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  • 2019-12-05 08:48:27

    为什么要引入数值积分

    由于Gauss型求积公式属于数值积分的内容,学东西总要知道它的来龙去脉,下面我简单介绍一下为什么要引入数值积分

    给定函数 f ( x ) ∈ C [ a , b ] f(x)\in C[a,b] f(x)C[a,b],考虑积分

    I ( f ) = ∫ a b f ( x ) d x I(f)=\int_{a}^{b} f(x) dx I(f)=abf(x)dx
    的计算问题,从数学分析中知道,当已知 f ( x ) f(x) f(x)的原函数为 F ( x ) F(x) F(x)时,由牛顿-莱布尼兹公式,有
    I ( f ) = ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) I(f)=\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) I(f)=abf(x)dx=F(b)F(a)
    然而,在实际计算中,被积函数的 f ( x ) f(x) f(x)的原函数经常无法用初等函数表示,但过于复杂。还有时, f ( x ) f(x) f(x)只在一些离散点上给出。在这样的情况下,就有必要借助数值方法来求 I ( f ) I(f) I(f)的近似值。

    Gauss型求积公式的定义

    从正交多项式理论可知,在区间[a,b]上,对给定的权函数 ρ ( x ) \rho(x) ρ(x),存在正交多项式系 ω k ( x ) k = 0 ∞ {\omega_{k}(x)}_{k=0}^{\infty} ωk(x)k=0并且可以将其构造出来。进一步,已经证明了 ω k ( x ) \omega_{k}(x) ωk(x)在[a,b]上恰有k个相异的根,取 ω n + 1 ( x ) \omega_{n+1}(x) ωn+1(x)的n+1个根为求积结点,构造插值型求积公式,将得到具有2n+1次代数精度的求积公式,称如此构造出来的求积公式为Gauss型求积公式即:

    如果求积结点 x 0 , x 1 , . . . . , x n x_{0},x_{1},....,x_{n} x0,x1,....,xn,使插值型求积公式 ∫ − 1 1 f ( x ) d x ≈ ∑ k = 0 n A k f ( x k ) \int_{-1}^{1}f(x)dx\approx\sum_{k=0}^{n}A_kf(x_k) 11f(x)dxk=0nAkf(xk)的代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积公式,称这些求积结点为Gauss点。

    特别地,Gauss求积公式当[a,b]=[-1,1]时,取 ρ ( x ) \rho(x) ρ(x)=1,Gauss型求积公式称为Gauss求积公式,此时的求积结点
    x k ( k = 1 , 2 , 3.... ) x_k(k=1,2,3....) xk(k=1,2,3....)为n次Legendre多项式的根。
    A k = ∫ − 1 1 ω ( x ) ( x − x k ) ω ′ ( x k ) d x A_k=\int_{-1}^{1} \frac{\omega(x)}{(x-x_k)\omega'(x_k)}dx Ak=11(xxk)ω(xk)ω(x)dx
    而Legendre多项式为:

    在这里插入图片描述
    打代码太南了,我手写偷下懒。

    Gauss公式的应用

    Gauss公式主要应用为二点Gauss公式和三点Gauss公式
    二点Gauss公式:当n=2时,有 x 1 = − 1 3 , x 2 = 1 3 , A 1 = A 2 = 1 x_1=-\sqrt\frac{1}{3},x_2=\sqrt\frac{1}{3},A_1=A_2=1 x1=31 ,x2=31 ,A1=A2=1,求积公式为 G 2 ( f ) = f ( − 1 3 ) + f ( 1 3 ) G_2(f)=f(-\sqrt\frac{1}{3})+f(\sqrt\frac{1}{3}) G2(f)=f(31 )+f(31 )
    三点Gauss求积公式:当n=3时,有 x 1 = − 3 5 , x 2 = 0 , x 3 = 3 5 , A 1 = A 3 = 5 9 , A 2 = 8 9 x_1=-\sqrt\frac{3}{5},x_2=0,x_3=\sqrt\frac{3}{5},A_1=A_3=\frac{5}{9},A_2=\frac{8}{9} x1=53 ,x2=0x3=53 ,A1=A3=95,A2=98,求积公式为 G 3 ( f ) = 5 9 f ( − 3 3 ) + 8 9 f ( 0 ) + 5 9 f ( 3 5 ) G_3(f)=\frac{5}{9}f(-\sqrt\frac{3}{3})+\frac{8}{9}f(0)+\frac{5}{9}f(\sqrt\frac{3}{5}) G3(f)=95f(33 )+98f(0)+95f(53 )
    为了计算[a,b]上的定积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b} f(x) dx abf(x)dx可以通过自变量的变换 x = 1 2 ( a + b + t ∗ ( b − a ) ) x=\frac{1}{2}(a+b+t*(b-a)) x=21(a+b+t(ba))将其转换为[-1,1]上的积分,然后使用Gauss积分公式计算其近似值。
    例:
    用两点Gauss公式计算 ∫ 0 1 s i n x x d x \int_{0}^{1}\frac{sinx}{x}dx 01xsinxdx
    解:变换令x=0.5(t+1)
    ∫ 0 1 s i n x x d x = ∫ − 1 1 s i n 0.5 ( t + 1 ) t + 1 d x \int_{0}^{1}\frac{sinx}{x}dx=\int_{-1}^{1}\frac{sin0.5(t+1)}{t+1}dx 01xsinxdx=11t+1sin0.5(t+1)dx
    t 0 = − 1 3 , t 1 = 1 3 t_0=\frac{-1}{\sqrt 3},t_1=\frac{1}{\sqrt 3} t0=3 1,t1=3 1
    ∫ 0 1 s i n x x d x = 0.5 [ s i n 0.5 ( t 0 + 1 ) 0.5 ( t 0 + 1 + s i n 0.5 ( t 1 + 1 ) 0.5 ( t 1 + 1 ] \int_{0}^{1}\frac{sinx}{x}dx=0.5[\frac{sin0.5(t_0+1)}{0.5(t_0+1}+\frac{sin0.5(t_1+1)}{0.5(t_1+1}] 01xsinxdx=0.5[0.5(t0+1sin0.5(t0+1)+0.5(t1+1sin0.5(t1+1)]

    Matlab程序

    function [w,p] = Gauss_point_1D(n,a,b)
    % Gauss quarature point on [-1,1]
    if n == 2
        w = [1,1];
        p = [-1/sqrt(3),1/sqrt(3)];
    elseif n == 4
         w = [0.3478548451,0.3478548451,0.6521451549,0.6521451549];
         p = [0.8611363116,-0.8611363116,0.3399810436,-0.3399810436];
    elseif n == 8
         w = [0.1012285363,0.1012285363,0.2223810345,0.2223810345,0.3137066459,0.3137066459,0.3626837834,0.3626837834];
         p = [0.9602898565,-0.9602898565,0.7966664774,-0.7966664774,0.5255324099,-0.5255324099,0.1834346425,-0.1834346425];
    end
    
    % Gauss quarature point on [a,b]
    w = 0.5*(b-a)*w;
    p = 0.5*(b-a)*p+0.5*(b+a);
    
    
    
    function q = Gauss_quadrature(fun,a,b,n)
    % Gauss quadrature
    [w,p] = Gauss_point_1D(n,a,b);
    q = sum(w.*fun(p));
    
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    适当选择节点,可使公式的精度最高达到2n+1,这就是本节所要介绍的高斯求积公式。...包括高斯型求积公式的一般理论,其中重点是高斯型求积公式和高斯。主要讲解了高斯-勒让德求积公式,高斯-切比雪夫求积公式


    概述

    • 问题
      那么,在节点个数一定的情况下,是否可以在[a,b]上自由选择节点的位置,使求积公式的精度提得更高?
      在这里插入图片描述
    • 例题
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    一、高斯型求积公式的一般理论

    • 一般理论
      在这里插入图片描述

    1.1 高斯型求积公式和高斯点

    在这里插入图片描述
    习题

    1.2 高斯点的特征

    在这里插入图片描述

    • 利用正交多项式构造高斯求积公式
      在这里插入图片描述
      习题

    二、常用的高斯求积公式⭐

    2.1 高斯-勒让德求积公式( Gauss-Legendre )

    1. Legendre 多项式族:
      在这里插入图片描述
      低阶Legendre多项式
      在这里插入图片描述
    2. 高斯-勒让德求积公式(G-L求积公式)⭐
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
    1. 一般有界区间[a, b]上的高斯-勒让德求积公式
      (G-L求积公式)
      目的转换区间到 [-1,1] :
      在这里插入图片描述
      习题

    2.2 高斯-切比雪夫求积公式( Gauss-Chebyshe)

