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  • 初中三年数学几何公式、定理梳理,今天分享给大家,家长可以为孩子转发,让孩子的几何学习更方便些。1.过点有且只有一条直线2.点之间线段最短3....如果条直线都第三条直线平行,这条直线也互相平行9....

    初中三年数学几何公式、定理梳理,今天分享给大家,家长可以为孩子转发,让孩子的几何学习更方便些。

    1.过两点有且只有一条直线

    2.两点之间线段最短

    3.同角或等角的补角相等

    4.同角或等角的余角相等

    5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

    6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

    7.平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

    8.如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行

    9.同位角相等,两直线平行

    10.内错角相等,两直线平行

    11.同旁内角互补,两直线平行

    12.两直线平行,同位角相等

    13.两直线平行,内错角相等

    14.两直线平行,同旁内角互补

    15.定理三角形两边的和大于第三边

    16.推论三角形两边的差小于第三边

    17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

    18.推论1直角三角形的两个锐角互余

    19.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

    20.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

    21.全等三角形的对应边、对应角相等

    22.边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

    23.角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

    24.推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等

    26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

    27.定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

    28.定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上

    29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

    30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等

    31.推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

    32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合

    33.推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

    35.推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形

    36.推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

    37.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

    38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

    39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

    40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

    41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

    42.定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

    43.定理2如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

    44.定理3两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

    45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

    46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a+b=c

    47.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c,那么这个三角形是直角三角形

    48.定理四边形的内角和等于360°

    49.四边形的外角和等于360°

    50.多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

    51.推论任意多边的外角和等于360°

    52.平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

    53.平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

    54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等55.平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

    56.平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

    57.平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

    58.平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

    59.平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

    60.矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

    61.矩形性质定理2矩形的对角线相等

    62.矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

    63.矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

    64.菱形性质定理1菱形的四条边都相等

    65.菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

    66.菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2

    67.菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

    68.菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

    69.正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等

    70.正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

    71.定理1关于中心对称的两个图形是全等的

    72.定理2关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分

    73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

    74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

    75.等腰梯形的两条对角线相等

    76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

    77.对角线相等的梯形是等腰梯形

    78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等

    79.推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰

    80.推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边

    81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半

    82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h

    83.(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc

    如果ad=bc,那么a:b=c:d

    84.(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

    85.(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么

    (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

    86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

    87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例

    88.定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边

    89.平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

    90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

    91.相似三角形判定定理1两角对应相等,两三角形相似(ASA)

    92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

    93.判定定理2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)

    94.判定定理3三边对应成比例,两三角形相似(SSS)

    95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

    96.性质定理1相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

    97.性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

    98.性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

    99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

    100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

    101.圆是定点的距离等于定长的点的集合

    102.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

    103.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

    104.同圆或等圆的半径相等

    105.到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆

    106.和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线

    107.到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线

    108.到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

    109.定理不在同一直线上的三个点确定一条直线

    110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

    111.推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

    ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

    ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

    112.推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等

    113.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

    114.定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

    115.推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

    116.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

    117.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

    118.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

    119.推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

    120.定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

    121 .①直线L和⊙O相交d﹤r

    ②直线L和⊙O相切d=r

    ③直线L和⊙O相离d﹥r

    122.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

    123.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

    124.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

    125.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

    126.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

    127.圆的外切四边形的两组对边的和相等

    128.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

    129.推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

    130.相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等

    131.推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

    132.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

    133.推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

    134.如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

    135.①两圆外离d﹥R+r

    ②两圆外切d=R+r

    ③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

    ④两圆内切d=R-r(R﹥r)⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

    136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

    137.定理把圆分成n(n≥3):

    ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

    ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

    138.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

    139.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

    140.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

    141.正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长

    142.正三角形面积√3a/4a表示边长

    143.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

    144.弧长计算公式:L=n∏R/180

    145.扇形面积公式:S扇形=n∏R/360=LR/2

    146.内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

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  • 直线与圆常见公式结论直线与圆常见公式结论斜率公式 (、).直线的五种方程(熟练掌握截距式、一般式)(1)点斜式 (直线过点,且斜率为).(2)斜截式 (b为直线...直线平行和垂直(1)若,①;②.(2)若,,且A1、A2...

