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  • 展开全部如果两个点的坐标参照系相同的话,对于同一平面内(即x、y相同Z相同)计算原理就按:两点坐e68a84e8a2ad62616964757a686964616f31333366303234标点X值之差的平方加Y值之差的平方后再开平方。如果不在同一平面...

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    如果两个点的坐标参照系相同的话,对于同一平面内(即x、y相同Z相同)计算原理就按:两点坐e68a84e8a2ad62616964757a686964616f31333366303234标点X值之差的平方加Y值之差的平方后再开平方。如果不在同一平面内(即x、y相同Z不相同),那么就是:两点坐标点X值之差的平方加Y值之差的平方再加Z值之差的平方后再开平方

    假设A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2)

    两点的距离为d

    公式 d^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2,求出d^2,然后开平方求出d了吧

    角度

    设直线AB的角度为C

    tanC=(y2-y1)/(x2-1),求出tanC,然后算tan的反函数就得到C了。

    假设平面内任意两点X,Y,其坐标分别为X(a,b)、Y(c,d),其中a≥c,d≥b . 则有以下关系式:

    (XY两点距离)^2=(a-c)^2 +(d-b)^2 XY与水平方向的夹角θ(锐角):tanθ=(d-b)/(a-c)。如X(6,4),Y(3,8) ,则(XY)^2=(6-3)^2+(8-4)^2 得XY=5 tanθ=(8-4)/(6-3)=4/3 得 θ=arctan4/3 ≈76.43°

    扩展资料

    公式

    设两个点A、B以及坐标分别为

    e72e474e764def40caa84ef11489efcb.png 、 916c45365c6951ea12e7d0462ca85fcc.png ,则A和B两点之间的距离为:

    d997726686787d0bd35066f158147e32.png

    推论

    直线上两点间的距离公式:

    设直线 8967ad55289a194adc0ba4ac0a5e7630.png 的方程为 6c28c343045c403316d3c1c7af0e0ef2.png ,点 b3a74bb545a26c1d8ac402f4fe60282d.png , c9a7e5b96245c7dd3e8b520ad581aee8.png 为该线上任意两点,则

    a066b8e34376323ffa480660408907fc.png这一公式即所谓圆锥曲线的弦长公式。若记

    694a39826b30f846de9d5cc0716eaa71.png 为直线AB的倾斜角,则

    48087342510887fe6efacb72c2bfbdc2.png

    同时,若已知直线公式和其中一个点,并且给定了距离,可以反求另一个点的坐标。

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  • 欧式距离源自N维欧氏空间中两点x1,x2x_1,x_2x1​,x2​距离公式: 2.标准化欧式距离(Standardized Euclidean distance) 引入标准化欧式距离的原因一个数据xix_ixi​ 的各个维度之间的尺度不一样。 【对于...

    1.欧式距离(Euclidean Distance)

    欧式距离源自N维欧氏空间中两点x1,x2x_1,x_2间的距离公式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.标准化欧式距离(Standardized Euclidean distance)

    引入标准化欧式距离的原因是一个数据xix_i 的各个维度之间的尺度不一样。
    【对于尺度无关的解释】如果向量中第一维元素的数量级是100,第二维的数量级是10,比如v1=(100,10),v2 = (500,40),则计算欧式距离
    在这里插入图片描述
    可见欧式距离会给与第一维度100权重,这会压制第二维度的影响力。对所有维度分别进行处理,使得各个维度的数据分别满足标准正态分布:
    在这里插入图片描述
    uiu_i是该维度所有数据的均值,sis_i 是对应方差。
    然后在对xx′进行欧式距离:
    在这里插入图片描述

    3. 马氏距离

    马氏距离又称为数据的协方差距离,它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。马氏距离的结果也是将数据投影到N(0,1)区间并求其欧式距离,与标准化欧氏距离不同的是它认为各个维度之间不是独立分布的,所以马氏距离考虑到各种特性之间的联系。
    在这里插入图片描述
    马氏距离可以通过协方差自动生成相应的权重,而使用逆则抵消掉这些权重。

