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  • 所谓凑整补零法,就是用所求与最接近十数的差,通过移补少,将所求转换成一十数乘以另一,再加上零头平方。下面通过例题来说明这一方法。例3: 求29²和82²值由上例看出,因为2930少1,...

    有没有什么窍门,能够迅速算出两位数的平方呢?这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转换成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。

    例3: 求29²和82²的值

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    由上例看出,因为29比30少1,所以给29“补”1,这叫“补少”;因为82比80多2,所以从82中“移走”2,这叫“移多”。因为是两个相同数相乘,所以对其中一个数“移多补少”后,还需要在另一个数上“找齐”。本例中,给一个29补1,就要给另一个29减1;给一个82减了2,就要给另一个82加上2。最后,还要加上“移多补少”的数的平方。

    凑整补零法计算35²,得35×35=40×30+5²=1225。这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

    这种方法不仅适用于求两位数的平方值,也适用于求三位数或更多位数的平方值。

    例4 :求993²和2004²的值。

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    【小学奥数30讲】

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  • 3、补码没有正0和负0之分,所以表示范围原码和反码1。问题一: 运算实现加法不管是进制加法还是二进制加法,其加的的过程在每一看分为‘和’、‘进位’两部分。‘和’要留在当前,‘进...

    首先回忆计算机组成原理学过的内容,数字在机器ALU运算逻辑单元内部是以补码形式进行运算的,因为补码有两个优势:
    1、能做到符号位和数值部分一起运算,这样无需单独考虑符号。

    2、能把减法运算转化为加法运算来处理。

    3、补码的没有正0和负0之分,所以表示范围比原码和反码多1个。



    问题一: 位运算实现加法
    不管是十进制加法还是二进制加法,其加的的过程在每一位看分为‘和’、‘进位’两个部分。‘和’要留在当前位,‘进位’加入到下一位。

    我们现在关注二进制加法。发现一个特点。

    位的异或运算跟求'和'的结果一致:

    异或 1^1=0 1^0=1 0^0=0

    求和 1+1=0 1+0=1 0+0=0

    位的与运算跟求'进位‘的结果一致:

    位与 1&1=1 1&0=0 0&0=0

    进位 1+1=1 1+0=0 0+0=0

    于是我们决定用异或运算和与运算来表示加法。下面是两种形式的实现。

    int add(int a, int b) //递归形式
    {
        if(b==0) //递归结束条件:如果右加数为0,即不再有进位了,则结束。
            return a;
        int s = a^b;
        int c = (a&b)<<1; //进位左移1位,达到进位的目的。
        return add(s, c); //再把'和'和'进位'相加。递归实现。
    }
    int add(int a, int b) //非递归形式
    {
        int s, c;
        while(b != 0)
        {
            s = a^b;
            c = (a&b)<<1;
            a = s;
            b = c;
        }
        return a;
    }


    问题二: 位运算实现减法
       减法其实是用加法来实现的。在ALU中,当我求a-b,其实是求[a-b]补。因为有[a-b]补=[a]补 - [b]补= [a]补+[-b]补。所以我就要先求出-b。求一个数的负的操作是将其连符号位一起取反然后加1。

       于是有办法做减法了:先把减数求负,然后做加法。


    int negtive(int i)
    {
        return add(~i, 1);
    }
    int subtraction(int a, int b) //减法运算:利用求负操作和加法操作
    {
        return add(a, negtive(b));
    }
    问题三: 位运算实现乘法
    乘法操作时即使用补码也要需要考虑符号位了,所以我要先把符号拿出来单独计算。为了方便,先引入两个工具函数,

    int getsign(int i) //取一个数的符号,看是正还是负
    {
        return (i>>31);
    }
     
    int bepositive(int i) //将一个数变为正数,如果本来就是正,则不变;如果是负,则变为相反数。注意对于-2147483648,求负会溢出。
    {
        if(i>>31)
            return negtive(i);
        else
            return i;
    }
    做乘法的第一种思路:
    很直观,就是用循环加法替代乘法。a*b,就是把a累加b次。时间复杂度为O(N)。

    int multiply(int a, int b)
    {
        bool flag = true;
        if(getsign(a) == getsign(b)) //积的符号判定
            flag = false;
     
        a = bepositive(a);//先把乘数和被乘数变为正数
        b = bepositive(b);
        int ans = 0;
        while(b)
        {
            ans = add(ans, a);
            b = subtraction(b, 1);
        }
     
        if(flag)
            ans = negtive(ans);
        return ans;
    }
    做乘法的第二种思路:
    在二进制数上做乘法,如下图:



    这一过程就是根据乘数的每一位为0或1时,将被乘数错位的加在积上。时间复杂度为O(logN)。


    int multiply(int a, int b)
    {
        bool flag = true;
        if(getsign(a) == getsign(b)) //积的符号判定
            flag = false;
     
        a = bepositive(a);
        b = bepositive(b);
        int ans = 0;
        while(b)
        {
            if(b&1)
                ans = add(ans, a);
            a = (a<<1); //把a错位加在积上
            b = (b>>1); //从最低位开始依次判断b的每一位
        }
     
        if(flag)
            ans = negtive(ans);
        return ans;
    }
    问题四: 位运算实现除法
    做除法的第一种思路:
    也比较直观,从被除数上减去除数,看能减多少次之后变得不够减。时间复杂度为O(N)。

    int division(int a, int b)
    {
        if(b==0)
            return 0;
     
        bool flag = true;
        if(getsign(a) == getsign(b)) //积的符号判定
            flag = false;
     
        a = bepositive(a);
        b = bepositive(b);
     
        int n = 0;
        a = subtraction(a, b);
        while(a>=0)
        {
            n = add(n, 1);
            a = subtraction(a, b);
        }
     
        if(flag)
            n = negtive(n);
        return n;
    }
    做除法的第二种思路:
    第一种方法实在太慢了。减法得减的快一些,不能一个一个减,于是采用类似二分法的思路,从除数*最大倍数开始测试,如果比被除数小,则要减去。下一回让除数的倍数减少为上一次倍数的一半,这样的直到倍数为1时,就能把被除数中所有的除数减去,并得到商。时间复杂度降低到O(logN)。


    int divide(int dividend, int divisor) {
        bool flag = true;
        if(getsign(dividend) == getsign(divisor)) //积的符号判定
            flag = false;
     
        unsigned int x = bepositive(dividend);
        unsigned int y = bepositive(divisor);
     
        int ans=0;
        int i=31;
        while(i>=0)
        {  
            //比较x是否大于y*(1<<i)=(y<<i),避免直接比较,因为不确定y*(1<<i)是否溢出  
            if( (x>>i) >= y)  //如果够减
            {
                ans = add(ans, (1<<i));
                x = subtraction(x, (y<<i));
            }
            i = subtraction(i, 1);
        }
        if(flag)
            ans = negtive(ans);
        return ans;
    }


    注意细节:

    1、注意考虑除法运算的特殊情况:除数不为0。

    2、int整型的表示范围是-2147483648~+2147483647。所以在求负的时候,有一个数-2147483648是不可以求负的,因为int无法表示+2147483648这个数。对于乘法运算,如果出现了这个数,运算就会溢出。对于除法操作,如果被除数是-2147483648,那么不能直接求负。所以最好采用无符号数来进行运算。

    3、2^31,2^30,......,64,32,16,8,4,2,1。为什么尝试用这样的倍数做减法就能把所有除数都减去呢?从二进制数的角度来看,这些权值就可以构成所有的整数,组成倍数不会有遗漏。从折半的思想来看,这样是一个逐步折半细化的过程。



    有了上面的四则运算,再扩展别的运算就很容易了。

    附加问题:只用加法实现1+2+3+...+n,
    (循环、判断语句也不用)

    1、利用递归来代替循环结构;
    2、利用&&与运算的特性来代替if结构。

    int add(int n, int &sum)  
    {  
        n && add(n-1, sum);  
        return (sum += n);  
    }  

    或者

    int  sum(int n)
    {
        int k;
        ((1 == n)&&(k = 1)) || (k = sum(n-1) + n);
        return k;

    ---------------------
    作者:ojshilu
    来源:CSDN
    原文:https://blog.csdn.net/ojshilu/article/details/11179911
    版权声明:本文为博主原创文章,转载请附上博文链接!

