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  • 使用Excel绘制t分布概率密度函数

    千次阅读 2020-12-22 11:21:23
    使用Excel绘制t分布概率密度函数关于t分布应用广泛,主要用于假设检验。关于使用Excel画出t分布的概率密度函数图表的问题,试答如下:使用excel绘制t分布的概率密度函数,需要两列:1)自变量X,2)计算自变量X对应的t...

    使用Excel绘制t分布概率密度函数

    关于t分布应用广泛,主要用于假设检验。关于使用Excel画出t分布的概率密度函数图表的问题,试答如下:

    使用excel绘制t分布的概率密度函数,需要两列:1)自变量X,2)计算自变量X对应的t分布的概率密度函数。由于Excel中TDIST函数计算的是概率累积密度,不能计算概率密度值,所以借用伽马函数的自然对数。先从t分布的公式着手。

    其中:ν 为自由度=n-1

    Γ为伽马函数的的符号

    t分布的平均数和标准正态分布一样均等于0

    t分布的标准差=ν/(ν-2)

    我们以随机变量t值为x轴(即视t为x),如何将自由度带入方程式求y值?因为t分布中涉及到GAMMALN()函数,而excel是提供GAMMALN()函数的,所以我们可以使用excel中的GAMMALN()函数来计算得到t分布的概率密度函数(参见【附录】)。经转换后其公式为:

    t(X,df)=EXP(GAMMALN((df+1)/2))/(SQRT(PI()*df)*EXP(GAMMALN(df/2)))*(1+X^2/df)^(-1/2*(df+1))……………………………………公式(1)

    由于对公式书写格式的顺序的理解不同,上述公式可能也会写成以下形式:

    t(X,df)=EXP(GAMMALN((df+1)/2))*(1+X^2/df)^(-(df+1)/2)/SQRT(df*PI())/EXP(GAMMALN(df/2))  ……………………………………公式(2)

    现以自由度(ν)=4为例,求t分布的图表,可由以下几步进行:

    第1步 确定自变量取值范围

    自由度=4时,t分布的方差为ν/(ν-2)=2,标准差= SQRT (2)=1.414

    t分布的平均数和标准正态分布一样均等于0,同样与正态分布一样,几乎99%的t值会落在平均数`x±3个标准差之内,即落在区间(`x-3σ,`x+3σ)之间,所以横轴的取值范围在-4.2~4.2之间。

    第2步 在Excel单元格中输入自变量

    在A列中,在单元格A2中输入-4.2,在单元格A3中输入-4,递增0.2,选中单元格A2与A3,按住右下角的填充控制点一直拖到单元格A44是4.2为止,A列的这些数据就作为随机变量t的取值。如表-1所示:

    表-1

    第3步 在单元格B2中输入计算t分布的概率密度函数的公式

    对于公式(1),由于自由度(ν)=4 ,则由df=4代入;自变量X就是单元格A2的值,所以按Excel相对引用的规则,X由A2代入即可,于是单元格B2内容是

    =EXP(GAMMALN((4+1)/2))/(SQRT(PI()*4)*EXP(GAMMALN(4/2)))*(1+A2^2/4)^(-1/2*(4+1)),如表-2所示:

    表-2

    上述公式如按公式(1)的理解顺序,单元格B2内容可以写成:

    =EXP(GAMMALN((4+1)/2))*(1+A2^2/4)^(-(4+1)/2)/SQRT(4*PI())/EXP(GAMMALN(4/2))

    结果是一样的。

    第4步 复制公式

    按住单元格B2右下角的填充控制点,向下一直拖曳到B44,将B2的公式填充复制到B列的相应的单元格,如表-3所示:

    表-3

    第5步 由于相对引用的规则,A列的自变量会自动被公式相对引用计算,结果如表-4所示:

    表-4

    上述表-3是为了说明公式的复制,而特意在“工具”-“选项”-“视图”中将“公式”勾选,从而使公示内容全部显示出来。实际操作中,如表-4一样,公式的表达式不会显露,只有计算的结果会出现。至此已完成自由度为4的t分布概率密度函数表。

    第6步 作t分布概率密度函数图

    选择A1:B44,选“图表向导”-“标准类型’-“XY散点图”(平滑线),如图-1所示:

    图-1

    第7步 输入标题,调整字号、线型等格式,完成t分布概率密度函数图,如图-2所示:

    图-2

    如将上图的图表类型换成二维面积图,则如图-3-1(2003版)和图-3-2(2010版)所示:

    图-3-1

    图-3-2

    在Excel 2003版中面积图数据系列格式的图案的内部填充格式没有透明的设置,也不能使用柱形图那样用预先制作的透明图片填充,此类效果可以在2007版与2010版中轻易实现。如为了在2003版中突出视觉效果,可以尝试使用三维面积图。如将上图的图表类型换成三维面积图,则如图-4-1(2003版)和图-4-2(2010版)所示:

    图-4-1

    图-4-2

    为了方便调整不同的自由度参数值观察图形变化,在Excel数据表中可在第一行的某几个单元格如E1、F1、G1输入不同参数,然后在公式引用这几个参数时使用不同的方式:列数据为相对引用,而行数据为绝对引用,如E$1、F$1、G$1。而A列自变量值则使用:列数据为绝对引用,而行数据为相对引用,如$A2、$A3、$A4等。

    数据表输入截图如图-5:

    图-5

    在公式输入后,选择单元格区间A1:D44,在同一图表作出三种不同自由度的平滑曲线的散点图,可见随着自由度的变大,t分布越向Y轴集中如图-6所示:

    图-6

    【附录:关于GAMMALN()函数和EXP()函数】

    •函数 GAMMALN 的计算公式如下:

    伽马函数Γ(x)是个定积分,无法直接绘图,可由GAMMALN()函数和EXP()函数,并利用对数恒等式:

    间接求得,下面对以上内容使用Excel中的相关文字加以说明。

    GAMMALN函数的作用: 返回伽玛函数Γ(x)的自然对数。

    语法:

    GAMMALN(x)

    X    为需要计算函数 GAMMALN 的数值。

    GAMMALN(x)=LN(Γ(x))

    说明:

    如果 x 为非数值型,函数 GAMMALN 返回错误值 #VALUE!。

    如果 x ≤ 0,函数 GAMMAIN 返回错误值 #NUM!。

    数字 e 的 GAMMALN(i) 次幂等于 (i-1)!,其中 i 为整数,常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。

    GAMMALN(8)=8.525161

    EXP(GAMMALN(8))=5040=(8-1)!=FACT(7)

    FACT(N)为返回N-1的阶乘(N-1)!=1×2×3×4×…×(N-2)×(N-1)的函数(其中N为自然数)

    关于EXP()函数:

    EXP()返回 e 的 n 次幂。常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。

    语法

    EXP(number)

    Number 为底数 e 的指数。

    说明

    若要计算以其他常数为底的幂,请使用指数操作符 (^)。

    EXP 函数是计算自然对数的 LN 函数的反函数。

    EXP(1)=2.718282(e的近似值)

    EXP(2)=7.389056

    EXP(1)=20.08554

    EXP(LN(3))=3

    于是为求伽马函数Γ(x)首先要回忆一个最基本的恒等式:

    即可得:

    把该恒等式用于伽马函数的取得,可以由以下两步进行:

    先用GAMMALN(x),取得自然对数;

    再用EXP(GAMMALN(x)),取得伽马函数的值。

    完 谢谢观看

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  • F分布概率密度函数如下图所示:其中:μ为分子自由度,ν为分母自由度Γ为伽马函数的的符号由于Excel没有求F分布概率密度函数可用,但是F分布中涉及到GAMMALN()函数,而excel是提供GAMMALN()函数的,所以我们...

    利用Excel绘制t分布的概率密度函数的相同方式,可以绘制F分布的概率密度函数图表。

    F分布的概率密度函数如下图所示:

    其中:μ为分子自由度,ν为分母自由度

    Γ为伽马函数的的符号

    由于Excel没有求F分布的概率密度函数可用,但是F分布中涉及到GAMMALN()函数,而excel是提供GAMMALN()函数的,所以我们可以使用excel中的GAMMALN()函数的运算来计算得到F分布的概率密度函数。(可参见【附录】)

    经转换后上述公式为:

    F(X,df1,df2)=EXP(GAMMALN((DF1+DF2)/2))*(DF1^(DF1/2))*(DF2^(DF2/2))*(X^(DF1/2-1))/EXP(GAMMALN(DF1/2))/EXP(GAMMALN(DF2/2))/((DF2+DF1*X)^((DF1+DF2)/2))

    ……………………………………………………………公式(1)

    现以分子自由度μ=20,分母自由度ν=20为例,求F分布的图表,可由以下几步进行:

    第1步 在Excel单元格中输入自变量

    在A列中,在单元格A2中输入0,在单元格A3中输入0.1,递增0.1,选中单元格A2与A3,按住右下角的填充控制点一直拖到单元格A46是4.4为止,A列的这些数据就作为随机变量t的取值。

    第2步 在单元格B2中输入计算t分布的概率密度函数的公式

    对于公式(1),由于自由度μ=20 ,ν=20则由DF1=20,DF2=20代入;自变量X就是单元格A2的值,所以按Excel相对引用的规则,X由A2代入即可,于是单元格B2内容是

    =EXP(GAMMALN((20+20)/2))/(EXP(GAMMALN(20/2))*EXP(GAMMALN(20/2)))*(20/20)^(20/2)*A2^(20/2-1)*(1+20/20*A2)^(-1/2*(20+20))

