圆锥曲线的公式汇总：
1、椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a；椭圆的通径长。
2、过椭圆焦点的直线与椭圆交于两点A、B，A、B两点与椭圆另一焦点构成的三角形的周长公式、面积公式。其中面积的计算有两种思路，一是以X轴为界拆成两个三角形之和，二是以丨AB丨弦长为底，另一焦点到AB的距离为高求面积。
3、焦点三角形的面积公式、周长公式、面积的最大值。已知焦点三角形的两底角快速求离心率公式。
4、椭圆的弦长公式。
5、过圆外一点引圆的两条切线，切点弦所在直线方程的公式；过椭圆外一点引圆的两条切线，切点弦所在直线方程的公式。
6、双曲线的定义公式，注意加绝对值和不加绝对值的区别。
7、双曲线的焦点三角形面积公式。
8、双曲线的渐近线公式、弦长公式、通径公式、离心率。
9、双曲线的焦点到渐近线的距离为b。
10、等轴双曲线、共轭双曲线相关结论。
11、抛物线的定义。
12、抛物线焦点弦的性质有关公式，包括开口向右和开口向上。
13、对抛物线顶点张角为90度的弦的有关结论。
14、抛物线的弦长公式。
15、过开口向上抛物线的焦点的一条直线与抛物线交于M、N两点，过M、N两点引抛物线的切线，则两切线的交点在抛物线的准线上。
16、过开口向抛物线的焦点的一条直线与抛物线交于M、N两点，过其中一点引抛物线的切线公式。

圆锥曲线的公式汇总：
1、椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a；椭圆的通径长。
2、过椭圆焦点的直线与椭圆交于两点A、B，A、B两点与椭圆另一焦点构成的三角形的周长公式、面积公式。其中面积的计算有两种思路，一是以X轴为界拆成两个三角形之和，二是以丨AB丨弦长为底，另一焦点到AB的距离为高求面积。
3、焦点三角形的面积公式、周长公式、面积的最大值。已知焦点三角形的两底角快速求离心率公式。
4、椭圆的弦长公式。
5、过圆外一点引圆的两条切线，切点弦所在直线方程的公式；过椭圆外一点引圆的两条切线，切点弦所在直线方程的公式。
6、双曲线的定义公式，注意加绝对值和不加绝对值的区别。
7、双曲线的焦点三角形面积公式。
8、双曲线的渐近线公式、弦长公式、通径公式、离心率。
9、双曲线的焦点到渐近线的距离为b。
10、等轴双曲线、共轭双曲线相关结论。
11、抛物线的定义。
12、抛物线焦点弦的性质有关公式，包括开口向右和开口向上。
13、对抛物线顶点张角为90度的弦的有关结论。
14、抛物线的弦长公式。
15、过开口向上抛物线的焦点的一条直线与抛物线交于M、N两点，过M、N两点引抛物线的切线，则两切线的交点在抛物线的准线上。
16、过开口向抛物线的焦点的一条直线与抛物线交于M、N两点，过其中一点引抛物线的切线公式。

点缀成线
简单的数学思维（我的思路）
向量计算




简单的数学思维（我的思路）
只考虑两个点，在验证所有的点，先考虑x1 === x2 和 y1 === y2

然后考虑两个点的x的值可能为零，然后写出k，b的计算公式，最后用every判断一下。
/**
 * @param {number[][]} coordinates
 * @return {boolean}
 */
var checkStraightLine = function(coordinates) {
    let x1 = coordinates[0][0]
    let y1 = coordinates[0][1]
    let x2 = coordinates[1][0]
    let y2 = coordinates[1][1]
    if (x1===x2){
        return coordinates.every(item => {
            return  item[0] === x1
        })
    }else if(y1===y2){
        return coordinates.every(item => {
            return  item[1] === y1
        })
    }
    let b = ((y1*x2-x1*y2)/(x2-x1))
    let k
    if(x1===0){
        k = (y2-b)/x2
    }else {
        k = (y1-b)/x1
    }
    return coordinates.every(item => {
        return  item[1] === k*item[0]+b
    })
};

公式求b，真是一个sb的想法。。。。自己看了都尴尬。可以先用公式求k呀。（学过的数学全忘了）
向量计算
我们知道，在给定的点集中，以任意一点 P 为基准，如果所有其他点的k是不变的，那么点集内所有的点在同一条直线上。但是这种做法会涉及到除数为 0 的问题，即垂直于 x 轴的直线需要单独判断。而且在计算浮点除法运算时还会涉及到精度问题，虽然在力扣中通过应该是没问题的，但是如果把测试集稍微设计一下就可能会通过不了。所以我们最好另寻他法。
我们可以把点集中除了 P之外的点 P i都看成以 P为起点、P i为终点的向量，记为 vi，并选择 v1作为基准。如果其他向量都与 v 1 共线，那么点集内所有的点共线。
∣α, β∣=0，
即它们拼成的二阶矩阵的行列式为 0。
int n = coordinates.size();
        int x0 = coordinates[0][0], y0 = coordinates[0][1];
        int x = coordinates[1][0] - x0;
        int y = coordinates[1][1] - y0;
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            int xi = coordinates[i][0] - x0;
            int yi = coordinates[i][1] - y0;
            if (x * yi - y * xi) { //计算二阶行列式
                return false;
            }
        }
        return true;

