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  • 我们知道在平面直角坐标系中的线段长度可以直接由两点距离公式求出,但我们却不能直接求出曲线的长度。曲线长度计算采取的思想也是“以直代曲”,就是当一段曲线上的两点充分接近时,此时这两点间...

    前面我写文章介绍了定积分——怎样理解定积分 ,定积分可以计算曲线包围的面积。今天我们来说说如何计算函数图象在给定区间上的曲线长度。

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    如图,函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条平滑曲线,如何计算这种曲线的长度呢?我们知道在平面直角坐标系中的线段长度可以直接由两点距离公式求出,但我们却不能直接求出曲线的长度。曲线长度的计算采取的思想也是“以直代曲”,就是当一段曲线上的两点充分接近时,此时这两点间的曲线可以近似看成线段。

    函数图象的平滑曲线我们一般称作平面曲线弧,利用极限和积分思想我们可以求出平面曲线弧的长度。

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    如图,一函数在某区间上的图象为平面曲线弧AB ,我们作该曲线弧的内接折线,当折线段的最大边长λ→0 时,若折线的总长趋近于一个确定的极限,则称此极限为弧AB的长度 ,即

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    如图,设函数y=f(x)在区间[a,b]上可导,其图象为弧AB,记弧长s为x的函数s(x) ,则

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    显然

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    所以

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    由积分知识可知函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上的曲线弧长

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    上式就是函数图象曲线长度的计算公式,我们可以举一个例来验证说明:

    求函数

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    在区间[-1,1]的图象曲线长度,记图象长度为l.

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    我们知道这个函数的图象是圆心在原点半径为1的半圆( x轴上方),显然图象长度 l=π ,现在我们用上面的公式计算:

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    从这里我么也看出微积分在数学上的运用,微积分使得数学上许多问题的求解变得可能,微积分自创立以来就成为重要的数学工具,在数学物理等各领域的许多问题的计算上发挥了重要作用!

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  •  在读书的时候,大家应该都学过球面两点之间距离的计算,由于我长时间没有学习了,也无心再去拾起数学,因此只是提供一个大致的思路和实现源码。我们可以把地球看做一个不太规则的球体,赤道长度则看做球体的直径。...

    前言:目前大多数的公司都在使用钉钉进行签到打卡,使用过的都知道钉钉打卡是基于位置的,也就是说你必须在一个特定的范围内打卡,超过这个范围的只能外勤打卡,这一功能是如何实现的呢?

        在读书的时候,大家应该都学过球面两点之间距离的计算,由于我长时间没有学习了,也无心再去拾起数学,因此只是提供一个大致的思路和实现源码。我们可以把地球看做一个不太规则的球体,赤道长度则看做球体的直径。我们都知道在地理坐标系中有两个角值,分别是经度和纬度,他们可以用来代表地球上的某一点。

     球面两点之间距离计算公式:d(x1,y1,x2,y2)=r*arccos(sin(x1)*sin(x2)+cos(x1)*cos(x2)*cos(y1-y2))

      咱们假设两地的经纬度已经获取到了(后面单独发表一篇文章记录安卓获取当前经纬度),定义PI值为3.14159265358979323,地球半径取6371229,代码如下:

        public double getDistance(double longt1, double lat1, double longt2,double lat2) 
    {
       
              double x, y, distance;
            
              x = (longt2 - longt1) * PI * R* Math.cos(((lat1 + lat2) / 2) * PI / 180) / 180;
      
              y = (lat2 - lat1) * PI * R / 180;
            
              distance = Math.hypot(x, y);
            
              return distance;

    }

    PS:经测试,上述代码计算结果与百度地图结果误差在0.02之内

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  • 直角坐标与极坐标互相转化

    千次阅读 2020-06-10 10:30:35
    在 平面内取一个定点O, 叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M,用...由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐

    在 平面内取一个定点O, 叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系。
    极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值
    x = r*cos(θ),   y = r*sin(θ),   
    由上述二公式,可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标
    r = sqrt(x^2 + y^2),   θ= arctan y/x
    在 x = 0的情况下:
    若 y 为正数 θ = 90° (π/2 radians); 若 y 为负, 则 θ = 270° (3π/2 radians).