    转载于:https://www.cnblogs.com/Zhouzg-2018/p/9821042.html

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  • 几种常见十进制代码 8421码又称为BCD(Binary Coded Decimal)码,是...如果将两3码相加,所得和将比十进制和所对应二进制数多6。0和9、1和8、2和7、3和6、4和53码互为反码,这对于求取对10补码...

    几种常见的十进制代码

    clip_image002

    8421又称为BCD(Binary Coded Decimal)码,是十进制代码中最常用的一种。每一位的1代表的十进制数称为这一位的权。8421码中每一位的权是固定不变的,它属于恒权代码

    余3码的编码规则与8421码不同。如果将两个余3码相加,所得的和将比十进制数和所对应的二进制数多6。0和9、1和8、2和7、3和6、4和5的余3码互为反码,这对于求取对10的补码是很方便的。余3码不是恒权代码。

    2421是一种恒权代码, 它的0和9、1和8、2和7、3和6、4和5也互为反码。

    5211是另一种恒权代码。5211码的每一位正好与8421码十进制计数器4个触发器输出脉冲的分频比相对应。这种对应关系在构成某些数字系统时很有用。

    余3循环码是一种变权码,每一位的1在不同代码中并不代表固定的数值。它的主要特点是相邻的两个代码之间仅有一位的状态不同。

    格雷码

    格雷码(Gray code)又称循环码。

    特点:编码顺序依次变化时,相邻两个代码之间只有一位发生变化。

    代码转换过程不会产生过渡“噪声”。格雷码不是恒权代码。

    2位格雷码

    3位格雷码

    4位格雷码

    4位二进制码

    00

    01

    11

    10

    000

    001

    011

    010

    110

    111

    101

    100

    0000

    0001

    0011

    0010

    0110

    0111

    0101

    0100

    1100

    1101

    1111

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    1111

    转载于:https://www.cnblogs.com/OneFri/p/5740265.html

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  • 基数排序 桶排序 首先来看看桶排序: 为什么桶排序时间复杂度是O(M+N)? 因为分配时间复杂度是M(也就是桶数量),而收集起来时间复杂度是N,...百位数=5,十位数=2,位数比3小 那接下来来介绍一下基数排

    基数排序

    桶排序

    首先来看看桶排序:
    在这里插入图片描述

    为什么桶排序的时间复杂度是O(M+N)?
    因为分配的时间复杂度是M(也就是桶的数量),而收集起来的时间复杂度是N,因此最终时间复杂度是O(M+N)。

    上面那种是理想的桶排序,因为最终成绩的范围是在小范围内。
    但是如果成绩的范围很大:
    在这里插入图片描述
    对于一个数,例如523,排序的思想很简单,比它大的排它后面,比它小的排它前面。
    那么一个数如果比523小,可以分为三种情况:

    1. 百位数比5小
    2. 百位数=5,十位数比2小
    3. 百位数=5,十位数=2,个位数比3小

    那接下来来介绍一下基数排序,它是在桶排序的基础上进行优化的。基数排序就是对上面这三种情况都进行了排序。

    基数排序又称多关键字排序,分为两种,MSD(Most Significant Digit)和LSD(Least Significant Digit)

    其中我们看MSD,花色是更为重要的,其次看面值,而MSD就是给花色建4个桶,然后在桶内再用别的排序方法。
    在这里插入图片描述
    LSD就相反:
    在这里插入图片描述

    在大多数情况下LSD会比MSD的效率更高。

    算法原理

    那详细讲下多关键字排序的算法:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    链式基数排序

    在基数排序的实现方法中,通常用链式基数排序来实现:

    使用链表效率更高,更方便些。当收集时,只需要修改指针,不需要移动元素

    在这里插入图片描述
    例如对三位数进行排序,我们可以这样:
    在这里插入图片描述
    (这里的队列其实不是stl的队列,而是类似桶的存在)

    队列头尾指针也可以使用二级指针:
    node **f;
    node **r;

    f=new node*[10]; r=new node*[10];

    或者使用队列: queue q[10];

