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  • 自车坐标系下的物体相对和绝对位置和速度计算自车坐标系坐标系--右-前-天坐标(RFU)坐标系--前-左-上(FLU)位置换算速度换算小结 自车坐标系 自车坐标系,也叫车身坐标系,通常有一下种常用定义: 坐标系–右-前-...

    自车坐标系

    自车坐标系,也叫车身坐标系,通常有一下两种常用定义:

    坐标系–右-前-天坐标(RFU)

    在这里插入图片描述
    车辆坐标系的参数定义如下:

    • X轴:面向车辆前方,右手所指方向

    • Y轴:车辆前进方向

    • Z轴:与地面垂直,指向车顶方向

    车辆参考点原可以为之心中心或者后轴中心,通常取后轴中心。 百度的Apollo项目采用了以上车身坐标系。

    坐标系–前-左-上(FLU)

    与上述坐标系对应的还有“前-左-上(FLU):
    在这里插入图片描述

    定义如下

    • X轴:车辆前进方向
    • Y轴:面向车辆前方,左手所指方向
    • Z轴:与地面垂直,指向车顶方向

    该坐标系为SAEJ182的定义,也是国标(GB/T 19234 )的定义,因此常被传统车厂采用。

    位置换算

    这里以自车坐标系为原点,自车的x、y、z轴作为大地坐标系即绝对坐标系的x、y、z轴,则自车坐标系与大地坐标系重叠,因此他车或者障碍物的绝对坐标即为在自车坐标系中的相对坐标(x,y)。

    P(Xa,Ya)=P(Xr,Yr) P(X_a,Y_a) = P(X_r,Y_r)

    速度换算

    示意图

    在这里插入图片描述

    情形一

    不考虑自车偏航角速度,不考自车虑横向速度,不考虑他车旋转
    此种情形较简单,已知他车或障碍物的在自车坐标系下的相对速度为
    (Vrx,Vry) (V_rx,V_ry)

    由于自车只考虑纵向速度,不考虑横向速度和旋转,自车在大地坐标系(注意与自车坐标系重合)的速度为
    (Vex,0) (V_ex,0)

    因此他车在大地坐标系的速度为
    (Vax,Vay)=(Vex+Vrx,Vry) (V_ax,V_ay) = (V_ex+V_rx,V_ry)

    情形二

    考虑自车偏航角速度、不考虑他车偏航角速度
    已知他车或障碍物的在自车坐标系下的坐标为
    P(xa,ya)=P(xr,yr) P(x_a,y_a) = P(x_r,y_r)

    已知他车或障碍物的在自车坐标系下的相对速度为
    (Vrx,Vry) (V_rx,V_ry)

    自车在大地坐标系(注意与自车坐标系重合)的速度为
    (Vex,0) (V_ex,0)

    偏航角速度(不考虑加速度)为
    w w

    根据旋转坐标系转换原理,则他车在大地坐标系的速度为
    (Vax,Vay)=(Vex+VrxwYr,Vry+wXr) (V_ax,V_ay) = (V_ex+V_rx-wY_r,V_ry+wX_r )
    本情形较为实际,作为计算他车或者障碍物的绝对速度的常用形式。

    小结

    本文总结了车身坐标系中两种常见的坐标系参考形式,并根据根据两种情形总结了在他车在本车坐标系下相对位置与速度和在绝对坐标系下的位置和速度的关系,给出了计算公式。
    如果想进一步了解旋转坐标系和静止坐标系中的位置、速度和加速度关系,可以阅读博文
    旋转坐标系解读——基于Wikipedia

    参考

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/59743409.

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  • 质能转换的途径暨质能公式不属于相对论的证明,张长太,张原,运动的物体,爱因斯坦认为,质量会随速度而增加,变化规律符合其质速公式,其中转换因子是罗伦兹因子,并由此得出了著名的质能公
  • 不管质量物体以何种形式存在,空间扭曲都会一直存在,只是扭曲程度不同而已,黑洞的引力井更深、更陡。而引力正是由空间扭曲产生的。跟黑洞没有直接的关系。因此,也不存在逃离黑洞这么一说。 一个质量物体对空间的...

    质量能量弯曲了时空产生引力场效应

    不管质量物体以何种形式存在,空间扭曲都会一直存在,只是扭曲程度不同而已,黑洞的引力井更深、更陡。而引力正是由空间扭曲产生的。跟黑洞没有直接的关系。因此,也不存在逃离黑洞这么一说。

    一个质量物体对空间的扭曲总是存在的,例如,所有的行星都会对自己所在的空间产生扭曲,卫星在扭曲的空间中以椭圆轨道运行。太阳也有它自己更深的引力井,所有的行星都在围绕着扭曲的空间运行。太阳的运动又遵循着星系的空间扭曲。关键的一点是,质量物体不论以何种形态存在(恒星、中子星、黑洞),对空间的扭曲会一直存在,只是空间扭曲的程度不同而已,天体会随着密度的增加对其周围空间的扭曲就越严重,引力井会更陡。一块小气体云的质量可能与行星相同,但行星的引力井将比气体云更陡。引力井越陡,就需要越快的速度逃离,但要形成黑洞就需要极大的质量、也需要极高的质密度。

    神奇的光

    先看狭义相对论(叫狭义是因为狭义相对论只在惯性系中有效,它考虑的是平直时空的问题,不涉及引力),看看它到底修正了牛顿力学的哪些东西,看看有哪些东西到了接近光速的时候就不能用牛顿力学来解释了。

    不听话的光——本来牛顿的世界一切都安静祥和美好,宇宙的规律似乎尽在掌握之中,但是这时候出现了一个不听话的东西:光。

    光怎么个不听话法呢?因为光速它不变!光速相对参考系不变!!!
    我给大家举个例子:假设你现在在一辆火车上,火车的速度是100米每秒,然后你以1米每秒的速度在火车里面往前走,这时候你想象一下如果地面上有个人,他测量你的速度的话,会是多少?

    我相信你敢肯定的说是101米每秒,这么简单的问题小学生都会。没错,确实是101米每秒,地面上观测到人的速度就是火车的速度+人在火车上行走的速度。而且,不光是人在里面行走,似乎不论什么东西,你在火车了仍飞镖也好,打枪也好,都会满足这种简单的加法,也就是说地面上的人观察到的速度一定是 火车的速度加上火车里面东西的速度。

    但是,当实验对象换成光的时候,这一切就变了。我们现在都知道光速的大约是30万公里每秒(后面的光速用字母c代替),如果我在火车里打开一个手电筒,我在地面上的人测量这个光速,它居然不是c+100,而是依然还是c。也就是说,我在地面上测量的手电筒的光的速度竟然不是光速+火车的速度,我在火车上测量光速是c,到地面上测量它还是c。

    偶滴歌神啊,光为了与众不同,为何这么拼?光这个顽固的小子不论谁在哪里测量,他都是c,完全不符合牛顿力学里最基本的速度叠加原理,这个事怎么处理?

    可是为什么光速不变呢?!

    为什么光速会不变呢?想不通,既然想不通,那就干脆假设光速是不变的,看看能推导出一些啥东西来,而且如果假设光速是不变的,麦克斯韦电磁学和牛顿力学之间的矛盾也好解释了,也能解释一些其他的难以理解的现象,这真是一举多得啊。

    然后好景不长,爱因斯坦看看他笔下的公式,OMG,看看我都推导出来了一些啥?如果光速是不变的,那么运动的物体时间会变慢,长度会缩短,质量会增加,这个世界疯了么?