这个想法很是不错，很细致。

前言
上一篇贝塞尔曲线的研究只能满足一段曲线的生成，今天将实现任意曲线生成(多节点连续曲线)。
设计原理
指定一段曲线的两个端点(p0，p3)以及两个控制点(p1，p2)然后使用三阶贝塞尔公式即可生成一段连续的曲线，将这一段曲线理解成第
n个节点到n+1个节点之间的三阶贝塞尔。
接下来就是创建N个节点了，每一个节点和其对应的下一个节点为一组曲线，最后一个节点不计算。
如何处理多节点之间的平滑过渡
每一个节点都有且仅有一个控制点，控制点左边的曲线相当于三阶贝塞尔中的p2点，而右侧则先计算其镜像的坐标作为公式中的p1，这样便可以做到一个控制点同时调节左右曲线的曲率，效果如下。
两条曲线中间节点的控制点
设计原理
BezierNodeObject ：节点对象，包含一个控制点属性
public class BezierNodeObject : MonoBehaviour
{
public Transform BezierOffset;
private BezierNode bezierNode;
public BezierNode GetBezierNode()
{
bezierNode.nodeOffset = BezierOffset.position;
bezierNode.nodePos = transform.position;
return bezierNode;
}
private void Update()
{
Debug.DrawLine(BezierOffset.position, transform.position - (BezierOffset.position - transform.position), Color.yellow);
}
}
BezierData ： 将所有节点和控制点数据保存，并提供三阶贝塞尔函数接口
[CreateAssetMenu(fileName = "BezierData", menuName = "Config/BezierData")]
public class BezierData : ScriptableObject
{
[Header("数据集名称")]
public string DataName;
[Header("数据节点集")]
public List bezierNodes;
[Header("精度系数，越大越平滑，性能消耗越高"), Range(10, 100)]
public int accuracy = 10;
/// 
/// 计算并返回指定一段曲线的坐标位置数组
/// 
/// 区间下标数值
/// 
public Vector3[] GetBezierDatas(int region) {
if (region < bezierNodes.Count) {
Vector3[] datas = new Vector3[accuracy];
for (int i = 0; i < accuracy; i++)
{
BezierMath.Bezier_3ref(
ref datas[i],
bezierNodes[region].nodePos,
bezierNodes[region].getReverseNodeOffset(),
bezierNodes[region + 1].nodeOffset,
bezierNodes[region + 1].nodePos,
i/(accuracy-1.0f)
);
}
return datas;
}
return null;
}
public void SetBezierNode(List bezierNodeObjects) {
if (bezierNodes == null) bezierNodes = new List();
bezierNodes.Clear();
foreach (var item in bezierNodeObjects)
{
bezierNodes.Add(item.GetBezierNode());
}
}
}
BezierLine ： 按照一定的精度从BezierData中获取每一段曲线上的坐标，将坐标信息传递给Unity的LineRenderer并绘制出line
public class BezierDrawLine : MonoBehaviour
{
private List bezierNodeObjects;
private BezierData bezierData;
private List vector3s;
public Transform NodesRoot;
[Header("精度系数,表示每一段有多少个节点"),Range(10 , 100)]
public int accuracy;
private void Start()
{
bezierNodeObjects = new List();
bezierData = new BezierData();
vector3s = new List();
}
private void Update()
{
if (!NodesRoot) return;
bezierNodeObjects.Clear();
bezierNodeObjects.AddRange(NodesRoot.GetComponentsInChildren());
bezierData.SetBezierNode(bezierNodeObjects);
bezierData.accuracy = accuracy;
drawline();
}
void drawline() {
for (int i = 0; i < bezierNodeObjects.Count - 1; i++)
{
var lineRenderer = bezierNodeObjects[i].GetComponent();
if (lineRenderer == null) lineRenderer = bezierNodeObjects[i].gameObject.AddComponent();
lineRenderer.positionCount = accuracy;
lineRenderer.SetPositions(bezierData.GetBezierDatas(i));
}
}
}
以上代码仅供参考，如果需要，下方将提供git项目地址。
实际效果展示
多节点贝塞尔曲线
可调细分程度