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  • 近几年来,一元二次函数求最值,逐渐成为行测试卷中比较常考的知识,下面中公教育专家介绍一种最值的方法——求导:对一元二次多项式求导,得一元一次多项式,令其等于0,求得x值。在公务员的考试题目中,一元...

    近几年来,一元二次函数求最值,逐渐成为行测试卷中比较常考的知识点,下面中公教育专家介绍一种求最值的方法——求导法:对一元二次多项式求导,得一元一次多项式,令其等于0,求得x值。

    在公务员的考试题目中,一元二次函数往往是需要根据题意列出来的,问法一般有两种:

    x取什么时,y取到极值;求y的极值。(第一种相对较简单)

    例1:某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元。当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?

    72dcf29d687ab0ec88e1b917368f5582.png

    3、对一元二次函数求导并取值为0,得:-20x+1100=0,即x=55;所以,当旅行团为55人时,旅行社可以获得最大营业额。

    例2:将进货单价为90元的某商品按100元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品如果每个涨价1元,其销售量就会减少10个,为了获得最大利润,售价应定为( )。

    A.110元 B.120元 C.130元 D.150元

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    3、对一元二次函数求导并取值为0,得:-20x+400=0,即x=20;所以,售价应定为100+20=120元。

    方法二:直接代入排除。现在卖100元,利润为10元,卖出500个,总利润为10 500=5000元,代入A,此时总利润为20×400=8000;代入B,此时总利润为30×300=9000元;代入C,此时总利润为40×200=8000,代入D,此时总利润为50×100=5000,可知答案应选B。

    方法三:利用均值不等式。根据题意设利润增加x元,则销售量下降10x个,可得方程(10+x)(500-10x)=y,也就是10(10+x)(50-x)=y。这时就利用均值不等式中的和一定,差小积大的原理,当且仅当两个数相等的时候取得最大值。要想求y的最大值,则使(10+x)=(50-x)即可,求得x=20,则此时的售价为120元。

    以上是求解根据求导法求解一元二次函数的解题过程,中公教育专家希望备考的你能从中得到一定的启发,顺利完成数量关系中的题目。

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  • 【问题描述】在[a,b]区间内寻找方程x**5-2*x-1=0的根的初始近似值位置,确定不动迭代的初始(可能有多个),然后使用不动迭代法求方程的根(可能有多个根)。前后两次迭代的差的绝对值小于delta后停止迭代。 ...
  • 在[a,b]区间内寻找方程x**5-2*x-1=0的根的初始近似值位置,确定不动迭代的初始(可能有多个),然后使用不动迭代法求方程的根(可能有多个根)。前后两次迭代的差的绝对值小于delta后停止迭代。 输入形式 在...

    问题描述

    在[a,b]区间内寻找方程x**5-2*x-1=0的根的初始近似值位置,确定不动点迭代的初始点(可能有多个),然后使用不动点迭代法求方程的根(可能有多个根)。前后两次迭代的差的绝对值小于delta后停止迭代。

    输入形式

    在屏幕上输入3个数,依次为区间左端点值a、右端点值b和所求根的精度值。各数间都以一个空格分隔。根据输入的所求根的精度值可求得delta.

    输出形式

    每一行输出一个根(精确到小数点后3位)

    样例1输入

    -1.2 1.5 3

    样例1输出

    -1.000
    -0.519
    1.291

    样例1说明

    输入:左端点a值为-1.2,右端点b值为1.5,前后两次迭代的差的绝对值小于delta=10**(-3)后停止迭代。输出:从小到大顺序输出三个根的值。

    代码

    import numpy as np
    
    def f(x):
        return x ** 5 - 2 * x - 1
    
    def g1(x):
        return (x**5-1)/2
    
    def g2(x):
        result = (abs(2 * x + 1))**(1 / 5)
        if (2 * x - 1) < 0:
            return -result
        return result
    