    爱因斯坦推出来的这一套就是狭义相对论。

    所以,简单的来说,狭义相对论就是爱因斯坦假设光速在不同的参考系下都一样,然后把牛顿体系里除了万有引力定律的东西重新给推理了一遍。因为光速是不变的,所以在爱因斯坦推导出来的新公式里,啥都跟速度光速有关系,时间、长度、质量、能量都是,然后就有了上面说的运动的物体时间会变慢,长度会缩短,质量会增加这些狭义相对论的效应。

    把相对论从惯性系推广到非惯性系,要让这一套思想真正的在不管有没有加速度都能使用,爱因斯坦成功了,后面这个在非惯性系里也能用的就叫广义相对论。

    等效原理

    大家还记得我在上面一句话说狭义相对论的时候,说狭义相对论是把牛顿体系里除了万有引力定律以外的东西都给推了一遍么?为什么要把万有引力定律除外?

    理由很简单,狭义相对论是考虑的是惯性系,如果有引力的话,那肯定就会产生加速度,变成非惯性系了。所以,狭义相对论无法包含万有引力定律,也无法处理加速度的事情。

    引力和加速度,一个代表力,一个代表运动,这两个事在狭义相对论里都解决不了,那要怎么办呢?

    反正关子我也不卖,据说爱因斯坦是有一天晚上做了一个梦,梦到自己在一个电梯了垂直自由下落,然后他想到了一件事:如果一个人在电梯里自由落体,那么它是感受不到重力的,就像在电梯里悬浮了一般。

    爱因斯坦的大脑突然划过一道闪电:电梯自由下落这是引力导致的,我在电梯里感受不到重力加速度。这个场景刚好把狭义相对论无法处理的两个东西(引力和加速度)都包含进来了,而且,他们似乎是相等的。

    总之,爱因斯坦经过一轮疯狂的思考之后,他大胆的提出了一个假设:引力场和加速度的等效的(做了通俗化处理)。

    说的正规一点就是:局部引力场中自由下落的参考系与无引力场的惯性系不可区分。

    回到电梯的话题就是:我悬浮在电梯里,你从里面完全无法区分我是悬浮在太空里(惯性系),还是在一个自由落体运动的电梯里(有地球引力的非惯性系),无法区分就是等价,就是说两者的在物理上是一样的。

    总之,这个东西就是等效原理,是广义相对论的一个假设(跟光速不变是狭义相对论的假设一样)。
    利用等效原理可以把带引力的非惯性系转化成不含引力的惯性系,凡是有引力的地方我都给它加一个自由降落的参考系将引力消除,然后剩下的事情用狭义相对论处理。利用这样的思想,爱因斯坦创立了广义相对论,把引力包也包含到里面去了。

    这里我们瞻仰一下广义相对论的引力场方程:

    这个方程左边表示的是时空弯曲的情况,右边表达物质及其运动。

    用一句比较诗意优雅的话来说就是:物质告诉时空怎么弯曲,时空告诉物质怎么运动。

    广义相对论的通俗解释就只能到这里了,它的核心思想的就是:任何有质量的物体都会引起时空弯曲,然后物体在这个弯曲的时空里继续做他们的“惯性运动”。

    弯曲得太厉害以至于光掉进去都出不来了就是黑洞,这边弯曲的恰好跟另一个弯曲的亲嘴对上了就是虫洞。

    参考资料:https://m.sohu.com/a/232274691_99951505?strategyid=00014

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  • 研究结果表明:高度方向上物体相对高度的倒数和像相对高度的倒数成线性关系;光刀方向上物像的长度比和物体的相对高度成线性关系;新的定标方法精度高,操作方便;光刀测量三维物体切口长度精度高、成本低、处理速度快。
  • 二维物体形状识别方法(一)

    万次阅读 2016-11-30 15:06:30
    物体识别的目的就是要找到一个包含可以区分不同目标物体的有效信息的描述。由于要识别的物体是事先知道的,所以目标物体的几何特征可以被直接应用到识别任务中。  不规则物体的形状匹配是一种有效...

    原文:http://blog.csdn.net/liuqz2009/article/details/47624145

    物体识别是计算机视觉应用的一项基本任务。识别通常基于目标物体的灰度信息、颜色信息或形状信息。物体识别的目的就是要找到一个包含可以区分不同目标物体的有效信息的描述。由于要识别的物体是事先知道的,所以目标物体的几何特征可以被直接应用到识别任务中。

      不规则物体的形状匹配是一种有效的利用物体几何特征进行识别的方法。根据匹配对象的不同,可以将不规则物体的形状匹配分为基于区域的匹配方法和基于轮廓的匹配方法。

    一、基于轮廓特征的形状匹配

      基于轮廓特征的形状匹配在实际中更为常用,这主要有两方面的原因:一是基于轮廓特征的匹配计算量小,可以较好的满足实时性要求;二是要识别的目标物通常是预先知道的,那么它的几何信息完全可以被用于识别过程中。为了识别不规则物体,主要任务就是设计一种基于(少量的)目标物几何约束先验知识的有效匹配方法。

    1.   链码直方图(chain code histogram)

      链码直方图将人眼看上去相似的物体归为一类。因此利用它不能进行精确的识别和分类。

      方向链码(Freeman链码)是用来表示物体轮廓的典型链码表示法。一条离散曲线可以定义为Z2域内一组数量有限的8联通点。因此,一条数字化二值曲线可以用方向链码表示方向链码是相邻两像素连线的8种可能的方向值。一条曲线被网格离散化后形成n个链码方向,最终此曲线链码可表示为{ai}n,每条链指向8个方向重的一个方向,ai={0,1,2,3,4,5,6,7},i为像素的索引值,ai是由像素(i)指向像素(i+1)的方向链码。

      链码直方图的计算简单而且快速。计算公式如下:

        

      其中,nk是一个链码中链码值k的数目,n是一个链码中的节点数。

      

         (a)编码的方向示意,(b)简单物体形状,(c)形状的链码表示,(d)链码直方图

      链码法的特点:

      (1) 计算量小,可满足实时性要求;

      (2) 具有平移、尺度不变性;

      (3) 具有90度旋转不变性;

      (4) 规格化链码直方图可以达到更好的旋转不变性。

    2.   成对几何直方图(Pairwise Geometric Histogram)

      成对几何直方图通过相对角和相对位置特征来描述目标轮廓,并采用关系直方图统计这对几何特征来进行形状索引。采用这种编码方式需要具备一定的前提,即对于一个不规则物体我们可以将其近似为一个几何多边形。这种编码方法可以很好地描述一个多边形物体。

       将不规则形状近似为多边形,并将其定义为边缘点的集合。这样它所包含的轮廓边缘(线段)就可以由连续的边缘点来表示。接下来我们计算多边形的PGH:将每一个轮廓边缘视为其方向上的基准线,那么它与其他轮廓边缘间的相对角 以及最大最小垂直距离(dmin和dmax)可以被计算出来。边缘之间的角度定义了直方图的行,然后在其中增加对应的计算出来的最大和最小距离的所有直方块,就得到了当前多边形的PGH。

      它具有如下特点:

      (1) 计算简单,可满足实时性要求;

      (2) 具有平移、尺度不变性;

      (3) 具有360度旋转不变性。

    3.   简单形状描述符的结合(Combination of Simple Shape Descriptors)