    最典型的就是根据距离作判别问题,即假设有n个总体,计算某个样品X归属于哪一类的问题。此时虽然样品X离某个总体的欧氏距离最近,但是未必归属它,比如该总体的方差很小,说明需要非常近才能归为该类。对于这种情况,马氏距离比欧氏距离更适合作判别。

    4.余弦距离(余弦相似性)cosine similarity

    严格来讲余弦距离不是距离,而只是相似性。其他距离直接测量两个高维空间上的点的距离,如果距离为0则两个点“相同”;余弦的结果为在[0,1]之中,如果为 1,只能确定两者完全相关、完全相似。

    假设两用户同时对两件商品评分,向量分别为(3,3)和(5,5),这两位用户对两件商品的喜好其实是一样的,余弦距离此时为1,欧式距离给出的解显然没有余弦值直观。

    相对于标准化后的欧式距离,余弦距离少了将数据投影到一个均值为0的区间里这一步骤。对于点X和点Y,其余弦距离:
    在这里插入图片描述
    余弦距离在给文本分类的词袋模型中使用,例如给一篇文章一共出现过6000个词,则用一个6000维度的向量X表示这篇文章,每个维度代表各个字出现的数目;另外一篇文章也恰好只出现过这6000字,用向量Y表示该文章,则这两篇文章相似度可以用余弦距离来测量。

    优点:余弦距离根据向量方向来判断向量相似度,与向量各个维度的相对大小有关,不受各个维度直接数值影响。
    某种程度上,归一化后的欧氏距离和余弦相似性表征能力相同。

    5.汉明距离(Hammi)

    汉明距离是两个等长字符串之间的汉明距离是两个字符串对应位置的不同字符的个数。比如:
    1011101 与 1001001 为 2
    2143896 与 2233796 是 3
    可以把它看做将一个字符串变换成另外一个字符串所需要替换的字符个数。
    此外,汉明重量是字符串相对于同样长度的零字符串的汉明距离,如:
    11101 的汉明重量是 4。
    所以两者间的汉明距离等于它们汉明重量的差a-b

    6.曼哈顿距离 (Manhattan distance)

    曼哈顿距离的定义如下:
    在这里插入图片描述
    p是I的维度。当I为图像坐标时,曼哈顿距离即是x,y坐标距离之和。

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  • 距离矩阵的计算距离矩阵参考资料在讲距离矩阵之前,先复习一下什么是 欧式距离 :在做分类时,...​经常使用的度量方法欧式距离,欧氏距离最易于理解的一种距离计算方法,源自欧氏空间中两点间距离公式。(1)二...

    距离矩阵的计算


    距离矩阵参考资料


    在讲距离矩阵之前,先复习一下什么是 欧式距离 :

    在做分类时,常常需要估算两个样本间的相似性度量(SimilarityMeasurement),这时经常就用到两个样本间的“距离”(Distance),采用什么样的方法计算距离是很讲究,甚至关系到分类的正确与否。​

    经常使用的度量方法是欧式距离,

    欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法,源自欧氏空间中两点间的距离公式。

    (1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离:

    (2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离:

    (3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离:

     也可以用表示成向量运算的形式:

    例如:

    k-nearest neighbor这部分中,核心就是计算训练集与测试集之元素之间的欧氏距离。要求从训练集取5000个图像,测试集取了500个图像,计 算这5000个用于训练的图像与500个用于测试的图像之间的欧氏距离,其结果就是一个5000*500的距离矩阵


    给定m\times n阶矩阵X,满足X=[x_1, x_2, ...x_n]。这里第i列向量是m维向量。求n\times n矩阵,使得:

    D_{ij}=||x_i-x_j||^2

    这里提供4种方法,需要使用到以下Python库:

    import numpy as np
    import numpy.linalg as la

    • 方法1:标准方法使用两层循环计算Dij

    def compute_squared_EDM_method(X):
      # determin dimensions of data matrix
      m,n = X.shape
      # initialize squared EDM D
      D = np.zeros([n, n])
      # iterate over upper triangle of D
      for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
          D[i,j] = la.norm(X[:, i] - X[:, j])**2
          D[j,i] = D[i,j]    #*1
    return D
    由于是计算矩阵自身行向量之间的距离,所以结果是一个对称的三角矩阵。注意*1行代码处所做的优化。

    • 方法2:利用矩阵内积dot计算Dij

    在第一种方法中,我们使用了numpy的norm这个方法,这个方法从数学上讲,其计算公式是:||x_i-x_j ||=\sqrt{(x_i-x_j ) (x_i-x_j )^T }

    然后我们又将这个计算结果平方后赋给D_{ij}:D_{ij}=||x_i-x_j||^2

    因此,我们实际上是在计算:

    D_{ij}=(x_i-x_j ) (x_i-x_j )^T

    上述运算可以使用点积(即矩阵内积)来计算:

    D[i,j] = np.dot(X[:,i]-X[:,j],(X[:,i]-X[:,j]).T)

    def compute_squared_EDM_method2(X):
      # determin dimensions of data matrix
      m,n = X.shape
      # initialize squared EDM D
      D = np.zeros([n, n])
      # iterate over upper triangle of D
      for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
          d = X[:,i] - X[:,j]
          D[i,j] = np.dot(d, d)
          D[j,i] = D[i,j]
      return D

    • 方法3:避免循环内点积运算,减少dot调用次数

    注意在上面的方法中,dot运算被调用了n^2-n次,并且每次进行了m次乘积运算和m-1次加法运算。尽管numpy底层可能对点积运算做了优化,但这里还是存在可能进行进一步优化。请看下面的数学推导:

    \begin{split}D_{ij}&=(x_i-x_j)^T(x_i-x_j)\\&=x^T_ix_i-2x^T_ix_j+x^T_jx_j\end{split}

    这里x^T_ix_i,x^T_jx_j,x^T_ix_j属于格拉姆矩阵中的元素,可以通过在循环外计算矩阵,在循环内直接引用元素值即可,从而在循环内我们只需要做两次加(减)法运算:

    D_{ij}=G_{ii}-2G_{ij}+G_{jj}

    格拉姆矩阵的求法很简单,只需要:

    G=np.dot(X.T, X)

    现在代码变为:

    def compute_squared_EDM_method3(X):
      # determin dimensions of data matrix
      m,n = X.shape
      # compute Gram matrix
      G = np.dot(X.T, X)
      # initialize squared EDM D
      D = np.zeros([n, n])
      # iterate over upper triangle of D
      for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
          d = X[:,i] - X[:,j]
          D[i,j] = G[i,i] - 2 * G[i,j] + G[j,j]
          D[j,i] = D[i,j]
      return D


    • 方法4:利用重复操作替代外部循环

    假设距离矩阵可以表示为D = H+K-2G,与公式D_{ij}=G_{ii}-2G_{ij}+G_{jj}进行对比,有:

    H_{ij}=G_{ii}, K_{ij}=G_{jj}

    这里H中第i行的每一个元素,取值都为G_{ii},也就是H的每一列,都对应着格拉姆矩阵的对角阵,因此,我们可以用下面的代码来计算H:

    H = np.tile(np.diag(G), (n,1))
    

    此外,由于K= H^T,所以最终距离矩阵可以计算为

    D=H+H^T-2G

    现在,代码不再需要循环了:

    def compute_squared_EDM_method4(x):
      m,n = X.shape
      G = np.dot(X.T, X)
      H = np.tile(np.diag(G), (n,1))
      return H + H.T - 2*G