    def getEpsilon(x, epsilon):
        maxY = minY = x[0]
        for each in x:
            maxY = max(f(each), maxY)
            minY = min((f(each), minY))
        epsilon = (maxY - minY) * epsilon
        return epsilon
    
    def getInitialVal(x, N, step, epsilon):
        initalVal = []
        for i in range(N + 1):
            y1, y2, y3 = f(x - step), f(x), f(x + step)
            if (y1 * y2 < 0) and (i != 0):
                initalVal.append((x + x - step) / 2)
            if ((y2 - y1) * (y3 - y2) < 0) and (abs(y2) < epsilon):
                initalVal.append(x)
            x += step
    
        return initalVal
    
    def findFixedPoint(initalVal, delta,epsilon):
        points = []
        for each in initalVal:
            if (abs(g1(each)) < 1):
                points.append(iteration(each, g1, delta,epsilon))
            else:
                points.append(iteration(each, g2, delta,epsilon))
        return points
    
    def iteration(p1, g, delta,epsilon):
        while True:
            p2 = g(p1)
            err =abs(p2-p1)
            relerr = err/(abs(p2)+epsilon)
            if err<delta or relerr<delta:
                return p2
            p1 = p2
                        
    def main():
        a, b, c = input().split(' ')
        a = float(a)
        b = float(b)
        c = int(c)
        delta = 10 ** (-c)
        N = 8
        epsilon = 0.01
        step = (b - a) / N
        x = np.arange(a, b + epsilon, epsilon)
        
        epsilon2 = getEpsilon(x,epsilon)
        initalVal = getInitialVal(a, N, step, epsilon2)
        ans = findFixedPoint(initalVal, delta,epsilon)
    
        for each in ans:
            print('%.3f' % each)
            
    if __name__ == '__main__':
        main()
    
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  • 优化设计-单变量函数求极值-黄金分割法与二差值法-MATLAB编程求解 目录优化设计-单变量函数求极值-黄金分割法与二差值法-MATLAB编程求解黄金分割法二...%% 维搜索法求函数极值 clear all;clc %%%%%%%%%%%%%初始参

    优化设计-单变量函数求极值-黄金分割法与二次差值法-MATLAB编程求解

    以前做过的优化设计作业,现将MATLAB程序与运算结果附在下方,分享出来欢迎大家指点!

    两种方法求同一函数,相同区间,相同精度的极值点。

    黄金分割法

    黄金分割法计算流程图比较简单,现将题目、程序、运算结果附在下方:
    题目
    MATLAB程序如下:

    %% 一维搜索法求函数极值
    clear all;clc
    %%%%%%%%%%%%%初始参数设定%%%%%%%%%%%%%%%%
    f=@(x)x^4-4*x^3-6*x^2-16*x+4;
    area=[-1,6];%区间确定
    a=area(1);
    b=area(2);
    r=(sqrt(5)-1)/2;%定义区间缩小比例
    e=0.05;%精度确定
    d=b-a;
    i=0;
    %%%%%%%%%%作图用于验证结果是否正确%%%%%%%%
    x=a:0.01:b;
    y=x.^4-4*x.^3-6*x.^2-16*x+4;
    plot(x,y)
    %%%%%%%%%%%%%循环计算语句%%%%%%%%%%%%%%%%
    while d>e
        a1=b-r*d;
        b1=a+r*d;
        f1=feval(f,a1);
        f2=feval(f,b1);
        i=i+1;
        A(i)=a;
        B(i)=b;
        if f1<f2
            b=b1;
        else a=a1;
        end
        d=b-a; %精度计算
    end
    %%%%输出极值点与每次运算得到的a,b的值%%%%%%
    X(1)=(b+a)/2  
    A=A';B=B';
    [A]
    [B] 
    
    

