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    空间两直线间距离公式(文档篇).doc

    空间两直线间距离公式(文档8篇)

    以下是网友分享的关于空间两直线间距离公式的资料8篇,希望对您有所帮助,就爱阅读感谢您的支持。

    第一篇

    38

    高等数学研究 Vo.l9,No.2

    STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMar.,2006

    点到空间直线距离公式的两种简洁证明

    王 焕

    (西北大学数学系 西安 710069)

    *

    摘 要 对空间中任意一点P(x0,y0,z0)到直线l:(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n1

    →→

    1 A1x+B1y+C1z+D1=0

    的距离公式:d=

    2 A2x+B2y+C2z+D2=0

    n1 n2

    ,介绍另两种过程简洁并且几何意义明显的证明

    关键词 距离;外接圆直径;二重矢量积公式 中图分类号 O172

    文[1]中利用求条件极值的拉格朗日乘数法,给出空间中点P(x0,y0,z0)到直线

    l:

    的距离公式

    d=

    1 A1x+B1y+C1z+D1=0 2 A2x+B2y+C2z+D2=0

    →→

    (1)

    (A1x

    0+B1y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n1

    n1 n2

    (2)

    其中ni=(Ai,Bi,Ci),i=1,2,并作了证明.使用该公式求P点到直线l的距离时,不需要预先求出直线l上的任何点.本文试图对公式(2)介绍另两种过程简洁并且几何意义明显的证明.

    如图,平面 1, 2相交于直线l,点P(x0,y0,z0)到 1, 1,l的射影分别为A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则点P到l的距离d=.

    证法1 由题设和作图易知:P,A,B,C四点共圆,线段PC就是 PAB外接圆的直径,由正弦定理得

    d=2R==x2=x0+tA2

    n1n2=→→

    sin APBn1 n2x1=x0+sA1

    (3)

    令=tn2=sn1y2=y0+tB2,,y1=y0+sB1,以及直线方程(1)易得

    z2=z0+tC2z1=z0+sC1

    A2x0+B2y0+C2z0+D2A1x0+B1y0+C1z0+D1

    t=-s=-222222A2+B2+C2A1+B1+C1

    从而

    第9卷第2期 王 焕:点到空间直线距离公式的两种简洁证明

    39

    AB

    2

    =AB=(PB-PA)=

    2

    2

    2

    2

    2

    (tn2-sn1)=tn2+sn1-2tsn1n2=

    (A1x0+B1

    y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n(A1+B1+C1)(A2+B2+C2)

    因而n1n2=(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n1,代入(3)式即得(2)式.

    证法2 设Q是直线l上任意一点,取直线l的方向为=n1 n2则由矢量积的几何意义得 n1 n2

    不妨就取Q点位于C点处,则由三个矢量的二重矢量积公式可得

    d=

    由题设和作图易知

    d=

    =

    n1 n2 (4)

    =

    n1 n2

    n1 n2

    =

    (n1 PC)n2-(n2 PC)n1

    →→→→→→

    n1 n2

    (5)

    n1 PC=n1 PA=-(A1x0+B1y0+C1z0+D1)

    n2 PC=n2 PB=-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)

    代入(5)式即得(2)式.

    参考文献

    [1]高遵海.点到空间直线距离的一个公式.高等数学研究.2005.(8)2,4-5

    →→→

    (6)

    (上接第37页)6 函数fx,y)在点(x0,y0)偏导数存在,但不一定可微

    (x,y) (0,0),例6 讨论f(x,y)=在点(0,0)处的可导性及可微性+y

    0,(x,y)=(0,0)

    解 由xlim=0,得f ,0)=0.同理f ,0)=0,故函数f(x,y)在点(0,0)x(0y(0→0x处的各偏导数存在.

    z-fx(0,0) x-fy(0,0) y但由于 lim=lim=lim不存在,所以→0 x→0x→0( x)+( y) y→0( x)+( y) y→0

    z-fx(0

    ,0) x-fy(0,0) y 0( ),( →0),故f(x,y)在点(0,0)处不可微.综上讨论,二元函数在一点处有极限、连续、偏导数存在以及可微等性质之间的相互关系与一元函数的有关性质有相似之处,亦有许多不同之处.搞清二元函数的上述几个概念及其相互关系,是学好多元函数微积分的基础.

    一元函数与多元函数性质的关系图

    多元函数:一元函数:

    参考文献

    [1]朱时.数学分析扎记.贵州省教育出版社.

    [..

