一次函数与一元一次不等式(洋葱数学)
 

 
一、基本知识点考点：
 
1、一次函数 y = kx+b (k ≠0 ) 与一元一次不等式的关系：
 
y＞0,则 kx + b > 0 ； y﹤0,则 kx + b < 0 。
 
2、如图，直线y=kx+b交坐标轴于A(﹣2，0)，B(0，3)两点，则不等式kx+b＞0的解集是( D )。
 
A、x＞3 B、﹣2＜x＜3 C、x＜﹣2 D、x＞﹣2
 

 
第2题图(1)
 
3、一次函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象如图所示，其交点为P(﹣2，﹣5)，则不等式3x+b＞ax﹣3的解集在数轴上表示正确的是( C)
 

 
第3题图(2)
 
4、已知一次函数y =﹣2x+a与 y = x+b的图象如图所示，则关于x的不等式﹣2x+a≤x+b 的解集是 x ≥ -1 。
 

 
第4题图(3)
 
5、如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P，则关于x的不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集是 x < -2 。 ．
 

 
第5题图(4)
 
二、题型解析：
 
1、利用一次函数的图象解一元一次不等式kx+b＞0(或 kx+b＜0)
 
例1、如图，直线y=kx+b经过A(2，1)，B(﹣1，﹣2)两点，则不等式﹣2＜kx+b＜1的解集为( D )
 
A、﹣2＜x＜2 B、﹣1＜x＜1
 
C、﹣2＜x＜1 D、﹣1＜x＜2
 

 
例题1图(5)
 
解析：由题意可得一次函数图象在y=1的下方时 x＜2，
 
在y=﹣1的上方时 x＞﹣1，故关于x的不等式﹣2＜kx+b＜1的解集是﹣1＜x＜2．故选D。
 
例题2、如图，直线y=kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b≤0的解集在数轴上表示正确的是( B )。
 

 
例题2图(6)
 
解析：由图象可以看出，x轴及其下方的函数图象所对应自变量的取值为x≤﹣2，
 
所以不等式kx+b≤0的解集是x≤﹣2．故选B。
 
2、利用一次函数的图象解一元一次不等式 k1x+b1＞k2x+b2(或k1x+b1＜k2x+b2)
 
例题3、同一直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b与正比例函数y2=k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是( A)
 
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
 

 
例题3图(7)
 
解析：当x≤﹣2时，直线l1：y1=k1x+b1 都在直线l2：y2=k2x的上方，
 
即y1≥y2．故选A。
 
例题4、如图，直线y=﹣2x 与直线y=kx+b 相交于点A(a，2)，并且直线y=kx+b经过x轴上点B(2，0)
 
(1)求直线y=kx+b的解析式；
 
(2)求两条直线与y轴围成的三角形面积；
 
(3)直接写出不等式(k+2)x+b≥0的解集。
 

 
例题4图(8)
 
解：(1)把A(a，2)代入y=﹣2x中，得﹣2a=2，∴a=﹣1，∴A(﹣1，2)
 
把A(﹣1，2)，B(2，0)代入y=kx+b中解得：
 
∴k=﹣2/3 ，b= 4/3，
 
∴一次函数的解析式是y=﹣ 2/3 x+ 4/3 。
 
2)设直线AB与y轴交于点C，则C(0，4/3 )
 

 
图(9)
 
(3)不等式(k+2)x+b≥0可以变形为kx+b≥﹣2x，结合图象得到解集为：x≥﹣1。
 
三、拓展提高：
 
例题1、
 

 
例题1图(10)
 
例题2、
 

 
例题2图(11)
 
例题3、
 

 
例题3图(12)
 
例题4、
 

 
例题4图(13)

 
满意答案
 

 
VIVIAN_MAY
 
2013.10.09
 

 
采纳率：43%    等级：12
 
已帮助：9004人
 
自变量x和因变量y有如下关系:
 
y=kx+b (k为任意不为零实数，b为任意实数)
 
则此时称y是x的一次函数。
 
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。
 
即:y=kx (k为任意不为零实数)
 
定义域:自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义;若与实际相反，
 
。
 
一次函数的性质
 
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
 
即:y=kx+b(k≠0) (k为任意不为零的实数 b取任何实数)
 
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
 
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)
 
