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  • 题意:判断两直线之间的位置关系,平行,重合,相交 题解:注意精度 #include #include using namespace std; #define MAX 100 #define eps 1e-8 #define zero(x) ( ((x) > 0 ? (x) : -(x)) ) struct ...

    题意:判断两直线之间的位置关系,平行,重合,相交

    题解:注意精度

    #include <cmath>
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    #define MAX 100
    #define eps 1e-8
    #define zero(x) ( ((x) > 0 ? (x) : -(x)) < eps )
    
    struct Point { double x, y; };
    struct Line { Point a, b; };
    struct Result { int flag; Point a; }; 
    Result res[MAX];
    
    int parallel ( Line u, Line v )  // 判断是否平行
    {
    	return zero ( (u.a.x-u.b.x)*(v.a.y-v.b.y) - (v.a.x-v.b.x)*(u.a.y-u.b.y) );
    }
    
    int top_on ( Line u, Line v ) // 判断是否重合,但前提是先判定平行
    {
    	return zero ( (u.a.x-v.b.x)*(v.a.y-v.b.y) - (u.a.y-v.b.y)*(v.a.x-v.b.x) );
    }
    
    Point intersection ( Line u, Line v )  // 求交点
    {
    	Point ret = u.a;
    	double t = ( (u.a.x-v.a.x)*(v.a.y-v.b.y) - (u.a.y-v.a.y)*(v.a.x-v.b.x) )
    		     / ( (u.a.x-u.b.x)*(v.a.y-v.b.y) - (u.a.y-u.b.y)*(v.a.x-v.b.x) ) ;
    	ret.x += (u.b.x-u.a.x) * t;
    	ret.y += (u.b.y-u.a.y) * t;
    	return ret;
    }
    
    
    int main()
    {
    	int n, i;
    	scanf("%d",&n);
    	for ( i = 1; i <= n; i++ )
    	{
    		Line u, v;
    		scanf("%lf %lf %lf %lf", &u.a.x, &u.a.y, &u.b.x, &u.b.y );
    		scanf("%lf %lf %lf %lf", &v.a.x, &v.a.y, &v.b.x, &v.b.y );
    		if ( parallel ( u, v ) )
    		{
    			if ( top_on ( u, v ) )
    				res[i].flag = 2;
    			else
    				res[i].flag = 1;
    		}
    		else
    		{
    			res[i].flag = 3;
    			res[i].a = intersection ( u, v );
    		}
    	}
    
    	printf("INTERSECTING LINES OUTPUT\n");
    	for ( i = 1; i <= n; i++ )
    	{
    		if ( res[i].flag == 1 )
    			printf("NONE\n");
    		else if ( res[i].flag == 2 )
    			printf("LINE\n");
    		else
    			printf("POINT %.2lf %.2lf\n", res[i].a.x, res[i].a.y);
    	}
    	printf("END OF OUTPUT\n");
    	return 0;
    }
    
    			
    	
    


     

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  • 基础 空间中直线的关系: \(\begin{cases} 共面直线 \begin{cases} 相交直线: 同一平面内, 有且只有一个公共点 ...如何判定空间中两直线平行? 找到一个平面同时包含这两条直线 证明这两条直线在这个平面上平行 如何...

    基础

    空间中直线的关系:
    \(\begin{cases} 共面直线 \begin{cases} 相交直线: 同一平面内, 有且只有一个公共点 \\ 平行直线: 同一平面内, 没有公共点 \end{cases} \\ 异面直线: 不在任何一个平面内, 没有公共点 \end{cases}\)

    如何判定空间中两直线平行?

    • 找到一个平面同时包含这两条直线
    • 证明这两条直线在这个平面上平行

    如何计算计算空间中两条直线的夹角?

    • 平移两条直线使得它们产生交点
    • 取两条直线的交点, 再在两条直线上分别取一个点. 用这三个构成一个三角形.
    • 通过解三角形得到两条直线之间的夹角
    • 将这个角化成\([0, \frac{\pi}{2}]\)中的角

    一些计算的方法和技巧

    • 将空间中的问题转化为平面上的问题
    • 常用平移直线的方法: 中位线法, 平行四边形法, 补形法

    转载于:https://www.cnblogs.com/Zeonfai/p/6837723.html

    展开全文
  • 利用eigen库内矩阵运算函数,写了LinesPositionRelationship3D类。实现了确定三维空间任意两条直线位置关系并获得在平行和交错条件下的两直线距离功能。该类是在确定空间两圆柱轴线关系下副产品。
  • 求空间直线之间的距离

    万次阅读 2016-10-28 21:52:42
    2. 处理思路空间两直线之间的位置关系主要可以分为: 重合, 平行, 相交, 异面。2.1 异面情形(含相交): 已知空间中两线段,如果它们无限变粗,判断是否相交。(主要讨论不在同一平面的情况)线段AB 线段CD ...