      如图,它们是几种简单的形状描述符,分别代表了凹凸性、主轴、致密性、差异性和椭圆差异性。

      凹凸性:轮廓凸包周长与原轮廓周长的比率。(所有凸起的覆盖轮廓称为凸包)

      主轴:过物体质心的正交轴,主轴之间的比例可以由物体轮廓的协方差矩阵计算出来

      致密性:物体区域面积与等面积的正方形周长的比例,也可以是圆。

      差异性:表现为与模板比较的比例均方误差。

       

      单独用这几种简单描述符的任何一种来表示形状进行匹配,都不能达到较好的匹配结果。但是如果我们将这五种简单形状描述符进行结合,同时用它们来描述一个形状,那么这个形状的描述信息就非常丰富了,匹配的结果也会很好。

    这种形状描述方式具有如下的特点:

      (1) 单独的任何一种简单描述符都不能用于精确识别物体,但是多种简单描述符的结合可以达到很高的识别效率;

      (2) 计算简单,可以达到实时性;

      (3) 具有平移、尺度不变性;

      (4) 理论上360度旋转不变性。

    4.   基于hausdorff距离的形状匹配

      Hausdorff距离用来计算两个点集之间的匹配程度。给定两个有限集A={a1,a2,…,ap}和B={b1,b2,…,bq},A,B之间的Hausdorff距离定义如下:

      

      其中:

      

      

      Hausdorff距离H(A,B)取h(A,B)和h(B,A)的最大值,这样通过计算h(A,B)和h(B,A)就可以获得两个点集A,B之间的匹配程度。

      

      为了减少计算量,可以取角点进行匹配。但这样匹配率将降低。基于hausdorff距离的形状匹配的特点;

      (1) 对每个边缘点进行hausdorff距离计算,计算量稍大,但对不是过于复杂的轮廓(如小尺寸轮廓),可以满足实时性;

      (2) 具有平移、尺度不变性;

      (3) 具有旋转不变性;

    二、基于区域特征的形状匹配

      基于不变矩的形状匹配是典型的基于区域的匹配方法。其中,基于Hu不变矩的形状匹配应用最为广泛。

          图像的矩函数在模式识别、目标分类中得到了广泛的应用。在1961年首先基于代数不变量引入矩不变量。通过对几何矩的非线性组合,导出了一组对于图像平移、尺度、旋转变化不变的矩,这种矩就成为Hu矩。

           一幅大小为M×N的二维图像其中(p+q)阶矩:

    对于二值图像,其零阶矩就是该形状区域的面积。因此,将面积归一化,每一个图像矩除以零阶矩得到的商具有形状的尺度变化无关性。

      求图像的p+q阶中心矩,面积归一化,使得具有平移、尺度不变性。

      (1) 

      (2) 

      计算图像的7个面积归一化的中心矩,{m11,m02,m20,m21,m12,m03,m30}Hu不变矩是关于这7个矩的函数。具有平移、旋转和尺度不变性。

      

      彩色图像Hu不变矩的计算流程如下:

      

      基于Hu矩的形状匹配所具有的特点:

      (1) Hu不变矩只能用于对区域的检测,不能用于边界的检测,但由于计算简单,计算量不大,可以满足实时性;

      (2) 具有平移、尺度不变性;

      (3) 具有旋转不变性。

    三、匹配方法间的比较

      

      CCH(链码直方图):是一种基于轮廓匹配方法。具有较强的平移不变性,尺度不变性一般,具有90度的旋转不变性。由于编码简单,执行速度快。计算量和所需内存都较小,适合差别明显的物体,对平滑和非平滑物体的识别并不明显;

      PGH(成对几何直方图):是一种基于轮廓匹配方法。具有较强的平移不变性和尺度不变性,具有360度的旋转不变性。执行速度快,可以较好地识别多边形物体和部分自封闭的物体,由于它的计算过程,对非多边形物体的识别可能会浪费计算量;

      CFSS(五种简单形状描述符结合):是一种基于轮廓匹配方法。具有较强的平移不变性和尺度不变性,具有360度的旋转不变性。执行速度处于CCH方法和PGH方法之间。识别率与PGH相当,但是比它需要更少的计算时间和内存。

      HAUSDORFF距离:是一种基于轮廓匹配方法。具有较强的平移不变性,但是尺度不变性和旋转不变性都较差。由于处理的数据维数较多,执行效率是这五种方法中最慢的一个。可用于匹配部分重和形状物体。

      Hu不变矩:是一种基于区域的形状匹配方法。具有较强的平移、尺度和旋转不变性,其中旋转不变性为360度。但由于匹配的数据量大,执行速度较慢。适合于进行一些更精确的匹配。

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  • as3种常见的弹性效果公式以及波形运动等as3动画效果公式代码整理,对于常用的来说作者整理的很全面,包括AS3的进制转换颜色提取等效果: AS3缓动公式: sprite.x += (targetX – sprite.x) * easing;//easing为缓...

    as3种常见的弹性效果公式以及波形运动等as3动画效果公式代码整理,对于常用的来说作者整理的很全面,包括AS3的进制转换颜色提取等效果:

    AS3缓动公式:
    sprite.x += (targetX – sprite.x) * easing;//easing为缓动系数变量
    sprite.y += (targetY – sprite.y) * easing;

    AS3弹性公式:
    vx += (targetX – sprite.x) * spring;//spring为弹性系数
    vy += (targetY – sprite.y) * spring;
    sprite.x += (vx *= friction);//friction为摩擦力
    sprite.y += (vy *= friction);

    AS3偏移弹性公式:
    var dx:Number = sprite.x – fixedX;
    var dy:Number = sprite.y – fixedY;
    var angle:Number = Math.atan2(dy, dx);
    var targetX:Number = fixedX + Math.cos(angle) * springLength;
    var targetY:Number = fixedX + Math.sin(angle) * springLength;

    AS3向鼠标旋转(或向某点旋转)
    dx = mouseX – sprite.x;
    dy = mouseY – sprite.y;
    sprite.rotation = Math.atan2(dy, dx) * 180 / Math.PI;

    AS3波形运动:
    public function onEnterFrame1(event:Event):void {
    ball.y=centerScale+Math.sin(angle)*range;
    angle+=speed;
    }

    心跳:
    public function onEnterFrame1(event:Event):void {
    ball.scaleX=centerScale+Math.sin(angle)*range;
    ball.scaleY=centerScale+Math.sin(angle)*range;
    angle+=speed;
    }

    AS3圆心旋转:
    public function onEnterFrame(event:Event):void {
    ball.x=centerX+Math.cos(angle)*radius;
    ball.y=centerY+Math.sin(angle)*radius;
    angle+=speed;
    }

    椭圆旋转:
    public function onEnterFrame(event:Event):void {
    ball.x=centerX+Math.cos(angle)*radiusX;
    ball.y=centerY+Math.sin(angle)*radiusY;
    angle+=speed;
    }
    AS3颜色运算得到透明值:
    var t:uint=0×77ff8877
    var s:uint=0xff000000
    var h:uint=t&s
    var m:uint=h>>>24
    trace(m)
    AS3转换为十进制:
    trace(hexValue);
    AS3十进制转换为十六进制:
    decimalValue.toString(16)
    AS3颜色提取:
    red = color24 >> 16;
    green = color24 >> 8 & 0xFF;
    blue = color24 & 0xFF;
    alpha = color32 >> 24;
    red = color32 >> 16 & 0xFF;
    green = color32 >> 8 & 0xFF;
    blue = color232 & 0xFF;
    AS3按位计算得到颜色值:
    color24 = red < < 16 | green << 8 | blue;
    color32 = alpha << 24 | red << 16 | green << 8 | blue;
    AS3过控制点的曲线:
    // xt, yt is the point you want to draw through
    // x0, y0 and x2, y2 are the end points of the curve
    x1 = xt * 2 – (x0 + x2) / 2;
    y1 = yt * 2 – (y0 + y2) / 2;
    moveTo(x0, y0);
    curveTo(x1, y1, x2, y2);

