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  • 二项分布期望与方差的证明

    千次阅读 2020-05-16 20:01:48
  • 二项分布期望方差

    万次阅读 2017-09-29 14:13:15
    做n次0-1试验,每次实验为1的概率为p,为0的概率为1-p;有k次为1,n-k次为0的概率,就是二项分布B(n,p,k)。   最后欢迎大家访问我的个人网站:1024s

    做n次0-1试验,每次实验为1的概率为p,为0的概率为1-p;有k次为1,n-k次为0的概率,就是二项分布B(n,p,k)。

     

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  • 总结一下概统用到的各种分布,以及其期望方差

    预备定义

    数学期望

    定义

    E [ g ( x ) ] = { ∑ i g ( x i ) p ( x i ) , 离散场合 ∫ − ∞ ∞ g ( x ) p ( x ) d x , 连续场合 E[g(x)]=\begin{cases}\sum\limits_ig(x_i)p(x_i),&\text{离散场合} \\ \\ \int_{-\infty}^\infty{g(x)p(x)\mathrm{d}x},&\text{连续场合}\end{cases} E[g(x)]=ig(xi)p(xi),g(x)p(x)dx,离散场合连续场合

    性质

    1. 常数期望为其自身;
    2. E ( a X + b ) = a E ( X ) + b E(aX+b)=aE(X)+b E(aX+b)=aE(X)+b;
    3. 多维随机变量亦满足线性性质;
    4. 级数(积分)收敛,则期望存在;反之不存在,如Cauchy分布。

    方差

    定义

    方差: D ( X ) = E [ X − E ( X ) ] 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X)=E[X-E(X)]^2=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E[XE(X)]2=E(X2)[E(X)]2,

    标准差: D X \sqrt{DX} DX ,

    标准化的随机变量: X − E X D X \frac{X-EX}{\sqrt{DX}} DX XEX.

    性质

    1. 常数方差为零;
    2. D ( a X + b ) = a 2 D ( X ) D(aX+b)=a^2D(X) D(aX+b)=a2D(X)
    3. 极值性质:若 c ≠ E ( X ) c\neq E(X) c=E(X), 则 D ( X ) = E [ X − E ( X ) 2 ] = E ( X − c ) 2 − ( c − E X ) 2 < E ( X − c ) 2 ; D(X)=E[X-E(X)^2]=E(X-c)^2-(c-EX)^2<E(X-c)^2; D(X)=E[XE(X)2]=E(Xc)2(cEX)2<E(Xc)2;
    4. 切比雪夫不等式(描述随机变量的变化情况): P { ∣ X − E X ∣ ⩾ ε } ⩽ D X ε 2 P\{|X-EX|\geqslant\varepsilon\}\leqslant\frac{DX}{\varepsilon^2} P{XEXε}ε2DX,或表示为 P { ∣ X − E X ∣ < ε } ⩾ 1 − D X ε 2 P\{|X-EX|<\varepsilon\}\geqslant1-\frac{DX}{\varepsilon^2} P{XEX<ε}1ε2DX.

    协方差&相关系数

    协方差

    • c o v ( X ,   Y ) = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] = E ( X Y ) − E X ⋅ E Y \mathrm{cov}(X, \ Y) = E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EX\cdot EY cov(X, Y)=E[(XEX)(YEY)]=E(XY)EXEY.

    • D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) + 2 c o v ( X ,   Y ) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\mathrm{cov}(X,\ Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X, Y).

    相关系数

    • r i j = c o v ( X ,   Y ) D X ⋅ D Y r_{ij}=\frac{\mathrm{cov}(X,\ Y)}{\sqrt{DX}\cdot \sqrt{DY}} rij=DX DY cov(X, Y),

    • 显然,相关系数也是标准化的两随机变量 X − E X D X \frac{X-EX}{\sqrt{DX}} DX XEX Y − E Y D Y \frac{Y-EY}{\sqrt{DY}} DY YEY的协方差;

    • 定义常数与任何随机变量的相关系数为 0 0 0.

    性质
    1. ∣ r ∣ ⩽ 1 |r|\leqslant1 r1;
    2. r = 0 r=0 r=0,不相关;
    3. 以下四个条件等价:
    • c o v ( X ,   Y ) = 0 \mathrm{cov}(X,\ Y)=0 cov(X, Y)=0;
    • X X X Y Y Y不相关;
    • E ( X Y ) = E X ⋅ E Y E(XY)=EX\cdot EY E(XY)=EXEY;
    • D ( X + Y ) = D X + D Y D(X+Y)=DX+DY D(X+Y)=DX+DY.
    1. X X X Y Y Y独立,则 X X X Y Y Y不相关,反之不成立;
    2. 二元正态分布的不相关性与独立性等价。

