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  • 计算机能画一条线段(数学意义上)吗?并不能。不管多短的一条线段,都包含实数集上的无数个点,计算机能做的是尽可能多地采样,描更多的点,让人眼难以看出其中的不连续性。已知 x,yx,y 分别为坐标轴上的两点,下式...

    计算机能画一条线段(数学意义上)吗?并不能。不管多短的一条线段,都包含实数集上的无数个点,计算机能做的是尽可能多地采样,描更多的点,让人眼难以看出其中的不连续性。

    已知 x,y 分别为坐标轴上的两点,下式为采样公式,

    x=(1p)x+py,p[0,1]

    p 在整个 [0,1]闭区间上取值,可得到介于端点 x,y 之间的值,因为向量 (xx)=p(yx) 平行于向量 yx ,又因为二者共享同一端点 x ,故三者共线。

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    def main():
        x0, x1 = [1, 1], [2, 2]
        for p in np.linspace(0, 1, 1000):
            plt.plot((1-p)*x0[0]+p*x1[0], (1-p)*x0[1]+p*x1[1], '.', c='k')
        plt.plot(x0[0], x0[1], 'o', ms=10)
        plt.plot(x1[0], x1[1], 'o', ms=10)
        plt.show()
    if __name__ == '__main__':
        main()



    我们不妨对该公式做一次简单推导,如图所示:


    这里写图片描述

    x⃗ z⃗  z⃗ y⃗  共线,不妨令

    x⃗ z⃗ =k(z⃗ y⃗ )x⃗ +ky⃗ =(1+k)z⃗ z⃗ =11+kx⃗ +k1+ky⃗ 11+kλ,11+k1z⃗ =λx⃗ +(1λ)y⃗ 

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  • 平面几何:两点确定一条直线

    千次阅读 2018-11-08 23:02:00
    个不同A,B确定一条直线,AB相同返回的值全0 直线方程:Ax+By+c=0 A = y2 - y1; B = x1 - x2; C = -Ax1 - By1 = x2y1 - x1y2; 证明之后补上; Line LineMake(Point A, Point B) { Line l; l.A = B.y - A.y; l.B...

    两个不同点A,B确定一条直线,AB相同返回的值全0

    • 直线方程:Ax+By+c=0
    • A = y2 - y1;
    • B = x1 - x2;
    • C = -Ax1 - By1 = x2y1 - x1y2;

    证明之后补上;

    Line LineMake(Point A, Point B)
    {
    Line l;
    l.A = B.y - A.y;
    l.B = A.x - B.x;
    l.C = B.x * A.y - A.x * B.y;
    return l;
    }

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  • * 判断由x3, y3定义的是否在由x1, y1 和 x2, y2定义的直线上(不是线段)? * @param x1 - 直线的第的x坐标 * @param y1 - 直线的第的y坐标 * @param x2 - 直线的第二个的x坐标 *
    public class LineAndPoint {
        
        /**
         * 判断由x3, y3定义的点是否在由x1, y1 和 x2, y2定义的直线上(不是线段)?
         * @param x1 - 直线的第一个点的x坐标
         * @param y1 - 直线的第一个点的y坐标
         * @param x2 - 直线的第二个点的x坐标
         * @param y2 - 直线的第二个点的y坐标
         * @param x3 - 要判断的点的x坐标
         * @param y3 - 要判断的点的y坐标
         * @param delta - 误差范围
         * @return true or false.
         */
        public static boolean ifPointOnLine(float x1, float y1, float x2, float y2, float x3, float y3, float delta) {
            float xa = x2 - x1;
            float ya = y2 - y1;
            float xb = x3 - x1;
            float yb = y3 - y1;
            return (Math.abs(yb / xb - ya / xa) <= delta);
        }
        