    AS3右键菜单:
    建立右键菜单项:
    var cm:ContextMenu=new ContextMenu();
    cm.hideBuiltInItems();//隐藏系统菜单(不全隐藏)
    cm.builtInItems指向右键菜单的系统项是个ContextMenuBuiltInItems对象
    如: cm.builtInItems.print=true;使其打印可选
    cm.customItems是个数字指定右键菜单项目
    new ContextMenuItem(“菜单1″,false,true,true)建立一个右键菜单项目,必须指定到customItem中,第一个参数为是否上面出现间隔线,第二个为是否禁用,第三个为是否显示;
    如: cm.customItems.push(new ContextMenuItem(“hello”,false,false,true))
    常用事件:
    cm.addEventListener(ContextMenuEvent.MENU_SELECT,function(){trace(“ss”)})//当右键菜单触发时
    cm.customItems[i].addEventListener(ContextMenuEvent.MENU_ITEM_SELECT,MenuItemSelectHandler);//当某个选择项触发时e.currentTarget.caption;得到相应的caption
    -----------------------------------------------------------
    缓动和弹性

    简单缓动:
    // 长形
    var dx:Number = targetX - sprite.x;
    var dy:Number = targetY - sprite.y;
    vx = dx * easing;
    vy = dy * easing;
    sprite.x += vx;
    sprite.y += vy;
    // 中形
    vx = (targetX - sprite.x) * easing;
    vy = (targetY - sprite.y) * easing;
    sprite.x += vx;
    sprite.y += vy;
    // 短形
    sprite.x += (targetX - sprite.x) * easing;
    sprite.y += (targetY - sprite.y) * easing;

    简单弹性:
    var ax:Number = (targetX - sprite.x) * spring;
    var ay:Number = (targetY - sprite.y) * spring;
    vx += ax;
    vy += ay;
    vx *= friction;
    vy *= friction;
    sprite.x += vx;
    sprite.y += vy;
    // 简化
    vx += (targetX - sprite.x) * spring;
    vy += (targetY - sprite.y) * spring;
    sprite.x += (vx *= friction);
    sprite.y += (vy *= friction);

    偏移弹性运动:
    var dx:Number = sprite.x - fixedX;
    var dy:Number = sprite.y - fixedY;
    var angle:Number = Math.atan2(dy,dx);
    var targetX:Number = fixedX + Math.cos(angle) * springLength;
    var targetY:Number = fixedY + Math.sin(angle) * springLength;

    碰撞检测

    距离碰撞检测:
    //从spriteA 和 spriteB开始,如果使用一个空白影片,或影片没有半径(radius)属性
    //可以用高度与宽度除以2
    var dx:Number = spriteB.x - spriteA.x;
    var dy:Number = spriteB.y - spriteA.y;
    var dist:Number = Math.sqrt(dx*dx + dy*dy);
    if (dist < spriteA.randius + spriteB.radius) {
    //处理碰撞
    }

    多物体碰撞检测:
    var numObjects:uint = 10;
    for (var i :uint = 0; i < numObjects -1; i++) {
    var objectA = object[i ];
    for (var j :uint = 0; i < numObjects; j++) {
    var objectB = object[j ];
    // 在 objectA 与 objectB 之间进行碰撞检测
    }
    }

    坐标旋转和角度回弹

    坐标旋转:
    x1 = Math.cos(angle) * x - Math.sin(angle) * y;
    y1 = Math.sin(angle) * y + Math.cos(angle) * x;

    反坐标旋转:
    x1 = Math.cos(angle) * y + Math.sin(angle) * y;
    y1 = Math.cos(angle) * y - Math.sin(angle) * y;

    撞球物理

    动量:p = m * v
    动量守恒:(m0 * v0) + (m1 * v1) = (m0 * v0Final) + (m1 * v1Final)
    动能:KE = 0.5 * m * v²
    动能守恒:(0. 5 * m0 * v0²) + (0.5 * m1 * v1²) = (0.5 * m0 * v0Final²) + (0.5 * m1 * v1Final²)

    动量守恒的数学表达式:
    v0Final = ((m0 - m1) * v0 + 2 * m1 * v1 ) / (m0 + m1)
    v1Final = ((m1 - m0) * v1 + 2 * m0 * v0 ) / (m0 + m1)

    动量守恒的ActionScript表达式:
    var vxTotal:Number = vx0 - vx1;
    vx0 = ((ball0.mass - ball1.mass) * vx0 + 2 * ball1.mass * vx1 ) / (ball0.mass + ball1.mass);
    vx1 = vxTotal + vx0;

    粒子(Particles)引力和重力

    引力的一般公式:
    force = G * m1 * m2 / distance²

    ActionScript 实现万有引力:
    function gravitate ( partA:Ball, partB:Ball): void
    {
    var dx:Number = partB.x - partA.x;
    var dy:Number = partB.y - partA.y;
    var distSQ:Number = dx * dx + dy * dy;
    var dist:Number = Math.sqrt(distSQ );
    var force:Number = partA.mass * partB.mass / distSQ;
    var ax:Number = force * dx / dist;
    var ay:Number = force * dy / dist;
    partA.vx += ax / partA.mass;
    partA.vy += ay / partA.mass;
    partB.vx -= ax / partB.mass;
    partB.vy -= ay / partB.mass;
    }
    ------------------------------------------------------------
    速度与加速度

    角速度转换为x,y速度向量:
    vx = speed * Math.cos(angle);
    vy = speed * Math.sin(angle);

    角加速度(作用于物体上的force)转换为x,y加速度:
    ax = force * Math.cos(angle);
    ay = force * Math.sin(angle);

    将加速度加入速度向量:
    vx += ax;
    vy += ay;

    将速度向量加入坐标:
    sprite.x += vx;
    sprite.y += vy;

    边界与摩擦力

    处理出界对象:
    if ( sprite.x - sprite.width / 2 > right ||
    sprite.x +sprite.width / 2 < left ||
    sprite.y - sprite.height / 2 > bottom ||
    sprite.y + sprite.height / 2 < top )
    {
    // 移除对象代码(或 重置对象代码)
    }

    屏幕环绕出界对象:
    if ( sprite.x - sprite.width / 2 > right ) {
    sprite.x = left – sprite.width / 2;
    } else if ( sprite.x + sprite.width / 2 < left ) {
    sprite.x = right + sprite.width / 2;
    }
    if ( sprite.y - sprite.height / 2 > bottom ) {
    sprite.y = top – sprite.height / 2;
    }else if ( sprite.y + sprite.height / 2 < top ) {
    sprite.y = sprite.y + sprite.height / 2;
    }

    摩擦力应用(正确方法):
    speed = Math.sqrt ( vx*vx + vy*vy );
    angle = Math.atan2 ( vy,vx );
    if ( speed > friction ) {
    speed -= friction;
    } else {
    speed = 0;
    }
    vx = Math.cos(angle) * speed;
    vy = Math.sin(angle) * speed;