    第3步 复制公式

    按住单元格B2右下角的填充控制点,向下一直拖曳到B46,将B2的公式填充复制到B列的相应的单元格。

    第4步 作F分布概率密度函数图表

    选择A1:B46,选“插入”-“图表”-“散点图”-“带平滑线的散点图”,输入标题,调整字号、线型等格式,完成t分布概率密度函数图,如图-1所示:

    图-1

    如将上图的图表类型换成二维面积图,则如图-2-1(2003版)和图-2-2(2010版)所示:

    图-2-1

    图-2-2

    如将上图的图表类型换成三维面积图,则如图-3-1(2003版)和图-3-2(2010版)所示:

    图-3-1

    图-3-2

    为 了方便调整不同的自由度参数值观察图形变化,在Excel数据表中可在第一行的某几个单元格如I1、I2;J1、J2;K1、K2;L1、L2;M1、 M2输入不同参数,然后在公式引用这几个参数时使用不同的方式:列数据为相对引用,而行数据为绝对引用,如I$1、I$2;J$1、J$2;K$1、 K$2;L$1、L$2;M$1、M$2。而A列自变量值则使用:列数据为绝对引用,而行数据为相对引用,如$A4、$A5、$A6等。 例:B4单元格的公式则为:

    =EXP(GAMMALN((I$1+I$2)/2))*(I$1^(I$1/2))*(I$2^(I$2/2))*($A4^(I$1/2-1))/EXP(GAMMALN(I$1/2))/EXP(GAMMALN(I$2/2))/((I$2+I$1*$A4)^((I$1+I$2)/2))

    这样引用的公式可以直接拖曳复制B4:F48。

    数据表输入截图如图-4:

    在公式输入后,选择单元格区间A3:F48,在同一图表作出五种不同自由度的平滑曲线的散点图,如图-5所示:

    图-5

    【附录:关于GAMMALN()函数和EXP()函数】

    函数 GAMMALN 的计算公式如下:

    伽马函数Γ(x)是个定积分,无法直接计算,可由GAMMALN()函数和EXP()函数,并利用对数恒等式:

    间接求得,下面对以上内容使用Excel中的相关文字加以说明。

    GAMMALN函数的作用: 返回伽玛函数Γ(x)的自然对数。 语法: GAMMALN(x)

    X为需要计算函数 GAMMALN 的数值。

    GAMMALN(x)=LN(Γ(x))

    说明: 如果 x 为非数值型,函数 GAMMALN 返回错误值 #VALUE!。 如果 x ≤ 0,函数 GAMMAIN 返回错误值 #NUM!。 数字 e 的 GAMMALN(i) 次幂等于 (i-1)!,其中 i 为整数,常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。 GAMMALN(8)=8.525161

    EXP(GAMMALN(8))=5040=(8-1)!=FACT(7)

    FACT(N)为返回N-1的阶乘(N-1)!=1×2×3×4×…×(N-2)×(N-1)的函数(其中N为自然数)

    关于EXP()函数:

    EXP()返回 e 的 n 次幂。常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。

    语法

    EXP(number)

    Number 为底数 e 的指数。

    说明

    若要计算以其他常数为底的幂,请使用指数操作符 (^)。 EXP 函数是计算自然对数的 LN 函数的反函数。 EXP(1)=2.718282(e的近似值)

    EXP(2)=7.389056

    EXP(1)=20.08554

    EXP(LN(3))=3

    于是为求伽马函数Γ(x)首先要回忆一个最基本的恒等式:

    即可得:

    把该恒等式用于伽马函数的取得,可以由以下两步进行:

    先用GAMMALN(x),取得自然对数;http://www.cda.cn/view/18454.html

    再用EXP(GAMMALN(x)),取得伽马函数的值。

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  • 如何简单理解概率分布函数和概率密度函数

    万次阅读 多人点赞 2018-09-11 16:56:19
    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。 目录 1先从离散型随机变量和连续性随机变量说起 2离散型随机变量的概率函数,概率分布分布函数 2.1概率函数和...

    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。

    目录

    1 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起

    2 离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数

    2.1 概率函数和概率分布

    2.1.1 概率函数

    2.1.1 概率分布

    2.2 分布函数

    3 连续型随机变量的概率函数和分布函数

    4 参考文献


     

    1 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起

    对于如何分辨离散型随机变量和连续性随机变量,在贾俊平老师的《统计学》教材中,给出了这样的区分:

    如果随机变量的值都可以逐个列举出来,则为离散型随机变量。如果随机变量X的取值无法逐个列举则为连续型变量。

    进一步解释,离散型随机变量是指其数值只能用自然数或整数单位计算的则为离散变量。例如,企业个数,职工人数,设备台数等,只能按计量单位数计数,这种变量的数值一般用计数方法取得。反之,在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变量,其数值是连续不断的,相邻两个数值可作无限分割,即可取无限个数值。例如,生产零件的规格尺寸,人体测量的身高,体重,胸围等为连续变量,其数值只能用测量或计量的方法取得。