        /**
         * 判断由x3, y3定义的点是否在由x1, y1 和 x2, y2定义的线段之上?
         * @param x1 - 线段的第一个端点的x坐标
         * @param y1 - 线段的第一个端点的y坐标
         * @param x2 - 线段的第二个端点的x坐标
         * @param y2 - 线段的第二个端点的y坐标
         * @param x3 - 要判断的点的x坐标
         * @param y3 - 要判断的点的y坐标
         * @param delta - 误差范围
         * @return true or false.
         */
        public static boolean ifPointOnSegment(float x1, float y1, float x2, float y2, float x3, float y3, float delta) {
            float xa = x2 - x1;
            float ya = y2 - y1;
            float xb = x3 - x1;
            float yb = y3 - y1;
            return (Math.abs(yb / xb - ya / xa) <= delta
                    && Math.min(x1, x2) <= x3
                    && Math.max(x1, x2) >= x3
                    && Math.min(y1, y2) <= y3
                    && Math.max(y1, y2) >= y3);
        }
        
        /**
         * 判断由x3, y3定义的点是否在由x1, y1 和 x2, y2定义的直线上(不是线段)?
         * @param x1 - 直线的第一个点的x坐标
         * @param y1 - 直线的第一个点的y坐标
         * @param x2 - 直线的第二个点的x坐标
         * @param y2 - 直线的第二个点的y坐标
         * @param x3 - 要判断的点的x坐标
         * @param y3 - 要判断的点的y坐标
         * @param delta - 误差范围
         * @return true or false.
         */
        public static boolean ifPointOnLine(double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3, double delta) {
            double xa = x2 - x1;
            double ya = y2 - y1;
            double xb = x3 - x1;
            double yb = y3 - y1;
            return (Math.abs(yb / xb - ya / xa) <= delta);
        }
        
        /**
         * 判断由x3, y3定义的点是否在由x1, y1 和 x2, y2定义的线段之上?
         * @param x1 - 线段的第一个端点的x坐标
         * @param y1 - 线段的第一个端点的y坐标
         * @param x2 - 线段的第二个端点的x坐标
         * @param y2 - 线段的第二个端点的y坐标
         * @param x3 - 要判断的点的x坐标
         * @param y3 - 要判断的点的y坐标
         * @param delta - 误差范围
         * @return true or false.
         */
        public static boolean ifPointOnSegment(double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3, double delta) {
            double xa = x2 - x1;
            double ya = y2 - y1;
            double xb = x3 - x1;
            double yb = y3 - y1;
            return (Math.abs(yb / xb - ya / xa) <= delta
                    && Math.min(x1, x2) <= x3
                    && Math.max(x1, x2) >= x3
                    && Math.min(y1, y2) <= y3
                    && Math.max(y1, y2) >= y3);
        }
    }
    
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  • 概念平面内两条线段位置关系的判定在很多领域都有着广泛的应用,比如游戏、CAD、图形处理等,而线段交点的求解又是该算法中重要的环。本文将尽可能用通俗的语言详细的描述种主流且性能较高的判定算法。外积,...

    概念

    平面内两条线段位置关系的判定在很多领域都有着广泛的应用,比如游戏、CAD、图形处理等,而两线段交点的求解又是该算法中重要的一环。本文将尽可能用通俗的语言详细的描述一种主流且性能较高的判定算法。

    外积,又称叉积,是向量代数(解析几何)中的一个概念。两个二维向量v1(x1,y1)和v2(x2,y2)的外积v1×v2=x1y2-y1x2。如果由v1到v2是顺时针转动,外积为负,反之为正,为0表示二者方向相同(平行)。此外,文中涉及行例式和方程组的概念,请参阅线性代数的相关内容。

    为方便计算,对坐标点的大小比较作如下定义:x坐标较大的点为大,x坐标相等但y坐标较大的为大,x与y都相等的点相等。一条线段中较小的一端为起点,较大的一端为终点。

    问题

    给定两条线段的端点坐标,求其位置关系,并求出交点(如果存在)。

    分析

    两条线段的位置关系大体上可以分为三类:有重合部分、无重合部分但有交点(相交)、无交点。为避免精度问题,首先要将所有存在重合的情况排除。

    重合可分为:完全重合、一端重合、部分重合三种情况。显然,两条线段的起止点都相同即为完全重合;只有起点相同或只有终点相同的为一端重合(注意:坐标较小的一条线段的终点与坐标较大的一条线段的起点相同时应判定为相交)。要判断是否部分重合,必须先判断是否平行。设线段L1(p1->p2)和L2(p3->p4),其中p1(x1,y1)为第一条线段的起点,p2(x2,y2)为第一条线段的终点,p3(x3,y3)为第二条线段的起点,p4(x4,y4)为第二段线段的终点,由此可构造两个向量:

    v1(x2-x1,y2-y1),v2(x4-x3,y4-y3)