    我们需要进行n趟分配和收集,n为数字的长度,每次分配和收集需要做这些事情:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    看下面这个例子

    在这里插入图片描述

    而每次分配完之后需要将结果收集起来,从左至右(也就是从小到大、也就是升序)的收集起来。

    然后接下来从最次位一直到第一位,对每种情况都分配桶。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    最后收集的时候就可以得到排序的结果了,排序的次数是固定的,是你这个数的长度。

    其实不难理解,对于上面的第一种情况,在第三趟分配和收集的时候会解决。
    对于上面的第二种情况(百位相同十位不同),在第二趟分配和收集的时候会解决。
    而上面的第三种情况,在第三趟分配和收集的时候会解决。

    收集的作用

    为什么分配完后要收集?
    收集有什么作用?为什么可以体现这种作用?

    在每次分配完桶的时候,要把结果从前往后串联下来,(可以想象一下按顺序整理扑克牌,A在最左边,K在最右边,然后从左往右把牌都收起来)。

    例如523和521
    收集的目的是为了针对上面所说的第三种情况,因为我们可以知道如果百位和十位相同,那么百位和十位分配桶的时候,是会分配到一个桶里面的。

    那么我们希望最终结果中,百位和十位相同的情况下,个位小的,应该在数组的前面

    因此这时候在最终的分配中,因为百位和十位相同,所以这两个在一个桶里,这时候我们就希望最终个位小的应该在队列更靠近前面的地方,这通过什么来实现呢?在链表结构中是表尾插入,那这就看,谁先插入,谁就在前面。
    那这靠什么来实现呢?就靠最开始个位分配桶的时候,我们是从小的(也就是左边)开始往大的(也就是右边)串联起来,这就保证了,个位小的会出现在前面,也就是我们重新进行分配的时候,个位小的会更先进行分配。

    性能分析

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    代码实现

    要注意几个问题:
    1、给定一组数据,到底要进行多少趟?
    输入数据的同时,选择出最大的数,然后转换成字符串,求其长度
    #include<bits/stdc++.h>
    stringstream sstr;
    sstr << max;
    string s= sstr.str(); //或者string s; sstr>>s;
    weishu=s.length();

    或者写个循环,每次除以10(同时计数),直到商为0

    2、如何求第i位的值?
    for(i=1;i<=weishu;i++)
    for(j=1;j<=len;j++)
    int temp=(data[j] / (int)pow(10,i-1)) % 10;

    class node{
    public:   //结点结构
      int e; 
      node *next;
      node(){next=NULL;}
    };
    
    class Sort{
        int len;    //数据长度
        node *head; //头结点
        node *f[10];//队头指针
        node *r[10];//队尾指针
        int weishu; //处理位数
    public: //各种方法  
    	void init(){//将队头队尾指针设置成NULL
            for(int i=0;i<10;i++){
                f[i]=NULL;
                r[i]=NULL;
            }
        }
    	 void RadixSort(){
    	     int i; node* p;
    	     for(i=1;i<=weishu;i++){
    	        init();   //将队头队尾指针设置成NULL
    	
    	        p=head->next; //开始一趟分配的过程
    	        while(p){
    	           int w=( p->e /(int)pow(10,i-1))%10; //取得第i位的数据
    	           if(f[w]==NULL)   f[w]=p; //若是该队列的第一个数据
    	           else   r[w]->next=p; //否则,在队尾插入
    	           r[w]=p; //队尾指针指向新插入的数据
    	           p=p->next;
    	        }
    	        p=head;   //开始一趟收集的过程
    	        for(int i=0;i<10;i++){  //共10个队列
    	           if(f[i]){ //若第i个队列不空
    	                p->next=f[i];
    	                p=r[i];
    	            }
    	         }
    	
    	         p->next=NULL;  //收集结束,链表加上结束标志。
    	     }
    	}
    }
    

    设立队尾指针的原因

    看图举例
    在这里插入图片描述
    如果不设立队尾指针,那么我们遍历十个队列的每一个队列的时候,比如遍历f[0],从f[0]的第一个元素到最后一个元素,此时遍历:008 063 083 184 589,会把不在f[0]的但是在f[0]最后一个元素后面链接的元素也遍历了!

