直线的交点坐标与距离公式
一：两条直线的交点坐标：
1
、
设两条直线分别为
1
l
：
1
1
1
0
A
x
B
y
C



，
2
l
：
2
2
2
0
A
x
B
y
C



则
1
l
与
2
l
是否有交点，
只需看方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A
x
B
y
C
A
x
B
y
C









是否有唯一解
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
若方程组有无穷多解，则两直线重合
例
1
、
求经过两直线
2
3
3
0
x
y



和
2
0
x
y



的交点且与直线
3
1
0
x
y



平行的直线方程。
经过两直线
1
1
1
1
:
0
l
A
x
B
y
C



与
2
2
2
2
:
0
l
A
x
B
y
C



交点的直线系
方程为


1
1
1
2
2
2
0
A
x
B
y
C
A
x
B
y
C







，其中

是待定系数，在这个
方程中，
无论

取什么实数，
都得到
2
2
2
0
A
x
B
y
C



，
因此，
它不能表示直线
2
l
。
2
、对称问题
(
1
)点关于点的对称，点
A(a
，
b)
关于


0
0
0
,
P
x
y
的对称点
B
(
m
，
n
)
，则由中点坐标公
式
0
0
2
,
2
m
x
a
n
y
b




，即
B
(
0
0
2
,
2
x
a
y
b


)
。
(
2
)点关于直线的对称，点


0
0
,
A
x
y
关于直线
:
0
l
Ax
By
C



(
A
、
B
不同时
为
0
)的对称点


'
1
1
,
A
x
y
，则有
AA
’的中点在
l
上且直线
AA
’与已知直线
l
垂直。
(
3
)直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线
1
l
与对称轴
l
相交，
则交点必在与
1
l
对称的直线
2
l
上，
然后再求出
1
l
上任意不同于交点的已知点
1
P
关
于对称轴对称的点
2
P
，那么经过交点及点
2
P
的直线就是
2
l
；若直线
1
l
与对称轴
l
平行，则在
1
l
上任取两不同点
1
P
、
2
P
，求
其关于对称轴
l
的对称点
'
1
P
、
'
2
P
，过
'
1
P
、
'
2
P
的直线就是
2
l
。
例题
2
、已知直线
:
1
0
l
x
y



，试求①点
P(4,5)
关于
l
的对称坐标；②直线
1
:
2
3
l
y
x


关于直线
l
的对称的直线方程。
例题
3

坐标公式大集合(两点间距离公式)
安徽省安庆市第四中学八年级(
13
)班王正宇
著
在八年级上册的数学教材中(沪科版)
，我们学习到了平面直角坐标系这一章
,
由此
,
我
们引申出一次函数、
二次函数、
反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今
天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！
一、
求平行于
x
与
y
轴的直线的距离
①我们在平面直角坐标系中做一条线段
AB
平行于
x
轴(
AB
为任意直线)
，我们要求出
线段
AB
的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到
作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看
AB
两点的横坐标，会发现一个
特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度
ab
≥
0
的，故取正数
结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式：
|
Ax
－
Bx
|
即
A
点横坐标数减去
B
点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，
A
、
B
两点
的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。
②同样的，
有上面的过程支撑，
我想，
推出平行于
Y
轴的线段
CD
的长度肯定就好求了！
！
那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于
Y
轴线段长度的公式哦：
|
Cy
－
Dy
|
即
C
点纵坐标减去
D
点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。
二、
求斜线的长度
这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年
级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。

（取自定位导航项目）
哇！这不就是一道初中的数学题嘛！But...
                                                                       
已知三点 A（m，n），B（P，q），C（s，f），并且坐标都是已知的。
通过直线方程 y=kx+b及A、B两点，可求得直线AB的直线方程中的斜率K及b。
则直线方程已知，通过两点间距离公式，可以求得线段AC的长度。
下面是手写过程：是不是很生动形象
                                                                   

                                                                    
//直线方程
//起点
Point beginPoint  = new Point(100,348);
//终点
Point overPoint = new Point(662,1067);
// 第一步：求得直线方程相关参数y=kx+b
// 坐标直线斜率k
double k = (overPoint.y - beginPoint.y)*1.0/(overPoint.x - beginPoint.x);
// 坐标直线b //最终直线方程  y=1.2605633802816902x+221.94366197183098
double b = beginPoint.y - k * beginPoint.x;
// 两点的坐标距离(走的一段路的距离)
double lineDis = Math.sqrt(Math.pow(locX - nextX, 2)*1.0
        + Math.pow(locY - nextY, 2));

//将直线公式与坐标距离公式求解方程组，得出在线上距离相同的坐标点
double A = Math.pow(k, 2) + 1;// A=k^2+1;

double B = -2 * ((locY -b ) * k + locX);// B=2[(b-y0)k-x0];
// C=(b-y0)^2+x0^2-L^2
double C = Math.pow(locY - b, 2) + Math.pow(locX, 2)
        - Math.pow(lineDis, 2);
// 两根x1,x2= [-B±√(B^2-4AC)]/2A
double x1 = (-B + Math.sqrt(Math.pow(B, 2) - 4 * A * C)) / (2 * A);

double x2 = (-B - Math.sqrt(Math.pow(B, 2) - 4 * A * C)) / (2 * A);
                                                                    