    直线与圆常见公式结论

    直线与圆常见公式结论

    斜率公式 (、).

    直线的五种方程(熟练掌握两点和截距式、一般式)

    (1)点斜式 (直线过点,且斜率为).

    (2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距).

    (3)两点式 ()(、 ()).

    (4)截距式 (分别为直线的横、纵截距,)

    (5)一般式 (其中A、B不同时为0).

    点法式和点向式在求直线方程时较直观.

    两条直线的平行和垂直

    (1)若,

    ①;②.

    (2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,

    ①;

    ②;

    到角公式和夹角公式

    到的角公式

    (1).

    (,,)

    (2).(,,).

    夹角公式

    (1).(,,)

    (2).(,,).

    直线时,直线l1与l2的夹角是.

    当,直线,直线l1到l2的角及l1及l2的夹角都是.

    四种常用直线系方程

    (1)定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数.

    (2)共点直线系方程:经过两直线,的交点的直线系方程为(除),其中λ是待定的系数.

    (3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线平行的直线系方程是(),λ是参变量.

    (4)垂直直线系方程:与直线 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量.

    点到直线的距离

    (点,直线:).

    两条平行线:之间的距离是:.

    点关于点的对称点的坐标为:.特别地,点关于原点的对称点的坐标为:,即.

    直线关于点对称的直线的方程为:.

    直线关于原点、x轴,y轴对称的直线的方程分别为:,

    ,.

    直线关于直线对称的直线的方程分别为:

    ,.

    曲线关于点对称的直线的方程为:.

    点关于直线的对称点的坐标为:,

    .特别地,当时,点关于直线的对称点的坐标为:.点关于轴、轴,直线,直线的对称点的坐标分别为:.

    圆的四种方程

    (1)圆的标准方程 .

    (2)圆的一般方程 (>0).

    (3)圆的参数方程 .

    (4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).

    圆系方程

    (1)过点,的圆系方程是

    ,其中是直线的方程,λ是待定的系数.

    (2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数.

    (3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数.

    点与圆的位置关系

    点与圆的位置关系有三种

    若,则

    点在圆外;点在圆上;点在圆内.

    直线与圆的位置关系

    直线与圆的位置关系有三种:

    ;;.

    其中.

    两圆位置关系的判定方法

    设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,

    ;

    ;

    ;

    ;

    .

    圆的切线方程

    (1)已知圆.

    ①若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是

    .

    当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程.

    ②过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.

    ③斜率为k的切线方程可设为,再利用相切条件求b,必有两条切线.

    (2)已知圆.

    ①过圆上的点的切线方程为;

    ②斜率为的圆的切线方程为.

