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  • 两点之间直线最短”,两千多年前阿基米德给出的答案已经深入了我们脑海里。在一张平面纸上任意地方放上两个点,用你能想象到的任何直线、曲线或几何路径将这两个点连接起来。那么你会发现,只要这张纸保持平整,...

    全文共4129字,预计学习时长11分钟

    图源:unsplash

    “两点之间直线最短”,两千多年前阿基米德给出的答案已经深入了我们脑海里。在一张平面纸上任意地方放上两个点,用你能想象到的任何直线、曲线或几何路径将这两个点连接起来。那么你会发现,只要这张纸保持平整,没有弯曲和折叠,那么直线就是连接它们的最短路径。

     

    这正是我们三维宇宙空间的运行规律:在平面中,两点之间直线距离最短。无论如何旋转、定向或以其他方式定位这两个点,这个规律都是成立的。

     

    但是我们的宇宙不仅由三个空间维度组成,而是由四个时空维度组成。这点并不难发现,很多人轻描淡写地以为:“好吧,其中三个维度是空间维度,还有一个是时间维度,这就是所谓的时空嘛。”这话没错,但仅仅是管中窥豹,毕竟两个时空事件之间的最短距离将不再是一条直线。

    通常,我们用位移的距离来测量两点之间的距离,例如图中连接点A和点B的线,但实际上,它们之间最短的距离应该是连接A与B的直线。当然,这只适用于空间距离。| 图源:SIMEON87/WIKIMEDIACOMMONS;E.SIEGEL

     

    大多数人第一次接触两点之间直线距离最短这一概念,通常都通过毕达哥拉斯定理。你一定还记得勾股定理,把每一条短边平方并加在一起,就等于长边的平方。如果短边是a和b,而长边是c,那么它们之间的关系式是a²+b²=c²。

     

    然而,仔细想想其内涵,不仅仅是从纯数学的角度,而是从距离的角度。这意味着,如果你在一个空间维度上移动一定量(例如a),然后在垂直维度上移动另一个量(例如b),那么你开始的地方和结束的地方之间的距离等于c,正如毕达哥拉斯定理所定义的那样。换言之,平面上任何两点之间的距离,这些点在一个维度上被a隔开,在另一个维度中被b隔开,则c=√(a²+b²)。

     

    有很多方法可以解决和可视化简单的毕达哥拉斯方程,如a²+b²=c²,但当涉及到以不同的数学方式扩展该方程时,可视化并不一直有效。

    当然,在宇宙中,我们的生活并不局限于在一张平面纸上。我们的宇宙不仅有长度和宽度(也有人喜欢把其称为x和y方向),还有深度(z方向)。如果想计算出空间中任意两点之间的距离,那么方法与在二维中的方法完全相同,只是增加了一个维度。无论两个点在x方向、y方向和z方向上的距离是多少,你都可以像在平面中一样算出两点之间的距离。

     

    只不过,由于三维空间多出一个维度,它们之间的距离——我们称之为d——将由d=√(x²+y²+z²)得出。这个方程式可能看起来复杂,但它只是表达任何两点之间的距离是由连接它们的直线来确定的:这条直线是x方向、y方向和z方向的组合,它从三个维度的角度解释了两点之间的距离。

     

    三维空间中任意两点之间的距离,如此处所示的原点和点P,等于三个(x、y和z)方向上距离差平方和的平方根。| 图源:CRONHOLM144/WIKIMEDIA COMMONS

     

    关于这种关系,我们发现了一个有趣的事情——无论我们如何定位可视化的x、y、z维度,两点之间的距离都是一条直线。同样我们也可以更改坐标,使x、y和z维度处于任何(相互垂直)方向上,或将这两点沿任意方向旋转任意角度,他们之间的距离始终不会改变。

     

    当然,如果旋转透视图或旋转连接这两个点的直线,各个部分将发生变化,因为当旋转时,该直线的长度、宽度和深度的定义将发生更改。但是这两个点之间的距离并没有发生改变;不管你如何旋转它们,这两点之间的距离仍然是不变量,即没有发生改变。