    摩擦力应用(简便方法):
    vx *= friction;
    vy *= friction;

    ———————————————————–
    缓动公式:

    sprite.x += (targetX – sprite.x) * easing;//easing为缓动系数变量

    sprite.y += (targetY – sprite.y) * easing;

    弹性公式:

    vx += (targetX – sprite.x) * spring;//spring为弹性系数

    vy += (targetY – sprite.y) * spring;

    sprite.x += (vx *= friction);//friction为摩擦力

    sprite.y += (vy *= friction); 偏移弹性公式:

    var dx:Number = sprite.x – fixedX;

    var dy:Number = sprite.y – fixedY;

    var angle:Number = Math.atan2(dy, dx);

    var targetX:Number = fixedX + Math.cos(angle) * springLength;

    var targetY:Number = fixedX + Math.sin(angle) * springLength;

    向鼠标旋转(或向某点旋转)

    dx = mouseX – sprite.x; dy = mouseY – sprite.y;

    sprite.rotation = Math.atan2(dy, dx) * 180 / Math.PI;

    波形运动:

    public function onEnterFrame1(event:Event):void {

    ball.y=centerScale+Math.sin(angle)*range;

    angle+=speed;

    }

    心跳:

    public function onEnterFrame1(event:Event):void {

    ball.scaleX=centerScale+Math.sin(angle)*range;

    ball.scaleY=centerScale+Math.sin(angle)*range;

    angle+=speed;

    }

    圆心旋转:

    public function onEnterFrame(event:Event):void {

    ball.x=centerX+Math.cos(angle)*radius;

    ball.y=centerY+Math.sin(angle)*radius;

    angle+=speed;

    }

    椭圆旋转:

    public function onEnterFrame(event:Event):void {

    ball.x=centerX+Math.cos(angle)*radiusX;

    ball.y=centerY+Math.sin(angle)*radiusY;

    angle+=speed;

    }

    颜色运算得到透明值:

    var t:uint=0x77ff8877

    var s:uint=0xff000000

    var h:uint=t&s

    var m:uint=h>>>24 trace(m)

    转换为十进制:

    trace(hexValue);

    十进制转换为十六进制:

    decimalValue.toString(16)

    颜色提取:

    red = color24 >> 16;

    green = color24 >> 8 & 0xFF;

    blue = color24 & 0xFF;

    alpha = color32 >> 24;

    red = color32 >> 16 & 0xFF;

    green = color32 >> 8 & 0xFF;

    blue = color232 & 0xFF;

    按位计算得到颜色值:

    color24 = red << 16 | green << 8 | blue;

    color32 = alpha << 24 | red << 16 | green << 8 | blue;

    过控制点的曲线:

    // xt, yt is the point you want to draw through // x0, y0 and x2, y2 are the end points of the curve x1 = xt * 2 – (x0 + x2) / 2; y1 = yt * 2 – (y0 + y2) / 2; moveTo(x0, y0); curveTo(x1, y1, x2, y2);
    ————————————————
    向鼠标旋转(或向某点旋转)
    dx = mouseX – sprite.x;
    dy = mouseY – sprite.y;
    sprite.rotation = Math.atan2(dy, dx) * 180 / Math.PI;

    波形运动:
    public function onEnterFrame1(event:Event):void {
    ball.y=centerScale+Math.sin(angle)*range;
    angle+=speed;
    }

    心跳:
    public function onEnterFrame1(event:Event):void {
    ball.scaleX=centerScale+Math.sin(angle)*range;
    ball.scaleY=centerScale+Math.sin(angle)*range;
    angle+=speed;
    }

    圆心旋转
    public function onEnterFrame(event:Event):void {
    ball.x=centerX+Math.cos(angle)*radius;
    ball.y=centerY+Math.sin(angle)*radius;
    angle+=speed;
    }

    椭圆旋转
    public function onEnterFrame(event:Event):void {
    ball.x=centerX+Math.cos(angle)*radiusX;
    ball.y=centerY+Math.sin(angle)*radiusY;
    angle+=speed;
    }

    勾股定理
    两个点坐标分别为x1,y1和x2,y2,那么两点间距离为
    var dx:Number = sprite1.x – sprite2.x;
    var dy:Number = sprite1.y – sprite2.y;
    var dist:Number = Math.sqrt(dx * dx + dy * dy);
    注:Math.sqrt是开平方的意思

    画布中随机坐标
    sprite1.x = Math.random() * stage.stageWidth;
    sprite1.y = Math.random() * stage.stageHeight;

    鼠标到Sprite之间连线
    public function onMouseMove(event:MouseEvent):void {
    graphics.clear();
    graphics.lineStyle(1, 0, 1);
    graphics.moveTo(sprite1.x, sprite1.y);
    graphics.lineTo(mouseX, mouseY);
    var dx:Number=sprite1.x-mouseX;
    var dy:Number=sprite1.y-mouseY;
    var dist:Number=int(Math.sqrt(dx*dx+dy*dy));
    textField.text=dist.toString();
    }

    --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    基本三角函数的计算:
    角的正弦值 = 对边 / 斜边
    角的余弦值 = 邻边 / 斜边
    角的正切值 = 对边 / 邻边

    角度制与弧度制的相互转换:
    弧度 = 角度 * Math.PI / 180
    角度 = 弧度 * 180 / Math.PI

    计算两点间距离:
    dx = x2 – x1;
    dy = y2 – y1;
    dist = Math.sqrt(dx*dx + dy*dy);

    缓动公式:
    sprite.x += (targetX - sprite.x) * easing;//easing为缓动系数变量
    sprite.y += (targetY - sprite.y) * easing;

    弹性公式:
    vx += (targetX - sprite.x) * spring;//spring为弹性系数
    vy += (targetY - sprite.y) * spring;
    sprite.x += (vx *= friction);//friction为摩擦力
    sprite.y += (vy *= friction);

    偏移弹性公式:
    var dx:Number = sprite.x - fixedX;
    var dy:Number = sprite.y - fixedY;
    var angle:Number = Math.atan2(dy, dx);
    var targetX:Number = fixedX + Math.cos(angle) * springLength;
    var targetY:Number = fixedX + Math.sin(angle) * springLength;

    向鼠标旋转(或向某点旋转)
    dx = mouseX - sprite.x;
    dy = mouseY - sprite.y;
    sprite.rotation = Math.atan2(dy, dx) * 180 / Math.PI;

    波形运动:
    public function onEnterFrame1(event:Event):void {
    ball.y=centerScale+Math.sin(angle)*range;
    angle+=speed;
    }

    心跳:
    public function onEnterFrame1(event:Event):void {
    ball.scaleX=centerScale+Math.sin(angle)*range;
    ball.scaleY=centerScale+Math.sin(angle)*range;
    angle+=speed;
    }

    圆心旋转:
    public function onEnterFrame(event:Event):void {
    ball.x=centerX+Math.cos(angle)*radius;
    ball.y=centerY+Math.sin(angle)*radius;
    angle+=speed;
    }

    椭圆旋转:
    public function onEnterFrame(event:Event):void {
    ball.x=centerX+Math.cos(angle)*radiusX;
    ball.y=centerY+Math.sin(angle)*radiusY;
    angle+=speed;
    }

    颜色运算得到透明值:
    var t:uint=0×77ff8877
    var s:uint=0xff000000
    var h:uint=t&s
    var m:uint=h>>>24
    trace(m)

    转换为十进制:
    trace(hexValue);
    十进制转换为十六进制:
    decimalValue.toString(16)