    若v1与v2的外积v1×v2为0,则两条线段平行,有可能存在部分重合。再判断两条平行线段是否共线,方法是用L1的一端和L2的一端构成向量vs并与v2作外积,如果vs与v2也平行则两线段共线(三点共线)。在共线的前提下,若起点较小的线段终点大于起点较大的线段起点,则判定为部分重合。

    没有重合,就要判定两条线是否相交,主要的算法还是依靠外积。然而外积的计算开销比较大,如果不相交的情况比较多,可先做快速排斥实验:将两条线段视为两个矩形的对角线,并构造出这两个矩形。如果这两个矩形没有重叠部分(x坐标相离或y坐标相离)即可判定为不相交。

    然后执行跨立试验。两条相交的线段必然相互跨立,简单的讲就是p1和p2两点位于L2的两侧且p3和p4两点位于L1的两侧,这样就可利用外积做出判断了。分别构造向量s1(p3,p1),s2(p3,p2),如果s1×v2与s2×v2异号(s1->v2与s2->v2转动的方向相反),则说明p1和p2位于L2的两侧。同理可判定p3和p4是否跨立L1。如果上述四个叉积中任何一个等于0,则说明一条线段的端点在另一条线上。

    当判定两条线段相交后,就可以进行交点的求解了。当然,求交点可以用平面几何方法,列点斜式方程来完成。但这样作会难以处理斜率为0的特殊情况,且运算中会出现多次除法,很难保证精度。这里将使用向量法求解。

    设交点为(x0,y0),则下列方程组必然成立:

    x0-x1=k1(x2-x1)

    y0-y1=k1(y2-y1)

    x0-x3=k2(x4-x3)

    y0-y3=k2(y4-y3)

    其中k1和k2为任意不为0的常数(若为0,则说明有重合的端点,这种情况在上面已经被排除了)。1式与2式联系,3式与4式联立,消去k1和k2可得:

    x0(y2-y1)-x1(y2-y1)=y0(x2-x1)-y1(x2-x1)

    x0(y4-y3)-x3(y4-y3)=y0(x4-x3)-y3(x4-x3)

    将含有未知数x0和y0的项移到左边,常数项移动到右边,得:

    (y2-y1)x0+(x1-x2)y0=(y2-y1)x1+(x1-x2)y1

    (y4-y3)x0+(x3-x4)y0=(y4-y3)x3+(x3-x4)y3

    设两个常数项分别为b1和b2:

    b1=(y2-y1)x1+(x1-x2)y1

    b2=(y4-y3)x3+(x3-x4)y3

    系数行列式为D,用b1和b2替换x0的系数所得系数行列式为D1,替换y0的系数所得系数行列式为D2,则有:

    |D|=(x2-x1)(y4-y3)-(x4-x3)(y2-y1)

    |D1|=b2(x2-x1)-b1(x4-x3)

    |D2|=b2(y2-y1)-b1(y4-y3)

    由此,可求得交点坐标为:

    x0=|D1|/|D|,y0=|D2|/|D|

    解毕。

    C++/STL实现

    #include

    #include

    using namespace std;

    struct POINTF {float x; float y;};

    bool Equal(float f1, float f2) {

    return (abs(f1 - f2) < 1e-4f);

    }

    //判断两点是否相等

    bool operator==(const POINTF &p1, const POINTF &p2) {

    return (Equal(p1.x, p2.x) && Equal(p1.y, p2.y));

    }

    //比较两点坐标大小,先比较x坐标,若相同则比较y坐标

    bool operator>(const POINTF &p1, const POINTF &p2) {

    return (p1.x > p2.x || (Equal(p1.x, p2.x) && p1.y > p2.y));

    }

    //计算两向量外积

    float operator^(const POINTF &p1, const POINTF &p2) {

    return (p1.x * p2.y - p1.y * p2.x);

    }

    //判定两线段位置关系,并求出交点(如果存在)。返回值列举如下:

    //[有重合] 完全重合(6),1个端点重合且共线(5),部分重合(4)

    //[无重合] 两端点相交(3),交于线上(2),正交(1),无交(0),参数错误(-1)

    int Intersection(POINTF p1, POINTF p2, POINTF p3, POINTF p4, POINTF &Int) {

    //保证参数p1!=p2,p3!=p4

    if (p1 == p2 || p3 == p4) {

    return -1; //返回-1代表至少有一条线段首尾重合,不能构成线段

    }

    //为方便运算,保证各线段的起点在前,终点在后。

    if (p1 > p2) {

    swap(p1, p2);

    }

    if (p3 > p4) {

    swap(p3, p4);

    }

    //判定两线段是否完全重合

    if (p1 == p3 && p2 == p4) {

    return 6;

    }

    //求出两线段构成的向量

    POINTF v1 = {p2.x - p1.x, p2.y - p1.y}, v2 = {p4.x - p3.x, p4.y - p3.y};

    //求两向量外积,平行时外积为0

    float Corss = v1 ^ v2;

    //如果起点重合

    if (p1 == p3) {

    Int = p1;

    //起点重合且共线(平行)返回5;不平行则交于端点,返回3

    return (Equal(Corss, 0) ? 5 : 3);

    }

    //如果终点重合

    if (p2 == p4) {

    Int = p2;

    //终点重合且共线(平行)返回5;不平行则交于端点,返回3

    return (Equal(Corss, 0) ? 5 : 3);

    }

    //如果两线端首尾相连

    if (p1 == p4) {

    Int = p1;

    return 3;

    }

    if (p2 == p3) {

    Int = p2;

    return 3;

    }//经过以上判断,首尾点相重的情况都被排除了

    //将线段按起点坐标排序。若线段1的起点较大,则将两线段交换

    if (p1 > p3) {

    swap(p1, p3);

    swap(p2, p4);

    //更新原先计算的向量及其外积

    swap(v1, v2);

    Corss = v1 ^ v2;

    }

    //处理两线段平行的情况

    if (Equal(Corss, 0)) {

    //做向量v1(p1, p2)和vs(p1,p3)的外积,判定是否共线

    POINTF vs = {p3.x - p1.x, p3.y - p1.y};

    //外积为0则两平行线段共线,下面判定是否有重合部分

    if (Equal(v1 ^ vs, 0)) {

    //前一条线的终点大于后一条线的起点,则判定存在重合

    if (p2 > p3) {

    Int = p3;

    return 4; //返回值4代表线段部分重合

    }

    }//若三点不共线,则这两条平行线段必不共线。

    //不共线或共线但无重合的平行线均无交点

    return 0;

    } //以下为不平行的情况,先进行快速排斥试验

    //x坐标已有序,可直接比较。y坐标要先求两线段的最大和最小值

    float ymax1 = p1.y, ymin1 = p2.y, ymax2 = p3.y, ymin2 = p4.y;

    if (ymax1 < ymin1) {

    swap(ymax1, ymin1);

    }

    if (ymax2 < ymin2) {

    swap(ymax2, ymin2);

    }

    //如果以两线段为对角线的矩形不相交,则无交点

    if (p1.x > p4.x || p2.x < p3.x || ymax1 < ymin2 || ymin1 > ymax2) {

    return 0;

    }//下面进行跨立试验

    POINTF vs1 = {p1.x - p3.x, p1.y - p3.y}, vs2 = {p2.x - p3.x, p2.y - p3.y};

    POINTF vt1 = {p3.x - p1.x, p3.y - p1.y}, vt2 = {p4.x - p1.x, p4.y - p1.y};

    float s1v2, s2v2, t1v1, t2v1;

    //根据外积结果判定否交于线上

    if (Equal(s1v2 = vs1 ^ v2, 0) && p4 > p1 && p1 > p3) {

    Int = p1;

    return 2;

    }

    if (Equal(s2v2 = vs2 ^ v2, 0) && p4 > p2 && p2 > p3) {

    Int = p2;

    return 2;

    }

    if (Equal(t1v1 = vt1 ^ v1, 0) && p2 > p3 && p3 > p1) {

    Int = p3;

    return 2;

