精华内容
下载资源
问答
  • 下面通过种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称公式。 问题描述1:已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0;求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’,...

    下面通过两种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。

    问题描述1:已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0;求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

    解决方法:

    (1)距离:

             d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

             这个“距离”有符号,表示点在直线的上方或者下方,取绝对值表示欧式距离。

    (2)垂足:

             求解两个方程:(a)、Ax + By + C = 0;(b)、(y - y0) / (x - x0) = B / A;

             解得,x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

                        y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );

    (3)对称点:

             方法一:求解两个方程:(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;

             方法二:把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点:

                    首先,求出垂足;则x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;

                    解得,x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );

                               y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );

             方法三:首先,求一系数k,k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);

                     则,   x' = x0 + k * A;

                               y' = y0 + k * B;

                      此证明详见资源:http://download.csdn.net/detail/changbaolong/4196639

            

    问题描述2:已知点的坐标(x0,y0),直线上的两点(x1,y1)、(x2,y2);求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

    解决方法:

            方法一:把直线化两点式为一般式,则一般式中的A = y2 -y1; B = x1 - x2; C = x2*y1 - x1*y2;带入上面的公式,即可求出相应的距离、垂足、对称点。

            方法二:

    (a)距离:

             首先,求出垂足的坐标;

             则d = sqrt( (x - x0) * (x - x0)  +  (y - y0) * (y - y0));

    (b)垂足:

             首先,求一系数 k: 设直线的起点和终点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2),直线外一点为C(x0, y0),垂足为D;并设k = |AD| / |AB。

             则,k * AB = AD = AC + CD,又 AB * CD= 0;所以,k * AB* AB = AC *AB,故 k =AC * AB / (AB * AB)。

             带入坐标,即得, k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) )  / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ;

             则 x = x1 + k*(x2 - x1); y = y1 + k*(y2 - y1);

    (c)对称点:

             同问题描述1中的方法。

    ==========================================================================================================================
    --------------------- 
    作者:changbaolong 
    来源:CSDN 
    原文:https://blog.csdn.net/changbaolong/article/details/7414796 
    版权声明:本文为博主原创文章,转载请附上博文链接!

    展开全文
  • 下面通过种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称公式。 问题描述1: 已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0; 求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点...

     下面通过两种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。

    问题描述1:

    已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0;

    求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y’)。

    解决方法:

    (1)距离:

             d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

             这个“距离”有符号,表示点在直线的上方或者下方,取绝对值表示欧式距离。

    (2)垂足:

             求解两个方程:

      (a)  Ax + By + C = 0;

      (b)  (y - y0) / (x - x0) = B / A;

             解得,x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

                        y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );

    (3)对称点:

             方法一:求解两个方程:(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;

             方法二:把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点:

                    首先,求出垂足;则x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;

                    解得,x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );

                               y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );

             方法三:首先,求一系数k,k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);

                     则,   x' = x0 + k * A;

                               y' = y0 + k * B;

                      此证明详见资源:http://download.csdn.net/detail/changbaolong/4196639

            

    问题描述2:

    已知点的坐标(x0,y0),直线上的两点(x1,y1)、(x2,y2);

    求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

    解决方法:

            方法一:把直线化两点式为一般式,则一般式中的A = y2 -y1;       B = x1 - x2;     C = x2*y1 - x1*y2;    带入上面的公式,即可求出相应的距离、垂足、对称点。

            方法二:

    (a)距离:

             首先,求出垂足的坐标;

             则d = sqrt( (x - x0) * (x - x0)  +  (y - y0) * (y - y0));

    (b)垂足:

             首先,求一系数 k: 设直线的起点和终点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2),直线外一点为C(x0, y0),垂足为D;并设k = |AD| / |AB。

             则,k * AB = AD = AC + CD,又 AB * CD= 0;所以,k * AB* AB = AC *AB,故 k =AC * AB / (AB * AB)。

             带入坐标,即得,

         k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) )  / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ;

             则   x = x1 + k*(x2 - x1);      y = y1 + k*(y2 - y1);

    (c)对称点:

             同问题描述1中的方法。

    转载于:https://www.cnblogs.com/Roni-i/p/8904097.html

    展开全文
  • 推导方式非常多,这里采用等面积转换法:利用直线表达式得到A坐标同理,B坐标三角形ABP的个直角边的距离表达为:三角形斜边长度为:因为三角形的面积=0.5×直角边1×直角边2=0.5×斜边×斜边高,用d代表斜边高...
    d84959ff9bebcacb18127dfb73c0adac.png