    形象点来解释::

    画一幅画,左边是梯子,右边是斜坡。
    像梯子一样能说出有多少层的,可描述的,是离散型随机变量;
    像斜坡一样不能说出有多少层阶梯,不可描述的,是连续性随机变量。
    需要注意的是,实际操作中梯子的阶高可能很小,看起来很像斜坡,需要放大看。

    2 离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数

    在理解概率分布函数和概率密度函数之前,我们先来看看概率函数和概率分布是咋回事。

    为什么我们花这么大的力气去研究这个概念。因为它实在太重要了,为什么呢?在这里,直接引用陈希孺老师在他所著的《概率论与数理统计》这本书中说的:

    研究一个随机变量,不只是要看它能取哪些值,更重要的是它取各种值的概率如何!

    这句是本文的核心内容,本文的所有概念,包括概率密度,概率分布,概率函数,都是在描述概率!

    2.1 概率函数和概率分布

    2.1.1 概率函数

    概率函数,就是用函数的形式来表达概率。

    pi=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)

    在这个函数里,自变量(X)是随机变量的取值,因变量(pi)是取值的概率。它就代表了每个取值的概率,所以顺理成章的它就叫做了X的概率函数。从公式上来看,概率函数一次只能表示一个取值的概率。比如P(X=1)=1/6,这代表用概率函数的形式来表示,当随机变量取值为1的概率为1/6,一次只能代表一个随机变量的取值。

    2.1.1 概率分布

    接下来讲概率分布,顾名思义就是概率的分布,这个概率分布还是讲概率的。我认为在理解这个概念时,关键不在于“概率”两个字,而在于“分布”这两个字。为了理解“分布”这个词,我们来看一张图。

                                                                     离散型随机变量的值和概率的分布列表

    在很多教材中,这样的列表都被叫做离散型随机变量的“概率分布”。其实严格来说,它应该叫“离散型随机变量的值分布和值的概率分布列表”,这个名字虽然比“概率分布”长了点,但是肯定好理解了很多。因为这个列表,上面是值,下面是这个取值相应取到的概率,而且这个列表把所有可能出现的情况全部都列出来了!

    举个例子吧,一颗6面的骰子,有1,2,3,4,5,6这6个取值,每个取值取到的概率都为1/6。那么你说这个列表是不是这个骰子取值的”概率分布“?

    长得挺像的,上面是取值,下面是概率,这应该就是骰子取值的“概率分布”了吧!大错特错!少了一个最重要的条件!对于一颗骰子的取值来说,它列出的不是全部的取值,把6漏掉了!

    2.2 分布函数

    说完概率分布,就该说说分布函数了。这个分布函数是个简化版的东西!全名应该叫概率分布函数

    看看下图中的分布律,这里的分布律明明就是我们刚刚讲的“概率函数”,完全就是一个东西。但是我知道很多教材就是叫分布律的。

                                                                    概率分布函数就是把概率函数累加

    我们来看看图上的公式,其中的F(x)就代表概率分布函数啦。这个符号的右边是一个长的很像概率函数的公式,但是其中的等号变成了小于等于号的公式。你再往右看看,这是一个一个的概率函数的累加!

    发现概率分布函数的秘密了吗?它其实根本不是个新事物,它就是概率函数取值的累加结果!所以它又叫累积概率函数!

    概率函数和概率分布函数就像是一个硬币的两面,它们都只是描述概率的不同手段!


    3 连续型随机变量的概率函数和分布函数

    连续型随机变量的“概率函数”换了一个名字,叫做“概率密度函数”。

    为啥要这么叫呢?我们还是借用大师的话来告诉你,在陈希孺老师所著的《概率论与数理统计》这本书中,

    如果这么解析你还是不太懂的话,看看下面的这个公式:

    概率密度函数用数学公式表示就是一个定积分的函数,定积分在数学中是用来求面积的,而在这里,你就把概率表示为面积即可!

    左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形,右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像,它们之间的关系就是,概率密度函数是分布函数的导函数

    两张图一对比,你就会发现,如果用右图中的面积来表示概率,利用图形就能很清楚的看出,哪些取值的概率更大!所以,我们在表示连续型随机变量的概率时,用f(x)概率密度函数来表示,是非常好的!

    但是,可能读者会有这样的问题:

    Q:概率密度函数在某一点的值有什么意义?

    A:比较容易理解的意义,某点的 概率密度函数 即为 概率在该点的变化率(或导数)。很容易误以为 该点概率密度值 为 概率值.

    比如: 距离(概率)和速度(概率密度)的关系.