    补充:

    y=tanx的图像如下图所示

    y = arctanx的图像如下图所示

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  • 1)矢量的减法计算:已知空间坐标中的两点, 点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2),利用矢量的减法,则可以得出矢量AB的坐标为(x2-x1, y2-y1, z2-z1 ),利用这个信息,我们可以得出AB的长度和方向角。2)投影长度的计...

         本期文章的第一篇我们探讨了计算T值或者轮廓度所需要的基本数学知识,比如矢量的减法和乘法。

    我们先将第一篇介绍的核心内容回顾一下。

    1)矢量的减法计算:已知空间坐标中的两点, 点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2),利用矢量的减法,则可以得出矢量AB的坐标为(x2-x1, y2-y1, z2-z1 ),利用这个信息,我们可以得出AB的长度和方向角。

    2)投影长度的计算:已知空间坐标中的两点, 点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2),利用矢量的乘法再整理,则可以计算出矢量OBOA上的投影l OB’l 。投影计算公式为:

    lOB’l =(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/lOA

    本期文章的内容就是上期文章所介绍的数学知识点的具体应用,今天,我们将探讨剩下的两个章节。

    2. T值的计算原理

    3. 带基准轮廓度的计算原理

    还没有读上一篇文章的小伙伴,建议先读一读再来看这篇文章。

    2. T值的计算原理

    当我们用UG或者Croe等3D软件设计好零件的型面,供应商根据3D数模开模具生产出零件,此时我们如果想知道供应商提供的零件的型面和3D数模的型面是否一致的时候,我们就会用到T值(矢量方向偏差)来判断。

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    图10 实际轮廓和理论轮廓

    如图10所示,通常我们的做法是,在理论轮廓上采一个理论点P(采的点越多越好),然后在实际零件上的同样位置采一个实际点P’, 将实际点P’和理论点P进行比对。此时,我们希望实际点P’和理论点P越近越好(最好重叠),这样就说明供应商做的零件型面的误差就越小。

    事实上实际零件的型面和理论3D数模型面一定有偏差,比如图10中的点P’和P就一定不会重叠。那么,我们如何评估这种偏差呢?

    很多三坐标软件,都提供了“矢量方向的偏差”这个评估参数,比如PC-DMIS就采用的T值代表矢量方向的偏差。

    T值究竟代表什么偏差,它是怎么计算出来的呢?

    我们知道,当我们在3D数模上选取了一个理想点P, 我们就会得到2个信息(这些信息是3D数模自带的):

    1. P点的坐标(x1, y1, z1)

          2. 过P点的单位矢量n

         注意,该单位矢量n的特点是垂直于过P点处的切面(也就是说,单位矢量的方向是P点处的法向),而且方向是从材料里边指向材料外边。当然既然是单位矢量,显然有lnl = 1.(对单位矢量不了解的小伙伴,点击文章最后链接《三坐标中的矢量是干什么用的》)。

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    图11 T值的计算原理

    见图11,我们过实际点P’作单位矢量n的垂线, 垂足是A。那么线段PA就是矢量PP’在单位矢量n上的投影。

    而这个投影就是T值。

    也就是说T值,就是理论点和实际点的连线PP'在单位矢量n上的投影(一个分量)!