形。取。象。交。减
 
一次函数的图像及性质
 
1.作法与图形:通过如下3个步骤
 
(1)列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线];
 
(2)描点;
 
(3)连线，可以作出一次函数的图像--一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
 
2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
 
3.函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
 
4.k，b与函数图像所在象限:
 
y=kx时
 
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
 
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
 
y=kx+b时:
 
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
 
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
 
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
 
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。
 
当b＞0时，直线必通过一、二象限;
 
当b＜0时，直线必通过三、四象限。
 
特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
 
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限;当k＜0时，直线只通过二、四象限。
 
4、特殊位置关系
 
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
 
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)
 
确定一次函数的表达式
 
已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
 
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
 
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
 
(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
 
(4)最后得到一次函数的表达式。
 
一次函数在生活中的应用
 
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
 
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
 
常用公式(不全，希望有人补充)
 
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
 
2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
 
3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
 
4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
 
5.求两一次函数式图像交点坐标:解两函数式
 
两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
 
6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2，(y1+y2)/2]
 
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(X-x1)/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0)
 
k b
 
+ + 在一、二、三象限
 
+ - 在一、三、四象限
 
- + 在一、二、四象限
 
- - 在二、三、四象限
 
8.若两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
 
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1
 
应用
 
一次函数y=kx+b的性质是:(1)当k>0时，y随x的增大而增大;(2)当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
 
一、确定字母系数的取值范围
 
例1. 已知正比例函数 ，则当m=______________时，y随x的增大而减小。
 
解:根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ，所以 。
 
二、比较x值或y值的大小
 
例2. 已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是( )
 
A. x1>x2 B. x1
 
解:根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。
 
三、判断函数图象的位置
 
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过( )
 
A. 第一象限 B. 第二象限
 
C. 第三象限 D. 第四象限
 
解:由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A . 典型例题:
 
例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
 
分析:此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
 
解:由题意设所求函数为y=kx+12
 
则13.5=3k+12，得k=0.5
 
∴所求函数解析式为y=0.5x+12
 
由23=0.5x+12得:x=22
 
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
 
【考点指要】
 
一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
 
例2.如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。
 
解:(1)若k＞0，则可以列方程组 -2k+b=-11
 
6k+b=9
 
解得k=2.5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2.5x-6
 
(2)若k＜0，则可以列方程组 -2k+b=9
 
6k+b=-11
 
解得k=-2.5 b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4
 
【考点指要】
 
此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的增大而增大;若k＜0，则y随x的增大而减小。
 
一次函数解析式的几种类型
 
①ax+by+c=0[一般式]
 
②y=kx+b[斜截式]
 
(k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0)
 
③y-y1=k(x-x1)[点斜式]
 
(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点)
 
④(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]
 
((x1,y1)与(x2,y2)为直线上的两点)
 
⑤x/a-y/b=0[截距式]
 
(a、b分别为直线在x、y轴上的截距)
 
解析式表达局限性:
 
①所需条件较多(3个);
 
②、③不能表达没有斜率的直线(平行于x轴的直线);
 
④参数较多，计算过于烦琐;
 
⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
 
倾斜角:x轴到直线的角(直线与x轴正方向所成的角)称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)
 
形如y=kx(k为常数，且k不等于0)，y就叫做x的正比例函数.
 
正比例函数属于一次函数，正比例函数是一次函数的特殊形式.
 
即当一次函数 y=kx+b 若b=0，则此为正比例函数.
 
图像做法
 
1.列表
 
2.描点
 
3.连线(一定要经过坐标轴的原点)
 
其次，正比例函数的图像是经过原点和(1，k)[或(2,2k),(3,3k)等]两点的一条直线。
 
其他:当k>0时,它的图像(除原点外)在第一、三象限，y随x的增大而增大
 
当k<0时,它的图像(除原点外)在第二、四象限，y随x的增大而减小
 
总结:y=kx(k不等于0)
 
而以方程的角度来说，只要将正比例函数上的一个点的坐标给出，就能确定这个解析式
 
若求正比例函数与一次函数，二次函数或反比例函数的交点坐标，就是将两个已知的方程联立成方程组
 
求出其x，y值便可
 
正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的
 
比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然
 
还有，Y=Kx是Y=K/x 图像的对称轴.
 