    • 某一点的速度, 不能以为是某一点的距离
    • 没意义,因为距离是从XX到XX的概念
    • 所以, 概率也需要有个区间.
    • 这个区间可以是x的邻域(可以无限趋近于0)。对x邻域内的f(x)进行积分,可以求得这个邻域的面积,就代表了这个邻域所代表这个事件发生的概率。

    4 参考文献

    【1】https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

    【2】https://www.zhihu.com/question/23237834

     


     

     

     

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  • 常用概率分布函数及随机特征

    万次阅读 多人点赞 2018-02-08 20:28:52
    常见分布的随机特征离散随机变量分布伯努利分布(二点分布)伯努利分布亦称“零一分布”、“两点分布”。称随机变量X有伯努利分布, 参数为p(0<p<1),如果它分别以概率p和1-p取1和0为值。EX= p,DX=p(1-p...

    
    
    常见分布的随机特征



    离散随机变量分布


    伯努利分布(二点分布)

    伯努利分布亦称“零一分布”、“两点分布”。称随机变量X有伯努利分布, 参数为p(0<p<1),如果它分别以概率p和1-p取1和0为值。EX= p,DX=p(1-p)。伯努利试验成功的次数服从伯努利分布,参数p是试验成功的概率。伯努利分布是一个离散型机率分布,是N=1时 二项分布的特殊情况,为纪念 瑞士科学家詹姆斯· 伯努利(Jacob Bernoulli 或James Bernoulli)而命名。
    一个非常简单的试验是只有两个可能结果的试验,比如正面或反面,成功或失败,有缺陷或没有缺陷,病人康复或未康复。为方便起见,记这两个可能的结果为0和1,下面的定义就是建立在这类试验基础之上的。
    如果 随机变量X只取0和1两个值,并且相应的概率为:
    X 服从 (0-1)分布两点分布.记为X~b(1,p)
    则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布,若令q=1一p,则X的概率函数可写 为:
    要证明该概率函数
       
    确实是公式所定义的伯努利分布,只要注意到
       
    ,就很容易得证。
    如果X服从参数为p的伯努利分布,则:
    并且,
    进而,X的矩母函数为:

    二项分布

    二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布服从0-1分布。

    二项分布(Binomial Distribution),即重复n次的 伯努利试验(Bernoulli Experiment),用ξ表示 随机试验的结果。如果事件发生的 概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次 独立重复试验中发生K次的概率是
    二项分布公式

    那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p)

    数学期望和差

    数学期望:Eξ=np;
    方差:Dξ=npq;
    其中q=1-p
    证明
    由二项式分布的定义知,随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p。因此,可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的(0-1)分布随机变量之和.
    随机变量X(k)(k=1,2,3...n)服从(0-1)分布,则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).
    因X(k)相互独立,所以期望:
    方差:
    1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的;
    2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;
    3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努利实验。
    在这试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二次分布。二项分布可
    以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率。
    若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次的概率为:P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。C(n,k)表示组合数,即从n个事物中拿出k个的方法数
    性质
    (一)二项分布是 离散 型分布,概率 直方图 是跃阶式的。因为x为不连续变量,用概率条图表示更合适,用 直方图 表示只是为了更形象些。
    1.当p=q时图形是对称的
    例如,
       
    ,p=q=1/2,各项的概率可写作:
    2.当p≠q时,直方图呈 偏态,p<q与p>q的偏斜方向相反。如果n很大,即使p≠q,偏态逐渐降低,最终成正态分布,二项分布的极限分布为 正态分布。故当n很大时,二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。何谓n很大呢?一般规定:当p<q且np≥5,或p>q且nq≥5,这时的n就被认为很大,可以用正态分布的概率作为近似值了。
    (二)二项分布的 平均数标准差
    如果二项分布满足p<q,np≥5,(或p>q,np≥5)时,二项分布接近正态分布。这时,也仅仅在这时,二项分布的x变量(即成功的次数)具有如下性质:
    即x变量具有μ =  n p,的正态分布。

    泊松分布

     
    Poisson分布(法语:loi de Poisson,英语:Poisson distribution,译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一种统计与概率学里常见到的离散 概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年时发表。
    泊松分布的概率函数为:
    泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
    泊松分布数学期望和方差:
    泊松分布的 数学期望方差均为
       
    特征函数为
     

    柏松分布应用示例


    泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。  
    观察事物平均发生m次的条件下,实际发生x次的概率P(x)可用下式表示:
    例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组(~4×10 6 核苷酸对)平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式:
    ……
     
    是未产生二体的菌的存在概率,实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株,recA-株(除去既不能修复又不能重组修复的二重突变)的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量,因此
       
    就意味着全部死亡的概率。

    几何分布

     
    几何分布(Geometric distribution)是离散型概率分布。其中一种定义为:在n次 伯努利试验中,试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说,是:前k-1次皆失败,第k次成功的概率。几何分布是 帕斯卡分布当r=1时的特例。

    定义


    在伯努利试验中,记每次试验中事件A发生的概率为p,试验进行到事件A出现时停止,此时所进行的试验次数为X,其分布列为:
    此分布列是几何数列的一般项,因此称X服从几何分布,记为X ~ GE(p) 。
    实际中有不少随机变量服从几何分布,譬如,某产品的不合格率为0.05,则首次查到不合格品的检查次数X ~ GE(0.05) 。