    切比雪夫多项式
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    在这里插入图片描述

    • 截断误差
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    总结

    • 例题
    1. 在这里插入图片描述
      待定系数法构造高斯求积公式:
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    • 问题
      为什么2点Gauss公式有应该有三次代数精度

    一般n+1个节点的求积公式的代数精度最高为2n+1次

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    1. 在这里插入图片描述
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    • 详细过程
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    • 例题
    1. 在这里插入图片描述
      利用正交多项式构造高斯求积公式:
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    1. 在这里插入图片描述
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      在这里插入图片描述
    • 例题
    1. 在这里插入图片描述
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    • 公式
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    • 两点高斯-勒让德求积公式
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    • 例题
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  • 将区间n等分,每个小区间分别用梯形公式个节点)积分,化简得到如上公式。 /** *@name Cotes:复化梯形公式 *@param1 below:区间下限 *@param2 upper:区间上限 *@param3 n:划分子区间的个数 **/ double...

    数值积分

    直接利用某些节点上的函数值计算积分值,将积分求值问题归结为函数值的计算,可概述为如下公式
    在这里插入图片描述
    复化梯形公式

    在这里插入图片描述
    将区间n等分,每个小区间分别用梯形公式(两个节点)求积分,化简得到如上公式。

    /**
     *@name Cotes:复化梯形公式
     *@param1 below:区间下限
     *@param2 upper:区间上限
     *@param3 n:划分子区间的个数
    **/
    double trapezoid(double below,double upper,int n)
    {
    	double h=(upper-below)/n;
    	double x=below;
    	double S=0;
    	for (int i=1;i<n;i++)
    	{
    		//计算内部各节点的函数值 1~(n-1)
    		x+=h;
    		S+=function(x);
    	}
    	return (h/2)*(2*S+function(below)+function(upper));
    }
    

    复化辛普生公式

    在这里插入图片描述
    同样将区间n等分,每个小区间分别用辛普生公式(两个节点加上中点)求积分,化简得到如上公式。

    /**
     *@name Cotes:复化辛普生法
     *@param1 below:区间下限
     *@param2 upper:区间上限
     *@param3 n:划分子区间的个数
    **/
    double Simpos(double below,double upper,int n)
    {
    	double h=(upper-below)/n;
    	double S1=0;
    	double S2=function(below+h/2);
    	double x=below;
    	for (int i=1;i<n;i++)
    	{
    		//计算各节点处的函数值 1~(n-1)
    		x+=h;
    		S1+=function(x);
    	}
    	x=below+h/2;
    	for (int j=1;j<n;j++)
    	{
    		//计算各区间中点处的函数值 0.5~(n-0.5) 共n项
    		x+=h;
    		S2+=function(x);
    	}
    
    	return (h/6)*(function(below)+function(upper)+2*S1+4*S2);
    }
    

    复化柯特斯公式

    在这里插入图片描述
    同样将区间n等分,每个小区间分别用柯特斯公式(两个节点加上三个四等分点)求积分,化简得到如上公式。

    /**
     *@name Cotes:复化柯特斯公式
     *@param1 below:区间下限
     *@param2 upper:区间上限
     *@param3 n:划分子区间的个数
    **/
    double Cotes(double below,double upper,int n)
    {
    	double h=(upper-below)/n;
    	double S1=0;
    	double S2=0;
    	double S3=0;
    	double S4=0;
    	double x=below;
    	x=(below+h/4);
    	for (int i=0;i<n;i++)
    	{
    		//计算各区间1/4处的值 1/4~(n-3/4)共n项
    		S1+=function(x);
    		x+=h;
    	}
    
    	x=(below+h/2);
    	for (int i=0;i<n;i++)
    	{
    		//计算各区间1/2处的值 1/2~(n-1/2)共n项
    		S2+=function(x);
    		x+=h;
    	}
    
    	x=below+3*h/4;
    	for (int i=0;i<n;i++)
    	{
    		//计算各区间3/4处的值 3/4~(n-1/4)共n项
    		S3+=function(x);
    		x+=h;
    	}
    
    	x=below+h;
    	for (int i=1;i<n;i++)
    	{
    		//计算各区间3/4处的值 1~(n-1)共n-1项
    		S4+=function(x);
    		x+=h;
    	}
    
    	return (h/90)*(7*function(below)+32*S1+12*S2+32*S3+14*S4+7*function(upper));
    }
    
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