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  • 在高考数学里,空间直线与平面的平行有关的知识内容题型,一直是近几年高考命题的热点,成为立体几何重要的基础考点。如何巧妙快速的判定空间直线与平面平行位置关系,如何在平面内寻找一条直线,探索该直线与平面...
    a6e326075aa60ac5f3f030bde2b5aded.gifa7790032391cd529f167f851f40107d7.png在高考数学里,空间直线与平面的平行有关的知识内容和题型,一直是近几年高考命题的热点,成为立体几何重要的基础考点。如何巧妙快速的判定空间直线与平面平行位置关系,如何在平面内寻找一条直线,探索该直线与平面平行等,这些问题一直是常见的热点问题。重点考查考生的空间想象能力、计算能力、推理论证能力,以及转化思想的应用。跟着包Sir一起来看看动态教辅里是如何来帮助大家学习这一部分知识的吧~小编乱入1互动启思f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png题型1 直线的倾斜角与斜率、直线方程引言掌握基础知识,养成画图的习惯,培养平面几何的想象能力是解题的关键.例题1  经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(  )A.x+y-2=0B.x+y-1=0C.x=1或y=1D.x+y-2=0或x-y=0互动启思638f2767328307d66ff26f057115987d.gif一点呈析答案: D解析: 当直线过原点时,满足题意,此时直线方程为04f5c6aaa219c92794cce7ce2a406e1f.png,即xy=0;当直线不过原点时,设直线方程为7b245b47816c501da4113711f7c14d82.png,代入M(1,1),解得a=2,所以直线的方程为+=1,即xy-2=0.综上所述,所求直线的方程为xy-2=0或xy=0.故选例题2  已知直线l平分圆C:x2+y2-6x+6y+2=0的周长,且直线l不经过第三象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围为(  )37167f57e442caffa6567395402b2159.png互动启思0f45e5040f8d34d5393a46e6bdd8f039.gif一点呈析答案: A解析: Cx2y2-6x+6y+2=0的标准方程为(x-3)2+(y+3)2=16,故直线l过圆C的圆心(3,-3).因为直线l不经过第三象限,所以4c545056a2790aadead5a02640b2c150.png,故选A.f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png题型2 两条直线的位置关系引言经常会涉及到直线的平行和垂直问题,所以要注意直线平行、垂直的时候,直线的解析式所满足的条件,并且要特别注意不要多解.例题1 “m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的   (  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件互动启思b8d59703a7a05057a66f6bb3bb8928fc.gif一点呈析答案:A解析:pm=-1;q:直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3xmy+3=0垂直.将m=-1代入两直线方程,它们的斜率之积为-1,故两直线垂直,从而由p可以推出q;但当m=0时,两直线也垂直,故由q不一定能推出p.因而pq的充分不必要条件.故选A.例题2  已知直线l:d556fe2fab1d8a515ca4871d4de35e0f.png,M是l上一动点,过M作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,B,则在A,B连线上,且满足85f7ed1ad86fb3abbbc3b3413e401907.png的点P的轨迹方程是             互动启思6210863d3f678a40e12c11ce662a92f4.gif一点呈析答案:3x+2y-4=0解析:设P(x,y)为轨迹上任一点,A(a,0),B(0,b).57f0b013db9e41aa34418c35cceb3b22.png,∴659e56d12127ecc04a96f307d9930a77.png∵点M在直线l上,∴f735f5124383e110817146e74ba44b6b.png整理得3x+2y-4=0,即3x+2y-4=0为点P的轨迹方程.2知识助攻f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png1.直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角①定义:平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按 逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角 α称为直线的倾斜角.规定:直线与x轴平行或重合时,直线的倾斜角为 0° ②范围:倾斜角α的范围是  0°≤α<180°. (2)直线的斜率①定义:当直线的倾斜角α≠90°时,直线的倾斜角α 正切值 叫做这条直线的斜率,常记作k tanα 当直线的倾斜角α=90°时,直线的斜率 不存在 ②过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1y1),P2(x2y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k3010cf8c2ed4f87e611581414f79c3af.png.x1x2,则直线P1P2的倾斜角为90°,斜率不存在。③范围:直线的斜率的范围为                                           .敲黑板(1)不要忽视“直线的斜率不存在”这一情况.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数k=tanα的单调性,如图所示.29fe175dc3eb60548260fe2da6ec2291.png(2)由直线的斜率k求倾斜角α的取值范围时,要对应正切函数的图像来确定,并注意图像的不连续性和函数的定义域.如:由-1≤k≤1,得d48c90211851f4cd680bd10e49077de5.png.f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png2. 直线的方程(1) 直线的五种形式55c78057464e933fe7ff6732d53f88ab.png(2) 求直线方程常用的方法①根据已知条件,设出适当的直线方程;②把已知条件构造成含待定系数的方程(组);③求解待定系数;④将求得的系数代入设出的直线方程.敲黑板若使用斜截式或点斜式设直线方程时,应先讨论斜率k是否存在.同理,在使用截距式前要讨论截距是否存在,是否为0.f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png3.两条直线的位置关系(1)两条直线的位置关系直线l1yk1xb1l2yk2xb2直线l3A1xB1yC1=0与l4A2xB2yC2=0的位置关系如下表:015b85abb353e1a079cf67cdcba75594.png(2)两条直线的交点坐标当两条直线相交时,两直线的方程联立的方程组的解即为交点坐标.(3)距离公式①两点间的距离:平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式为|P1P2|=3c5cf09fd7b84b8abd546a752f22c66f.png②点到直线的距离:平面上的点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式为d=320f20fe9071bf264883d32296b6dadb.png③两条平行直线间的距离:直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离公式为d=718f1ee2ee23df20c5e23181dbcbdedc.pngf5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png4.两条直线平行与垂直的判定及应用(1)两条直线平行或垂直的判定方法<1>已知两直线的斜率一定存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在相应坐标轴上的截距不相等;②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为-1.<2>两直线的斜率可能不存在若两直线斜率不存在,当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行;否则,两直线重合.若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则两直线互相垂直.<3>已知两直线的一般方程直接应用有关结论判定;也可利用直线方程求出斜率(或判定出斜率不存在),转化为<1><2>中的情形进行判定.(2)两条直线平行与垂直的应用
    • 根据直线的位置关系求参数值