    还记得前面讲的投影公式吗?假设理论点P的坐标是(x1, y1, z1),实际点P’的坐标是(x2, y2, z2), 那么图11中矢量PP’的坐标则为(x2-x1, y2-y1, z2-z1)。如果测得已知P点处的单位矢量n的坐标为(a, b, c),利用我们前面所推导的公式,则可以得出:

    T=lPAl

      = ((x2-x1)*a+(y2-y1)*b+(z2-z1)*c)/lnl

    又因为单位矢量n的模为1,即lnl=1, 所以上面的公式可以整理为:

    T=lPAl

    = ((x2-x1)*a+(y2-y1)*b+(z2-z1)*c)  (10)

    注意,公式(10)是计算T值的通用公式,非常重要,大家最好记住。

    我们还可以得出一个非常重要的结论,任何一个向量,它和一个单位向量相乘(数量积),其结果就是此向量在该单位向量上的投影!如果得出的结果是正值,投影则和单位向量同向,如果结果是负值,表示投影则和单位向量相反。

    和单位向量相乘(数量积)就可以直接得到投影,这就是人们采用单位向量的优势之一吧。

    好了,T值的计算方法我们知道了,我们再用PC-DMIS来验证一下。

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    图12 理论点P和实际点P’数据

           图12是PC-DMIS显示的理论点和实际点的原始坐标信息。将图12中的理论数据和实际数据数据输入EXCEL, 用刚刚那个公式(10)计算。计算结果如下:

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    图13 Excel计算结果

    根据公式(10)的计算结果,我们可以得出实际点在矢量方向的偏差, 即T值为-0.292663。

         再来看看PC-DMIS的报告。

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    图14 PC-DMIS的计算结果

    从图13和图14可以看出,Excel的计算结果和PC-DMIS的结算结果是相同的,表明PC-DMIS也是采用同样的计算方法。而且从结果还可以看出,比起理论点P,实际点P'实际上是偏低的,低于理论表面(和单位矢量的方向相反)。如果需要修模的话,应该让零件表面在该点处加材料来修正。

    3. 轮廓度的计算原理

    理解了T值的计算原理,再来理解轮廓度的计算原理就非常容易了。因为计算轮廓度误差实际上就是计算很多测量点的T值,无非我们需要找到T值最大的那个点。

    已知零件标注如图15所示,在计算轮廓度误差的时候该如何计算呢?

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    图15 图纸标注

    在评价被测轮廓的轮廓度误差时,实际的操作是在被测表面上采多个点,然后评价这些点相对于理论轮廓上的理论点在矢量方向上的偏差,也就是T值。

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    图16 实际点和理论点

    图16中,已知采了4个点,理论点是P1, P2, P3, P4, 对应的实际点是P1’, P2’, P3’,P4’, 我们该怎么来计算轮廓度误差呢?很简单,我们只要计算每个实际P’点相对于理论点P在单位矢量方向上的误差即可。和T值的计算一样,见图17。

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    图17 轮廓度的计算原理

    只要我们根据前面讲的公式(10),即T=(x2-x1)*a +(y2-y1)*b +(z2 - z1)*c分别计算出图17中的T1, T2 T3, T4, 就可以得出轮廓度的实际测量值。

    注意,作为轮廓度正式输出的测量结果(即轮廓度的几何误差),ISO和ASME的要求是不同的,所以我们分两种标准讨论:

    1. 如果是ISO标准,将T1-T4中的最大值乘以2就是轮廓度的实际测量值。所以图17中的轮廓度误差t:

    t = 2 * T2(因为T2最大)。

    只要满足t≤1则轮廓度合格。

    2. 如果是ASME标准,需要给出加材料方向的最大T值和减材料方向的最大T值作为输出结果,分别为d+和d-。就图17而言:

    d+ = T2

    d- = T4

    只要满足d+ ≤ 0.5 且 d- ≤ 0.5即合格。

         好了,我们已经知道轮廓度测量值的计算方法了,我们还是用PC-DMIS来验证一下,看看结果如何。

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    图18 理论点坐标和实际点坐标

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    图19 ASME的评价结果(绿框部分)

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    图20 ISO的评价结果(绿框部分)

    我们再用手工计算来验证一下。

    将图18中的数据输入做好的Excel表格,再来看看基于公式(10)做的Excel的计算结果:

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    图21 基于公式计算的结果

    将PC-DMIS计算的图19和图20的计算结果,与图21的结果进行比较,我们发现结果是相同的。

    说明PC-DMIS采用的方法和Excel采用的方法是相同的。同样蔡司软件Calypso也是采用相同的方法。

    好了,到此为止本期的文章就结束了。

    可能有小伙伴还会问,你举的轮廓度例子是带基准的,如果不带基准它又是如何评价的呢?

