《两点间的距离》教案
授课题目
两点间的距离公式
授课类型
新授课
学习目标
知识与技能
掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
过程与方法
通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；。
情感态度与价值观
体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
教学重点
两点间距离公式的推导.
教学难点
应用两点间距离公式证明几何问题。
教材分析
本节为人教版高中数学必修二的第三章第三节的内容。两点距离公式即是对直线方程基础上的延伸和发展，也为下一章空间直角坐标系中两点距离公式的教学做铺垫。同时这部分内容较好的反映了直角坐标系中的几何关系的内在联系与相互转换，蕴含着归纳、转换、数形结合等数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力及创新意识。
学情分析
通过前一阶段的教学，学生对平面直角坐标系中的两点距离的认识已有了一定的认知结构，主要体现在学生已经初步掌握了两点距离公式的运用，初步具备了解决问题的能力，学生对数学新内容的学习有了相当的兴趣和积极性。但是探究问题的能力及合作交流等方面发展不够均衡。
教学方法
讲授法、谈话法、演示法
教学过程
教学过程
一、新课导入：
设置情景，导入新课。通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程。让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤. 通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用，可以使学生更进一步体会知识形成过程为接下来的学习奠定一个坚实的基础
板书设计
两点距离公式
用代数的方法解决几何问题
如何用两点间距离公式的推导
教学评价
形成性评价
形成性评价1：用以说明学生对两点距离公式的推导过程的理解情况
形成性评价2：用以说明学生对两点距离公式的掌握情况
生成性问题解决
在形成性评价1中，学生可能不会分析两点距离公式的推导思路，这是由于学生没有想到利用勾股定理来推导，因此，教师在教学过程中，要借助图像积极引导学生观察和分析问题，进而用直角三角形的勾股定理来解决问题。
在形成性评价2中，学生在求解平行与x轴或y轴的上的两点距离时可能会比较迷惑，这是因为此时它们的横或纵坐标是相等的，因此，教师教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法，先分析平行于x或y轴上的两点，再分析一般情况下的两点。
《点到直线的距离》教案
授课题目
点到直线的距离
授课类型
新授课
学习目标
知识与技能
使学生理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式
过程与方法
学生会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
情感态度与价值观
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
教学重点
点到直线的距离公式.、两条两平行线距离公式   .
教学难点
点到直线距离公式和两平行线距离公式的理解与应用.
教材分析
本节为人教版高中数学必修二的第三章第三节的内容。本节即是在两点距离公式知识上的延伸，又是对点到直线和两平行直线之间距离的运用与巩固，也为下一节直线方程的教学内容做铺垫，起着链条的作用。同时这部分内容也渗透了转化、数形结合思想方法，能较好的培养学生观察能力、概括能力、探究能力，在实际生活中有广泛应用。
学情分析
通过前一节课的教学，学生对点到直线和两平行直线之间距离认知已有了一定的认知结构，主要体现在学生已经初步掌握了公式的推导、学生初步具备解决问题的能力并能熟练运用。同时，需要教师借助图像，引导学生观察分析，进一步培养学生解决问题的能力。
教学方法
讲授法、谈话法、演示法
教学过程
新课导入：
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.
一、
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，
由
得
所以
由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.
所以
可证明，当A = 0时仍适用
证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为
.
又Ax0   + By0 + C2 = 0
即Ax0   + By0= –C2，
∴
通过设置情境导入新课，并让学生讨论分析。利用这种转化，培养学生“化归”的思想方法. 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 学生不仅可以全面的掌握并运用点到直线的距离公式还可以进一步回顾知识的形成、发展、完善的过程。开拓了学生思维，培养了学生解题能力。
板书设计
点到直线距离公式与两平行线距离.
公式推导(过程)
小结
教学评价
形成性评价
形成性评价1:用以检测学生对已有知识水平解决点到直线距离问题的使用方法情况
形成性评价2:用以说明学生对点到直线距离公式的掌握情况。
生成性问题解决
在形成性评价1中，学生可能只想到一种解决点到直线距离的方法(直接法)，而忽略三角形面积法。这是因为学生还没形成数形结合的思维，因此，需要老师结合几何图形来引导学生通过观察和分析，得到解题思路。
《两条直线平行与垂直的判定》教学设计
授课题目
两条直线平行与垂直的判定
授课类型
新授课
学习目标
知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力
情感态度与价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
教学重点
两条直线平行和垂直的条件.
教学难点
启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
教材分析
本节为人教版高中数学必修二的第三章第一节的内容。本节课既是在直线斜率知识上的延伸和发展，又为下一节直线的房产的教学做铺垫，起着链条的作用。同时这部分内容较好的反映了两直线平行与垂直的斜率关系内在联系和相互转化。蕴含了归纳、转化、数形结合的数学思想方法，能较好的培养学生的观察能力、概括能力以及和创新意识
学情分析
通过上节倾斜角和斜率的教学，学生对直线的倾斜程度的认识有了一定的认知结构，那么本节主要体现在学生初步掌握了对两直线平行与垂直斜率关系的理解，还培养学生语言(符号图形)的表达能力，初步具备了解决问题的思想，学生对数学新内容的学习有了相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡。
教学方法
讲授法、谈话法、演示法
教学
教学过程
一、新课导入：
通过问题导入，培养学生感性认识，在探索新知的过程中，讲解在斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想. 通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件. 培养学生的概括能力。
板书设计
两条直线平行与垂直的判定
斜率之间的关系
教学评价
形成性评价
形成性评价1：用以说明学生对两条直线平行时斜率的关系的掌握情况
形成性评价2：用以说明学生对两条直线垂直时斜率的关系的掌握情况
生成性问题解决
在形成性评价1中，学生可能会认为两条直线平行，斜率一定相等，出现这种错误的原因是忽略了当两条不重合的直线都垂直于x轴时，这时斜率是不存在的。因此，教师在教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法。
在形成性评价2中，学生可能会认为，当两条直线垂直时，它们的斜率乘积一定为-1，出现这种错误的原因是学生忽略了对特殊情况(当一条直线斜率不存在时)下的问题，因此，教师在教学过程中要采用从特殊到一般的处理方法。