    # -*- coding:utf-8 -*-
    # Author:Justin Chan
    # Python:3.6
    
    import numpy as np
    import numpy.random as np_randon
    
    X = np_randon.randint(10,size=(4,3))
    print(X)
    
    print(X[:,1])#矩阵第一列向量
    print(X[1,:])#矩阵第一行向量

    [[5 8 2]
     [7 4 8]
     [6 7 1]
     [2 2 0]]
    [8 4 7 2]
    [7 4 8]
    import numpy as np
    import numpy.linalg as la
    import time
    
    X = np.array([range(0, 500), range(500, 1000)])
    m, n = X.shape
    
    #方法1:标准方法使用两层循环计算Dij
    #时间复杂度O(n*n)
    t = time.time()
    D = np.zeros([n, n])
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            D[i, j] = la.norm(X[:, i] - X[:, j]) ** 2
            D[j, i] = D[i, j]
    print(time.time() - t)
    
    
    #方法2:利用矩阵内积dot计算Dij
    # 时间复杂度O(n*n)*O(m)
    t = time.time()
    D = np.zeros([n, n])
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            d = X[:, i] - X[:, j]
            D[i, j] = np.dot(d, d)
            D[j, i] = D[i, j]
    print(time.time() - t)
    
    
    #方法3:避免循环内点积运算,减少dot调用次数
    # 时间复杂度O(n*n)
    t = time.time()
    G = np.dot(X.T, X)
    D = np.zeros([n, n])
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            D[i, j] = G[i, i] - G[i, j] * 2 + G[j,j]
            D[j, i] = D[i, j]
    print(time.time() - t)
    
    
    #方法4:利用重复操作替代外部循环
    t = time.time()
    G = np.dot(X.T, X)
    #把G对角线元素拎出来,列不变,行复制n遍。
    H = np.tile(np.diag(G), (n, 1))
    D = H + H.T - G * 2
    print(time.time() - t)
    1.051072120666504
    0.3479161262512207
    0.15077900886535645
    0.003982067108154297


    其它习题:

    1.将numpy数组保存到文件并读取。

    2.用numpy解一个线性方程组。

    3.自己实现一遍例题。




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  • 欧式距离,l2范数,l2-loss,l2正则化1.欧氏距离L2范数范数计算公式L1范数...欧氏距离又称欧几里得距离或欧几里得度量,它欧几里得空间中两点间“普通”(即直线)距离。使用这个距离,欧氏空间成为度量空间。相关联的范

    1.欧氏距离

    距离度量(Distance)用于衡量个体在空间上存在的距离,距离越远说明个体间的差异越大。欧氏距离是最常见的距离度量,衡量的是多维空间中各个点之间的绝对距离。欧氏距离又称欧几里得距离或欧几里得度量,它是欧几里得空间中两点间“普通”(即直线)距离。使用这个距离,欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数(Euclidean norm)。
    欧氏距离公式如下:
    在这里插入图片描述
    因为计算是基于各维度特征的绝对数值,所以欧氏度量需要保证各维度指标在相同的刻度级别,比如对身高(cm)和体重(kg)两个单位不同的指标使用欧式距离可能使结果失效。

    2.L2范数

    范数是具有“长度”概念的函数。在向量空间内,为所有的向量的赋予非零的增长度或者大小。不同的范数,所求的向量的长度或者大小是不同的。
    L1范数是指向量中各个元素绝对值之和,L2范数定义为向量所有元素的平方和的开平方。
    常用到的几个概念,含义相同:
    欧几里得范数(Euclidean norm) ==欧式长度 =L2 范数 ==L2距离