    当直线方程中的系数含有参数时,参数的不同取值决定了直线的不同位置,因此应对参数的取值进行分类讨论,一般分为斜率存在和斜率不存在两种情况,再根据不同情况下应满足的关系,列式求解.或直接应用“知识划重点”中l3,l4所满足的条件列式求解.敲黑板根据位置关系转化为等量关系(不等关系)时,要注意等价性.如两直线平行⇔k1=k2且b1≠b2(或A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0),此时不要只得出k1=k2(或A1B2-A2B1=0).另外,求出参数值时注意代回检验,避免产生增根.
    • 根据直线的位置关系求解直线方程

    解答这类题通常有两种方法:①根据l1∥l2⇒k1=k2,l1⊥l2⇒k1·k2=-1确定待求直线的斜率,再由点斜式得到直线的方程.②由两直线平行(垂直)的方程特征设出方程,再由待定系数法求解.f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png5.两条直线的交点与距离(1)求两直线的交点坐标设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则方程组3bbcd6d86448f0b3bb9de535d9fafcfb.png的解就是两条直线的交点坐标.①若方程组有唯一解,则两条直线 相交 ,此解就是交点的坐标;②若方程组无解,则两条直线 无公共点 ,此时两条直线 平行 ,反之亦成立.(2)距离公式的应用
    • 求距离

    应用距离公式求解即可.敲黑板①求点到直线的距离时,必须把直线方程化为一般式Ax+By+C=0.②求两条平行直线间的距离时,一定要把直线方程中x,y的系数化成一致的.
    • 已知距离求有关方程或有关量

    借助距离公式首先建立方程(组)得出参数的值或满足的关系式,然后结合题中其他条件确定方程、点的坐标等.敲黑板若已知点到直线的距离求直线方程,用一般式可避免讨论.否则,应讨论斜率是否存在.f5c7331026e682c16fb5ac7afd0954a9.png31fd5ebf7ff96c748a9a978d32aeaec5.png6.对称问题(1) 点关于点对称若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)关于点C(a,b)对称,则由中点坐标公式得05b8c29fde6363c24675466bd799c6de.png从而可解.(2)直线关于点对称方法1:根据两对称直线平行,求出已知直线上任一点的对称点,由点斜式可求对称直线的方程;方法2:在已知直线上任取两点,分别求出两个对称点,由两点式可求得对称直线的方程.(3)点关于直线对称若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则满足方程组7344f640de1636aa0b7923bcde76764b.png进而求解(4)直线关于直线对称(1)若l1∥l2,l1与l2关于直线l对称,则可利用平行线间距离公式求解;(2)若l1∩l2=A,l1与l2关于直线l对称,且点A在直线l上,求出直线l1上任一点关于直线l的对称点B,由 两点式 可求得对称直线的方程.敲黑板点关于点的对称是基本问题,也是各种对称问题可转化的最终问题.抓住两点:一是“垂直”,两对称点连线与对称轴垂直;二是“平分”,两对称点连线段的中点在对称轴上.声明:以上内容摘自包学习APP_动态教辅《 数学丨动态题型包 》,欢迎来包学习和更多小伙伴一起学习更多知识吧。c79161691cef18b290ffba06024dbe90.png点击
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  • 这是个挺有意思的小问题,给定一组直线(至少条不平行),希望能找到这组直线尽可能垂直直线。打个比方,比如在三维空间中,如下图(forked from wiki) ab分别是在一个平面上不平行直线上,那么...