    此程序并未完全按照黄金分割法流程进行,即每次进行a1,b1点计算过程中并未利用上一次计算结果,每次循环将多一次运算,但优势在于程序在初始参数设定时设定了区间单次缩小比例[r],使得程序对于任意缩小比例的一维搜索法皆可使用。

    若想要程序运行完全满足黄金分割法要求,即每次计算a1或者b1时可利用上一次计算过程中的数据,则在程序循环判断中再一次细化运行即可,但此时程勋运算也多一次判断过程,个人认为在数值并不巨大或者复杂的情况下,程序速度无太大提升。

    程序结果如下,同时记录了每次迭代时区间的端点值a,b,最终得到极小值点X=3.9968,迭代计算次数为:11次,取值表如下:
    在这里插入图片描述

    二次插值法

    题目、程序、运算结果如下:
    在这里插入图片描述
    MATLAB程序如下:

    %二次插值法求函数极值
    clear all;clc
    %%%%%%%%%%%%%初始参数设定%%%%%%%%%%%%%%%%
    f=@(x)x^4-4*x^3-6*x^2-16*x+4;
    area=[-1,6];%%%%区间确定%%%%
    a1=area(1);
    a3=area(2);
    a2=(a1+a3)/2;%%%%a1<a2<a3%%%%%
    e=0.05;%%精度确定%%
    d=a3-a1;
    i=0;
    %%%%%%%%%%%%%循环计算语句%%%%%%%%%%%%%%%%
    while d>e
        f1=feval(f,a1);
        f2=feval(f,a2);
        f3=feval(f,a3);
        c=(a2-a3)*f1+(a3-a1)*f2+(a1-a2)*f3;
        ap=0.5*((a2^2-a3^2)*f1+(a3^2-a1^2)*f2+(a1^2-a2^2)*f3)/c;
        fp=feval(f,ap); %%%%求取ap,fap%%%%
         i=i+1;
        A(i)=a1;
        B(i)=a2;
        C(i)=a3;
        if ap>a2
            if f2>=fp
                d=abs(a2-ap);
                a1=a2;
                a2=ap
            else
                d=abs(a2-ap);
                a3=ap
            end
        else
            if f2>=fp
                d=abs(a2-ap);
                a3=a2;
                a2=ap;
            else
                d=abs(a2-ap);
                a1=ap;
            end
        end
    end
    %%%%输出极值点与每次运算得到的a,b,c的值%%%%%%
        X(1)=ap
        A=A';B=B';C=C'
    [A]
    [B]
    [C]
    
    

    程序结果如下,同时记录了每次迭代时所取的a,b,c的值,最终得到极小值点X=3.9501,迭代计算次数为:7次,取值表如下:
    在这里插入图片描述

    原函数图像

    得到两种不同方法的计算结果后,通过MATLAB生成原函数的图像用于验证程序运行的准确性,并比较二者优缺点。原函数图像如下:
    在这里插入图片描述
    放大极小值点处图像:
    在这里插入图片描述
    由图可知两种求取极值的方法都能较好的逼近函数极值点,在本题程序中,同精度下,黄金分割法所求取的极值点更为逼近原函数实际极值点,但迭代计算次数更多为11次,而二次插值法求取的极值点虽不如黄金分割法求取的极值点准确,但迭代计算次数更少,为7次。二者各有优缺点,可根据实际需要选取方法进行问题求解。

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  • 铅垂:常用初中数学函数与几何综合题中,一次函数、反比例函数、二次函数面积问题必考点,你若掌握,必是高分!(特别是平时速度不够的同学一定要仔细研磨)题目:在平面直角坐标系中,已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7)...

    67dc728ce9ab0f6d6ecf2ef663f0f128.png

    铅垂法:常用初中数学函数与几何综合题中,一次函数、反比例函数、二次函数求面积问题必考点,你若掌握,必是高分!(特别是平时速度不够的同学一定要仔细研磨)

    题目:在平面直角坐标系中,已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7),求△ABC的面积.