    范数计算公式

    对于xRn,yRn\mathbf{x} \in R^n, \mathbf{y} \in R^n

    • xL2\mathbf{x}的L2范数定义为:
      x2=inxi2=x12+x22+...+xn2 \left\|\mathbf{x}\right\|_2 =\sqrt{\sum^n_i{x_i^2}} = \sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}
    • x,yL2\mathbf{x,y}的L2范数定义为:
      x,y2=in(xiyi)2 \left\|\mathbf{x,y}\right\|_2 =\sqrt{\sum^n_i{(x_i-y_i)^2}}
      对于两个向量,L2范数可认为是空间汇中两点的距离。

    L1范数L2范数在机器学习方面的区别

    • L1范数可以进行特征选择,即让特征的系数变为0。
    • L2范数可以防止过拟合,提升模型的泛化能力,有助于处理 condition number不好下的矩阵(数据变化很小矩阵求解后结果变化很大)。(核心:L2对大数,对outlier离群点更敏感!)
    • 下降速度:最小化权值参数L1比L2变化的快。
    • 模型空间的限制:L1会产生稀疏 L2不会。
    • L1会趋向于产生少量的特征,而其他的特征都是0,而L2会选择更多的特征,这些特征都会接近于0。

    为什么L2范数可以防止过拟合?

    在回归里面,有人把有它的回归叫“岭回归”(Ridge Regression),有人也叫它“权值衰减weight decay”。L2范数强大功效是改善机器学习里面一个非常重要的问题:过拟合。
    L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2范数的规则项||W||2最小,可以使得W的每个元素都很小,都接近于0,但与L1范数不同,它不会让它等于0,而是接近于0,这里是有很大的区别的哦。而越小的参数说明模型越简单,越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。为什么越小的参数说明模型越简单?一种理解是:“限制了参数很小,实际上就限制了多项式某些分量大小,使分量的影响很小,这样就相当于减少参数个数”。

    3.L2-Loss

    l2-loss也叫平方损失函数,均方误差(MSE),二次损失,L2损失。
    均方误差是最常用的回归损失函数,它是我们的目标变量和预测值的差值平方和。
    在这里插入图片描述

    4.L2正则化

    正则化

    在机器学习中,我们非常关心模型的预测能力,即模型在新数据上的表现,而不希望过拟合现象的的发生,我们通常使用正则化(regularization)技术来防止过拟合情况。正则化是机器学习中通过显式的控制模型复杂度来避免模型过拟合、确保泛化能力的一种有效方式。如果将模型原始的假设空间比作“天空”,那么天空飞翔的“鸟”就是模型可能收敛到的一个个最优解。在施加了模型正则化后,就好比将原假设空间(“天空”)缩小到一定的空间范围(“笼子”),这样一来,可能得到的最优解能搜索的假设空间也变得相对有限。有限空间自然对应复杂度不太高的模型,也自然对应了有限的模型表达能力。这就是“正则化有效防止模型过拟合的”一种直观解析。
    在这里插入图片描述

    L2正则化

    在深度学习中,用的比较多的正则化技术是L2正则化,其形式是在原先的损失函数后边再加多一项:12λθi2\frac{1}2λθ^2_i,那加上L2正则项的损失函数就可以表示为:
    L(θ)=L(θ)+λinθi2\mathbf{L}(θ)=\mathbf{L}(θ)+λ\sum^n_i{θ^2_i}
    其中θ就是网络层的待学习的参数,λ则控制正则项的大小,较大的取值将较大程度约束模型复杂度,反之亦然。
    L2约束通常对稀疏的有尖峰的权重向量施加大的惩罚,而偏好于均匀的参数。这样的效果是鼓励神经单元利用上层的所有输入,而不是部分输入。所以L2正则项加入之后,权重的绝对值大小就会整体倾向于减少,尤其不会出现特别大的值(比如噪声),即网络偏向于学习比较小的权重。所以L2正则化在深度学习中还有个名字叫做“权重衰减”(weight decay),也有一种理解这种衰减是对权值的一种惩罚,所以有些书里把L2正则化的这一项叫做惩罚项(penalty)。
    我们通过一个例子形象理解一下L2正则化的作用,考虑一个只有两个参数w1w_1w2w_2的模型,其损失函数曲面如下图所示。从a可以看出,最小值所在是一条线,整个曲面看起来就像是一个山脊。那么这样的山脊曲面就会对应无数个参数组合,单纯使用梯度下降法难以得到确定解。但是这样的目标函数若加上一项0.1×(w12+w22)0.1×(w^2_1+w^2_2),则曲面就会变成b图的曲面,最小值所在的位置就会从一条山岭变成一个山谷了,此时我们搜索该目标函数的最小值就比先前容易了,所以L2正则化在机器学习中也叫做“岭回归”(ridge regression)。
    在这里插入图片描述