    颜色提取:
    red = color24 >> 16;
    green = color24 >> 8 & 0xFF;
    blue = color24 & 0xFF;
    alpha = color32 >> 24;
    red = color32 >> 16 & 0xFF;
    green = color32 >> 8 & 0xFF;
    blue = color232 & 0xFF;

    按位计算得到颜色值:
    color24 = red << 16 | green << 8 | blue;
    color32 = alpha << 24 | red << 16 | green << 8 | blue;

    过控制点的曲线:
    // xt, yt是你想要让曲线通过的那一点
    // x0, y0 和x2, y2 是曲线的终点
    //PS.发现很多人转帖都是直接复制粘贴,也不翻译一下
    xt * 2 – (x0 + x2) / 2;
    y1 = yt * 2 – (y0 + y2) / 2;
    moveTo(x0, y0);
    curveTo(x1, y1, x2, y2);

    // 重置影片的位置和速度

    if(sprite.x - sprite.width / 2 > right ||  sprite.x + sprite.width / 2 < left ||  sprite.y – sprite.height / 2 > bottom ||  sprite.y + sprite.height / 2 < top){  }

    摩擦力应用(正确方法):

    DE>speed = Math.sqrt(vx * vx + vy * vy); DE>
    DE>angle = Math.atan2(vy, vx); DE>
    DE>ifDE>DE>(speed > friction){ DE>
    DE>speed -= friction; DE>
    DE>}DE>DE>elseDE>DE>{ DE>
    DE>speed = 0; DE>
    DE>DE>
    DE>vx = Math.cos(angle) * speed; DE>
    DE>vy = Math.sin(angle) * speed;DE>

    摩擦力应用(简便方法):

    DE>vx *= friction; DE>
    DE>vy *= friction;
    坐标旋转:
    x1 = Math.cos(angle) * x - Math.sin(angle) * y;  y1 = Math.cos(angle) * y + Math.sin(angle) * x;
    DE>

    反坐标旋转:

    DE>1.DE>DE>x1 = Math.cos(angle) * x + Math.sin(angle) * y; DE>
    DE>2.DE>DE>y1 = Math.cos(angle) * y - Math.sin(angle) * x;DE>


    --------------------------------------------------------------------

    几何公式和定理(初中)一些常用数学公式


    1 过两点有且只有一条直线
    2 两点之间线段最短
    3 同角或等角的补角相等
    4 同角或等角的余角相等
    5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
    6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
    7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
    8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
    9 同位角相等,两直线平行
    10 内错角相等,两直线平行
    11 同旁内角互补,两直线平行
    12两直线平行,同位角相等
    13 两直线平行,内错角相等
    14 两直线平行,同旁内角互补
    15 定理 三角形两边的和大于第三边
    16 推论 三角形两边的差小于第三边
    17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
    18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
    19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
    20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
    21 全等三角形的对应边、对应角相等
    22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
    23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
    24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
    25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
    26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
    27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
    28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
    29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
    30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
    31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
    32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
    33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
    34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
    35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
    36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
    37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
    38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
    39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
    40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
    41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
    42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
    43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
    44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
    45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
    46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2
    47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形
    48定理 四边形的内角和等于360°
    49四边形的外角和等于360°
    50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
    51推论 任意多边的外角和等于360°
    52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
    53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
    54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
    55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
    56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
    57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
    58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
    59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
    60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
    61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
    62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
    63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
    64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
    65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
    66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2
    67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
    68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
    69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
    70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
    71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
    72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
    73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一
    点平分,那么这两个图形关于这一点对称
    74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
    75等腰梯形的两条对角线相等
    76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
    77对角线相等的梯形是等腰梯形
    78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
    相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
    79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
    80 推论2   经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第
    三边
    81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它
    的一半
    82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的
    一半   L=(a+b)÷2     S=L×h
    83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
    如果ad=bc,那么a:b=c:d
    84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
    85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么
    (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
    86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应
    线段成比例
    87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
    88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
    89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
    90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
    91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA)
    92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
    93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)
    94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS)
    95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
    角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
    96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平
    分线的比都等于相似比
    97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
    98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
    99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等
    于它的余角的正弦值
    100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等
    于它的余角的正切值
    101圆是定点的距离等于定长的点的集合
    102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
    103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
    104同圆或等圆的半径相等
    105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半
    径的圆
    106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直
    平分线
    107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
    108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距
    离相等的一条直线
    109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
    110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
    111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
    ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
    ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
    112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
    113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
    114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦
    相等,所对的弦的弦心距相等
    115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
    弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
    116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
    117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
    118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所
    对的弦是直径
    119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
    120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它
    的内对角
    121①直线L和⊙O相交   d﹤r
    ②直线L和⊙O相切   d=r
    ③直线L和⊙O相离   d﹥r
    122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
    123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
    124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
    125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
    126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,
    圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
    127圆的外切四边形的两组对边的和相等
    128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
    129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
    130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积
    相等
    131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
    两条线段的比例中项
    132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割
    线与圆交点的两条线段长的比例中项
    133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
    134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
    135①两圆外离   d﹥R+r       ②两圆外切   d=R+r
    ③两圆相交   R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
    ④两圆内切   d=R-r(R﹥r)     ⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)
    136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
    137定理 把圆分成n(n≥3):
    ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
    ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
    138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
    139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
    140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
    141正n边形的面积Sn=pnrn/2   p表示正n边形的周长
    142正三角形面积√3a/4     a表示边长
    143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为
    360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
    144弧长计算公式:L=n兀R/180
    145扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
    146内公切线长= d-(R-r)     外公切线长= d-(R+r)
    (还有一些,大家帮补充吧)

    实用工具:常用数学公式
    公式分类                    公式表达式

    乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

    三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

    |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

    一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

    根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理

    判别式
    b2-4ac=0   注:方程有两个相等的实根
    b2-4ac>0   注:方程有两个不等的实根
    b2-4ac<0   注:方程没有实根,有共轭复数根

    三角函数公式

    两角和公式
    sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
    cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
    tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
    ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

    倍角公式
    tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
    cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

    半角公式
    sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
    cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
    tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
    ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

    和差化积
    2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
    2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
    sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
    ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

    某些数列前n项和
    1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
    2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
    13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

    正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

    余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角

    圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标
    圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0
    抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

    直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c’*h
    正棱锥侧面积 S=1/2c*h’ 正棱台侧面积 S=1/2(c+c’)h’
    圆台侧面积 S=1/2(c+c’)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
    圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

    弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

    锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
    斜棱柱体积 V=S’L    注:其中,S’是直截面面积, L是侧棱长
    柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