     

    图片中代表“双行星”的两个物体之间有一定的距离。无论如何确定坐标系的方向或如何在空间中旋转这些行星,它们之间的距离保持不变。| 图源:美国宇航局

    现在,除了考虑空间外,让我们把时间也考虑进去。你可能会想:“如果时间也是一个维度,那么时空中任何两点之间的距离也会是一样的。”例如,如果我们将时间维度表示为t,那么你可能会认为距离是通过三维空间维度和时间维度连接两个点的直线。用数学术语表示,那么任意两点之间距离的分离方程式应该类似于d=√(x²+y²+z²+t²)。

     

    这是一个合理的尝试,毕竟这和我们从二维上升到三维时做出的调整基本相同,只不过这次是从三维上升到四维。该方程式准确的描述了如果不仅只有三个空间维度,而是拥有四个空间维度时的真实情况。

     

    但是我们并没有四个空间维度,我们有的是三个空间维度和一个时间维度。不管你的直觉怎么样告诉你,时间都不仅仅是“一个维度”。

     

    相机预测物体在时间中的运动仅仅将时间看作一个维度的一个实际应用。| 图源:索尼

     

    如果将时间看作为一个维度,那么我们可以用两种方法发现它与空间的不同。

     

    第一个简单的方法是:如果不采用某种方法将二者进行相互转换,那么就不能把空间(一种距离的度量)和时间(一种度量时间的方法)放在同一个基础上。爱因斯坦相对论启示我们——距离和时间之间有一个重要的、基本的联系:光速或是其他粒子的速度,在没有静止质量的情况下在宇宙中穿梭。

     

    你在宇宙中所处的位置可以用空间坐标(在何处)描述的同时也可以用时间坐标(在何时)描述。如果不改变时间状态,也就无法改变空间位置。

     

    真空中的光速(每秒299792458米)精确地传达了如何将空间中的运动与时间中的运动联系起来:通过这个基本常数本身。在使用“一光年”或“一光秒”这样的术语时,我们指的是时间上的距离:例如,光在一年(或一秒钟)内传播的距离。如果想把“时间”转换成一个距离,我们需要乘以真空中的光速。

     

    在光锥中,所有可能出现的光线到达或离开时空的一个点的三维表面。在空间中移动的越多,在时间中的移动就越少,反之亦然。只有包含在过去光锥中的东西才能影响今天;只有包含在未来光锥中的东西才能在未来被感知。| 图源:WIKIMEDIA COMMONS

     

    但第二个方法需要一个理解上的巨大飞跃,这是19世纪末20世纪初最伟大的思想也无法理解的,核心思想在于我们都在宇宙中同时穿越时空。如果只是坐在这里,静止不动,根本不在空间中移动,那么我们就以我们都熟悉的特定的速率穿越时间:每秒一秒。

     

    然而,关键点在于,在空间中移动的越快,穿越时间的速度就越慢。这点在其他维度并不成立。例如,在空间中通过x维的运动,完全独立于通过y和z维的运动。但是相对于任何其他观察者来说,你在空间中的总运动,决定了你在时间中的运动。在其中一个(空间或时间)中移动得越多,在另一个中移动得就越少。

     

    时间膨胀(L)和长度收缩(R)表明,越接近光速,时间越慢,距离就越小。当接近光速时,时钟会向根本不经过的时间扩张,而距离则会缩小到无穷小。| 图来源:WIKIMEDIA

     

    这就是为什么爱因斯坦的相对论给了我们时间膨胀和长度收缩这样的概念。如果以与光速相比非常低的速度移动,就不会注意到这些影响:时间似乎以每秒一秒的速度移动,而其长度似乎也与地球上通常可以达到的速度相同。

     

    但当接近光速时,或者更确切地说,当你感知到一个物体,并且你和它之间的相对速度接近光速时,你会观察到它是沿着它的相对运动方向收缩的,而且相对于你自己的时钟来说,时钟的运行速度似乎更慢(扩张)。