    参考文献

    [1] https://blog.csdn.net/rocling/article/details/90290576
    [2]L1正则化和L2正则化 https://www.cnblogs.com/skyfsm/p/8456968.html
    [3]L1正则化和L2正则化 https://www.jianshu.com/p/76368eba9c90
    [4]L1范数与L2范数的区别 https://blog.csdn.net/rocling/article/details/90290576
    [5]机器学习之欧式距离和相似度 https://blog.csdn.net/wangdong2017/article/details/81302799

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  • 等腰三角形及直角三角形的存在性问题中考数学的热点及难点问题,该问题...(突出利用两点间距离公式的思路)。探究等腰三角形的存在性问题时需将情况考虑全面,题目中未指定哪条边腰或底边时,需分类讨论哪两条边...
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    2014-05-30 20:40:42
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  • 目前为止你看到了很多程序例子,也在它们的基础上做了很多改动,在这个过程中巩固所学的知识。但是如果从头开始编写一个程序解决某个...由两端点座标求半径的长度,我们知道平面上两点间距离公式是: distance = √
  • 首先看个图了解下什么是理想低通滤波器公式和图转自...D(u,v)的计算方式也就是两点间距离,很简单就能得到。  使用低通滤波器所得到的结果如下所示。低通滤波器滤除了高频成分,所以使得图像模糊。由于理想低通
  • 至少有两点值得指出: 首先,作者完全采用了一种问答的形式来组织和介绍相关内容。全书从头到尾共设计了472个问题(很多由学生提出来的),有问有答,循序渐进,逐步将各种图像技术依次介绍。这种形式除能帮助...
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  • 公式对数据通信的意义是什么? 问题2-5:传输媒体是物理层吗?传输媒体和物理层的主要区别是什么? 问题2-6:同步(synchronous)和异步(asynchronous)的区别是什么? 问题2-7:同步通信和异步通信的区别是什么...
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    2020-04-01 09:16:40
    通过两点作圆;用圆心与半径画圆(这种方法作的圆定长不变,除非改变定长时,否则半径不变) 圆弧 画圆弧也有3种方法 按一定顺序选定三点然后作弧(按逆时针方向从起点到终点画弧);选取圆及圆上2点作弧(从第一点...
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  • php高级开发教程说明

    2008-11-27 11:39:22
    后在适当的地方加以例外处理,当写一个应用程序时,应该知道你的代码从事的是什么工作, 能够快速地从一点转到另一点—但其他人可能认为这并不容易。如果你从开发组的某个人手 中获得一个源文件并需要添加一些特征,...
  • c语言编写单片机技巧

    2009-04-19 12:15:17
    为了避免上述问题除了设法分割电路block之外,设计电路板之前充分检讨设计构想,才根本应有的手法,基本上设计高频电路用电路板必需掌握下列三大原则:  高质感。  不可取巧。 ...
  • 作为开发者其实比较好奇其他人在做什么业余项目(不管目的做到盈利/玩票/试试看) 所以特意建了这个库。欢迎各位开发者把自己的项目加进来~ 发 Pull Request 或 Issue 即可 (入选标准:必须网站或App,不能...

空空如也

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两点间距离公式是什么