    不带基准的轮廓度其实也是计算T值,不过计算方法就比本期文章中的计算方法复杂很多,因为不带基准的轮廓度仅仅控制形状,即理想要素的形状是一定的,但理想要素的方向和位置是不确定的,需要有一个最佳拟合的过程来确定理想要素的方位。

    在计算T值的时候还要引入6个参数,分别是沿x,y,z轴平移的三个参数Tx, Ty, Tz和绕x,y,z轴旋转的三个参数Rx, Ry, Rz, 通过最佳拟合的条件(比如最大值最小或最小二乘法)确定6个参数的大小,最后再确定图21中每个点T值的大小。

    根据解释的难以程度,我们争取后边再来讨论不带基准轮廓度的计算原理。

    最后还要补充一点,无论是海克斯康的PC-DMIS还是蔡司Calypso的轮廓度误差均采用T值来计算,注意,它其实是一种近似的做法!如果严格按照理论来做的话,应该采用下面的方法。

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    图22 计算轮廓度误差的正确方法

    假设我们在实际零件上采了一点P2’,我们认为该点P2’在理论轮廓上对应的点应该是P2, 所以两者之间的偏差就是T2,这其实是有点勉强的。无论是根据ISO规定的最小区域法还是ASME Y14.5.1M中规定,要在理论轮廓上寻找真正P2’对应的理论点,该点必须满足两个条件:

    1. 该点必须在理论轮廓上;

    2. 该点处的单位矢量必须刚好经过实际点P2’。

    比如说图22中的理论点Q2(可以证明,该点一定存在), 该点在理论轮廓上,且该点处的单位矢量n2’刚好通过实际点P2’, 然后线段Q2P2的长度L2就是实际点相对于理论轮廓的偏置量。

    也就是说,轮廓度误差计算的真正结果,应该采用图22中的L2, 而不应该采用T2.

    当然,寻找Q2对于软件算法来讲,计算量非常大,而计算T2,非常容易。而且对于理论表面没有突变的轮廓来说,而这两者大小的差别非常微小,即:

    T2≈L2

    所以我们就近似的用图22中的T2来代替L2了。

    给大家留一道思考题,根据我们的计算原理,假设表面有突变,或者在轮廓的拐弯处,轮廓度有没有突然变得非常离谱的现象呢,为什么?欢迎给我们留言发表您的看法!

    本文小结

    本片文章非常啰嗦,第一章花了大量的篇幅讲解解析几何的几个基本的概念。(如果要讲不带基准轮廓度的计算,还必须提矩阵的算法...)。第二章讲解了T值的计算原理,T值实际上就是矢量方向上的综合偏差。第三章讲解了轮廓度误差的计算原理,实际上就是T值的延伸,多个T值的计算,取其最大值处理成为测量结果。

    最后,关于T值和轮廓度的探讨,来源于和很多网友的讨论。这里要特别感谢长春一汽的测量专家胖姐李工给予的支持,毫无保留的将她知道的T值计算方法告诉我,也要感谢测量专家神无月任工给予的支持,帮我验证蔡司轮廓度的计算原理。在写文章的过程中,群里很多其他小伙伴也零零碎碎给予了很多帮助,这里一并表示感谢。

    我已将T值的计算公式和轮廓度(带基准)的计算公式整理成Excel表格,有兴趣的小伙伴可以加入下面QQ群索要。

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         觉得文章不错?点个赞吧。 有不同看法?欢迎给我们留言!

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    2012-10-22 22:37:31
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空空如也

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两点坐标如何计算长度