    这是个挺有意思的小问题,给定一组直线(至少两条不平行),希望能找到和这组直线尽可能垂直的直线。打个比方,比如在三维空间中,如下图(forked from wiki)

    ab分别是在一个平面上不平行的两条直线上,那么显而易见与ab所在直线垂直程度最高的就是与ab俩俩垂直的竖线,也就是叉积axb方向平行的直线。两条直线可以用叉积,那么多于两条的情况呢?想象如果又有了一条直线,其一端的方向可以用向量c表示,如果cab在一个平面上的话,那么好办,还是axb,或者bxc也行;但是如果cab不在一个平面上的话,那么叉积的办法就不管用了。回到问题的最开始,其实是如何定义和其他直线最大程度垂直。还是考虑只有ab的情况,axb其实就是在ab上的投影均为零,也就是点积为零,所以不妨把在其他所有向量上投影最少的向量定义为最大程度垂直的方向。

    那么考虑有n条直线,对应n个单位向量代表每条直线的一个方向,其中第i个向量可以表示为\({{v}_{i}}=\left( {{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}} \right)\),那么对于一个向量\(v=\left( x,y,z \right)\),在\({{v}_{i}}\)上投影的长度为:

    \[\begin{align}
     & \left| \left\langle v,{{v}_{i}} \right\rangle  \right|=\left| x{{x}_{i}}+y{{y}_{i}}+z{{z}_{i}} \right| \\
    \end{align}\]

    那么一个很直接的办法就是用优化算法来求出使投影绝对值之和最小的v

    \(\text{min: }\sum\limits_{i=1}^{n}{\left| \left\langle v,{{v}_{i}} \right\rangle  \right|}\)
    \(\begin{align}
     & \text{subject to: }\left| {{v}_{i}} \right|=1\text{ and }\left| v \right|=1 \\
    \end{align}\)

    \(\left| {{v}_{i}} \right|=1\)是为了是每一个向量上的投影能够相加比较,\(\left| v \right|=1\)是为了优化,否则最后的结果就是\(\left( 0,0,0 \right)\)。这个方法固然直观,但是考虑到1)要利用绝对值相加,2)要利用优化算法还是觉得有些麻烦。考虑一下用平方和作为优化目标,当然这会和绝对值的办法有些许不一样,主要是每一个投影大小对结果影响的sensitivity变了,不过总体而言是差不多的,总之,要求的目标变成了:

    \( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left\langle v,{{v}_{i}} \right\rangle }^{2}}} \)
    \( =\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( x{{x}_{i}}+y{{y}_{i}}+z{{z}_{i}} \right)}^{2}}} \)
    \( =\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}^{2}}{{x}_{i}}^{2}+{{y}^{2}}{{y}_{i}}^{2}+{{z}^{2}}{{z}_{i}}^{2}+2xy{{x}_{i}}{{y}_{i}}+2yz{{y}_{i}}{{z}_{i}}+2zx{{z}_{i}}{{x}_{i}}} \)
    \( ={{x}^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}^{2}}+{{y}^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}^{2}}+{{z}^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{z}_{i}}^{2}}+xy\sum\limits_{i=1}^{n}{2{{x}_{i}}{{y}_{i}}}+yz\sum\limits_{i=1}^{n}{2{{y}_{i}}{{z}_{i}}}+zx\sum\limits_{i=1}^{n}{2{{z}_{i}}{{x}_{i}}} \)
    \(\begin{align}
    &\\
    \end{align}\)