    几何分布的分类和特征


    它分两种情况:
    (1)为得到1次成功而进行n次伯努利试验,n的概率分布,取值范围为1,2,3,...;
    这种情况的期望和方差如下:
    (2)m = n-1次失败,第n次成功,m的概率分布,取值范围为0,1,2,3,...。
    这种情况的期望和方差如下:
    比如,假设不停地掷 骰子,直到得到 1。投掷次数是随机分布的,取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... },并且是一个 p= 1/6的几何分布。

    参数p的几何分布


    概率为p的事件A,以X记A首次发生所进行的试验次数,则X的分布列:
     
     
    具有这种分布列的 随机变量X,称为服从参数p的几何分布,记为 X~ Geo( p)。
    几何分布的期望
       
    ,方差
       

    几何分布的推广


    推广1

    现进行如下试验,在伯努利试验中,记每次试验中事件A发生的概率为p,试验进行到事件A和
       
    都出现后停止,此时所进行的试验次数为X,则有:
    其中,q=1-p,k=2,3,...。
    因此,上式可以成为一个分布列,此分布列是两个几何数列一般项的和,在这里称X服从两事件下推广的几何分布,记为X ~ PGE(2;p) ,数学期望为:
       
    。当P =
       
    时,E(X) 取最小值,此时E(X)= 3.
    由于
       
    ,因此可以得到:

    推广2

    现进行独立重复试验,每次试验会有三个事件A、B、C中的其中一个发生,记每次试验中事件A、B、C发生的概率分别为
       
       
    且 
     
    。试验进行到事件A、B、C都发生后停止,此时所进行的试验次数为X,则有:
    其中,k=3,4,...。因此上式也可以作为一个分布列,此分布列是六个几何数列一般项的和与差,称X服从三事件下推广的几何分布,记为X ~ PGE(3;
       
    )。数学期望为:
    容易验证,当
       
    时,E(X)有最小值,此时E(X)=5.5


    连续随机变量概率分布


    均匀分布

    概率论和统计学中,均匀分布也叫矩形分布,它是对称概率分布,在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义,它们是数轴上的最小值和最大值,通常缩写为U(a,b)。


    均匀分布概率密度函数

    均匀分布的概率密度函数为:
     其它
    在两个边界a和b处的f(x)的值通常是不重要的,因为它们不改变任何
       
    的积分值。 概率密度函数有时为0,有时为
       
    。 在傅里叶分析的概念中,可以将f(a)或f(b)的值取为
       
    ,因为这种均匀函数的许多积分变换的逆变换都是函数本身。  
    对于平均值μ和方差
       
    ,概率密度可以写为:
    , 其它

    均匀分布分布函数

    它的逆是:

    生成函数

    力矩生成函数:  
    我们可以从中计算原始力矩
       
    对于特殊情况a =-b,那么,
    力矩生成函数的简单形式:
    对于该分布的随机变量,期望值为
       
    ,方差为
       

    一阶矩(均值/数学期望):
    二阶中心矩(方差):
    也可以用期望来求:

    统计量

       
    是服从于U(0,1)的样本。 令X(k)为该样本的第k次统计量。 那么X(k)的概率分布是参数为k和n-k+1的β分布。期望值是:
    方差是:

    均匀度

    均匀分布的随机变量落在固定长度的任何间隔内的概率与区间本身的位置无关(但取决于间隔大小),只要间隔包含在分布的支持中即可。
    为了看到这一点,如果X〜U(a,b)并且[x,x + d]是具有固定d> 0的[a,b]的子间隔,则

    标准均匀分布

    编辑
    若a = 0并且b = 1,所得分布U(0,1)称为标准均匀分布。
    标准均匀分布的一个有趣的属性是,如果u 1具有标准均匀分布,那么1-u 1也是如此。 [5]  

    相关分布

    编辑
    (1)如果X服从标准均匀分布,则通过逆变换方法,
       
    具有指数分布参数
       
    (2)如果X服从标准均匀分布,则Y = X n具有参数(1 / n,1)的β分布。
    (3)如果X服从标准均匀分布,则Y = X也是具有参数(1,1)的β分布的特殊情况。
    (4)两个独立的,均匀分布的总和产生对称的三角分布。 [4]  