     

    爱因斯坦认识到这一点的原因很简单:因为所有观察者的光速都是一样的。如果你想象时钟是由两个反射镜之间来回反射的光来定义的,那么当别人的时钟接近光速时,观察他们的时钟必然会比你的时钟慢。

     

    一个由光子在两个反射镜之间反射形成的光钟将为所有观察者定义时间。尽管这两位观察者可能在时间流逝的问题上意见不一致,但他们将在物理定律和宇宙常数(如光速)上达成一致。一个静止的观察者会看到正常的时间流逝,但是一个在空间中快速移动的观察者,他们的时钟相对于静止的观察者运行得慢一些。(约翰·诺顿)

     

    这其中还有一个更深刻的见解,最初连爱因斯坦自己都没有发现。如果把时间当作一个维度(这只是想象的而并非真实的),乘以光速,那么我们就可以用先前定义距离的方式来定义“时空间隔”。只是,由于虚数i只是√(-1),这意味着时空间隔实际上是d=√(x²+y²+z²-c²t²)。[注意时间坐标上的减号!]

     

    换言之,从“空间中的运动或分离”到“时间上的运动通过或分离”也是一种旋转,但它不是在空间的笛卡尔坐标系(其中x、y和z都是实数),而是通过时空的双曲坐标系,如果空间坐标是实数,那么时间坐标一定是虚数。

     

    在命运的大转折中,第一个把这些拼图拼凑起来的人是爱因斯坦之前的老师,赫尔曼·明科夫斯基,他在1907年8月指出,“从今往后,空间和时间都注定要消失在阴影中,只有两者的结合才能保持一个独立的现实。”在明可夫斯基严谨的数学基础上,时空概念诞生了并一直存在下去。

     

    用红蓝两色绘制的双曲坐标,与传统的笛卡尔网格坐标相比,这两组不同轴之间的数学关系完全不同。| 图源:WIKIMEDIA

    值得注意的是,爱因斯坦虽然缺乏数学洞察力,无法准确理解时间维度与空间的三个常规维度之间的关系,但仍然具有能够拼凑出这一关键的物理洞察力。增加你在空间中的运动会减少你在时间中的运动,反之亦然。所有对空间和时间的测量都只对观察者有意义,并且取决于观察者对被观察者的相对运动。

     

    然而,时空间隔保持不变。不管是谁在观察,也不管他们移动的有多快,所有观察者在任何物体时空中的联合运动这一点上都能达成一致。

     

    从某种程度上说,相对论的成功更让人印象深刻。闵可夫斯基对他后来的学生马克斯·伯恩(Max Born)曾评价爱因斯坦到:“对我来说(相对论)是一个巨大的惊喜。在学生时代,爱因斯坦是个真正的懒鬼。”

     

    幸运的是,在物理学中,宇宙本身才是科学真理的最终仲裁者,而不是某个人的观点。

     

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  • 我们在地图上看航线的时候,特别是长距离跨国航线,发现在地图上的航线并不是两点间的直线,而是弯曲的弧线。比如上海到美国旧金山,很多人会疑惑,为什么不能直接穿越太平洋,这样不是会更近更快吗?下面是从地图上...

    我们在地图上看航线的时候,特别是长距离跨国航线,发现在地图上的航线并不是两点间的直线,而是弯曲的弧线。

    比如上海到美国旧金山,很多人会疑惑,为什么不能直接穿越太平洋,这样不是会更近更快吗?下面是从地图上看,两点间直接穿过太平洋。

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    其实这一段距离并不是最近的。这张地图是平面的,所以看起来两点间这段距离最近。而地球是球形的,很多人没有意识到在球体中,平面上这段距离并不是这两点间的最短距离。

    我们通过Google地球来看看上海到旧金山最短的距离,如下图:

    8d7ba64b90206d5945e3344847221344.png

    这条线是上海到旧金山最短的路径,从上海出发,经过韩国,穿过位于俄罗斯远东堪察加半岛与日本北海道岛之间的千岛群岛,还经过一部分白令海峡,再跨过北部阿拉斯加附近的太平洋到达旧金山。

    通过墨卡托投影,把这条路径投影到平面上,大约如下绿线(并不准确,只是示意):

    3a4e10e029018acfa973e1f4074d5784.png

    这条绿线才是上海到旧金山最近的路线。

    有一些路线看起来更夸张,如下北京到加拿大纽芬兰的圣约翰:

    4ae9fca705188c131fdf20659fb5197e.png

    这是Google地球的最短路径,穿过了北极。

    而在平面地图如下红线是平面直线,绿线是球体最短路径投影(并不准确,只是示意):

    a9e781bfcd22c5c4c825d187c53041fe.png

    绿线路程要比红线路程短很多,这一切都是因为我们生活在一个球体上面。

    我们容易被定式思维所局限,当你想通了,打开思维,换一种思维方式,就会发现另一片新天地。

    (网图侵删)

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  • 直线的信息可以以个端点的形式给出,也可以以一个直线上的直线的方向向量给出。本文中假设这直线不...求两直线最短距离直线l0我们可以用方程表示为:  (1) 直线段l1我们也可以用方程表示为:  

    直线的信息可以以两个端点的形式给出,也可以以一个直线上的点和直线的方向向量给出。本文中假设这两条直线不共线,即这两条直线既不重合也不相交。

    1.如果这两条直线是以两个端点的形式给出,那么假设直线l0的两端点为:P0、P1;直线l1的两端点为Q0、Q1,;求两直线的最短距离?

    直线l0我们可以用方程表示为:

            (1)

    直线段l1我们也可以用方程表示为:

                (2)

    式中,P、Q分别表示两直线段上的点。

    那么点P和点Q的距离为:

    (3)

    我们将(3)式等式两边平方得到:

                   (4)

    那么求解这两条空间直线段的最短距离就变成了一个求解最小二乘法的最小值问题了,即求解方程:

          (5)

    那么这个方程怎么求解呢?下面我们来求解(5)式:由式(1)和式(2)我们有:

    (6)

    将(6)式带入(5)式有:

                (7)

    那么就变为求解超静定方程:     (8)

    我们将(8)式变形得到求解超静定方程:

               (9)

    令A=(P0-P1,Q0-Q1),x=(a,-n)T,b=Q1-P1;则式(9)变为:

                     (10)

    两边同时乘以矩阵A的装置得到:

                    (11)

    则x可以求解得到:

                (12)

    求解得到a和n之后带入式(6)就可以求解得到点P和点Q了,然后代入式(3)就可以求解得到最小距离了。

    2.如果这两条直线是以直线上的点和该直线的方向向量给出,那么假设直线l0上有一点P0,它的方向向量为n;直线l1上有一点Q0,它的方向向量为m;那么直线l0上的点可以表示为:

    (13)

    直线l1上的点可以表示为:

     (14)

    点P和点Q的距离为:

     (15)

    将式(13)和式(14)带入式(15)得到:

    (16)

    两边平方得到:

    (17)

    那么求解两条直线的最短距离,就变为了求解式(17)的最小二乘方程组,即:

       (18)

    变形得到:

     (19)

    同理,令A=(n,m),x=(a,-b)T,b=Q0-P0,则(19)式变为:

    (20)

    同理求得x为:

        (21)

    求得a,b之后带入式(13)和式(14)就可以求得点P和点Q,根据式(15)就可以求得最短距离了。

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  • 一个最简单的例子:如果你是一个滑雪运动员,目标是最短时间冲线,你根本就不在乎两点间的最短路径,而是最快路径。如果你沿着最佳曲线下滑,你会获得更多的优势……顺势借力 开拓创新从起点到终点,有无数条道路,...

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    看图说话,图片很形象地给了答案。大伙是不是也大感意外呢?

