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  • 概率论中常见分布的数学期望方差与特征函数推导 (一)离散型分布 #1.单点分布 #2.两点分布 #3.二项分布 #4.泊松分布 #5.超几何分布 #6.几何分布 #7.负二项分布 1.单点分布 随机变量的取值,X=a(常数) 分布律:P(X...

    常见分布的数学期望、方差与特征函数推导 (一)离散型分布

    1.单点分布

    随机变量的取值,X=a(常数)
    分布律:P(X=a)=1
    X只取一个值,可以看成确定变量。

    2.两点分布

    随机变量的取值,X=k,k=0,1
    E(X)=p
    Var(X)=E(X2)(EX)2=pp2=pqVar(X)=E(X^2)-(EX)^2=p-p^2=pq
    φ(t)=EeitX=q+eitp\varphi(t)=Ee^{itX}=q+e^{it}p

    3.二项分布

    Xb(n,p)X\thicksim b(n,p)

    随机变量的取值,X=k,k=0,1,……,n
    P(X=k)=Cnkpk(1p)nk分布律:P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}
    E(X)=k=0nkCnkpk(1p)nkE(X)=\sum_{k=0}^{n}{kC_n^kp^k(1-p)^{n-k} }
    =k=1nn!(k1)!(nk)!pk(1p)nk=\sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}
    =npk=1n(n1)!(k1)!(nk)!pk1(1p)(n1)(k1)=np \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}
    =npk=0n1(n1)!k!(nk1)!pk(1p)(n1)k,()=np \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} p^{k}(1-p)^{(n-1)-k},(变量平移)
    =npk=0n1Cn1kpk(1p)(n1)k=np \sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^kp^{k}(1-p)^{(n-1)-k}
    =np(p+1p)n1=np=np(p+1-p)^{n-1} =np
    E(X2)=k=0nk2Cnkpk(1p)nk(k)E(X^2)=\sum_{k=0}^{n} k^2 C_n^kp^k(1-p)^{n-k},( k与组合数约去一个)
    =k=1n(k1+1)n!(k1)!(nk)!pk(1p)nkk=\sum_{k=1}^{n}(k-1+1) \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k},(把剩下的另一个k拆分)
    =k=1nn!(k2)!(nk)!pk(1p)nk+E(X)=\sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}+E(X)
    =n(n1)p2k=1nn!(k2)!(nk)!pk2(1p)(n2)(k2)+np=n(n-1)p^2 \sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}(1-p)^{(n-2)-(k-2)}+np
    =n(n1)p2(p+(1p))n2+np=n(n-1)p^2(p+(1-p))^{n-2}+np
    =n(n1)p2+np=n(n-1)p^2+np
    故,Var(X)=E(X2)(EX)2Var(X)=E(X^2)-(EX)^2
    =n(n1)p2+np(np)2=n(n-1)p^2+np-(np)^2
    =npq=npq
    φ(t)=EeitX=k=0neitkCnkpk(1p)nk\varphi(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=0}^{n} e^{itk} C_n^kp^k(1-p)^{n-k}
    =k=0nCnk(eitp)k(1p)nk=\sum_{k=0}^{n} C_n^k(e^{it}p)^{k}(1-p)^{n-k}
    =(1p+peit)n=(1-p+pe^{it})^n
    =(q+peit)n=(q+pe^{it})^n

    4.泊松分布

    XP(λ)X\thicksim P(\lambda)

    随机变量的取值,X=k,k=0,1,2,……

    P(X=k)=λkk!eλ分布律:P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
    EX=k=0kλkk!eλEX=\sum_{k=0}^{\infty} k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
    =k=1λk(k1)!eλ=λk=0λkk!eλ,(k=0λkk!eλ=1)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}=\lambda\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},(变量作平移改变积分项的起始项,再由正则性\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=1)
    =λ=\lambda
    EX2=k=0k2λkk!eλEX^2=\sum_{k=0}^{\infty} k^2\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
    =k=1(k1+1)λk(k1)!eλ,(kk)=\sum_{k=1}^{\infty} (k-1+1)\frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda},(处理方法同二项分布,约去一个k,另一个k拆分)
    =k=2λk(k2)!eλ+EX=\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-2)!}e^{-\lambda}+EX
    =λ2k=0λkk!eλ+λ,()=\lambda^2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} +\lambda,(变量平移,正则性)
    =λ2+λ=\lambda^2+\lambda
    故,Var(X)=E(X2)(EX)2Var(X)=E(X^2)-(EX)^2
    =λ2+λλ2=λ=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda
    φ(t)=EeitX=k=0eitkλkk!eλ\varphi(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=0}^{\infty} e^{itk}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
    =k=0(eitλ)kk!eλ=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!}e^{-\lambda}
    =eλk=0(eitλ)kk!,(ex=k=0xkk!)=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!},(利用幂级数展开式e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!})
    =eλeλeit=eλ(eit1)=e^{-\lambda}e^{\lambda e^{it}}=e^{\lambda(e^{it}-1)}