    应用

    编辑
    统计学中,当使用p值作为简单零假设的检验统计量,并且检验统计量的分布是连续的,则如果零假设为真,则p值均匀分布在0和1之间。

    从均匀分布抽样

    运行仿真实验有很多应用。 许多编程语言能够生成根据标准均匀分布有效分布的伪随机数。
    如果u是从标准均匀分布中采样的值,则如上所述,
       
    的值遵循由a和b参数化的均匀分布。

    从任意分布抽样

    均匀分布对于任意分布的采样是有用的。 一般的方法是使用目标随机变量的累积分布函数(CDF)的逆变换采样方法。 这种方法在理论工作中非常有用。 由于使用这种方法的模拟需要反转目标变量的CDF,所以已经设计了cdf未以封闭形式知道的情况的替代方法。 一种这样的方法是拒收抽样。
    正态分布是逆变换方法效率不高的重要例子。 然而,有一个确切的方法,Box-Muller变换,它使用逆变换将两个独立的均匀随机变量转换成两个独立的正态分布随机变量。

    量化误差

    在模数转换中,发生量化误差。 该错误是由于四舍五入或截断。 当原始信号比一个最低有效位(LSB)大得多时,量化误差与信号不显着相关,并具有大致均匀的分布。 因此,RMS误差遵循该分布的方差。


    指数分布

     
    在概率理论和统计学中,指数分布(也称为负指数分布)是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布,即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是 伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟,它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外,还可以在其他各种环境中找到。
    指数分布与分布指数族的分类不同,后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布,也包括正态分布,二项分布,伽马分布,泊松分布等等。
    指数函数的一个重要特征是无记忆性(Memoryless Property,又称遗失记忆性)。这表示如果一个随机变量呈指数 分布,当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即,如果T是某一元件的寿命,已知元件使用了t小时,它总共使用至少s+t小时的条件概率,与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

    指数分布概率密度函数

    公式

    其中λ > 0是分布的一个参数,常被称为率参数(rate parameter)。即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X呈指数分布,则可以写作:X~ E(λ)。

    在不同的教材有不同的写法,θ=1/λ,因此概率密度函数,分布函数期望方差有两种写法。

     
     
    其中θ>0为常数,则称X服从参数θ的指数分布。
    指数分布函数
    指数分布的分布函数由下式给出:
    有:
     

    指数分布 数学期望

     
    比方说:如果你平均每个小时接到2次电话,那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

    指数分布方差


     
    若随机变量x服从参数为λ的指数分布,则记为
       

    指数分布特性

    无记忆性

    指数函数的一个重要特征是无记忆性( Memoryless Property,又称遗失记忆性)。这表示如果一个随机变量呈指数分布
       
    时有
     
    即,如果T是某一元件的寿命,已知元件使用了t小时,它总共使用至少
       
    小时的条件概率,与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

    分位数

    参数λ的四分位数函数(Quartile function)是:
    第一四分位数:
     
    中位数:
     
    第三四分位数:
     


    分布


    概率论和统计学中,指数分布(Exponential distribution)是一种 连续概率分布。指数分布可以用来表示独立 随机事件发生的时间间隔,比如旅客进机场的时间间隔、 中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。
    许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是 伽玛分布威布尔分布的特殊情况,产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布。
    指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布,指数分布的失效率是与时间t无关的常数,所以分布函数简单。

    应用


    在电子元器件的可靠性研究中,通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为 均值越小,分布偏斜的越厉害。
    指数分布应用广泛,在日本的工业标准和美国军用标准中,半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外,指数分布还用来描述大型 复杂系统(如计算机)的 平均故障间隔时间MTBF的失效分布。但是,由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性.因而限制了它在机械可靠性研究中的应用,所谓缺乏“记忆”,是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值,或者说,经过一段时间t0的工作之后,该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同,显然,指数分布的这种特性,与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的,它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以,指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。
    指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律,但是,它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型,特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。
    指数分布的图形表面上看与幂律分布很相似,实际两者有极大不同,指数分布的收敛速度远快过幂律分布。
    指数分布的参数为λ,则指数分布的期望为
       
    ,方差为
       

    正态分布

     
    正态分布(Normal distribution),也称“常态分布”,又名 高斯分布(Gaussian distribution),最早由A.棣莫弗在求 二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在 数学、物理及工程等领域都非常重要的 概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
    正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为 钟形曲线
    随机变量X服从一个 数学期望为μ、 方差为σ^2的正态分布,记为N(μ,σ^2)。其 概率密度函数为正态分布的 期望值μ决定了其位置,其 标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是 标准正态分布

    正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大,他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称,后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他,也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票,其上还印有正态分布的 密度曲线。这传达了一种想法:在高斯的一切科学贡献中,其对 人类文明影响最大者,就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初,也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性,其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。 拉普拉斯很快得知高斯的工作,并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来,为此,他在即将发表的一篇文章(发表于1810年)上加上了一点补充,指出如若误差可看成许多量的叠加,根据他的中心极限定理,误差理应有 高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年,海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出了这个学说。
    其实,他提出的形式有相当大的局限性:海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和,每只取两值,其概率都是1/2,由此出发,按狄莫佛的中心极限定理,立即就得出误差(近似地)服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义,在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为,高斯的说法有一点循环论证的气味:由于算术平均是优良的,推出误差必须服从正态分布;反过来,由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性,故必须 认定这二者之一(算术平均的优良性,误差的正态性) 为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由,以它作为理论中一个预设的出发点,终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来,使之成为一个和谐的整体,实有着极重大的意义。