    ======================================== 

    一、质点的运动(1)——直线运动
    1)匀变速直线运动
    1.平均速度V平=s/t(定义式) 2.有用推论Vt2-Vo2=2as
    3.中间时刻速度Vt/2=V平=(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt=Vo+at
    5.中间位置速度Vs/2=[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t
    7.加速度a=(Vt-Vo)/t {以Vo为正方向,a与Vo同向(加速)a>0;反向则a<0}
    8.实验用推论Δs=aT2 {Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差}
    9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s;加速度(a):m/s2;末速度(Vt):m/s;时间(t)秒(s);位移(s):米(m);路程:米;速度单位换算:1m/s=3.6km/h。
    注:
    (1)平均速度是矢量;
    (2)物体速度大,加速度不一定大;
    (3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式,不是决定式;
    (4)其它相关内容:质点、位移和路程、参考系、时间与时刻〔见第一册P19〕/s–t图、v–t图/速度与速率、瞬时速度〔见第一册P24〕。
    2)自由落体运动
    1.初速度Vo=0 2.末速度Vt=gt
    3.下落高度h=gt2/2(从Vo位置向下计算) 4.推论Vt2=2gh
    注:
    (1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动,遵循匀变速直线运动规律;
    (2)a=g=9.8m/s2≈10m/s2(重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小,方向竖直向下)。
    (3)竖直上抛运动
    1.位移s=Vot-gt2/2 2.末速度Vt=Vo-gt (g=9.8m/s2≈10m/s2)
    3.有用推论Vt2-Vo2=-2gs 4.上升最大高度Hm=Vo2/2g(抛出点算起)
    5.往返时间t=2Vo/g (从抛出落回原位置的时间)
    注:
    (1)全过程处理:是匀减速直线运动,以向上为正方向,加速度取负值;
    (2)分段处理:向上为匀减速直线运动,向下为自由落体运动,具有对称性;
    (3)上升与下落过程具有对称性,如在同点速度等值反向等。

    二、质点的运动(2)—-曲线运动、万有引力
    1)平抛运动
    1.水平方向速度:Vx=Vo 2.竖直方向速度:Vy=gt
    3.水平方向位移:x=Vot 4.竖直方向位移:y=gt2/2
    5.运动时间t=(2y/g)1/2(通常又表示为(2h/g)1/2)
    6.合速度Vt=(Vx2+Vy2)1/2=[Vo2+(gt)2]1/2
    合速度方向与水平夹角β:tgβ=Vy/Vx=gt/V0
    7.合位移:s=(x2+y2)1/2,
    位移方向与水平夹角α:tgα=y/x=gt/2Vo
    8.水平方向加速度:ax=0;竖直方向加速度:ay=g
    注:
    (1)平抛运动是匀变速曲线运动,加速度为g,通常可看作是水平方向的匀速直线运与竖直方向的自由落体运动的合成;
    (2)运动时间由下落高度h(y)决定与水平抛出速度无关;
    (3)θ与β的关系为tgβ=2tgα;
    (4)在平抛运动中时间t是解题关键;(5)做曲线运动的物体必有加速度,当速度方向与所受合力(加速度)方向不在同一直线上时,物体做曲线运动。
    2)匀速圆周运动
    1.线速度V=s/t=2πr/T 2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf
    3.向心加速度a=V2/r=ω2r=(2π/T)2r 4.向心力F心=mV2/r=mω2r=mr(2π/T)2=mωv=F合
    5.周期与频率:T=1/f 6.角速度与线速度的关系:V=ωr
    7.角速度与转速的关系ω=2πn(此处频率与转速意义相同)
    8.主要物理量及单位:弧长(s):米(m);角度(Φ):弧度(rad);频率(f):赫(Hz);周期(T):秒(s);转速(n):r/s;半径(r):米(m);线速度(V):m/s;角速度(ω):rad/s;向心加速度:m/s2。
    注:
    (1)向心力可以由某个具体力提供,也可以由合力提供,还可以由分力提供,方向始终与速度方向垂直,指向圆心;
    (2)做匀速圆周运动的物体,其向心力等于合力,并且向心力只改变速度的方向,不改变速度的大小,因此物体的动能保持不变,向心力不做功,但动量不断改变。
    3)万有引力
    1.开普勒第三定律:T2/R3=K(=4π2/GM){R:轨道半径,T:周期,K:常量(与行星质量无关,取决于中心天体的质量)}
    2.万有引力定律:F=Gm1m2/r2 (G=6.67×10-11N?m2/kg2,方向在它们的连线上)
    3.天体上的重力和重力加速度:GMm/R2=mg;g=GM/R2 {R:天体半径(m),M:天体质量(kg)}
    4.卫星绕行速度、角速度、周期:V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M:中心天体质量}
    5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s
    6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km,h:距地球表面的高度,r地:地球的半径}
    注:
    (1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向=F万;
    (2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等;
    (3)地球同步卫星只能运行于赤道上空,运行周期和地球自转周期相同;
    (4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小(一同三反);
    (5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。

    三、力(常见的力、力的合成与分解)
    1)常见的力
    1.重力G=mg (方向竖直向下,g=9.8m/s2≈10m/s2,作用点在重心,适用于地球表面附近)
    2.胡克定律F=kx {方向沿恢复形变方向,k:劲度系数(N/m),x:形变量(m)}
    3.滑动摩擦力F=μFN {与物体相对运动方向相反,μ:摩擦因数,FN:正压力(N)}
    4.静摩擦力0≤f静≤fm (与物体相对运动趋势方向相反,fm为最大静摩擦力)
    5.万有引力F=Gm1m2/r2 (G=6.67×10-11N?m2/kg2,方向在它们的连线上)
    6.静电力F=kQ1Q2/r2 (k=9.0×109N?m2/C2,方向在它们的连线上)
    7.电场力F=Eq (E:场强N/C,q:电量C,正电荷受的电场力与场强方向相同)
    8.安培力F=BILsinθ (θ为B与L的夹角,当L⊥B时:F=BIL,B//L时:F=0)
    9.洛仑兹力f=qVBsinθ (θ为B与V的夹角,当V⊥B时:f=qVB,V//B时:f=0)
    注:
    (1)劲度系数k由弹簧自身决定;
    (2)摩擦因数μ与压力大小及接触面积大小无关,由接触面材料特性与表面状况等决定;
    (3)fm略大于μFN,一般视为fm≈μFN;
    (4)其它相关内容:静摩擦力(大小、方向)〔见第一册P8〕;
    (5)物理量符号及单位B:磁感强度(T),L:有效长度(m),I:电流强度(A),V:带电粒子速度(m/s),q:带电粒子(带电体)电量(C);
    (6)安培力与洛仑兹力方向均用左手定则判定。
    2)力的合成与分解
    1.同一直线上力的合成同向:F=F1+F2, 反向:F=F1-F2 (F1>F2)
    2.互成角度力的合成:
    F=(F12+F22+2F1F2cosα)1/2(余弦定理) F1⊥F2时:F=(F12+F22)1/2
    3.合力大小范围:|F1-F2|≤F≤|F1+F2|
    4.力的正交分解:Fx=Fcosβ,Fy=Fsinβ(β为合力与x轴之间的夹角tgβ=Fy/Fx)
    注:
    (1)力(矢量)的合成与分解遵循平行四边形定则;
    (2)合力与分力的关系是等效替代关系,可用合力替代分力的共同作用,反之也成立;
    (3)除公式法外,也可用作图法求解,此时要选择标度,严格作图;
    (4)F1与F2的值一定时,F1与F2的夹角(α角)越大,合力越小;
    (5)同一直线上力的合成,可沿直线取正方向,用正负号表示力的方向,化简为代数运算。

    四、动力学(运动和力)
    1.牛顿第一运动定律(惯性定律):物体具有惯性,总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止
    2.牛顿第二运动定律:F合=ma或a=F合/ma{由合外力决定,与合外力方向一致}
    3.牛顿第三运动定律:F=-F´{负号表示方向相反,F、F´各自作用在对方,平衡力与作用力反作用力区别,实际应用:反冲运动}
    4.共点力的平衡F合=0,推广 {正交分解法、三力汇交原理}
    5.超重:FN>G,失重:FN<G {加速度方向向下,均失重,加速度方向向上,均超重}
    6.牛顿运动定律的适用条件:适用于解决低速运动问题,适用于宏观物体,不适用于处理高速问题,不适用于微观粒子〔见第一册P67〕
    注:平衡状态是指物体处于静止或匀速直线状态,或者是匀速转动。