1)正比例:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系. ①用字母表示:如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，(一定)正比例关系可以用以下关系式表示:
 
②正比例关系两种相关联的量的变化规律:对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变.例如:汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例?
 
以上各种商都是一定的，那么被除数和除数. 所表示的两种相关联的量，成正比例关系. 注意:在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例. 例如:一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系
 
32分享举报

 
利用共轭梯度算法求解n 元正定二次函数的极小点
 
我利用共轭梯度算法来解决n 元正定二次函数的极小点问题，并通过一个简单的函数模型来测试基于该算法的程序的正确性。通过分析该算法后，我采用MATLAB7.0中的设计语言来编写程序。MA TLAB 是集数学计算、图形处理和程序设计与以设计与一体的著名数学软件，在许多科学领域成为计算机辅助设计和分析、算法研究和应用开发的基本工具和首选平台。
 
一．算法条件及特点：
 
适合条件：无约束n 元正定二次函数f (X ) =1TX AX +B T+c 2
 
n 式中Ａ为n ⨯n 对称正定阵；Ｘ，Ｂ∈E ；c 为常数。
 
算法特点：已知P (i ) (i =0,..., n -1) 关于Ａ共轭，以任给X (0) 出发，依次以
 
P (0) , P (1) ,..., P (n -1) 为搜索方向的下述算法：
 
min f (X (k ) +λP (k ) ) ＝f (X (k ) +λk P (k ) ) λ
 
(k +1)(k )(k ) X ，k =0, 1,..., n -1 =X +λk P
 
二．算法步骤：
 
(1)选择初始值近似X
 
(2)计算
 
(0)(0) P =-∇f (X ) (0) ，给出允许误差ε>0，k =0。
 
并用X (1)=X (0)+λ0P (0)∇f (X (0) ) TP (0) (1) 和λ0=-算出X 。 (0) T(0) (P ) AP
 
(k ) (3)一般地，假定已得出X
 
X
 
(4)||f (X (k +1) 和P (k )，则可计算第k +1次近似X (k +1) ： (k +1)(k )(k ) =X +λk P λk ：min f (X (k ) +λP (k ) ) ) ||2≤ε， 停止计算，X (k +1) 即为要求的近似解。
 
否则，若k
 
P (k +1)=-∇f (X (k ) (k ) ) +βk P
 
∇f (X (k +1) ) T∇f (X (k +1) ) βk = ∇f (X (k ) ) T∇f (X (k ) )
 
k =k +1
 
计算出βk 和P (k +1)，并转向第三步。
 
三．详细算法中变量说明：
 
Gradf ：函数的梯度。e ：终止条件ε
 
四．模型求解：
 
已知一个二维正定二次函数f (X ) =3212x 1+x 2-x 1x 2-2x 1 22
 
1312-x 1x 2-2x 1化成f (X ) =X TAX +B T+c 形式，得 ∙将f (X ) =x 12+x 2222
 
A = ⎛3-1⎫⎛-2⎫⎪ ⎪, B =⎪ ⎪⎝-11⎭⎝0⎭
 
∙初始条件X (0) ⎛-2⎫= 4⎪⎪，ε=0。
 
⎝⎭
 
∙将A , B ，X (0) 和ε=0输入算法求解。(具体算法及运行过程见附录)
 
⎛1⎫∙结果X *= 1⎪⎪ ⎝⎭
 
∙初始条件，即分别取
 
⎛2⎫(0) ⎛12⎫(0) ⎛2⎫(0) ⎛-2⎫(0) ⎛0. 2⎫(0) ⎛82⎫X (0) = 4⎪⎪, X = 4⎪⎪, X = 14⎪⎪, X = -4⎪⎪, X = 4⎪⎪, X = 224⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
 
⎛1⎫ 均得结果X = 1⎪⎪ ⎝⎭*
 
五．根据上述结果进行必要分析：
 
由结果可知不管初始条件如何变化，均得出相同的结果，因为对于二次函数的情形，从理论上说，进行n 次迭代后即可到达极小点，所以对于简单的模型，与理论结果一致。
 
但是，在实际计算中，由于数据的舍入以及计算误差的积累，往往做不到这一点。此外，由于n 维问题的共轭方向最多只有n 个，在n 步以后继续如上进行是没有意义的。因此，在实际应用时，如迭代到n 步还不收敛，就将X (n ) 作为新的初始近似，重新开始迭代。根据实际经验，采用这种在开始的办法，一般都可得到较好的效果。
 