    1. 前言

    最近老板让写一段空间点匹配的代码, 其中涉及到求空间两直线之间的距离,写起来满费劲的, 这里做一个记录。

    2. 处理思路

    空间两直线之间的位置关系主要可以分为: 重合, 平行, 相交, 异面。

    2.1 异面情形(含相交):

    已知空间中两线段,如果它们无限变粗,判断是否相交。(主要讨论不在同一平面的情况)线段AB 线段CD
    问题的关键是求出这两条任意直线之间的最短距离,以及在这个距离上的两线最接近点坐标,判断该点是否在线段AB和线段CD上。
    首先将直线方程化为对称式,得到其方向向量n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2).

    再将两向量叉乘得到其公垂向量N=(x,y,z),在两直线上分别选取点A,B(任意),得到向量AB,
    求向量AB在向量N方向的投影即为两异面直线间的距离了(就是最短距离啦)。

    最短距离的求法:d=|向量N*向量AB|/|向量N|(上面是两向量的数量积,下面是取模)。

    设交点为C,D,带入公垂线N的对称式中,又因为C,D两点分别满足一开始的直线方程,所以得到关于C(或D)的两个连等方程,分别解出来就好了!

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_a401a1ea0101ij9z.html

    2.2 平行的情况(含重合)

    两平行直线
    L1:(x-x1)/m=(y-y1)/n=(z-z1)/p,L2:(x-x2)/m=(y-y2)/n=(z-z2)/p,
    记 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),直线方向向量 s = {m,n,p}
    则 记向量 M1M2 = {x2-x1,y2-y1,z2-z1} = {a,b,c}
    故得平行线间的距离
    d = | M1M2×s | / |s|
    =√[(bp-cn)^2+(cm-ap)^2+(an-bm)^2]/√(m^2+n^2+p^2)

    http://www.zybang.com/question/7708426051e596b099898bb1b5d8938d.html

    3. 相关代码

    getBisByTwoLines.m

    %% getDisByTwoLines 用于求解两条直线之间的距离
    % @description 利用 pt31 和 pt32 所构成的直线 向 直线1,2 的公垂线做投影
    % @param line1 直线1 的法向量 1 x 3
    % @param pt31 直线1 上的某个点 1 x 3 或者 1 x 4
    % @param line2 直线2 的法向量 1 x 3
    % @param pt32 直线2 上的某个点 1 x 3 或者 1 x 4
    % @return dis 返回 两直线之间的中垂线的距离
    %
    function [dis] = getDisByTwoLines(line1, pt31, line2, pt32)
        assert(size(line1, 1) == 1 && size(line1, 2) == 3, 'check the input for line1');
        assert(size(pt31, 1) == 1 && (size(pt31, 2) == 3 || size(pt31, 2) == 4), 'check the input for pt31');
        assert(size(line2, 1) == 1 && size(line2, 2) == 3, 'check the input for line2');
        assert(size(pt32, 1) == 1 && (size(pt32, 2) == 3 || size(pt32, 2) == 4), 'check the input for pt32');
    
        tmp = pt32 - pt31;
        lineAB = tmp(1:3);
    
        line = getCoVertialLine(line1, line2);
        if all(line(:) == 0)
            % parallel
            dis = abs(norm(cross(line1, lineAB), 2) / norm(line1, 2));
        else
            % not parallel        
            dis = abs(dot(line, lineAB) / norm(line, 2));
        end
    end

    getCoVerticalLine.m

    %% getCoVertialLine 用于求解两条直线的公垂线的向量部分
    % @param line1 直线1 的法向量 1 x 3
    % @param line2 直线2 的法向量 1 x 3
    % @return line 返回 两直线之间的中垂线的法向量
    %
    
    function [line] = getCoVertialLine(line1, line2)
        assert(size(line1, 1) == 1 && size(line1, 2) == 3, 'check the input for line1');
        assert(size(line2, 1) == 1 && size(line2, 2) == 3, 'check the input for line2');
    
        line = cross(line1, line2);
    end

    test.m

    %% 单元测试
    function test()
        Test_getDisByTwoLines()
    end
    
    %% 测试两直线之间的距离关系
    function Test_getDisByTwoLines()
        line1 = [0, 1, 0];
        line2 = [1, 0, 0];
        pt31 = [0 0 0 1];
        pt32 = [1, 0 ,0 ,1 ];
    