    45396bb58e61ec0a3b8748a6239beda1.png

    1、(补——加减法)

    fabb01a9fabba2960986ac2ad79a3b36.png

    a0e288a95c18a03b5a06ecc7c3901cc9.png

    2、(割)

    182c2d0613dc3d5e1d339fb7369eb584.png

    可得:AE=BF=3

    AED≌△BFD     

    3、(铅垂法)

    d1df4360d3dec914d0f4e6831524f4b2.pngbbae48a9e55b12739b0581fb6671b460.png

    【解题步骤】

    (1)求A、B两点水平距离,即水平宽;

    (2)过点C作x轴垂线与AB交于点D,可得点D横坐标同点C;

    (3)求直线AB解析式并代入点D横坐标,得点D纵坐标;

    (4)根据C、D坐标求得铅垂高;

    (5)利用公式求得三角形面积.

    根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为:4a6984794205544f5ae78d0c695c503d.png

    由点C坐标(4,7)可得D点横坐标为4,

    4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2,

    D点坐标为(4,2),CD=5,  

    1c1a2e49118801fc49a0b1930ce22ad5.png

    e0e455a868af0e9fc6a299be458a86e3.png

    经典例题:(难度层层递进,强化方法吸收)

    1、如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,3),B(3,-2),则△AOB的面积为___________.

    930e9e29d5a2fa1212dc00232527ff88.png

    2、如图,直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A,点B,点P的坐标为(-2,2),SPAB =___________.

    6a550c5df5a0929dae88fbca73430282.png

    3、如图,直线 y=½ x+1经过A(1m)B(4n),点C的坐标为(25)ABC的面积.

    4f5d67172402f38d404fa59cb8ef00f0.png

    4、如图,直线ABy=x+1与x轴、y轴分别交于点A,点B,直线CDy=kx-2与x轴、y轴分别交于点C,点D,直线AB与直线CD交于点PSAPD =4.5,则k=__________

    dac5ba0f3bb0e2de10ed3244b0b3e34a.png

    5、如图,在平面直角坐标系中,已知A(2,4),B(6,6),C(8,2),求四边形OABC的面积.

    7fd6e69501f92c02ece128045048ad44.png

    6、如图,直线 y=½ x-1x轴、y轴分别交于AB两点C(12)坐标轴上是否存在点P,使SABP =SABC ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    b6181cf65cfa9ac0a243ed82994b85fd.png

    需要解析的同学可以加微信哦

    fb27065a7dfc1d5405033adb58901022.png

    努力不分背景,每个人都在奋斗,都有自己奋斗的目标和方式,之所以会拉开差距,是因为每个人奋斗的力度不同!世间最可怕的事,就是比你优秀的人比你更努力,更勤奋、更极致!

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  • 拟牛顿

    2019-05-04 11:29:48
    1. 考虑一个一次直线函数 y = kx 显然 y' = k 而任何(x0, y0), (x1,y1) 有 y1 - y0 = y'*(x1-x0) 2. 考虑一个二次曲线函数 y = kx² 显然 y' = 2kx 这个是一个一次直线函数, 所以对于 y'' = 2k 所有有 y'...
  • 拉格朗日乘数

    2018-03-26 19:37:15
    但是我们可以用偏导一次解方程(其实也是二分答案)出最值(前提是只有一个极值且你能偏导)这就是拉格朗日乘数。具体来讲就是你需要求最值的函数是一个山峰,这个山峰的高度即为函数值,我们可以画出等高线...
  • 拉格朗日插值

    2017-10-06 22:03:50
    Text对于个k多项式函数f(x)=∑i=0kaixif(x)=\sum\limits_{i=0}^{k}a_ix^i有种表示其的方法。 可以用传统的每项的系数来表示。同时由于只要有K+1个(x,fx)的对,就能唯一确定这个多项式,因此把这种表示...

空空如也

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两点法求一次函数