    }

    if (Equal(t2v1 = vt2 ^ v1, 0) && p2 > p4 && p4 > p1) {

    Int = p4;

    return 2;

    } //未交于线上,则判定是否相交

    if(s1v2 * s2v2 > 0 || t1v1 * t2v1 > 0) {

    return 0;

    } //以下为相交的情况,算法详见文档

    //计算二阶行列式的两个常数项

    float ConA = p1.x * v1.y - p1.y * v1.x;

    float ConB = p3.x * v2.y - p3.y * v2.x;

    //计算行列式D1和D2的值,除以系数行列式的值,得到交点坐标

    Int.x = (ConB * v1.x - ConA * v2.x) / Corss;

    Int.y = (ConB * v1.y - ConA * v2.y) / Corss;

    //正交返回1

    return 1;

    }

    //主函数

    int main(void) {

    //随机生成100个测试数据

    for (int i = 0; i < 100; ++i) {

    POINTF p1, p2, p3, p4, Int;

    p1.x = (float)(rand() % 10); p1.y = (float)(rand() % 10);

    p2.x = (float)(rand() % 10); p2.y = (float)(rand() % 10);

    p3.x = (float)(rand() % 10); p3.y = (float)(rand() % 10);

    p4.x = (float)(rand() % 10); p4.y = (float)(rand() % 10);

    int nr = Intersection(p1, p2, p3, p4, Int);

    cout << "[(";

    cout << (int)p1.x << ',' << (int)p1.y << "),(";

    cout << (int)p2.x << ',' << (int)p2.y << ")]--[(";

    cout << (int)p3.x << ',' << (int)p3.y << "),(";

    cout << (int)p4.x << ',' << (int)p4.y << ")]: ";

    cout << nr;

    if (nr > 0) {

    cout << '(' << Int.x << ',' << Int.y << ')';

    }

    cout << endl;

    }

    return 0;

    }

    关于stl,貌似用的不多了,不是过时了,而是有控制的使用,每个项目都有自己的使用场景,根据自己的需要选择合适的技术。

    总结

    以上就是本文关于C++/STL实现判断平面内两条线段的位置关系代码示例的全部内容,希望对大家有所帮助。感兴趣的朋友可以继续参阅本站:

    如有不足之处,欢迎留言指出。

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  • 方法、bool TwoLineIsIntersect(float x0, float y0, float x1, float y1, float x2, float y2, float x3, float y3, float &...InterY){ //两条线段是否相交X0X1 AND X1X2float x, y;float Minx01 = Min(...
  • (顺逆时针是指向量平移至起点相连,从某个方向旋转到另个向量小于180度)。如下图: 在上图中,OA×OB = 2 > 0, OB在OA的逆时针方向;OA×OC = -2 < 0,OC在OA的顺势针方向。即叉乘结果大于0,后个在...
  • 所谓几何, 最基本的当然就是坐标, 从坐标中我们可以知道位置和方向,比如:一个点就是一个位置,两点确定一条直线,从某点指向另一点的有向线段所在的直线是一向量。要处理几何题,我们又不得不涉及到叉积和点积...
  • 计算线段的距离

    2021-02-24 13:03:12
    线段的最短距离 起因:在shadertoy看到有人这样画线段: float DistLine(vec2 p, vec2 a, vec2 b) { vec2 pa = p-a; vec2 ba = b-a; float t = clamp(dot(pa, ba)/dot(ba, ba), 0.,1.); //float t = ...
  • 我们的问题是这样的:给定一条线段的起点为$A_1$、终点为$A_2$,另一条线段的起点为$B_1$、终点为$B_2$,问线段$A_1A_2$和线段$B_1B_2$是否相交?我们首先解释一下,条线段相交的概念是指,存在一个,这个同时...
  • 回顾高中学的线性规划知识,下面将给出个我认为相对较好的算法,如果算法或程序有什么bug, 欢迎指正,谢谢。 已知线段AB,线段CD. 先来判断直线AB与线段CD是否相交,如果不相交,那么线段AB和线段CD肯定不相交。...
  • FWIW,以下功能(在C中)都检测线交叉并确定交点。它基于Andre LeMothe的“Windows游戏编程大师的诀窍”中的算法。它与其他答案中的某些算法(例如Gareth's)没有什么不同。LeMothe然后使用Cramer的规则(不要问我)自己...
  • 平面内两条线段位置关系的判定在很多领域都有着广泛的应用,比如游戏、CAD、图形处理等,而线段交点的求解又是该算法中重要的环。本文将尽可能用通俗的语言详细的描述种主流且性能较高的判定算法。 外积,又...
  • 线段的最短距离的方法