    五、振动和波(机械振动与机械振动的传播)
    1.简谐振动F=-kx {F:回复力,k:比例系数,x:位移,负号表示F的方向与x始终反向}
    2.单摆周期T=2π(l/g)1/2 {l:摆长(m),g:当地重力加速度值,成立条件:摆角θ<100;l>>r}
    3.受迫振动频率特点:f=f驱动力
    4.发生共振条件:f驱动力=f固,A=max,共振的防止和应用〔见第一册P175〕
    5.机械波、横波、纵波〔见第二册P2〕
    6.波速v=s/t=λf=λ/T{波传播过程中,一个周期向前传播一个波长;波速大小由介质本身所决定}
    7.声波的波速(在空气中)0℃:332m/s;20℃:344m/s;30℃:349m/s;(声波是纵波)
    8.波发生明显衍射(波绕过障碍物或孔继续传播)条件:障碍物或孔的尺寸比波长小,或者相差不大
    9.波的干涉条件:两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同)
    10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动,导致波源发射频率与接收频率不同{相互接近,接收频率增大,反之,减小〔见第二册P21〕}
    注:
    (1)物体的固有频率与振幅、驱动力频率无关,取决于振动系统本身;
    (2)加强区是波峰与波峰或波谷与波谷相遇处,减弱区则是波峰与波谷相遇处;
    (3)波只是传播了振动,介质本身不随波发生迁移,是传递能量的一种方式;
    (4)干涉与衍射是波特有的;
    (5)振动图象与波动图象;
    (6)其它相关内容:超声波及其应用〔见第二册P22〕/振动中的能量转化

    六、冲量与动量(物体的受力与动量的变化)
    1.动量:p=mv {p:动量(kg/s),m:质量(kg),v:速度(m/s),方向与速度方向相同}
    3.冲量:I=Ft {I:冲量(N?s),F:恒力(N),t:力的作用时间(s),方向由F决定}
    4.动量定理:I=Δp或Ft=mvt–mvo {Δp:动量变化Δp=mvt–mvo,是矢量式}
    5.动量守恒定律:p前总=p后总或p=p’´也可以是m1v1+m2v2=m1v1´+m2v2´
    6.弹性碰撞:Δp=0;ΔEk=0 {即系统的动量和动能均守恒}
    7.非弹性碰撞Δp=0;0<ΔEK<ΔEKm {ΔEK:损失的动能,EKm:损失的最大动能}
    8.完全非弹性碰撞Δp=0;ΔEK=ΔEKm {碰后连在一起成一整体}
    9.物体m1以v1初速度与静止的物体m2发生弹性正碰:
    v1´=(m1-m2)v1/(m1+m2) v2´=2m1v1/(m1+m2)
    10.由9得的推论—–等质量弹性正碰时二者交换速度(动能守恒、动量守恒)
    11.子弹m水平速度vo射入静止置于水平光滑地面的长木块M,并嵌入其中一起运动时的机械能损失
    E损=mvo2/2-(M+m)vt2/2=fs相对 {vt:共同速度,f:阻力,s相对子弹相对长木块的位移}

    七、功和能(功是能量转化的量度)
    1.功:W=Fscosα(定义式){W:功(J),F:恒力(N),s:位移(m),α:F、s间的夹角}
    2.重力做功:Wab=mghab {m:物体的质量,g=9.8m/s2≈10m/s2,hab:a与b高度差(hab=ha-hb)}
    3.电场力做功:Wab=qUab {q:电量(C),Uab:a与b之间电势差(V)即Uab=φa-φb}
    4.电功:W=UIt(普适式) {U:电压(V),I:电流(A),t:通电时间(s)}
    5.功率:P=W/t(定义式) {P:功率[瓦(W)],W:t时间内所做的功(J),t:做功所用时间(s)}
    6.汽车牵引力的功率:P=Fv;P平=Fv平 {P:瞬时功率,P平:平均功率}
    7.汽车以恒定功率启动、以恒定加速度启动、汽车最大行驶速度(vmax=P额/f)
    8.电功率:P=UI(普适式) {U:电路电压(V),I:电路电流(A)}
    9.焦耳定律:Q=I2Rt {Q:电热(J),I:电流强度(A),R:电阻值(Ω),t:通电时间(s)}
    10.纯电阻电路中I=U/R;P=UI=U2/R=I2R;Q=W=UIt=U2t/R=I2Rt
    11.动能:Ek=mv2/2 {Ek:动能(J),m:物体质量(kg),v:物体瞬时速度(m/s)}
    12.重力势能:EP=mgh {EP :重力势能(J),g:重力加速度,h:竖直高度(m)(从零势能面起)}
    13.电势能:EA=qφA {EA:带电体在A点的电势能(J),q:电量(C),φA:A点的电势(V)(从零势能面起)}
    14.动能定理(对物体做正功,物体的动能增加):
    W合=mvt2/2-mvo2/2或W合=ΔEK
    {W合:外力对物体做的总功,ΔEK:动能变化ΔEK=(mvt2/2-mvo2/2)}
    15.机械能守恒定律:ΔE=0或EK1+EP1=EK2+EP2也可以是mv12/2+mgh1=mv22/2+mgh2
    16.重力做功与重力势能的变化(重力做功等于物体重力势能增量的负值)WG=-ΔEP
    注:
    (1)功率大小表示做功快慢,做功多少表示能量转化多少;
    (2)O0≤α<90O 做正功;90O<α≤180O做负功;α=90o不做功(力的方向与位移(速度)方向垂直时该力不做功);
    (3)重力(弹力、电场力、分子力)做正功,则重力(弹性、电、分子)势能减少
    (4) 重力做功和电场力做功均与路径无关(见2、3两式);(5)机械能守恒成立条件:除重力(弹力)外其它力不做功,只是动能和势能之间的转化;(6)能的其 它单位换算:1kWh(度)=3.6×106J,1eV=1.60×10-19J;*(7)弹簧弹性势能E=kx2/2,与劲度系数和形变量有关


    =================================== 

    诱导公式

    • sin和cos 的平方和 是1
    • sin(-a)=-sin(a)
    • cos(-a)=cos(a)
    • sin(pi/2-a)=cos(a)
    • cos(pi/2-a)=sin(a)
    • sin(pi/2+a)=cos(a)
    • cos(pi/2+a)=-sin(a)
    • sin(pi-a)=sin(a)
    • cos(pi-a)=-cos(a)
    • sin(pi+a)=-sin(a)
    • cos(pi+a)=-cos(a)
    • tgA=tanA=sinA/cosA

    两角和与差的三角函数

    • sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
    • cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
    • sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
    • cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
    • tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
    • tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

    三角函数和差化积公式

    • sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
    • sin(a)?sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
    • cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
    • cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

    积化和差公式

    • sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
    • cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
    • sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

    二倍角公式

    • sin(2a)=2sin(a)cos(a)
    • cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)

    半角公式

    • sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
    • cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
    • tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

    万能公式

    • sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
    • cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
    • tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

    其它公式

    • a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]
    • a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]
    • 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
    • 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

    其他非重点三角函数

    • csc(a)=1/sin(a)
    • sec(a)=1/cos(a)

    双曲函数

    • sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
    • cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
    • tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

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空空如也

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两物体的相对速度公式