综上：

（1）试验全部可能的观察值称为总体。（注意：例如研究200个学生的身高，那么总体就是这200个同学，容量为200。并不是指身高值去除重复后的集合。）

（2）总体中的每个观察值称为个体。（即200个学生，每一个人都是一个个体。）

（3）一个总体对应一个随机变量X。（注意：虽然总体有200个学生，因为有的同学身高相等，所以身高取值可能只有20个。随机变量X可以看成是用来表示这20个身高值的。）

（4）抽出的部分个体称为样本。（样本总体）（注：如果是放回抽样，可能存在一个个体被重复抽到）



（5）对总体X进行n次试验，每一次试验用随机变量Xn表示，n表示第n次随机试验，第一次试验用X1表示，第二次用X2表示，以此类推。

（6）虽然每次Xn只能取到一个值，但是取值范围和X的取值范围是相同的，所以Xn和X服从同一个分布。

（7）因为X1，X2，X3......Xn进行n次试验互不影响，所以是相互独立的。

（8）X1，X2，X3...Xn合到一起称为一个样本。（大写字母表示）

（9）x1, x2, x3......xn合到一起称为样本值。（小写字母表示）

6.1 总体与样本

在数理统计中，我们将所研究的对象的全体称为总体，而将总体中的每个成员称为个体。
总体中所包含的个体的数量称为样本的容量，如果一个总体所包含的个体数量是有限的，则称之为有限总体。如果总体所包含的个体数量是无限的，则称之为无限总体。
样本：被抽取的部分个体
简单随机样本

随机样本$(X_1,X_2,…，X_n)$中，每个$X_i$与$X_n$是相互独立的随机变量
这些样本和总体$X$同分布


获得简单随机样本

简单随机抽样
对于有限个体采用放回抽样
对于无限总体（或很大的总体）采用不放回抽样



6.2 统计量与抽样分布
一 、统计量
定义  设$(X_1, X_2, \dots, X_n)$为来自总体$X$的一个样本，$g(x_1, x_2, \dots, x_n)$是$X_1, X_2, \dots, X_n$的函数，若$g$中不含位置参数，则称$g(X_1, X_2, \dots, X_n)$是一统计量。
常用统计量：


样本平均值：

$\overline X = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$


样本方差：

$S^2= \dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline X)$


样本标准差：

$S=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})}$


样本$k$阶原点矩：

$A_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^k， \quad k=1,2,3,\dots$


样本$k$阶中心矩：

$B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^k,\quad k=1,2,3,\dots$


在一次具体的观察中，统计量是具体的数值；但脱离具体的观察或试验，统计量应看作随机变量。
统计量的分布称为抽样分布
二 、正态总体的常用统计量的分布
( 一 ) $\chi^2$分布
定义 设$X_1, X_2, \dots, X_n$为独立同分布的随机变量，均服从$N(0, 1)$，则称随机变量

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} X_i^2$

为服从自由度为n的$\chi^2$分布，记为$\chi^2 \sim \chi^2(n)$.
自由度：独立变量的个数
概率密度（不重要）

$f(y)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{2^{\frac n2 \Gamma(\frac n2)}} y^{\frac {n}{2}-1}e^{-{\frac y2}} & \text{y>0}\\
0& \text{其他}
\end{cases}$

其中，

$\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx \\
\Gamma(n)=(n-1)!$

性质:


$\chi^2$分布的可加性  若$\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1)，\chi_2^2 \sim \chi^2(n_2)$，并且$\chi_1^2$与$\chi_2^2$相互独立，则有

$\chi_1^2 + \chi_2^2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)$


$\chi^2$分布的期望和方差 若$\chi^2 \sim \chi^2(n)$，则有

$E(\chi^2)=n,\quad D(\chi^2)=2n$


$\chi^2$分布的上分位点   对于给定的正数$\alpha$, $0<\alpha<1$, 满足条件

$P\{ \chi^2>\chi^2_\alpha(n) \}=\int_0^{\infty}f(y)dy=\alpha$

的点$\chi_\alpha^2(n)$就是$\chi_2(n)$分布的上$\alpha$分位点。
（二）t 分布
定义 设 $X\sim N(0, 1)，Y \sim \chi^2(n)$，且X与Y相互独立，则称随机变量

$T = \dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}$

为服从自由度n的 t 分布，记为$T \sim t(n)$.
概率密度函数 ：

$h(t)=\dfrac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{\pi n}\Gamma(n/2)}(1+\frac{t^2}{n})^{-(n+1)/2}$

当$n \rightarrow +\infty$时,

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} h(1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}$