    注意观察最后的展开,如果右边加个等于常数项的话,就是个椭球嘛,而且没有一次项,所以是个中心在原点的椭球。这样一来就很简单了,考虑之前提出的限制条件\(\left| v \right|=1\),相当于有一个半径为1,球心在原点的球面,和一个中心也在原点,大小未定,但是三个极轴比例确定的椭球面。我们要寻找这么一种情况:球面和椭球面有交点(v存在),并且椭球的轴长尽可能小(\(\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left\langle v,{{v}_{i}} \right\rangle }^{2}}}\)最小)。很显然这种情况就是椭球内切于单位球面,而此时v对应的就是长轴的方向,所以问题就更简单了,我们都不需要求出椭球的具体表达式,而是找出长轴的方向向量就可以了。回顾一下椭球的知识:任意一个椭球可以表达如下:

    \(\begin{align}
     & {{\left( v-{{v}_{0}} \right)}^{T}}M\left( v-{{v}_{0}} \right)=1 \\
    \end{align}\)

    其中v0是中心坐标,当然对于本文的情况这是个零向量,M的特征向量就是三个极轴的方向,特征值就是三个轴半长的平方分之一,所以我们只要求出M,然后找到M对应特征值绝对值最小的那个特征向量,该向量就是我们最终要求的方向向量v。所以,将椭球表达式展开,为简便,首先假设M如下:

    \(\begin{align}
    &M=\left[ \begin{matrix}
       A & D & F  \\
       D & B & E  \\
       F & E & C  \\
    \end{matrix} \right]\\
    \end{align}\)

    于是有:

    \( {{v}^{T}}Mv \)
    \( ={{\left[ \begin{matrix}
       x  \\
       y  \\
       z  \\
    \end{matrix} \right]}^{T}}\left[ \begin{matrix}
       A & D & F  \\
       D & B & E  \\
       F & E & C  \\
    \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
       x  \\
       y  \\
       z  \\
    \end{matrix} \right] \)
    \( =A{{x}^{2}}+B{{y}^{2}}+C{{z}^{2}}+2Dxy+2Eyz+2Fzx \)
    \[\begin{align}
    &\\
    \end{align}\]

    把这个结果和前面的公式(3)对照,得到AB、C、DEF的值,代入M,得到如下:

    \(\begin{align}
    &M=\left[ \begin{matrix}
       \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}^{2}} & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}} & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{z}_{i}}{{x}_{i}}}  \\
       \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}} & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}^{2}} & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}{{z}_{i}}}  \\
       \sum\limits_{i=1}^{n}{{{z}_{i}}{{x}_{i}}} & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{y}_{i}}{{z}_{i}}} & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{z}_{i}}^{2}}  \\
    \end{matrix} \right]\\
    \end{align}\)

    对这个矩阵求绝对特征值最小的特征向量,就得到了最大程度垂直于给定直线的向量了。需要注意的是当所有给定直线在一个平面时,M不满秩,不过这种情况恰好对应绝对值最小的特征值就是0,所以应用到这个算法里还是没有问题。这个办法还可以类似地推广到二维或者更高维,只不过对三维以上的情况矩阵不满秩的处理会比较麻烦一些。

    下面是三维情况下的一段Python验证程序:

     1 from __future__ import division
     2 import numpy as np
     3 import matplotlib.pyplot as plt
     4 from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
     5 
     6 # Distance from x to the plane with v as the normal vector, passing through (0, 0, 0)
     7 d = lambda x, v: abs(x[0]*v[0]+x[1]*v[1]+x[2]*v[2]) / np.linalg.norm(v)
     8 
     9 # Random normal vector for test
    10 norm_v_plane = np.random.randn(3)
    11 N = 200
    12 
    13 # Generate test unit vectors that within 0.2 to the test plane
    14 v_test = [x for x in [x/np.linalg.norm(x) for x in np.random.randn(N, 3)] if d(x, norm_v_plane) < 0.2]
    15 
    16 # Plot test vectors
    17 fig = plt.figure('Minimum dot product vector')
    18 ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
    19 for v in v_test:
    20     ax.plot([0, v[0]], [0, v[1]], [0, v[2]], 'b')
    21 
    22 # Calculate the coefficients matrix of the arbitrary ellipsoid
    23 A, B, C, D, E, F = [0] * 6
    24 for v in v_test:
    25     x, y, z = v
    26     A += x * x
    27     B += y * y
    28     C += z * z
    29     D += x * y
    30     E += y * z  
    31     F += x * z
    32 M = np.array([[A, D, F],
    33               [D, B, E], 
    34               [F, E, C]])
    35 
    36 # Pick the eigenvector with the minimum egienvalue
    37 u, v = np.linalg.eig(M)
    38 vp = v[:, np.argmin(np.abs(u))]
    39 if vp[2] < 0:
    40     vp = -vp
    41 
    42 ax.plot([0, vp[0]], [0, vp[1]], [0, vp[2]], 'r')
    43 
    44 plt.show()