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    经过无数学霸的论证和科学实验,上图红色路线是最快的路线,此曲线也因此被称为“最速曲线”。

    话说这曲线有什么用呢?

    一个最简单的例子:如果你是一个滑雪运动员,目标是最短时间冲线,你根本就不在乎两点间的最短路径,而是最快路径。如果你沿着最佳曲线下滑,你会获得更多的优势……

    顺势借力 开拓创新

    从起点到终点,有无数条道路,直线是大多数人会选择的路线。

    一旦没有走到直线,他们就会觉得自己绕了远,开始抱怨。

    其实,真正正确的选择是曲线,才是真正的成功。

    从起点到终点,小球能够滚动,在于其不安现状的同时能够顺势而行,借力地心引力才能让自己不断向前。

    不忘初衷 方得始终

    从起点到终点,小球一直看着终点的目标,自始至终都是朝着自己的目标前行,即使途中有短暂地偏离方向也不放弃自己所追求的终点,而恰恰是这种坚持与执着成就了最快抵达目的地的捷径。

    尼采曾说:一切美好的事物都是曲折地接近自己的目标,一切笔直都是骗人的。业务有障碍,事业有起伏,人生有曲折,无论何时何地,我们都要不忘初衷。只有不忘记自己最初的想法,才会找对人生的方向,才会坚定我们的追求,才能有始有终地去完成自己的梦想。

    现在行动 为时未晚

    很多时候,我们会感慨,会抱怨,甚至会恨自己生不逢时。

    “怎么就没赶上市场好做的时候开始我的事业呢?”

    “现在才开始做公众号、知乎运营,晚了。”

    还是看看“最速曲线”图:

    96786b560eb454f05893eb6ab46a2dfb.gif

    四个颜色的小球在“最速曲线”的不同位置同时出发,却在同一时刻抵达终点。

    这说明,你差的越多,补的越快。

    两点间最短的距离不是线段,也不是直线。

    而是-------------曲线。

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  • 先问问,用智能手机没用过手机地图的网友...有个常识"个位置除非线路不允许,否则一定是走直线距离最短"想必大家都已经根深蒂固了吧,小学老师都教过!但今天要告诉大家一个事实是,我们被欺骗了!被地图欺骗了...
  •  经纬度在地图应用中常见,一般结合路网信息库,进行地图应用开发(流量、路况等),此次从理计算两点经纬度的直线距及最短运行时间预研,实现下述表达式:    package com.sunshine.app.utils; import java...
  • 在双目视觉立体空间重建中,会根据个相机中...根据物体图像坐标、相机内参、给定坐标系的相机外参,求取相机光轴线的方程,从而实现立体重建,本文主要是解决在已知三维空间直线求其最短距离、最近及算法实现。
  • 【寒江雪】直线最短距离

    千次阅读 2018-07-17 16:21:11
    ​ 根据直线的表示方式p = at + b,可以设一个点P(px,py),任意一点A(x0,y0)到点P的距离可以根据两点距离公式求出。 D^2 = (px-x0)^2+(py-y0)^2 = (axt+bx-x0)^2+(ayt+by-y0)^2 = (ax^2+ay^2)t^2 + 2{...
  • 题意:给出两直线p1,p2,q1,q2...求两直线上离的最近的以及最短距离。 思路:令d1=p2-p1,d2=q2-q1,直线上任意一点可以表示为: r1(t1)=p1+d1*t1  r2(t2)=p2+d2*t2     #define eps 1e-15int sgn(...
  • 直线最短距离及垂足

