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  • 前文我们介绍过二项分布与beta分布,本文是其一个更加generalized的版本。首先我们先看一个例子:假设我们有一个六个面的公平骰子,即,每个面出现的概率都是1/6。我们掷骰子 次后,1、2、...、6出现的个数...

    前文我们介绍过二项分布与beta分布,本文是其一个更加generalized的版本。
    首先我们先看一个例子:假设我们有一个六个面的公平骰子,即,每个面出现的概率都是1/6。我们掷骰子

    次后,1点、2点、...、6点出现的个数分别为
    (
    )的概率是多少呢。这个应用高中的概率知识就可以大致给出公式:

    可以看出,与硬币不同,骰子有六个面,掷骰子结果不仅仅有两种可能,有多种可能。我们把这个模型generalize一下,对于

    个可能发生的结果,每一个对应的概率是
    ,进行
    次重复试验后,对于每个结果观测到的个数分别为
    的概率为

    这个就是多项分布。它是二项分布的一个generalized的版本。可以看出,当

    时,多项分布也就退化成了二项分布。当然,也可以说二项分布是多项分布在
    时的一个特例。

    对于一次试验,我们用

    表示得到的结果。我们知道
    种可能。我们用
    来表示所有可能的结果的集合。我们可以把结果
    看成一个随机事件的两种结果,那么就可以将该模型简化为一个伯努利模型,
    于是就变成了一个二项分布的变量。显然我们有

    我们用一种one-hot的方式来表示一次试验的结果,那么

    需要注意的是,在

    中只有一个值为1,其他均为0。对于结果
    来讲,
    。 那么对于一次实验,我们得到
    的概率为

    这里我们用

    来表示概率向量。显然,我们有

    假设我们有一个数据集

    (注意这里有一定的观测顺序),
    表示第
    次实验观察到的结果。因此,当概率为
    的条件下,我们可以观测到
    的概率为

    基于贝叶斯定理,我们有

    因为我们对

    没有任何先验,我们既不倾向于
    应该去什么值,也不讨厌
    取到什么值。因此
    ,是一个常数。

    这里我们需要解决一个棘手的积分,既

    而且这里需要注意的是,积分实在一个超平面上进行的,既

    。 其实我们可以看出
    是和
    成正比的,即

    而上面说到的积分其实是帮助

    归一的一个常数。这个积分实际上是一个多元beta函数,解法我们在这里按下,直接给出结论先。

    ,则有

    这就是一个标准的Dirichlet分布。

    我们现在来验证一个想法,假设我们在

    时刻做试验,观测到的结果是
    ,而从
    时刻实验观察到的结果则是
    。我们以
    的观察结果为先验,以
    的结果为条件概率,那么来看一下
    的后验概率为。首先,我们有

    基于贝叶斯定理,我们可以求出

    ,于是

    可见,结果仍然是一个Dirichlet分布。

    参考资料

    • wikipedia Multinomial function
    • wikipedia Dirichlet function
    • Christopher M. Bishop, PRML, ch2
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  • 文章目录概率公式统计数字的概率本福特定律条件概率全概率公式贝叶斯公式概率分布两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布常见分布总结Beta分布事件的独立性期望期望的类型和性质方差协方差协方差定义和...

    概率公式

    统计数字的概率

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    本福特定律

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    条件概率与全概率公式

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    贝叶斯公式

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    举例
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    贝叶斯公式扩展
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    概率分布

    两点分布

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    二项分布

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    泊松分布

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    均匀分布

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    指数分布

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    指数分布的特性
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    正态分布

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    常见分布总结

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    Beta分布

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    Beta分布的期望
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    事件的独立性

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    期望

    期望的类型和性质

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    期望的性质
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    方差

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    协方差

    协方差定义和性质

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    协方差的意义

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    协方差和独立、不相关的关系

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    协方差的上界

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    Pearson相关系数

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    协方差矩阵

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    切比雪夫不等式

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    大数定律

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    大数定律的意义
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    伯努利定理

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    中心极限定理

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  • 贝叶斯公式 举例 贝叶斯公式扩展 ...两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 指数分布无记忆性 正态分布 分布的总结 beta分布 beta分布的期望 ...

    贝叶斯公式

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    举例

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    贝叶斯公式扩展

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    分布

    两点分布

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    二项分布

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    泊松分布

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    均匀分布

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    指数分布

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    指数分布无记忆性

    正态分布

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    分布的总结

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    beta分布

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    beta分布的期望

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    事件的独立性

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    期望

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    期望的性质

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    方差

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    协方差

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    协方差与独立、不相关

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    协方差的意义

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    协方差的上界

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    pearson相关系数

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    切比雪夫不等式

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    大数定律

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    大数定律的意义

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    大数定律的重要推论

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    伯努利定理

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    中心极限定理

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  • 最后3 章还将公式与函数的应用扩展到了条件格式、数据验证及图表中,以便使它们发挥更强大的功能。本书采用理论实践相结合的方式,提供了457 个案例,涉及多个行业,读者可以根据书中的案例举一反三,将其直接应用...
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  • 两点分布2. 二项分布3. 泊松分布4. 均匀分布5. 指数分布6. 正太分布7. Beta分布三. 统计量1. 期望2. 方差3. 协方差4. Pearson相关系数5. 协方差矩阵四. 定理1. 切比雪夫不等式2.大数定律3. 中心极限定理4. 最大...

    一. 概率论基础

    1. 概率公式

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    2. 贝叶斯公式

    3.事件的独立性

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    二. 分布

    复习各种常见分布本身的统计量
    在复习各种分布的同时,重温积分、Taylor展式等前序知识
    常见分布是可以完美统一为一类分布

    1. 两点分布

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    2. 二项分布

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    期望为np, 方差为np(1-p)

    3. 泊松分布

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    泊松分布的期望和方差都等于参数lambda

    4. 均匀分布

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    5. 指数分布

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    指数分布具有无记忆性

    6. 正太分布

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    7. Beta分布

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    三. 统计量

    1. 期望

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    2. 方差

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    3. 协方差

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    4. Pearson相关系数

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    5. 协方差矩阵

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    四. 定理

    1. 切比雪夫不等式

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    2.大数定律

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    3. 中心极限定理

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    4. 最大似然估计

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  • 第八章 排列·组合与二项式定理 1.排列 1·1 不同元素的排列 1·2 含相同元素的排列与重复排列 2.组合 2·1 不同元素的组合 2·2 重复组合 3.二项式定理 3·1 二项式定理 3·2 二项式系数间的关系 3·3 一般的二项式...
  • 第八章 排列·组合与二项式定理 1.排列 1·1 不同元素的排列 1·2 含相同元素的排列与重复排列 2.组合 2·1 不同元素的组合 2·2 重复组合 3.二项式定理 3·1 二项式定理 3·2 二项式系数间的关系 3·3 一般的二项式...
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    2020-10-22 10:24:38
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空空如也

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两点分布与二项分布公式