    5.超几何分布

    Xh(n,N,M)X\thicksim h(n,N,M)
    N件产品,其中M件不合格品,从中抽取n件,则抽到不合格品的个数服从超几何分布

    随机变量的取值X=k,k=0,1,2,……r,(其中r=min{n,M})
    P(X=k)=(Mk)(NMnk)(Nn)P(X=k)=\frac{{M\choose k}{N-M \choose n-k}}{{N\choose n}}
    nNn \ll N时,可用二项分布近似,故数字特征用二项分布近似(待更新其精确的数字特征)

    6.几何分布

    XGe(p)X\thicksim Ge(p)

    随机变量的取值:X=k,k=1,2,……

    分布律:P(X=k)=p(1p)k1P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

    EX=k=1kpqk1=pk=1kqk1EX=\sum_{k=1}^{\infty}kpq^{k-1}=p \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}

    =pk=1dqkdq()=p \sum_{k=1}^{\infty}\frac{dq^k}{dq}(凑微分)

    =pddq(k=0qk)(,0)=p\frac{d}{dq}(\sum_{k=0}^{\infty}q^k),(幂级数逐项微分,积分限从0开始)

    =pddq(11q),(1)=p\frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}),(收敛的等比级数求和,\frac{首项}{1-公比})

    =p(1q)2=1p=\frac{p}{(1-q)^2}=\frac{1}{p}

    EX2=k=1k2pqk1EX^2 = \sum_{k=1}^{\infty}k^2pq^{k-1}

    =pk=1k(k1+1)qk1=p \sum_{k=1}^{\infty}k(k-1+1)q^{k-1}
    =pk=1k(k1)qk1+EX=p\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)q^{k-1}+EX
    =pqk=2k(k1)qk2+1p=pq\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)q^{k-2}+\frac{1}{p}
    =pqk=2d2qkdq2+1p=pq\sum_{k=2}^{\infty} \frac{d^2q^k}{dq^2}+\frac{1}{p}
    =pqd2dq2k=0qk+1p=pq \frac{d^2}{dq^2}(\sum_{k=0}^{\infty} q^k)+\frac{1}{p}
    =pqd2dq2(11q)+1p=pq \frac{d^2}{dq^2}(\frac{1}{1-q})+\frac{1}{p}
    =pq2(1q)3+1p=pq\frac{2}{(1-q)^3}+\frac{1}{p}
    =2q+pp2=\frac{2q+p}{p^2}

    故,Var(X)=E(X2)(EX)2Var(X)=E(X^2)-(EX)^2
    =2q+pp21p2=qp2=\frac{2q+p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}

    φ(t)=EeitX=k=1eitkp(1p)k1\varphi(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=1}^{\infty} e^{itk}p(1-p)^{k-1}
    =p1pk=1(eit(1p))k= \frac{p}{1-p}\sum_{k=1}^{\infty}(e^{it}(1-p))^k
    =p1p{k=0(eit(1p))k1}=\frac{p}{1-p} \{\sum_{k=0}^{\infty}(e^{it}(1-p))^k-1 \}
    =p1p(11eit(1p)1)=\frac{p}{1-p} (\frac{1}{1-e^{it}(1-p)}-1)
    =peit1qeit=\frac{pe^{it}}{1-qe^{it}}

    6.负二项分布

    XNb(r,p)X\thicksim Nb(r,p)
    定义1:在一系列伯努利独立重复试验中,记每次试验中事件A发生的概率为p,如果X表示事件A第r次(r为事先给定的常数)出现时所需要的试验总次数,则X服从负二项分布。

    随机变量X的取值,X=k,k=r,r+1,r+2,……\infty

    此时X可表示为r个独立同为几何分布的独立和。
    X=X1+X2++XrNb(r,p),X=X_1+X_2+……+X_r \thicksim Nb(r,p),
    其中XiGe(p),XiX_i \thicksim Ge(p),且X_i独立。
    则由数学期望的性质:

    EX=E(X1+X2++Xr) EX=E(X_1+X_2+……+X_r)
    =rEX1=rp=rEX_1=\frac{r}{p}
    Var(X)=Var(X1+X2++Xr) Var(X)=Var(X_1+X_2+……+X_r)
    =rVar(X1)=rqp2=rVar(X_1)=\frac{rq}{p^2}
    有特征函数的性质,φ(t)=EeitX\varphi(t)=Ee^{itX}
    =EeitX1+X2++Xr=Ee^{it(X_1+X_2+……+X_r)}
    =(EeitX1)r=(peit1qeit)r=(Ee^{itX_1})^r=(\frac{pe^{it}}{1-qe^{it}})^r

    (待更新超几何分布和负二项分布期望和方差的定义求法)

    参考文献:茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004,3.