之前编程上有个小错误，应该算点到线段的距离，结果算成了点到直线的距离，导致bug。今天就来记载一下，这两个的数学上的区别和代码上的差异。

点到线段最短距离的运算与点到直线的最短距离的运算二者之间存在一定的差别，即求点到线段最短距离时需要考虑参考点在沿线段方向的投影点是否在线段上，若在线段上才可采用点到直线距离公式，如图1所示。



具体算法主要有以下三种：

1、方法——经典算法

该算法直接用高中时所学习到的解析几何知识对点到线段的距离进行求解。其基本思想是先判断点在线段端点、点在线上等等的特殊情况，逐步的由特殊到一般，当忽略点在线段上的特殊情况时，判断点到线段方向的垂线是否落在线段上的方法是通过比较横纵坐标的方式来判断，最后把不同的判断情况用不同的几何方式来进行处理计算得出结果。

由上面叙述的基本思路可以知道这种算法虽然很容易理解和接受，但从算法的实用性的角度分析还是有很大的缺点的，首先是算法复杂，计算量巨大，大量的比较判断、距离计算、角度计算等等，实际应用中往往是需要求由大量线段组成的折线到某点的最短距离，如此用这样的算法计算量是不能想象的。其次经典算法中使用的一些简化运算的函数不利于语言的重新包装，如果想换编程语言的话，就比较麻烦了。

2、方法二——面积算法

该方法主要是先判断投影点是否在线段上，投影点在线段延长线上时，最短距离长度为点到端点的线段长度；当投影点在线段上时，先使用海伦公式计算三角形面积，再计算出三角形的高，即为最短距离。

运用面积算法求解点到线段最短距离思路很清晰，也很容易理解。从效率方面考虑，比如需要多次计算平方、根号，这对于大量数据进行运算是负担很重的。求面积就必须把三条边长全部求出，并且用到的海伦公式也需要进行开方运算，计算过程显得繁琐。