    因此需要设立队尾指针作为哨兵来查看是否遍历到了最后一个元素。

    例题及完整代码

    在这里插入图片描述
    样例输入
    2
    10 278 109 63 930 589 184 505 269 8 83
    6 57 0 93 19 18 99

    样例输出
    0:->930->^
    1:NULL
    2:NULL
    3:->63->83->^
    4:->184->^
    5:->505->^
    6:NULL
    7:NULL
    8:->278->8->^
    9:->109->589->269->^
    930 63 83 184 505 278 8 109 589 269
    0:->505->8->109->^
    1:NULL
    2:NULL
    3:->930->^
    4:NULL
    5:NULL
    6:->63->269->^
    7:->278->^
    8:->83->184->589->^
    9:NULL
    505 8 109 930 63 269 278 83 184 589
    0:->8->63->83->^
    1:->109->184->^
    2:->269->278->^
    3:NULL
    4:NULL
    5:->505->589->^
    6:NULL
    7:NULL
    8:NULL
    9:->930->^
    8 63 83 109 184 269 278 505 589 930

    0:->0->^
    1:NULL
    2:NULL
    3:->93->^
    4:NULL
    5:NULL
    6:NULL
    7:->57->^
    8:->18->^
    9:->19->99->^
    0 93 57 18 19 99
    0:->0->^
    1:->18->19->^
    2:NULL
    3:NULL
    4:NULL
    5:->57->^
    6:NULL
    7:NULL
    8:NULL
    9:->93->99->^
    0 18 19 57 93 99

    答案代码:

    #include<iostream>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    class node{
    public:   //结点结构
        int e;
        node *next;
        node(){next=NULL;}
    };
    
    class Sort{
        int len;    //数据长度
        node *head; //头结点
        node *f[10];//队头指针
        node *r[10];//队尾指针
        int weishu; //处理位数
    public: //各种方法
        Sort(){
            weishu=0;
            cin>>len;
            head=new node;
            int max=0;
            for(int i=0;i<len;i++){
                int num;
                cin>>num;
                if(num>max)max=num;
                node *p=new node;
                p->e=num;
                node *q=head;
                for(int j=0;j<i;j++)q=q->next;
                q->next=p;
            }
            while(max/10){
                max/=10;
                weishu++;
            }
            weishu++;
            //display();
        }
        void displayData(){
            node *p=head->next;
            while(p){
                cout<<p->e<<" ";
                p=p->next;
            }
            cout<<endl;
            //cout<<weishu<<endl;
        }
    
        void init(){//将队头队尾指针设置成NULL
            for(int i=0;i<10;i++){
                f[i]=NULL;
                r[i]=NULL;
            }
        }
    
        void RadixSort(){
            int i; node* p;
            for(i=1;i<=weishu;i++){
                init();   //将队头队尾指针设置成NULL
    
                p=head->next; //开始一趟分配的过程
                while(p){
                    int w=( p->e /(int)pow(10,i-1))%10; //取得第i位的数据
                    if(f[w]==NULL)   f[w]=p; //若是该队列的第一个数据
                    else r[w]->next=p; //否则,在队尾插入
                    r[w]=p; //队尾指针指向新插入的数据
                    p=p->next;
                }
                p=head;   //开始一趟收集的过程
                for(int i=0;i<10;i++){  //共10个队列
                    if(f[i]){ //若第i个队列不空
                        p->next=f[i];
                        p=r[i];
                    }
                }
    
                p->next=NULL;  //收集结束,链表加上结束标志。
                displayQueue();
                displayData();
            }
            cout<<endl;
        }
    
    
        void displayQueue(){
            for(int i=0;i<10;i++){
                cout<<i<<":";
                if(f[i]==NULL)cout<<"NULL";
                else{
                    node *p=f[i];
                    while(p&&p!=r[i]){
                        cout<<"->"<<p->e;
                        p=p->next;
                    }
                    cout<<"->"<<r[i]->e<<"->^";
                }
                cout<<endl;
            }
        }
    };
    int main(){
        int t;
        cin>>t;
        while(t--){
            Sort test;
            test.RadixSort();
            //test.display();
        }
        return 0;
    }
    
    
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