    第二篇

    空间两点间的距离公式

    海南中学 陈封军

    一、教学任务分析

    (1)通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。

    (2)通过推导和应用空间两点间的距

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    马上考试了

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    (根号(k^+1))*根号(x1^2+X2^2-2x1x2)

    再问: 可以说清楚点吗

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    推导前置:两点之间距离公式

    图一:
    在这里插入图片描述
    已知AB两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)。
    过A做一直线与X轴平行,过B做一直线与Y轴平行,两直线交点为C。
    则AC垂直于BC(因为X轴垂直于Y轴)
    则三角形ACB为直角三角形
    由勾股定理得
    A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2 AB2=AC2+BC2

    A B = A C 2 + B C 2 AB=\sqrt{AC^2+BC^2} AB=AC2+BC2

    已知直线方程:

    一般式
    A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0
    点斜式
    ( y 1 − y 2 ) ( x 1 − x 2 ) = k \frac{(y1-y2)}{(x1-x2)}=k (x1x2)(y1y2)=k

    过P(x0,y0)作直线L的垂线Li,垂足为D(x,y),p(x0,y0)到D(x,y)的距离为d
    在这里插入图片描述

    由一般式直线方程可知,直线L的斜率为:-
    k = − A B k=-\frac{A}{B} k=BA

    由于两线垂直斜率乘积为-1,所以垂线Li的斜率为:
    k i = B A ki=\frac{B}{A} ki=AB

    代入点斜式直线方程:

    y 0 − y x 0 − x = B A \frac{y0-y}{x0-x}=\frac{B}{A} x0xy0y=AB

    即得到直线方程二:
    B x − A y + A y 0 − B x 0 = 0 Bx-Ay+Ay0-Bx0=0 BxAy+Ay0Bx0=0

    通过一般式可知:
    x = − ( c + B y ) A x=\frac{-(c+By)}{A} x=A(c+By)

    y = − ( c + A x ) B y=\frac{-(c+Ax)}{B} y=B(c+Ax)

    代入直线方程二

    B x + A C + A 2 ∗ x B + A y 0 − B x 0 = 0 Bx+\frac{AC+A^2*x}{B}+Ay0-Bx0=0 Bx+BAC+A2x+Ay0Bx0=0

    计算得到D(x,y)的坐标为:

    x = B 2 ∗ x 0 − A B y 0 − A C B 2 + A 2 x=\frac{B^2*x0-ABy0-AC}{B^2+A^2} x=B2+A2B2x0ABy0AC

    y = A 2 ∗ y 0 − A B x 0 − B C B 2 + A 2 y=\frac{A^2*y0-ABx0-BC}{B^2+A^2} y=B2+A2A2y0ABx0BC

    x − x 0 = − A ( A x 0 + B y 0 + C ) B 2 + A 2 x-x0=\frac{-A(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2} xx0=B2+A2A(Ax0+By0+C)

    y − y 0 = − B ( A x 0 + B y 0 + C ) B 2 + A 2 y-y0=\frac{-B(Ax0+By0+C)}{B^2+A^2} yy0=B2+A2B(Ax0+By0+C)

    根据推导前置图一勾股定理可知:

    d 2 = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 d^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2 d2=(xx0)2+(yy0)2

    所以代入x-x0,y-y0得到:
    d 2 = ( − A ( A x 0 + B y 0 + C ) ( B 2 + A 2 ) ) 2 + ( − B ( A x 0 + B y 0 + C ) ( B 2 + A 2 ) ) 2 d^2=\frac{(-A(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2))^2}+\frac{(-B(Ax0+By0+C)}{(B^2+A^2))^2} d2=(B2+A2))2(A(Ax0+By0+C)+(B2+A2))2(B(Ax0+By0+C)

    d 2 = A 2 ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 + B 2 ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 d^2=\frac{A^2(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2}+\frac{B^2(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2} d2=(B2+A2)2A2(Ax0+By0+C)2+(B2+A2)2B2(Ax0+By0+C)2

    d 2 = ( A 2 + + B 2 ) ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) 2 d^2=\frac{(A^2++B^2)(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)^2} d2=(B2+A2)2(A2++B2)(Ax0+By0+C)2

    d 2 = ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( B 2 + A 2 ) d^2=\frac{(Ax0+By0+C)^2}{(B^2+A^2)} d2=(B2+A2)(Ax0+By0+C)2

    得出点到直线距离公式为:

    d = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 d=\frac{|Ax0+By0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} d=A2+B2 Ax0+By0+C

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两直线之间的距离公式