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  • 根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到个关于a,b的二元次方程(1)。2. 因为A、B两点关于...

    1. 设所求对称点A的坐标为(a,b)。

    根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个关于a,b的二元一次方程(1)。

    2. 因为A、B两点关于已知直线对称,所以直线AB与该已知直线垂直。

    又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。

    设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。

    把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个关于a,b的二元一次方程(2)。

    3. 联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。

    举例:

    已知点B的坐标为(-2,1),求它关于直线y=-x+1的对称点坐标?

    设所求对称点A的坐标为(a,b),则A和点B(-2,1)的中点C坐标为((a-2)/2,(b+1)/2),且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得,

    b+1/2=-(a-2/2)+1, 可得:a+b=3 (1)

    因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称,所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1,所以直线AB的斜率为1

    AB斜率:b-1/a+2=1 (2)

    联立方程(1)、(2),解二元一次方程组得:a=0,b=3

    所以该点的坐标为(0,3)

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  • 、前言作者之前已经为大家讲解了直线的斜率,与如何建立直线的方程,那么知道了直线的方程,就需要去研究直线的性质。二、两条直线的交点坐标若给出两条直线,如何求...三、两点间的距离两点间的距离公式,在二维...

    一、前言

    作者之前已经为大家讲解了直线的斜率,与如何建立直线的方程,那么知道了直线的方程,就需要去研究直线的性质。

    二、两条直线的交点坐标

    若给出两条直线,如何求交点坐标?

    fc0741f12ec229c0c4416aef8329cc6c.png

    如果说上述的方程组有唯一解,则两条直线相交;若方程组无解,则说明两条直线平行。

    解题方法:

    针对于上述的二元一次方程组求解,我们通常采用的是消元法,用一个未知数表示另一个未知数,从而求解出方程的解。

    三、两点间的距离

    两点间的距离公式,在二维平面中,就相当于利用直角三角形求解斜边的长度。

    1bb88e65752c5b1658493c06119e7dc6.png

    四、点到直线的距离

    现在已知一条直线与一个点,求他们之间得距离,则有如下公式:

    b6554f194b6c9a6dccd6bc4bcb0daa39.png

    五、两条平行线间的距离

    如果现在给的直线是平行关系,则如何算他们之间的距离。

    首先要明白两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线的长。

    分析:

    ①计算两直线间的距离公式,则需要转化为点到直线上的距离。

    ②在一条直线上找到一个点,则需要利用点到直线的距离公式求解。

    批注:

    读者有什么不懂的可以留言,想要知道什么高中解题经验可以给作者留言啊!

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  • 1.如果这两条直线是以个端点的形式给出,那么假设直线l0的为:P0、P1;直线l1的为Q0、Q1,;求直线的最短距离? 直线l0我们可以用方程表示为:  (1) 直线段l1我们也可以用方程表示为:  

    直线的信息可以以两个端点的形式给出,也可以以一个直线上的点和直线的方向向量给出。本文中假设这两条直线不共线,即这两条直线既不重合也不相交。

    1.如果这两条直线是以两个端点的形式给出,那么假设直线l0的两端点为:P0、P1;直线l1的两端点为Q0、Q1,;求两直线的最短距离?

    直线l0我们可以用方程表示为:

            (1)

    直线段l1我们也可以用方程表示为:

                (2)

    式中,P、Q分别表示两直线段上的点。

    那么点P和点Q的距离为:

    (3)

    我们将(3)式等式两边平方得到:

                   (4)

    那么求解这两条空间直线段的最短距离就变成了一个求解最小二乘法的最小值问题了,即求解方程:

          (5)

    那么这个方程怎么求解呢?下面我们来求解(5)式:由式(1)和式(2)我们有:

    (6)

    将(6)式带入(5)式有:

                (7)

    那么就变为求解超静定方程:     (8)

    我们将(8)式变形得到求解超静定方程:

               (9)

    令A=(P0-P1,Q0-Q1),x=(a,-n)T,b=Q1-P1;则式(9)变为:

                     (10)

    两边同时乘以矩阵A的装置得到:

                    (11)

    则x可以求解得到:

                (12)

    求解得到a和n之后带入式(6)就可以求解得到点P和点Q了,然后代入式(3)就可以求解得到最小距离了。

    2.如果这两条直线是以直线上的点和该直线的方向向量给出,那么假设直线l0上有一点P0,它的方向向量为n;直线l1上有一点Q0,它的方向向量为m;那么直线l0上的点可以表示为:

    (13)

    直线l1上的点可以表示为:

     (14)

    点P和点Q的距离为:

     (15)

    将式(13)和式(14)带入式(15)得到:

    (16)

    两边平方得到:

    (17)

    那么求解两条直线的最短距离,就变为了求解式(17)的最小二乘方程组,即:

       (18)

    变形得到:

     (19)

    同理,令A=(n,m),x=(a,-b)T,b=Q0-P0,则(19)式变为:

    (20)

    同理求得x为:

        (21)

    求得a,b之后带入式(13)和式(14)就可以求得点P和点Q,根据式(15)就可以求得最短距离了。

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  • “线性规划”的基础是平面区域的刻画与判定,可行域的准确与否直接关系最优解...0表示的是直线侧的点集,习惯上将此法提炼为“直线定界、特殊定域”。这种通用方法需要进行有关的计算和推理,而若采用如下判断...
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两点表示一条直线