故当n足够大时，t 分布近似于$N(0,1)$分布。
t 分布的上分位点  对于给定的$\alpha$, $0<\alpha<1$, 满足条件

$P\{ t>t_\alpha(n)\}=\int_{t_\alpha}^\infty h(t) dt=\alpha$

的点$t_\alpha(n)$就是$t(n)$分布的上$\alpha$分位点。

$t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)$
（三）F 分布
定义 设$U \sim \chi^2(n_1)，V \sim \chi^2(n_2)$，且U与V相互独立，则称随机变量

$F = \dfrac{U/n_1}{V/n_2}$

服从自由度为$(n_1, n_2)$的F分布，记为$F \sim F(n_1, n_2)$.
概率密度函数 :

$\psi(y)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma[(n_1+n_2)/2](n_1/n_2)^{n_1/2}y^{(n_1/2)-1}}{\Gamma(n_1/2)\Gamma(n_2/2)[1+(n_1y/n_2)]^{(n_1+n_2)/2}}  & \text{y>0}\\
0& \text{其他}
\end{cases}$

性质：

若$F \sim F(n_1, n_2)$，则$\dfrac{1}{F} \sim F(n_2, n_1)$.
若$T \sim t(n)$，则$T^2 \sim F(1, n)$

F 分布的上分位点  对于给定的$\alpha$, $0<\alpha<1$, 满足条件

$P\{ F>F_\alpha(n_1,n_2)\}=\int_{F_\alpha(n_1,n_2)}^\infty \psi(y) dy=\alpha$

的点$F_\alpha(n_1,n_2)$就是$F(n_1,n_2)$分布的上$\alpha$分位点。
三 、正态总体的样本均值与样本方差的分布
定理一二三 设$X_1,X_2,\dots, X_n$是来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的样本，则

$\bar{X} \sim N(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n})$；
$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$；
$\bar{X}$ 和 $S^2$相互独立；
$\dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt n} \sim t(n-1) $

定理四 设$X_1,X_2,\dots, X_n$与$Y_1,Y_2,\dots,Y_n$分别是来自正态总体$N(\mu_1,\sigma_1^2)$和$N(\mu_2, \sigma_2^2)$的样本，且两样本相互独立。记$\bar{X}=\dfrac{1}{n_1} \displaystyle\sum_{i=1}^{n_1}$和$\bar{Y}=\dfrac{1}{n_2} \displaystyle\sum_{i=1}^{n_2}$分别为它们的样本均值；$S_1^2=\dfrac{1}{n_1-1} \displaystyle\sum_{i=1}^{n_1}({X_i-\bar{X})^2}$,$S_2^2=\dfrac{1}{n_2-1} \displaystyle\sum_{i=1}^{n_2}({Y_i-\bar{Y})^2}$分别为它们的样本方差，则有


$\dfrac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}=F(n_1-1,n_2-1)$


当$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma_3^2$时，

$\dfrac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2)$

其中，

$S_w^2=\dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},\quad S_w=\sqrt{S_w^2}$

•样本容量：
样本中个体的数目或组成抽样总体的单位数。
•必要样本容量：
亦称必要样本单位数，是指满足调查目的要求的情况下，至少需要选择的样本单位数。
一、估计总体均值时样本容量的确定
1.重复抽样
一旦确定了置信水平（1-α），Zα/2的值就确定了，对于给定的的值和总体标准差σ，就可以确定任一希望的允许误差所需要的样本容量。令E代表所希望达到的允许误差，即：

由此可以推到出确定样本容量的公式如下：

2.不重复抽样

•样本容量n与总体方差成正比，
•与绝对误差成反比，
•与概率度成正比。
例：拥有MBA学位的研究生年薪的标准差大约为4000 元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为10000 元，应抽取多大的样本容量？

二、估计总体比例时样本容量的确定
1.重复抽样
一旦确定了置信水平（1-α），Zα/2的值就确定了。由于总体比例的值是固定的，所以允许误差由样本容量来确定，样本容量越大允许误差就越小。估计的精度就越好。因此，对于给定的的π值，就可以确定任一希望的允许误差所需要的样本容量。令E代表所希望达到的允许误差，即：
由此可以推导出重复抽样和无限总体抽样条件确定样本容量的公式如下：
2.不重复抽样
•d的取值一般小于0.1
•π未知，以样本比例p替代
•π或p都未知时，可取0.5，这是一种谨慎估计
例：某社区想通过抽样调查了解居民参加体育活动的比率，如果把误差范围设定在5％，问如果以95％的置信水平进行参数估计，需要多大的样本？