    定理


    由于一般的正态总体其图像不一定关于y 轴对称,对于任一正态总体,其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。 为了便于描述和应用,常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。  
     
    服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。(标准正态分布表:标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X(当前值)范围内的面积比例。)

    定义


    一维正态分布

    随机变量
       
    服从一个位置参数为
       
    、尺度参数为
       
    的概率分布,且其 概率密度函数
    则这个 随机变量就称为 正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为 正态分布,记作
       
    ,读作
       
    服从
       
    ,或
       
    服从正态分布。
    μ维随机 向量具有类似的概率规律时,称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质,例如,多元正态分布的边缘分布仍为正态分布,它经任何 线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布,特别它的线性组合为一元正态分布。
    本词条的正态分布是一维正态分布,此外多维正态分布参见“ 二维正态分布”。

    标准正态分布

       
    时,正态分布就成为 标准正态分布

    性质


    正态分布的一些性质:
    (1)如果
       
    且a与b是 实数,那么
       
    (参见 期望值方差)。
    (2)如果
       
       
    统计独立的正态 随机变量,那么:
    它们的和也满足正态分布
     
    它们的差也满足正态分布
     
    U与V两者是相互独立的。(要求X与Y的方差相等)
    (3)如果
       
       
    是独立常态随机变量,那么:
    它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
     
    其中
       
    是修正贝塞尔函数(modified Bessel function)
    它们的比符合 柯西分布,满足
     
    (4)如果
       
    为独立标准常态随机变量,那么
       
    服从自由度为 n卡方分布

    分布曲线


    图形特征

    集中性:正态曲线的高峰位于正中央,即 均数所在的位置。
    对称性:正态曲线以均数为中心,左右对称,曲线两端永远不与 横轴相交。
    均匀变动性:正态曲线由均数所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降。
    曲线与横轴间的面积总等于1,相当于 概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。
    正态分布 正态分布
    关于μ对称,并在μ处取最大值,在正(负)无穷远处取值为0,在μ±σ处有 拐点,形状呈现中间高两边低,正态分布的概率密度函数 曲线呈钟形,因此人们又经常称之为 钟形曲线。

    参数含义

    正态分布有两个参数,即期望(均数)μ和标准差σ,σ 2为方差。
    正态分布公式 正态分布公式
    正态分布具有两个参数μ和σ^2的 连续型随机变量的分布,第一参数μ是服从正态分布的随机变量的 均值,第二个参数σ^2是此随机变量的 方差,所以正态分布记作N(μ,σ 2)。
    μ是正态分布的位置参数,描述正态分布的 集中趋势位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大,而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以X=μ为 对称轴,左右完全对称。正态分布的期望、 均数中位数、众数相同,均等于μ。
    σ描述正态分布资料数据分布的离散程度,σ越大,数据分布越分散,σ越小,数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数,σ越大,曲线越扁平,反之,σ越小,曲线越瘦高。
    面积分布
    1.实际工作中,正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比,或变量值落在该区间的概率(概率分布)。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。
    ⒉正态曲线下, 横轴区间(μ-σ,μ+σ)内的面积为68.268949%。
    P{|X-μ|<σ}=2Φ(1)-1=0.6826
    横轴区间(μ-1.96σ,μ+1.96σ)内的面积为95.449974%。
    P{|X-μ|<2σ}=2Φ(2)-1=0.9544
    横轴区间(μ-2.58σ,μ+2.58σ)内的面积为99.730020%。
    P{|X-μ|<3σ}=2Φ(3)-1=0.9974
    由于 “小概率事件”假设检验的基本思想 “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件,认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。由此可见X落在(μ-3σ,μ+3σ)以外的概率小于千分之三,在实际问题中常认为相应的事件是不会发生的,基本上可以把区间(μ-3σ,μ+3σ)看作是随机变量X实际可能的取值区间,这称之为正态分布的“3σ”原则。

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  • 正态分布 概率密度函数PDF

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  • 的联合概率密度函数f(x,y).ppt

    千次阅读 2021-01-13 22:06:23
    的联合概率密度函数f(x,y)解:(X,Y)的概率密度为 变换为 解出逆变换为 雅可比行列式为 在变换之下,区域G={(x,y)|x>0,y>0}与 G*={(u,v)|u>0,v>0}一一对应。随机向量变换的其它条件均满足,因此由定理可得...
  • 不过对于统计学专业来说,或者实际应用来说,接触最多的还是离散型和连续型概率,以及分析其概率密度分布函数。所以说这里的内容可以算是概率论真正的支撑核心和基石。 无论你做数据分析,还是说人工智能方向,这...

空空如也

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两点分布概率密度函数