进行匹配,或者改变代码中match_threshold参数。

    当我们已经知道两幅图像的基础矩阵之后,将其中一幅图像的三维点设为
    [[1 0 0 0]
    [0 1 0 0]
    [0 0 1 0]],利用基础矩阵进行运算,便能求解出另外一幅图像的三维点。本实验的三维点便是利用这种方法算出来的。

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  • 然而我并不知道正解是什么 然而我也不知道它想考什么 但是 贪心加上瞪眼观察法这这道题很...这样,题目要求的距离为2,显然是蓝的和蓝的之间才能满足要求 由于根据题目,同是可以算遍的,所以我们这种...

    然而我并不知道正解是什么

    然而我也不知道它想考什么

    但是

    贪心加上瞪眼观察法这这道题很简洁、很简单就AC了=w=

    这就叫做简约高端有内涵=w=

    由于距离为2,满足条件的两点一定会过一个中心点(他俩中间隔的那个点),我们把每一个点看成中心点分别处理,只考虑与它直接相连的点

    这样,题目要求的距离为2,显然是蓝的和蓝的之间才能满足要求

    由于根据题目,同两个点是可以算两遍的,所以我们这种想法是行得通的

    然后我们先来找max

    max一定是某一个点为中心点(红点)时,它所连的点(蓝点)中得最大值*次大值,

    那么我们只需要记录每个点为中心点的最大值和次大值就可以了,然后取max就是我们的最大联合权值=w=

    那么和呢?

    sum=v1*(Σ -v1)+v2*(Σ-v2)+v3*(Σ-v3)+...+v6*(Σ-v6)

    所以我们只需要计算出每个i所连的所有点的权值和然后在算的时候用 (sum[i]-v)*v 就可以了

    那么对于n个点,(n-1)条边,我们只需要枚举边,

    然后分别更新这条边的左右端点的的max1(最大值)、max2(次大值)和sum 就可以了

    然后枚举点,去maxn=max(max1[i]*max2[i])

    然后再枚举边,按照我们上面的公式计算左右端点对权值总和summ的贡献并加到summ中

    Pascal实现:

    <span style="font-size:18px;">type
        rec=record
            a,b:longint;
    end;
    
    const
        mo=10007;
    var
        n,x,y,ans,maxn,summ :longint;
        i                   :longint;
        v,sum               :array[0..200010] of longint;
        l                   :array[0..200010] of rec;
        max1,max2           :array[0..200010] of longint;
    begin
       read(n);
       for i:=1 to n-1 do read(l[i].a,l[i].b);
       for i:=1 to n do read(v[i]);
       //
       for i:=1 to n-1 do
       begin
          sum[l[i].a]:=(v[l[i].b]+sum[l[i].a]) mod mo;
          if (v[l[i].b]>max1[l[i].a]) then
          begin
             max2[l[i].a]:=max1[l[i].a];
             max1[l[i].a]:=v[l[i].b];
          end else
          if (v[l[i].b]>max2[l[i].a]) then max2[l[i].a]:=v[l[i].b];
          //
          sum[l[i].b]:=(v[l[i].a]+sum[l[i].b]) mod mo;
          if (v[l[i].a]>max1[l[i].b]) then
          begin
             max2[l[i].b]:=max1[l[i].b];
             max1[l[i].b]:=v[l[i].a];
          end else
          if (v[l[i].a]>max2[l[i].b]) then max2[l[i].b]:=v[l[i].a];
       end;
       //
       for i:=1 to n do
        if (max1[i]*max2[i]>maxn) then maxn:=max1[i]*max2[i];
       //
       for i:=1 to n-1 do
       begin
          summ:=((((sum[l[i].b]-v[l[i].a]+mo) mod mo)*v[l[i].a]) mod mo+summ) mod mo;
          summ:=((((sum[l[i].a]+mo-v[l[i].b]) mod mo)*v[l[i].b]) mod mo+summ) mod mo;
       end;
       writeln(maxn,' ',summ);
    end.
    </span>

     

    C语言实现

    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #define mo 10007
    #define maxn 200010
    
    int maxnn = 0;
    long long summ = 0;
    int l = 0;
    int maxn1[maxn], maxn2[maxn];
    int last[maxn];
    int pre[maxn * 2], other[maxn * 2];
    int x[maxn], y[maxn], w[maxn], sum[maxn];
    
    void connect(int x, int y) {
        l++;
        pre[l] = last[x];
        last[x] = l;
        other[l] = y;
    }
    
    void find_max(int x, int y){
        if (w[y] > maxn1[x]){
            maxn2[x] = maxn1[x];
            maxn1[x] = w[y];
        } else if (w[y] > maxn2[x]) maxn2[x] = w[y];
    }
    
    int main() {
        int i;
        int n;
        memset(maxn1, 0, sizeof(maxn1));
        memset(maxn2, 0, sizeof(maxn2));
        scanf("%d", &n);
        for (i = 1; i < n; i++) 
        {
            scanf("%d %d", &x[i], &y[i]);
            connect(x[i], y[i]);
            connect(y[i], x[i]);
      
        }
        for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
        for (i = 1; i < n; i++) {
            sum[x[i]] += w[y[i]]; 
            sum[y[i]] += w[x[i]];
            find_max(x[i], y[i]);
            find_max(y[i], x[i]);
        }
        for (i = 1; i < n; i++) {
            summ = (summ + ((long long ) (w[x[i]] * (long long) (sum[y[i]] - w[x[i]])) % mo)) % mo;
            summ = (summ + ((long long ) (w[y[i]] * (long long) (sum[x[i]] - w[y[i]])) % mo)) % mo;
        } 
        for (i = 1; i <= n; i++) 
            if ((maxn1[i] * maxn2[i]) > maxnn) maxnn = maxn1[i] * maxn2[i];
        printf("%d %ld\n", maxnn, summ);    
        return 0;
    }

     

     

     

     

    ——by Eirlys

     

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