影响样本容量n的因素
a)总体个单位之间的差异
b)概率保证程度
c)允许误差的大小
d)抽样方式
e)抽样的组织形式

确定样本容量的注意事项
一、在实际中采用不重复抽样，但常用重复抽样下的公式代替；
二、若和p未知，其处理方式是：
        1.用过去近期的数据代替，
        2.用样本数据代替，
        3.取p=0.5或最接近0.5的值；
三、对同一总体，若求出的Nx，Np不等，这时取较大的作为必要样本容量，
        以同时满足做两种调查的需要；
四、在实际工作中，常使用重复抽样下的简单随机抽样公式。

1. 总体、个体、样本
总体是在进行统计分析时，研究对象的全部；
个体是组成总体的每个研究对象；
样本是从总体$X$中按一定的规则抽出的个体的全部，用$X_1，X_2，…，X_n$表示；
样本中所含个体的个数称为样本容量，用$n$表示。

就好比要研究一个班的平均身高:
这个班的所有同学的身高就是总体；
A同学的身高就是1个个体；
按一定的规律抽出20个同学的身高研究，这20个同学的身高就是样本；
20就是样本容量，即n=20。

2. 如何用样本估计总体？
（1）选用正确的抽样方法

因为很多时候我们无法选择所有数据进行调查，这时候一般采用从整体中抽取样本进行调研。
抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样等。


（2）利用样本平均值约等于总体平均值（中心极限定理）
（3）利用总体标准差估计
3. 样本均值、总体均值
1、定义不同
样本均值是指在总体中的样本数据的均值。而总体均值又称为总体的数学期望或简称期望，是描述随机变量取值平均状况的数字特征。包括离散型随机变量的总体均值和连续型随机变量的总体均值。
2、计算依据不同
样本均值的计算依据是样本个数，总体均值的计算依据是总体的个数。一般情况下样本个数小于等于总体个数。
3、代表意义不同
样本均值代表着所抽取的样本的集中趋势，而总体均值代表着全体个体的集中趋势。样本来自总体，但是样本只是总体的一部分，两者不可能完全相等，一般有差异。
4. 方差（variance）
在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。
总体方差计算公式：

$\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N}$

$\sigma^2$ 为总体方差， $X$为变量，  $\mu$为总体均值，  $N$为总体例数。

问题：
为什么要每个数与平均相减再取平方？取它们的差的绝对值不也是可以吗？
答：
比如一组数据:7.5,7.5,10,10,10

另一组数据:6,9,10,10,10

两组数据的平均数显然都是9

他们与平均数的差的绝对值都为6

但，第一组数据的方差=7.5,第二组数据的方差=12

不相等了吧，方差把数据中数值的拨动给扩大了，使得一些很难从其他数据中看到的给显示了出来。

5. 标准差(Std Dev,Standard Deviation)
标准差也被称为标准偏差，它是方差的算术平方根，用$σ$表示。
$\sigma=\sqrt{\frac{\sum(X-\mu)^2}{N}}$

方差和标准差都是衡量一个数据集波动大小的量，方差或标准差越大，数据的波动就越大。
那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢？
原因是：
方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。
举个例子：
一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826，即约等于下图中的34.2%*2




3σ准则：



在正态分布中 $σ$ 代表标准差, $μ$代表均值，$x=μ$即为图像的对称轴

数值分布在$（μ-σ,μ+σ)$中的概率为0.6827

数值分布在$（μ-2σ,μ+2σ)$中的概率为0.9545

数值分布在$（μ-3σ,μ+3σ)$中的概率为0.9973

可以认为，$Y$的取值几乎全部集中在$（μ-3σ,μ+3σ)$区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.

6. 样本方差、总体方差
总体方差有有限总体和无限总体，有自己的真实参数，这个均值是实实在在的真值，在计算总体方差的时候，除以的是N。
样本方差是总体里随机抽出来的部分，用来估计总体（总体一般很难知道），由样本可以得到很多种类的统计量。



疑问:为什么样本方差要除以（n-1）而不是除以n？
答:
样本方差之所以要除以（n-1）是因为这样的方差估计量才是关于总体方差的无偏估计量
1.无偏估计
无偏估计是用样本统计量来估计总体参数时的一种无偏推断。估计量的数学期望等于被估计参数的真实值，则称此估计量为被估计参数的无偏估计，即具有无偏性，是一种用于评价估计量优良性的准则。无偏估计的意义是：在多次重复下，它们的平均数接近所估计的参数真值。
2.有偏估计