六．附录：
 
%正定二次型函数(n元) 极小点的共轭梯度算法
 
clc
 
%f(X)=(1/2)X'AX+BX+c
 
A=[3 -1;-1 1];
 
B=[-2 0]';
 
%初始点X(0)
 
X=[-2 4]';
 
%f(X)的梯度
 
Gradf=A*X+B;
 
%共轭梯度法终止条件
 
e=0;
 
%共轭梯度法初始搜索方向
 
P=-Gradf;
 
while(Gradf'*Gradf )>e
 
a=P'*A*P;
 
b=-(Gradf'*P)/a;
 
%X(k+1)=X(k)+bP(k),k=0,1,...,n
 
X=X+b*P;
 
%f(X)在点X(k+1)处的梯度,k=0,1,...,n
 
Gradf=A*X+B;
 
c=(Gradf'*A*P)/a;
 
%f(X)在点X(k+1)处的搜索方向P(k+1),k=0,1,...,n P=-Gradf+c*P;
 
end
 
%f(X)的极小点X(*)
 
X
 
运行过程如下(部分)：
 
1.
 
⎛82⎫X (0) = 244⎪⎪ ⎝⎭
 
A =
 
3 -1
 
-1 1
 
B =
 
-2
 
X =
 
82
 
244
 
Gradf =
 
162
 
e =
 
P =
 
-162
 
b =
 
1
 
X =
 
82
 
82
 
Gradf =
 
162 0
 
c =
 
1
 
P =
 
-162 -162
 
b =
 
0.5000
 
X =
 
1 1
 
Gradf =
 
0 0
 
c =
 
P =
 
X =
 
1 1
 
2.
 
⎛-2⎫X (0) = 4⎪⎪ ⎝⎭
 
A =
 
3 -1 -1 1
 
B =
 
-2 0
 
X =
 
-2 4
 
Gradf =
 
-12 6
 
e =
 
P =
 
12
 
b =
 
0.2941
 
X =
 
1.5294
 
2.2353
 
Gradf =
 
0.3529 0.7059
 
c =
 
0.0035
 
P =
 
-0.3114 -0.7266
 
b =
 
1.7000
 
X =
 
1.0000 1.0000
 
Gradf =
 
1.0e-015 *
 
-0.4441 0.1110
 
c =
 
1.2583e-016
 
P =
 
1.0e-015 *
 
0.4049 -0.2025
 
b =
 
0.2903
 
X =
 
1.0000 1.0000
 
Gradf =
 
1.0e-015 *
 
0 -0.1110
 
c =
 
0.0968
 
P =
 
1.0e-016 *
 
0.3918 0.9143
 
b =
 
1.7500
 
X =
 
1 1
 
Gradf =
 
0 0
 
c =
 
P =
 
0 0
 
X =
 
1 1
 
>>

 
展开全部
 
对于62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333366306565直线一般式 Ax+By+C=0 ，斜率公式为：k=-a/b。求斜率步骤为：
 
对于直线方程x-2y+3=0
 
(1)把y写在等号左边,x和常数写在右边：2y=x+3.
 
(2)把y的系数化为1：y=0.5x+1.5.
 
(3)此时x的系数即为斜率：k=0.5
 
-b/c是该直线在y坐标轴上交点的纵坐标；-c/a 是直线在x坐标上交点的横坐标。
 

 
扩展资料：
 
斜率亦称“角系数”，表示平面直角坐标系中表示一条直线对横坐标轴的倾斜程度的量。
 
直线对X 轴的倾斜角α的正切值tgα称为该直线的“斜率”，并记作k，k=tgα。规定平行于X轴的直线的斜率为零，平行于Y轴的直线的斜率不存在。对于过两个已知点(x1，y1) 和 (x2，y2)的直线，若x1≠x2，则该直线的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)。
 
即k=tanα=  =  或  。
 
相关公式：
 
(1)当直线L的斜率存在时，斜截式y=kx+b，当x=0时，y=b。
 
(2)当直线L的斜率存在时，点斜式  =k(  )。
 
(3)对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向所成的角，即k=tanα。
 
(4)斜率计算：ax+by+c=0中，k=  。
 
(5)两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1：  =-1。