    千次阅读 2019-05-31 12:02:00
    一、根据两点直线方程 已知直线两点为:(x1,x2),(y1,y2); 设方程为:Ax+By+C=0; 1. 求斜率:k=(y2-y1)/(x2-x1); 2. 直线方程为: y-y1=k(x-x1); 换算得:kx-y+y1-kx1=0,即: A=k B=-1 C=y1-kx1=y1-...
  • 直线段的最短距离直线段l0我们可以用方程表示为:  (1) 直线段l1我们也可以用方程表示为:  (2) 式中,P、Q分别表示两直线段上的。 那么P和Q的距离为: (3) 我们将(3)式等式两边平方得到: ...
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  • 通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中,直线最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.在本讲所举的例中,如果研究问题的限制条件允许已知的...
  • 空间中两直线最短距离及最近   (2013-02-28 16:26:39)   分类: 计算机图形学 容易理解的常规方法: 已知空间中线段,如果它们无限变粗,判断是否相交。(主要讨论不在同一平面的情况) 线段...
  • 两点之间的最短距离直线吗?现实告诉我们两点之间的最段距离是阻力最小的路:) “世事洞明皆学问,人情练达即文章” 转载于:https://www.cnblogs.com/Masterpiece/archive/2004/11/23/67697.html...
  • 转自:http://hi.baidu.com/javalovers/item/74b6e60f9debaae6f45ba657// 点到直线最短距离的判断 点(x0,y0) 到由两点组成的线段(x1,y1) ,( x2,y2 )privatedoublepointToLine(intx1,inty1,intx2,inty2,intx0,inty0...
  • %求空间中任意直线之间的最短距离,p1p2是直线段p的个端点坐标,q1q2是直线段q的个端点坐标 function [d]=distance(p1,p2,q1,q2) s1=p2-p1;%方向向量 s2=q2-q1; res1=((s1*s2')*((p1-q1)*s2')-(s2*s2')*((p1...
  • 题目链接: ACdream 1106题意: ...就是让你求直线最短距离。AC代码:/* * this code is made by LzyRapx * Problem: 1106 * Verdict: Accepted * Submission Date: 2017-06-21 20:11:16 * Time: 4MS * Memory
  • Mindis题目链接:Mindis题意:圆内或者圆周上有两个点pp和qq,圆心为oo,并且op=oqop=oq,让你在圆上找一点dd...还有就是极端情况,做出反演点(什么是反演点)如果直线p′q′p'q'与圆有交点,则答案为两点距离 否则
  • 一.概念描述 现代数学:在欧几里得几何学中,直线是几何学中的基本概念,是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。... 线段是最基本的几何图形之一,界于两点间的直线部分称为线段这两点称为线段的端点。...
  • 一、前言作者之前已经为大家讲解了直线的斜率,与如何建立直线的方程,那么知道了直线的方程,就需要去研究直线的性质。二、两条直线的交点坐标若给出两条直线,如何求...三、两点间的距离两点间的距离公式,在二维...
  • 天遇见个问题,平面上计算直线距离,原来数学白学了。不过还是搞出来了。记录一下伤员吗 /** * 到线的最短距离实际上就是到线的垂直距离。 * (x,y)为的坐标 * (x1,y1)为线段上的坐标 * (x2,y2...
  • 注解:如果你在考数学试题,一定要答两点之间直线最短,如果你在走路,从A到B,明明可以直接过去,但所以人都不走,你最好别走,因为有陷阱。在中国办 事情,直线性思维在很多地方要碰壁,这是中国特色的中国处事...
  • 下面介绍下求线段和最小值常见题型1,通过点关于直线对称点得到两定点之间直线段长度最短。以下题为例,已知矩形ABCD,AB=8, AD=6.E...很显然,我们要转化成两点定点的距离。这里面的定点就是E和F点。但明显E,F不...
  • yi zhang:初中几何--线段之和最小值 Part 1:通过关于直线对称得到定点之间直线段长度最短。​zhuanlan.zhihu.com但此题和只有一个定点的Part 4 yi zhang:初中几何--线段之和的最小值,Part 4, 求定点到一...
  • 到线段的最短距离

    2019-08-29 09:40:05
    到线段的最短距离有三种情况: 最短距离分别是AP,CP,BP.第一种情况和第三种情况基本相似。首先我们要判断在线段端点的两侧(1,3)还是在个端点之间(2)。假设p垂直于直线AB的交点为C,我们只需要计算出AC...

空空如也

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两点距离直线最短