     

    这段小程序会随机选取一个过原点的平面,然后在距离平面0.2的距离范围内产生一些随机向量,然后找到最大程度垂直于这些向量的向量,比如下图:

    转载于:https://www.cnblogs.com/frombeijingwithlove/p/3753244.html

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  • 初等数学公式

    千次阅读 2009-08-17 17:35:00
    公式1 过点有且只有一条直线 2 点之间线段最短 ...有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果条直线都第三条直线平行,这条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补
  • 平面上两直线的夹角求法解析

    千次阅读 2019-04-01 13:21:49
    在2004年审定的人教AB版教材中,平面直线的夹角概念与相应问题没有涉及到.但是,该问题完全可以作为三角恒等式中角差的正切公式:,平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行...
  • Opencv学习笔记-----求取直线的交点坐标

    万次阅读 多人点赞 2016-12-15 12:06:07
    在一个2维平面中有两直线(点到点、(点到点,这直线的交点用行列式表示如下: 行列式可变形写作: 该交点是由4个点、两两一组确定的线段所在位置的直线的交点 根据贝塞尔参数可以将两直线定义为: 其中...
  • Echarts添加一条垂直于x轴的直线

    千次阅读 2020-01-14 11:43:37
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  • 前言 Opencv4图像分割识别实战6的视频课程...1)通过前面所学的投影分割法来分别获得这2条直线上的离散采样点,然后将它们通过直线拟合求得各自的直线方程,如k1x+bk2x+b2。...
  • ...除了一般式方程,它们要么不能支持所有情况下的直线(比如跟坐标轴垂直或者平行),要么不能支持所有情况下的点(比如x坐标相等,或者y坐标相等)。所以一般式方程在用计算机处理二维图形数据
  • 一、直线方程 点斜式:\(y-y_1=k(x-x_1)\)(其中\(l\)过定点\(P_1(x_1,y_1)\),斜率为\(k\)); 缺陷:不能表示斜率不存在的直线;...点式:\(\cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac{x-x_1}{x_2-x_...
  • 平面几何定理及公式

    2008-07-17 15:10:00
    平面几何定理及公式 1 过点有且只有一条直线 2 点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 ...8 如果条直线都第三条直线平行,这条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行...
  • 所有数学公式

    千次阅读 2014-03-27 10:52:30
    编辑本段常见公式、定理、推论  1 过点有且只有一条直线  2 点之间直线段最短 ... 7 平行公理:同一 平面内,经过直线外一点 ,有且只有一条直线与这条直线平行  8 如果条直线都第三条
  • 对于计算四个点表达的直线交点这个问题其实网上相应的代码与数学模型比较好找,所以这里无法保证提供的思路就是最正确或效率最高的,如果能帮助到你那真的是万分荣幸 正文: 首先确定其中一条直线的表达方式...
  • 蓝桥杯 直线【二分,线段树】

    千次阅读 2017-03-21 23:08:19
    参考: ... http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0101cc8w.html(坐标系...将坐标系逆时针旋转45°,然后通过公式计算旋转后点的坐标,并且两直线变成了垂直旋转后的x轴y轴。 先按x坐标排序,然后二分答案d,每次
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  • 和直线

    2018-02-27 20:54:58
    如果已知直线上的个不同点AB,则方向向量为B−AB−AB-A,所以参数方程为A+(B−A)tA+(B−A)tA+(B-A)t。 参数方程最方便的地方在于直线、射线线段的方程形式是一样的,区别仅仅在于参数。直线的...

空空如也

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两直线平行和垂直公式