3、方法三——矢量算法

矢量算法过程清晰，如果具有一定的空间几何基础，则是解决此类问题时应优先考虑的方法。当需要计算的数据量很大时，这种方式优势明显。由于矢量具有方向性，故一些方向的判断直接根据其正负号就可以得知，使得其中的一些问题得以很简单的解决。用此方法考虑，我们只需要找到向量 在方向上的投影，具体如下：



上面的 是方向上的单位向量，其意义是给所求向量确定方向。是的两个向量的内积，且   ，其中θ为向量AP与AB之间的夹角。是向量长度。那么即为上图中线段AC的长度值，不带有方向性。此数值与上述表征方向的 整体构成有大小、有方向的新向量，即为 在方向上的投影向量，C为投影点。根据得到的，由向量的方向性可知：


如果情况是上图(A)所示，那么0<r<1;

(B)所示的情况，那么r ≥1;

(C)所示的情况，那么得到r ≤0;


特殊情况如点在线段上、点在端点、点在线段延长线上等等的情况全部适用于此公式，只是作为特殊情况出现，无需另作讨论。这也是矢量算法思想的优势所在。

故根据r值的不同，最短距离  ：                     

double PointToSegDist(double x, double y, double x1, double y1, double x2, double y2)
{
double cross = (x2 - x1) * (x - x1) + (y2 - y1) * (y - y1); //|AB*AP|：矢量乘
if (cross <= 0) return Math.Sqrt((x - x1) * (x - x1) + (y - y1) * (y - y1)); //是|AP|：矢量的大小
  
double d2 = (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1); //|AB|^2：矢量AB的大小的平方
if (cross >= d2) return Math.Sqrt((x - x2) * (x - x2) + (y - y2) * (y - y2)); //是|BP|：矢量的大小
  
double r = cross / d2;  //相似三角形原理求出c点的坐标
double px = x1 + (x2 - x1) * r;
double py = y1 + (y2 - y1) * r;
return Math.Sqrt((x - px) * (x - px) + (py - y) * (py - y));
}

换一下变量名这样写：

double pointToSegDistance2D(glm::vec2 p, glm::vec2 l1, glm::vec2 l2)
{
	glm::vec2 line_vec = l2 - l1; //AB
	glm::vec2 point_vec = p - l1; //AP
	double c = glm::dot(line_vec, point_vec); //|AB*AP|
	if (c <= 0) return (glm::length(point_vec)); //|AP|

	double d = pow(glm::length(line_vec), 2); //|AB|^2
	if (c >= d) return (glm::length(p - l2)); //|BP|

	double r = c / d; //相似三角形求出c点的坐标
	double px = l1.x + (l2.x - l1.x)*r;
	double py = l1.y + (l2.y - l1.y)*r;
	glm::vec2 p_shadow = glm::vec2(px, py); //投影点c

	return (glm::length(p - p_shadow)); //|CP|


}

如果是点到直线的距离，那就不用考虑那么多了：

double pointToLineDistance2D(glm::vec2 p, glm::vec2 l1, glm::vec2 l2)
{
	assert(p != l1&&p != l2);
	glm::vec2 line_vec = l2 - l1; //AB
	glm::vec2 point_vec = p - l1; //AP
	double d = glm::dot(line_vec, point_vec) / glm::length(line_vec); //投影的长度 |AC|
	return (sqrt(pow(glm::length(point_vec), 2) - pow(d, 2))); //勾股定理：|CP| = sqrt(AP^2-AC^2)
}