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  • 离散型随机变量的概率...本专题主要讨论离散型随机变量的概率分布及性质、条件概率及其性质、相互独立事件、离散型随机变量的数学期望与方差、常见离散型随机变量的概率分布(两点分布、超几何分布、二项分布)以及数...

    离散型随机变量的概率分布列、均值、方差问题是高考中的重点内容,常常考查等可能事件的概率计算、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算和概率分布列、数学期望(均值)、方差问题的计算。本专题主要讨论离散型随机变量的概率分布及性质、条件概率及其性质、相互独立事件、离散型随机变量的数学期望与方差、常见离散型随机变量的概率分布(两点分布、超几何分布、二项分布)以及数学期望、方差的计算。通过典型例题的研讨,掌握离散型随机变量的概率分布、数学期望、方差的计算方法,两点分布、超几何分布、二项分布的判断和数学期望、方差的计算,学会通过实际问题的离散型随机变量的数学期望、方差的结果选择、制定合理的解决问题的策略与方法。

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    变式 一种硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币,每次正面向上得1分,方面向上得2分.

    (1)设抛掷5次的得分为X,求X的分布列与数学期望;

    (2)求恰好的n分的概率.

    例5 从集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}中,抽取三个不同的元素构成子集{a1,a2,a3}.

    (1)求对任意的i和j(i=1,2,3,j=1,2,3,且i≠j)满足|ai-aj|≥2的概率;

    (2)若a1,a2,a3成等差数列,设其公差为X(X>0),求随机变量X的分布列与数学期望.

    例6 已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按以下方式定义随机变量X的值:若这两条棱所在的直线相交,则X的值是这两条棱所在直线的夹角的大小(弧度制),若这两条棱所在直线平行,则X=0;若这两条棱所在直线异面,则X的值是这两条棱所在直线所成角的大小. 求随机变量X的分布列与数学期望.

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  • 除了期望方差(variance)是另一个常见的分布描述量。如果说期望表示的是分布的中心位置,那么方差就是分布的离散程度。方差越大,说明随机变量取值越离散。    比如射箭时,一个优秀的选手能保持自己的弓箭...

      除了期望,方差(variance)是另一个常见的分布描述量。如果说期望表示的是分布的中心位置,那么方差就是分布的离散程度。方差越大,说明随机变量取值越离散。

      

      比如射箭时,一个优秀的选手能保持自己的弓箭集中于目标点附近,而一个经验不足的选手,他弓箭的落点会更容易散落许多地方。

      

      上面的靶上有两套落点。尽管两套落点的平均中心位置都在原点 (即期望相同),但两套落点的离散程度明显有区别。蓝色的点离散程度更小。

      数学上,我们用方差来代表一组数据或者某个概率分布的离散程度。可见,方差是独立于期望的另一个对分布的度量。两个分布,完全可能有相同的期望,而方差不同,正如我们上面的箭靶。

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  • 概率概率分布

    2019-11-26 21:29:08
    两点分布、0-1分布 一次伯努利试验 N重伯努利分布(简称伯努利分布) 1.包含n个相同的试验 2.每个试验只有两个可能的结果 3.试验成功p + 试验失败q概率,即p+q=1 4.试验是相互独立的 期望方差分别为: 例: 100...

    离散型随机变量及其分布

    两点分布、0-1分布

    一次伯努利试验

    N重伯努利分布(简称伯努利分布)

    1.包含n个相同的试验
    2.每个试验只有两个可能的结果
    3.试验成功p + 试验失败q概率,即p+q=1
    4.试验是相互独立的
    n次重复独立事件A成功出现的概率
    期望和方差分别为:
    在这里插入图片描述
    例:
    100件产品中有5件次品,现从中取3次,求3次中有两件次品的概率
    1.有放回(伯努利分布)
    在这里插入图片描述
    2.无放回(古典概型、超几何分布)
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    古典概型: 假设有N件产品,M件次品,从中取n件,则n件中次品m的概率:
    在这里插入图片描述

    泊松分布

    泊松分布(Poisson distribution):在指定时间、面积或者体积内,某一事件出现次数的分布,公式为:
    在这里插入图片描述
    期望和方差为:
    在这里插入图片描述
    在实际应用中,当p<=0.25,n>20,np<=5时,用泊松分布近似二项分布效果良好。

    连续性随机变量及其分布

    正态分布概率密度函数:
    在这里插入图片描述
    其中μ为均值,σ为标准差。
    :概率密度函数并不是一个概率,曲线与x轴围成的面积才是概率
    在这里插入图片描述
    任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。
    设:
    在这里插入图片描述
    则:
    在这里插入图片描述
    公式可以将一般正态分布转化为标准正态分布。
    对于负值,一般可采用:
    在这里插入图片描述

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空空如也

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两点分布期望与方差