    离散分布期望、方差

    分布名称密度函数 p ( x ) p(x) p(x)数学期望 E ( X ) E(X) E(X)方差 D ( X ) D(X) D(X)
    退化分布(单点分布) p c = 1 p_c=1 pc=1 c c c 0 0 0
    伯努利分布(两点分布) p k = p k ( 1 − p ) 1 − k ,   k = 0 ,   1 p_k=p^{k}(1-p)^{1-k},\ k=0,\ 1 pk=pk(1p)1k, k=0, 1 p p p p ( 1 − p ) p(1-p) p(1p)
    二项分布 b ( k ;   n ,   p ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k b(k;\ n,\ p)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} b(k; n, p)=(kn)pk(1p)nk n p np np n p ( 1 − p ) np(1-p) np(1p)
    泊松分布 p ( k ;   λ ) = λ k k ! e − λ p(k;\ \lambda)=\frac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda} p(k; λ)=k!λkeλ λ \lambda λ λ \lambda λ
    几何分布 g ( k ;   p ) = ( 1 − p ) k − 1 p g(k;\ p)=(1-p)^{k-1}p g(k; p)=(1p)k1p 1 / p 1/p 1/p ( 1 − p ) / p 2 (1-p)/p^2 (1p)/p2
    超几何分布 p k = ( M k ) ( N − M n − k ) ( N n ) p_k=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} pk=(nN)(kM)(nkNM) n M N \frac{nM}{N} NnM n M N ( 1 − M N ) ⋅ N − n N − 1 \frac{nM}{N}\left(1-\frac MN\right)\cdot \frac{N-n}{N-1} NnM(1NM)N1Nn
    帕斯卡分布 p k = ( k − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) k − r ,   k = r , r + 1 , ⋯ p_k=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r},\ k=r,r+1,\cdots pk=(r1k1)pr(1p)kr, k=r,r+1, r p \frac rp pr r ( 1 − p ) p 2 \frac{r(1-p)}{p^2} p2r(1p)
    负二项分布 p k = ( − r k ) p r ( p − 1 ) k ,   k = 0 , 1 , 2 , ⋯ p_k=\binom{-r}{k}p^r(p-1)^k,\ k=0,1,2,\cdots pk=(kr)pr(p1)k, k=0,1,2, r ( 1 − p ) p \frac {r(1-p)}p pr(1p) r ( 1 − p ) p 2 \frac{r(1-p)}{p^2} p2r(1p)

    连续分布期望、方差

    分布名称密度函数 p ( x ) p(x) p(x)数学期望 E ( X ) E(X) E(X)方差 D ( X ) D(X) D(X)
    均匀分布 p ( x ) = { 1 b − a , a ⩽ x ⩽ b 0 , 其他 p(x)=\begin{cases}\dfrac1{b-a},&a\leqslant x \leqslant b\\0,&\text{其他}\end{cases} p(x)=ba1,0,axb其他 a + b 2 \frac{a+b}2 2a+b ( b − a ) 2 12 \frac{(b-a)^2}{12} 12(ba)2
    正态分布(Gauss分布) p ( x ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 p(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} p(x)=2πσ2 1e2σ2(xμ)2 μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ2
    指数分布 p ( x ) = { λ e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0 p(x)=\begin{cases}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x},& x \geqslant 0\\0,&x<0\end{cases} p(x)={λeλx,0,x0x<0 1 λ \frac1\lambda λ1 1 λ 2 \frac1{\lambda^2} λ21
    伽玛分布( Γ \Gamma Γ分布) p ( x ) = { λ r Γ ( r ) x r − 1 e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0 p(x)=\begin{cases}\dfrac{\lambda^r}{\Gamma{(r)}}x^{r-1}\mathrm{e}^{-\lambda x},& x \geqslant 0\\0,&x<0\end{cases} p(x)=Γ(r)λrxr1eλx,0,x0x<0 r λ \frac r\lambda λr r λ 2 \frac{r}{\lambda^2} λ2r
    卡方分布( χ 2 \chi^2 χ2分布) p ( x ) = { 1 2 n / 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 e − x 2 , x ⩾ 0 0 , x < 0 p(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2^{n/2}\Gamma{(\frac n2)}}x^{\frac n2-1}\mathrm{e}^{-\frac x 2},& x \geqslant 0\\0,&x<0\end{cases} p(x)=2n/2Γ(2n)1x2n1e2x,0,x0x<0 n n n 2 n 2n 2n
    柯西分布 p ( x ) = 1 π ⋅ λ λ 2 + ( x − μ ) 2 p(x)=\dfrac1\pi\cdot\dfrac{\lambda}{\lambda^2+(x-\mu)^2} p(x)=π1λ2+(xμ)2λ不存在不存在
    t t t分布 p ( x ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 p(x)=\dfrac{\Gamma\left(\frac {n+1}2\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac n2\right)}\left(1+\dfrac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}} p(x)=nπ Γ(2n)Γ(2n+1)(1+nx2)2n+1 0   ( n > 1 ) 0\ (n>1) 0 (n>1) n n − 2   ( n > 2 ) \frac n{n-2}\ (n>2) n2n (n>2)
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  • 二项分布期望方差证明