        %% not parellel and not intersect
        dis = getDisByTwoLines(line1, pt31, line2, pt32);
        assert(dis == 0, 'case 1 : something error');
    
        pt32 = [1 1 1 1];
        dis = getDisByTwoLines(line1, pt31, line2, pt32);
        assert(dis == 1, 'case 1 : something error');
    
        line2 = [0, 1, 1];
        pt32 = [1 1 1 1];
        dis = getDisByTwoLines(line1, pt31, line2, pt32);
        assert(dis == 1, 'case 1 : something error');
    
        %% parellel
        line2 = [0, 1, 0];
        pt32 = [1 1 1 1];
        dis = getDisByTwoLines(line1, pt31, line2, pt32);
        assert(dis == sqrt(2), 'case 2 : something error');
    
        %% intersect
        line2 = [1, 0, 1];
        pt32 = [1 1 1 1];
        dis = getDisByTwoLines(line1, pt31, line2, pt32);
        assert(dis == 0, 'case 3 : something error');
    
        %% collapse
        line2 = [0, 1, 0];
        pt32 = [0 1 0 1];
        dis = getDisByTwoLines(line1, pt31, line2, pt32);
        assert(dis == 0, 'case 4 : something error');
    
        line2 = [0, 1, 0];
        pt32 = [0 0 0 1];
        dis = getDisByTwoLines(line1, pt31, line2, pt32);
        assert(dis == 0, 'case 4 : something error');
    end
    
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  • 平面画法(1)水平放置平面通常画成一个平行四边形,它锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长2倍,如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它立体感,把被遮挡部分用虚线画出来,如图②.3....

    209e677c48f651eb8ba3ead40190bf22.png

    知识点一 平面的概念

    1.几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.

    2.平面的画法

    (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍,如图①.

    (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来,如图②.

    3.平面的表示法

    图①的平面可表示为平面α,平面ABCD,平面AC或平面BD.

    319016216ad23595f203f6f6dacd2903.png

    知识点二 点、线、面之间的关系

    1.直线在平面内的概念

    如果直线l上的所有点都在平面α内,就说直线l在平面α内,或者说平面α经过直线l.

    2.一些文字语言与数学符号的对应关系

    772e3ac4cbd18cc38adf9c1b5a8c2891.png

    知识点三 平面的基本性质及作用

    8cdedf514c5b1733701bcb8b90f61488.png

    知识点四 空间中两条直线的位置关系

    1.异面直线

    (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

    要点分析:①异面直线的定义表明:异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交,也不平行.

    ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中,虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.

    8dd59f8a0b9f36db6755480e2c6efe84.png

    (2)画法:画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行也不相交,即不共面的特点,常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托,以加强直观性、立体感.如图所示,a与b为异面直线.

    955ce681dd7e5e84f806f6f93c4141de.png

    (3)判断方法

    370d56c48deadcef4386af2d54436804.png
    2.空间中两条直线位置关系的分类

    (1)按两条直线是否共面分类

    e6d63527b1e36617a42fe581397a8336.png

    (2)按两条直线是否有公共点分类

    1170749b697684e3e2640b1f2b4913a9.png

    知识点五 公理4(平行公理)

    401eb646d79f58283cf2bdd3a4b92444.png

    知识点六 空间等角定理

    1.定理

    8ea0ad6a510975175d3f546bd50e2b50.png
    2.推广

    如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.

    知识点七 异面直线所成的角

    1.概念

    已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

    2.异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°.

    3.如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.

    两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.

    4.异面直线所成的角的两种求法

    (1)在空间任取一点O,过点O分别作a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角,然后通过解三角形等方法求角.

    7e5ea6755a6a3292dd910d972b2f1124.png

    (2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O,过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a),则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角),然后通过解三角形等方法求角(如图).

    知识点八 直线与平面的位置关系

    1.直线与平面的位置关系

    eed57f6291ff3bd7ff39e19ccde4f6d6.png
    2.直线与平面的位置关系的分类

    3d83c7a4b063904314412ffe536465ba.png

    知识点九 两个平面的位置关系

    f7d6f349faf3d66cb65083242b6d7233.png
    展开全文
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空空如也

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两直线之间的位置关系