    千次阅读 2019-08-20 11:37:25
    种点到线段的最短距离的方法 ...直线方程由经过两点A (x1,y1) 和 C (x2,y2)确定: B = A + u (C - A) (1-9) 其中u为0到1之间的值,线段AC上的点B (x,y)是最靠近D的点,并且满足下面关系: (D - B) ...
  • 1 引言 ...我们知道三点确定一个平面,如果AB垂直于ACD三点所在平面的法线,则说明A、B、C、D四共面。 A、C、D三点所在平面的法线怎么求? 很简单,个向量的叉乘就是这个向量所在平面的法线。
  • C# 计算两条线段交点的位置

    千次阅读 2017-05-03 11:53:42
    AB本身就是两条直线,知道就可以知道其直线方程,B也是一样,个方程联立, 得到个坐标,再看该坐标是否在B的定义域内就可以啊 首先,我们指定直线方程都有: 1:一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)...
  • 网上很多讲这个问题都不完整,仅仅是叉积一下...问题:给出两条线段,问线段是否相交? 向量叉乘(行列式计算):向量a(x1,y1),向量b(x2,y2): 首先我们要明白个定理:向量a×向量b(×为向量叉乘...
  • 线段的最短距离算法

    千次阅读 2019-07-09 11:25:35
    线段最短距离的运算与到直线的最短距离的运算二者之间存在一定的差别,即求线段最短距离时需要考虑参考在沿线段方向的投影是否在线段上,若在线段上才可采用到直线距离公式,如图1所示。 图1(a...
  • 问题详情圆弧与线段的最短距离平面上(计算机屏幕的坐标系), 给定一个圆弧(圆心在坐标原点), 给定一条线段, 所有参数已知, 求取圆弧上任意一点到线段上任意一点的距离的最小值, 请各位高手帮忙..不求最快, 只求思路...
  • 问题:给出两条线段,问线段是否相交? 向量叉乘(行列式计算):向量a(x1,y1),向量b(x2,y2): 首先我们要明白个定理:向量a×向量b(×为向量叉乘),若结果小于0,表示向量b在向量a的顺时针...
  • 都说两点确定一条直线,那么设计一个直线类Line,需要通过两个点Point对象来确定。Line类具体要求如下: 1)定义两个Point对象p1,p2; 2)写出有参构造方法,传递两个对象值给p1,p2 3)为p1,p2写出setters,和...
  • 判断两条线段是否相交 计算几何

    千次阅读 2016-12-08 21:31:14
    设直线AB的方程为:f(x,y) = 0,直线方程可以通过两点式求得。 当C和D点不在直线的同侧时,直线AB必然与线段CD相交,也就是说直线AB与线段CD相交的条件为:f(C) * f(D) &lt;= 0。 代码如下: t...
  • canvas在两点之间画线

    万次阅读 2018-01-13 17:36:24
    最新需要做个表格,有坐标轴,轴上有点,间连线,想到了canvas,查找官方API,发现还是很简单的,不过毕竟是第次接触html5,画线也费些时间。 先说说canvas,初始化要设置宽高,而且不能用样式表,必须在...
  • 展开全部一.矢量基本知识因为后面的计算需要一些矢量的基本知识,这里...1.矢量的概念:如果一条线段的端点是有次序之分的,我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。如果有向线段p1p2的起点p1在坐...
  • 判断两条线段/直线相交,并求交点

    万次阅读 2012-08-27 14:13:31
    1.矢量的概念:如果一条线段的端点是有次序之分的,我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点,我们可以把它称为矢量(vector)p2。 2.矢量加减法:设二维矢量P =

空空如也

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两点确定一条线段