    万次阅读 多人点赞 2016-11-18 10:36:57
    二项分布期望方差证明

    二项分布的期望方差证明

    P ( X = k ) = ( n k ) p k q n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . , n , q = 1 − p E X = ∑ k = 0 n k ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k n ! k ! ( n − k ) ! p k q n − k = n p ∑ k = 1 n ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! p k − 1 q ( n − 1 ) − ( k − 1 ) = n p ∑ k = 1 n ( n − 1 k − 1 ) p k − 1 q ( n − 1 ) − ( k − 1 ) = n p [ ( n − 1 0 ) p 0 q n − 1 + ( n − 1 1 ) p 1 q n − 2 + . . . + ( n − 1 n − 1 ) p n − 1 q 0 ] = n p P(X=k) = {n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\ EX = \sum_{k=0}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^n k {\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^kq^{n-k} \\ = np\sum_{k=1}^n {\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \\ = np\sum_{k=1}^n{n-1\choose k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\ = np[{n-1\choose 0}p^0q^{n-1}+{n-1\choose 1}p^1q^{n-2}+...+{n-1\choose n-1}p^{n-1}q^0] \\ = np P(X=k)=(kn)pkqnk,k=0,1,2,..,n,q=1pEX=k=0nk(kn)pkqnk=k=1nk(kn)pkqnk=k=1nkk!(nk)!n!pkqnk=npk=1n(k1)!(nk)!(n1)!pk1q(n1)(k1)=npk=1n(k1n1)pk1q(n1)(k1)=np[(0n1)p0qn1+(1n1)p1qn2+...+(n1n1)pn1q0]=np

    因为: D X = E X 2 − ( E X ) 2 DX = EX^2-(EX)^2 DX=EX2(EX)2

    且,
    E X 2 = ∑ k = 1 n k 2 ( n k ) p k q n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . , n , q = 1 − p = ∑ k = 1 n [ k ( k − 1 ) + k ] ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k ( k − 1 ) ( n k ) p k q n − k + ∑ k = 1 n k ( n k ) p k q n − k 其 中 , ∑ k = 1 n k ( n k ) p k q n − k = E X = n p ∑ k = 1 n k ( k − 1 ) ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k ( k − 1 ) n ! k ! ( n − k ) ! p 2 p k − 2 q n − k = ∑ k = 2 n k ( k − 1 ) n ! k ! ( n − k ) ! p 2 p k − 2 q n − k 注 : 特 别 注 意 这 里 k = 1 时 项 为 0 , 所 以 可 以 从 k = 2 开 始 计 算 。 = ∑ k = 1 n n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ! ( k − 2 ) ! ( n − k ) ! p 2 p k − 2 q [ ( n − 2 ) − ( k − 2 ) ] = n ( n − 1 ) p 2 ∑ k = 2 n ( n − 2 ) ! ( k − 2 ) ! ( n − k ) ! p k − 2 q [ ( n − 2 ) − ( k − 2 ) ] = n ( n − 1 ) p 2 ∑ k = 2 n ( n − 2 k − 2 ) p k − 2 q [ ( n − 2 ) − ( k − 2 ) ] = n ( n − 1 ) p 2 → E X 2 = n ( n − 1 ) p 2 + n p → D X = E X 2 − ( E X ) 2 = n p − n p 2 = n p ( 1 − p ) EX^2 = \sum_{k=1}^nk^2{n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\ = \sum_{k=1}^n[k(k-1)+k]{n\choose k}p^kq^{n-k}\\ = \sum_{k=1}^nk(k-1){n\choose k}p^kq^{n-k} + \sum_{k=1}^nk{n\choose k}p^kq^{n-k}\\ 其中, \sum_{k=1}^nk{n\choose k}p^kq^{n-k} = EX = np\\ \sum_{k=1}^nk(k-1){n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^nk(k-1){\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{n-k} \\ = \sum_{k=2}^nk(k-1){\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{n-k} \\ 注:特别注意这里k=1时项为0,所以可以从k=2开始计算。\\ = \sum_{k=1}^n{\frac{n(n-1)(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]} \\ = n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n{\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}}p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]}\\ = n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n{n-2\choose k-2}p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]}\\ = n(n-1)p^2 \\ \rightarrow EX^2 = n(n-1)p^2+np \\ \rightarrow DX = EX^2-(EX)^2 = np-np^2 = np(1-p) EX2=k=1nk2(kn)pkqnk,k=0,1,2,..,n,q=1p=k=1n[k(k1)+k](kn)pkqnk=k=1nk(k1)(kn)pkqnk+k=1nk(kn)pkqnkk=1nk(kn)pkqnk=EX=npk=1nk(k1)(kn)pkqnk=k=1nk(k1)k!(nk)!n!p2pk2qnk=k=2nk(k1)k!(nk)!n!p2pk2qnkk=10k=2=k=1n(k2)!(nk)!n(n1)(n2)!p2pk2q[(n2)(k2)]=n(n1)p2k=2n(k2)!(nk)!(n2)!pk2q[(n2)(k2)]=n(n1)p2k=2n(k2n2)pk2q[(n2)(k2)]=n(n1)p2EX2=n(n1)p2+npDX=EX2(EX)2=npnp2=np(1p)

    核心思想是转化为更小规模的组合数,这里没法直接用幂级数的和函数求解思路。

    END.

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