试了一下程序，果然效果不错。我真是个小机灵鬼~

本文参考博客：

https://www.cnblogs.com/flyinggod/p/9359534.html

https://blog.csdn.net/qq_41890797/article/details/82822519

https://blog.csdn.net/love_phoebe/article/details/81112531

原题目：wzoi P573

初步分析

这道题之前有《点到直线的距离》一题。



如图，我们不妨来下个定义（名字是乱起的，如果有雷同就以以下定义为准）：

对于任意线段l,在其两个端点上分别作垂直于l的直线，若点在两直线之间，则称点在“线段范围内”，否则在“线段范围外”。

这两条直线（蓝色的两条）称为“线段范围界线”。

上图中，点A在线段范围内，点B和点C都在线段范围外。

不难发现，当点在线段范围内，则点到线段的距离即点到线段所在直线的距离，套公式即可。

当点在线段范围外，则点到线段的距离即点到较近的一端点的距离。

于是第一代代码应运而生：

第一代代码思路

输入ABC三点坐标，计算出线段AB所在直线的表达式，利用二直线垂直，斜率相乘得-1，计算出两条界线的表达式。

判断C点是否处于两直线之间，给出相应的答案。

判断C点



作过C的铅垂线交两界线，纵坐标分别为y1,y2,y3，如图所示。

如果y1>y2>y3，则C在线段范围内，否则在线段范围外。

但是当时作图时只考虑到了如此的线段，未考虑水平、铅锤的情况，所以很可惜没做出来（其实是懒得讨论）

大家可以试着讨论一下，有时间我会把代码补上。

第二代代码思路

可不可以少讨论一些呢？

我苦思冥想，终于，第二代思路出来了！



如图，实线部分为线段AB，虚线部分为线段外。

所以，C1在线段范围内，C2在线段范围外。

对于任何到直线AB距离相等为d的点C1与C2，连结与之较远的线段端点（比如不连C1B与C2B）。

利用勾股定理：



于是得出：

若小于等于AB，则C在线段范围内；否则，在线段范围外。

于是：

第二代代码

第一步：数学思路思考：
首先肯定是要先证明该点是在一条直线上，我在上篇文章有介绍，可以去看一下，证明一个点在一条直线上，然后去想如何证明一个点在一条线段上，学数学的时候我们知道，如果一个点在一条线段上，那么他的横纵坐标肯定是在这条线段两端的横纵坐标之间，但是注意的是这条线段的斜率不同，该点横纵坐标和线段两端点之间的规律是不同的，所以在书写代码的时候要注意到这一点。
第二步：书写个数学公式：
//当斜率小于等于0的时候
//我在这里只说明其中一种情况（x1>x2,y2>y1）,书写代码的时候多加个判断条件就行了

x2<a<x1
y1<=b<=y2

//当斜率大于0的时候
//我在这里只说明其中一种情况（x1<x2,y1<y2）,书写代码的时候多加个判断条件就行了

x1<a<x2
y1<b<y2


第三步：代码实现：
//判断一个点在一条线段上 (a,b)是这个点
public static boolean isOnLine(double a,double b,double x1,double y1,double x2,double y2){	
	boolean bl = false;
	double p = (y2-y1)/(x2-x1);
	if(p<=0){
		if(x1>x2){
			if(y1>y2){
				if(a>x2 && a<x1 && b>=y2 && b<=y1){
					bl = true;
				}
			}else{
				if(a>x2 && a<x1 && b>=y1 && b<=y2){
					bl = true;
				}
			}
		}else{
			if(y1>y2){
				if(a>x1 && a<x2 && b>=y2 && b<=y1){
					bl = true;
				}
			}else{
				if(a>x1 && a<x2 && b>=y1 && b<=y2){
					bl = true;
				}
			}
		}
	}else{
		if(x1>x2){
			if(y1>y2){
				if(a>x2 && a<x1 && b>y2 && b<y1){
					bl = true;
				}
			}else{
				if(a>x2 && a<x1 && b>y1 && b<y2){
					bl = true;
				}
			}
		}else{
			if(y1>y2){
				if(a>x1 && a<x2 && b>y2 && b<y1){
					bl = true;
				}
			}else{
				if(a>x1 && a<x2 && b>y1 && b<y2){
					bl = true;
				}
			}
		}
	}
	return bl;                      
}

我的代码是最初的，如果你觉得太low，你可以对代码进行优化，ok