    按照一般的教学进度,这个时候高二,已经学完了高中知识的所有内容,进入了总复习。

    数学成绩不理想的同学,已经给自己挖坑无数。

    比如,点到直线距离公式,有很多人记不住。

    那么最好可以自己推导。

    推导方式非常多,这里采用等面积转换法:

    利用直线表达式得到A点坐标

    90476025d705f3d8b244ab3ea58d3fe9.png

    同理,B点坐标

    90c95565a06177543db312934bd566af.png

    三角形ABP的两个直角边的距离表达为:

    162db7f97a1dd0b9ba657a7bd768bf74.png

    三角形斜边长度为:

    b0bb80609e2aab33abd580cd5ede3fde.png

    因为三角形的面积=0.5×直角边1×直角边2=0.5×斜边×斜边高,用d代表斜边高,所以

    8293b6e848aab3c512e7a53779d731fb.png

    公式就出来了。

    还有好多种推导方式,有空的同学可以试试:

    1,利用斜边高的斜率与直线斜率的垂直关系。

    2,斜边上垂足可以视为点到直线距离为半径的圆,与直线的切点,以切点为公共点联立圆的方程与直线的方程

    3,利用直线方程,求得已知点关于直线的对称点,再写出对称点和已知点的距离表达式,其二分之一即为已知点到直线距离公式

    4,相似三角形法

    5,向量法

    不敢说我这里列举完整了所有可能的方法。

    一道题多想几种方法的好处:巩固已学知识点,加深印象。

    容易找到简便解答的方法。

    加强面对陌生创新题型的自信:没见过有什么了不起,必然有太多切入点可以干掉它!

    展开全文
  • 【推论】 对称点公式

    千次阅读 2018-07-31 14:42:56
    A与直线方程是已知的,那么可以通过步来推出 关于已知条件的公式 1、斜率方面 直线 L 的斜率为 K1 = -a/b  那么由AB所构成的直线 与 L 是垂直的关系 所以 K2 = a/b = y1-y2)/(x1-x2) 方程1 2、点线...

    求点  A(x1,y1) 关于直线  l:ax+by+c=0  的对称点  B(x2,y2)

     

    点A与直线方程是已知的,那么可以通过两步来推出 关于已知条件的公式

    1、斜率方面

    直线 L 的斜率为  K1 =  -a/b 

    那么由AB所构成的直线 与 L 是垂直的关系 所以   K2 =         a/b =  y1-y2)/(x1-x2)       方程1

    2、点线方面

    对称点与A的中点必在直线上 所以   a(x1+x2)/2 + b(y1+y2)/2  +c  =  0       方程2

     

    联立上述方程,通过代入法,即可得到

    x2  = -2b*y1-2c/2a 

    y2 =  -2a*x1-2c/2b  

    展开全文
  • 通常给出条向量,条向量从同一个始发,也就是给出3个,求出其中一个向另外构成向量的投影坐标 图示 这是一个数学问题,首先|b|*cosθ=h 通过内积公式a·b=|a|x|b|cosθ可以推出cosθ=a·b➗|a|x|b|...
  • 下面通过种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称公式。 问题描述1: 已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0; 求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点...
  • 预备知识①设点\(P(a,b)\),则点\(P\)关于直线\(x=m\)的对称点\(Q(2m-a,b)\),即两点\(P(a,b), Q(2m-a,b)\)关于直线\(x=m\)对称。②有关轴对称的概念函数自身对称注意:下面的结论只涉及到一个函数;1、若函数\...
  • 函数对称性的最突出的作用为“知一半而得全部”,即一旦函数具备对称性,则只需分析函数一侧的性质即可,从而...(4) 极值点关于对称轴或者对称中心对称;(5) 在轴对称的函数中,关于对称对称个单调区间的单调...
  • 这篇文章始于群中看到的一个题目:如果熟悉导数中常见的函数模型,那么很容易就知道C1,C2关于(1,0)成中心对称,因为函数y=xe^x与y=x/e^x关于原点对称,C2是由y=x/e^x向右平移个单位之后得来的,知道函数的对称...
  • 在高中数学必修二的第三章“直线方程”中,可以有一个小专题为直线中的“对称问题”。...分析:利用点关于点对称的几何特性,直接应用中点坐标公式求解。2、直线关于点的对称【例2】求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对...
  • 今天同事发了这样一道题,说是一个六年级的学生在AoPS上找的:题意: 点与点 是双曲线 上两点,点 是点 关于原点的对称点(a)证明点 在此双曲线上;(b)令 是 的外接圆, 点 是 上一点, 是直径.证明点 也在双曲线...
  • 形如 y=k/x(k≠0的常数,x≠0,y≠0) 的函数,叫做反比例函数.y=k/x=k·1/x=kx-1反比例函数的特点:y=k/x→xy...另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向个坐标轴作垂线,这个垂足...
  • 14.求点关于某直线的对称点 7 15.判断条直线是否相交及求直线交点 7 16.判断线段是否相交,如果相交返回交点 7 ㈢ 多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形 8 2. 检查多边形顶点的凸凹性 9 3. 判断多边形...
  • 一些数学公式

