概述

• 问题
  那么，在节点个数一定的情况下，是否可以在[a，b]上自由选择节点的位置，使求积公式的精度提得更高？
  
• 例题
  
  
  

一、高斯型求积公式的一般理论

• 一般理论
  

1.1 高斯型求积公式和高斯点

习题

1.2 高斯点的特征

• 利用正交多项式构造高斯求积公式
  
  习题

二、常用的高斯求积公式⭐

2.1 高斯-勒让德求积公式（ Gauss-Legendre ）

• 概念
  勒让德多项式
  

1. Legendre 多项式族：
   
   低阶Legendre多项式
   
2. 高斯-勒让德求积公式（G-L求积公式）⭐
   
   
   
   

• 总结
  
  习题

3. 一般有界区间[a, b]上的高斯-勒让德求积公式
   （G-L求积公式）
   目的转换区间到 [-1,1] :
   
   习题

2.2 高斯-切比雪夫求积公式（ Gauss-Chebyshe）

切比雪夫多项式

• 截断误差
  

总结

• 例题

1. 
   用待定系数法构造高斯求积公式:
   

• 问题
  为什么2点Gauss公式有应该有三次代数精度？

一般n+1个节点的求积公式的代数精度最高为2n+1次

• 详细过程
  

• 详细过程
  
  
• 例题

1. 
   利用正交多项式构造高斯求积公式:
   
   
   

• 例题

• 公式回忆

1. 复合梯形公式
   
   三个点：$T2$
   五个点：$T4$
2. Simpson公式
   
3. 三个点的高斯-勒让德求积公式
   

• 例题

• 公式
  

• 两点高斯-勒让德求积公式
  

• 例题

数值积分

直接利用某些节点上的函数值计算积分值，将积分求值问题归结为函数值的计算，可概述为如下公式

复化梯形公式

将区间n等分，每个小区间分别用梯形公式（两个节点）求积分，化简得到如上公式。

/**
 *@name Cotes：复化梯形公式
 *@param1 below：区间下限
 *@param2 upper：区间上限
 *@param3 n：划分子区间的个数
**/
double trapezoid(double below,double upper,int n)
{
	double h=(upper-below)/n;
	double x=below;
	double S=0;
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		//计算内部各节点的函数值 1~(n-1)
		x+=h;
		S+=function(x);
	}
	return (h/2)*(2*S+function(below)+function(upper));
}

复化辛普生公式

同样将区间n等分，每个小区间分别用辛普生公式（两个节点加上中点）求积分，化简得到如上公式。

/**
 *@name Cotes：复化辛普生法
 *@param1 below：区间下限
 *@param2 upper：区间上限
 *@param3 n：划分子区间的个数
**/
double Simpos(double below,double upper,int n)
{
	double h=(upper-below)/n;
	double S1=0;
	double S2=function(below+h/2);
	double x=below;
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		//计算各节点处的函数值 1~(n-1)
		x+=h;
		S1+=function(x);
	}
	x=below+h/2;
	for (int j=1;j<n;j++)
	{
		//计算各区间中点处的函数值 0.5~(n-0.5) 共n项
		x+=h;
		S2+=function(x);
	}

	return (h/6)*(function(below)+function(upper)+2*S1+4*S2);
}

复化柯特斯公式

同样将区间n等分，每个小区间分别用柯特斯公式（两个节点加上三个四等分点）求积分，化简得到如上公式。

/**
 *@name Cotes：复化柯特斯公式
 *@param1 below：区间下限
 *@param2 upper：区间上限
 *@param3 n：划分子区间的个数
**/
double Cotes(double below,double upper,int n)
{
	double h=(upper-below)/n;
	double S1=0;
	double S2=0;
	double S3=0;
	double S4=0;
	double x=below;
	x=(below+h/4);
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		//计算各区间1/4处的值 1/4~(n-3/4)共n项
		S1+=function(x);
		x+=h;
	}

	x=(below+h/2);
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		//计算各区间1/2处的值 1/2~(n-1/2)共n项
		S2+=function(x);
		x+=h;
	}

	x=below+3*h/4;
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		//计算各区间3/4处的值 3/4~(n-1/4)共n项
		S3+=function(x);
		x+=h;
	}

	x=below+h;
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		//计算各区间3/4处的值 1~(n-1)共n-1项
		S4+=function(x);
		x+=h;
	}

	return (h/90)*(7*function(below)+32*S1+12*S2+32*S3+14*S4+7*function(upper));
}