惊喜总是在最后：完整版
private void pointXY() {
    Point curPoint = new Point(20, 30);// 当前坐标
    Point nextPoint = new Point(35, 42);// 下个点坐标
    double distance = Math.sqrt(Math.pow(curPoint.x - nextPoint.x, 2)
            + Math.pow(curPoint.y - nextPoint.y, 2));// 两点的坐标距离
    double lenthUnit = distance / 5;// 单位长度
    // 第一步：求得直线方程相关参数y=kx+b
    double k = (curPoint.y - nextPoint.y) * 1.0
            / (curPoint.x - nextPoint.x);// 坐标直线斜率k
    double b = curPoint.y - k * curPoint.x;// 坐标直线b
    // 第二步：求得在直线y=kx+b上，距离当前坐标距离为L的某点
    double A = Math.pow(k, 2) + 1;// A=k^2+1;
    double B = 2 * ((b - curPoint.y) * k - curPoint.x);// B=2[(b-y0)k-x0];
    double L =lenthUnit;
    // C=(b-y0)^2+x0^2-L^2
    double C = Math.pow(b - curPoint.y, 2) + Math.pow(curPoint.x, 2)
            - Math.pow(L, 2);
    // 两根x1,x2= [-B±√(B^2-4AC)]/2A
    double x1 = (-B + Math.sqrt(Math.pow(B, 2) - 4 * A * C)) / (2 * A);
    double x2 = (-B - Math.sqrt(Math.pow(B, 2) - 4 * A * C)) / (2 * A);
    double x = 0;// 最后确定是在已知两点之间的某点
    if (x1 == x2) {
        x = x1;
    } else if (curPoint.x <= x1 && x1 <= nextPoint.x || nextPoint.x <= x1
            && x1 <= curPoint.x) {
        x = x1;
    } else if (curPoint.x <= x2 && x2 <= nextPoint.x || nextPoint.x <= x2
            && x2 <= curPoint.x) {
        x = x2;
    }
    double y = k * x + b;
    Point mPoint = new Point((int) x, (int) y);
}

有时候需要演示一下直线是怎么样生成的，就可以使用matplotlib作为教学工具，把演示过程动态化，并且可视化，也可以让学生快速地学习和修改直线的算法。知道两点坐标画直线有很多种方法，这里主要介绍使用DDA算法：

DDA算法是计算机图形学中最简单的绘制直线算法。其主要思想是由直线公式y = kx + b推导出来的。

我们已知直线段两个端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)，就能求出 k 和 b 。

 

在k，b均求出的条件下，只要知道一个x值，我们就能计算出一个y值。如果x的步进为1（x每次加1，即x = x +1），那么y的步进就为k+b；同样知道一个y值也能计算出x值，此时y的步进为1，x的步进为(1-b)/k。根据计算出的x值和y值，向下取整，得到坐标(x’,y’)，并在(x’,y’)处绘制直线段上的一点。

 

为进一步简化计算，通常可令b取0，将起点看作(0,0)。设当前点为(xi, yi)则用DDA算法求解(xi+1，yi+1)的计算公式可以概括为：

 

xi+1 = xi + xStep (1)

yi+1 = yi + yStep (2)

我们一般通过计算 Δx 和 Δy 来确定xStep和yStep：

 

如果 Δx > Δy ，说明x轴的最大差值大于y轴的最大差值，x轴方向为步进的主方向，xStep = 1，yStep = k；

如果 Δy> Δx，说明y轴的最大差值大于x轴的最大差值，y轴方向为步进的主方向，yStep = 1，xStep = 1 / k。

根据这个公式，就能通过(xi，yi)迭代计算出(xi+1、yi+1)，然后在坐标系中绘制计算出的(x,y)坐标点。

 

根据上面的算法进行一下修改，可以把代码写成这样：

#深入浅出matplotlib-蔡军生（qq:9073204)

#https://mysoft.blog.csdn.net/

#2020-11-24



import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt



plt.axis([-20, 130, 80, -20])



plt.axis('on')

plt.grid(True)



#显示辅助坐标系

plt.arrow(0,0, 20,0, head_length = 4, head_width = 3, color = 'k')

plt.arrow(0,0, 0,20, head_length = 4, head_width = 3, color = 'k')

plt.text(15, -3, 'x')

plt.text(-5, 15, 'y')



#画一条蓝色线

x1 = 20

x2 = 120

y1 = 40

y2 = 20



q = np.sqrt((x2-x1)**2 + (y2-y1)**2)

ux = (x2-x1)/q

uy = (y2-y1)/q



for step in np.arange(0, q, 0.5):

    px = x1 + step*ux

    py = y1 + step*uy

    plt.scatter(px, py, s = 1, color = 'g')



plt.show()

上面主要计算两点的距离，然后沿着两点距离的方向不断地增加，那么就可以计算出中间的坐标值，就可以依次地显示点，再把这些点显示出来，就成为了一条直线。



在这里绘制的直线，并不是把两点连接到一起，而是采用不同的点组成了一条直线，也演示了画一条直线的原理。