    2014-01-14 20:06:39
    已知直线上的两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2),和点P(x, y),求点P关于P1-P2直线的对称点P'(x', y')的坐标的公式如下: x' = (x2*(y-y1) - x1*(y-y2)) / (y2-y1) y' = (y2(x-x1) - y1(x-x2)) / (x2-x1)
  • 如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A(1,0),B(3,0),C(0,6)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的N关于x轴对称,直线AN交抛物线于D,直线BE交AD于E,若直线BE将△ABD的面积分为1:2部分,求...
  • 计算几何常用算法:、线、面

    热门讨论 2009-04-21 23:25:01
    14.求点关于某直线的对称点 7 15.判断条直线是否相交及求直线交点 7 16.判断线段是否相交,如果相交返回交点 7 ㈢ 多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形 8 2. 检查多边形顶点的凸凹性 9 3. 判断...
  • 因为平面中三点确定一个圆,所以可以枚举两个点,用这两个点和原点确定圆心,这两点和原点不能关于原点对称–>否则圆心就是原点了,不在圆边界上,mp[圆心]++,然后最大值即为答案(要+1因为要加上原点)。 Code...
  • 我们使用大的N图解法来计算对C T的超前校正,C T是应力能张量的两点函数的系数,而C J是全局对称电流的两点函数的系数。 我们提出明确的公式作为d的函数,并将其与2和4 − ϵ维的期望值进行比较。 使用更高平均尺寸...
  • HDU5572(计算几何+精度)

    2016-05-02 16:41:06
    点关于直线对称公式: 点( x , y )关于直线Ax + by + C = 0 的对称点( X , Y ): 设参数方程 联立圆方程得到关于t的一元二次方程 可见c>0恒成立 分种情况讨论: 1.小球不反弹 2(1).小球在...
  • hdu 5572 桌球碰撞问题

    2017-10-16 16:37:39
    点关于直线对称公式: 点( x , y )关于直线Ax + by + C = 0 的对称点( X , Y ): 设参数方程 联立圆方程得到关于t的一元二次方程 可见c>0恒成立 分种情况讨论: 1.小球...
  • 高数错题

    2020-03-12 20:36:46
    求一个点关于一平面的对称点,先求出这个平面的法向量,并将其转换为参数方程,代入平面方程式求出交点,并通过中点坐标公式算出对称点。 给出直线的一般式可以通过运算向量积来得到直线的方向向量。 要判断直线...
  • ACM 计算几何模板

    2014-05-09 14:51:37
    2.5求点关于直线的对称点 10 2.7判断线段是否相交 10 2.7.1常用版 10 2.7.2不常用版 11 2.8 求条直线的交点 11 2.9点到直线的最近距离 12 2.10点到线段的最近距离 12 3.多边形 12 3.0 预备浮点函数 12 3.1判定...
  • 计算几何算法源码

    热门讨论 2013-07-29 19:27:02
    14.求点关于某直线的对称点 15.判断条直线是否相交及求直线交点 16.判断线段是否相交,如果相交返回交点 ㈢ 多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形 2. 检查多边形顶点的凸凹性 3. 判断多边形是否凸...
  • 常用几何关系算法

    2018-11-06 10:29:19
    14.求点关于某直线的对称点 7 15.判断条直线是否相交及求直线交点 7 16.判断线段是否相交,如果相交返回交点 7 ㈢ 多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形 8 2. 检查多边形顶点的凸凹性 9 3. ...
  • EMI(电磁辐射)关于噪音的模型EMI 可以分成类:差模(Differential mode;DM)和共模(Common mode;CM)。差模也称作对称模式(symmetric mode)或正常模式(normal mode);而共模也称作不对称模式...
  • 计算几何

    热门讨论 2012-08-06 21:49:17
    14.求点关于某直线的对称点 7 15.判断条直线是否相交及求直线交点 7 16.判断线段是否相交,如果相交返回交点 7 ㈢ 多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形 8 2. 检查多边形顶点的凸凹性 9 3. 判断...

空空如也

空空如也

1 2 3
收藏数 54
精华内容 21
关键字:

两点关于点对称公式