四阶行列式要比三阶行列式复杂得多，是真正意义的高阶行列式。求四阶行列式的方法有很多，可以直接用展开公式；也可以化四阶行列式为上三角行列式；可以把行列式某行或者列尽可能的多化出零，然后按这一行或列展开。这里反复用到了几个性质：行列式的值等于行列式某一行(或列)乘以一个常数加到另一行(另一列)上；交换行列式的某两行(或列)行列式前面要乘一个负号；行列式某行或者列有公因子，可以把这个公因子提出去。行列式中最简单的是对角行列式，上三角行列式，下三角行列式，这三类行列类的值均为对角线元素之和。如何把任一个行列式转化为这类行列式是需要同学动脑的地方。思考：把一个行列式转化为上三角行列式简单吗？为何书上一定要这样做呢？
四阶行列式要比三阶行列式复杂得多，是真正意义的高阶行列式。求四阶行列式的方法有很多，可以直接用展开公式；也可以化四阶行列式为上三角行列式；可以把行列式某行或者列尽可能的多化出零，然后按这一行或列展开。这里反复用到了几个性质：行列式的值等于行列式某一行(或列)乘以一个常数加到另一行(另一列)上；交换行列式的某两行(或列)行列式前面要乘一个负号；行列式某行或者列有公因子，可以把这个公因子提出去。是为之后学习的矩阵做准备，在矩阵的学习中，一个重要的技巧是实行变换，而本节讲的方法，是实行变换的雏形，请同学们一定要掌握好。视频中主要讲了第三种方法.
提问：
视频中用了哪些行列式的性质？
解题的思路是什么？
哪些性质用的最多？
你还有更好的方法吗？
如果你看了视频，可以在公众号中回复，解答的好，平时成绩有分加呀

二阶行列式：

对角线法则：等于主对角线的乘积-副对角线的乘积
三阶行列式：



特点：每次取得数都是不同行不同列的
排列

逆序


举例


对换

定理

1.任何排列经过一次对换都会改变奇偶性

2.由1，2，，，，n构成的全部n级排列共有n！个，其中奇，偶排列各占一半
行列式的性质
性质1



性质2

若互换行列式的两行（列），则行列式变号
推论：若行列式中有两行（两列）相同，则此行列式为0
性质3：



推论1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子都可以提到行列式记号的外面
推论2：若行列式有两行（列）成比例，则该行列式为0

本篇文章收录了丘维声《高等代数学习指导书》一书中，及笔者平常做过的觉得有经典意义的行列式计算题
（一）：惯例从两道简单的开始热身：
（只需要利用定义就可以算出来）
1. 
2.设 
 ，证明：如果 
 级矩阵 
 的元素为 
 或 
 ，则 
 必为偶数。
接下来正式进入方法大全
方法一：化上三角形行列式：
这是求行列式的最基础的方法，没什么特征好讲的
一般就是一列（行）乘上一个数加到某一列（行），使其转化为上（下）三角形行列式。
 1.
提示：这题只需把从第二列开始的每一列提取一个 
   (
 ),然后乘一个 
 加到第一列即可得到一个上三角行列式。
小小的示范一下：
先把第二列的 
 提出来，得到：
再乘以 
 倍加到第一行去：
对第一列后面的每一列都这么做，就可以得到上三角形行列式。
另：对于形如下图的行列式，都可以采用同样的方法算
方法二：连加法：
特征：当你发现行列式每一行（列）的值加起来都相等且不等于0时，试试把他们其余行（列）全部加到第一行（列）去，然后再把这个和提出来，从而第一行（列）就全是1了，从而简化行列式。
3. 
4. 
方法三：滚动消去法：
特征：当你发现，相邻的行（列）长得比较相似，很多项长得一样时。不妨试试滚动相减。即：最后一行（列）开始的每一行（列）都减去上一行（列）。
5. 
6. 
附加题：
这题稍微难点，先利用 
 滚动消去

再用按一行展开。重复俩次就可以发现规律）
四：逐行（列）相加减法
该方法是将第一行（列）加（减）到第二行，获得的新的第二行再拿去加（减）第三行。
特征：发现前（后）一行（列）中的元素如果去掉“某个元素”后，再和下一行（列）相加减，就能把下一行（列）的某些元素消去，而不带来新的元素。并且前一行（列）中的那个想要去掉的 “某个元素” 能用同样的方法事先先消掉。
当然值得注意的是：从最后一行开始和从第一行开始，结果往往会不一样，需要读者在做题的时候，选择好到底应该从哪开始。
 7.
8. 
 (空白处为0）
需要提醒一下的是，这和方法三的滚动消去是有所不同的。滚动消去法是用未变动的行去加减相消，而方法四的逐行相加减是拿新得到的行去加减消元。
五：拆分行列式
把一个行列式拆成几个好算的行列式之和特征：来个简单点的自己感受
例：         
9.  
 （此题和上面的方法一样，留给读者作练习）
上面的两题都是只拆了一行，但还有些题目需要拆多行
10. 
上面的两题，利用拆分行列式，可以简便计算。而下面的第九题，则可以在拆分后，利用行列式的性质：若两行成比例，行列式的值为0. 来化简行列式或直接求得行列式的值。
第十题 答案：
再来一题：
11.计算 
 ，其中：
试试把 
 代入最后一列，然后用二项式展开，然后拆开。
六：直接按一行（列）展开：
12. 
按最后一行展开，可得 
七：按拉普拉斯公式，多行展开：
在算矩阵时，可挖洞后再算，以简化计算。
13.
八：加边法：
当每一行有较多相同元素时，可考虑按一行展开的反向操作，加多一行，然后用新加的行去减其他的行，来简化行列式
例： 
= 
= 
(接下来就按照（1）那么做就完了）
第（5）题也可以加边法做
 例：
=   
九：加边法和范德蒙德行列式一起用：
例： 
对比范德蒙德行列式就可以发现区别，为了使用范德蒙德行列式，我们必须在倒数第二行和最后一行插入次数为 
 的行。
我们在右边和 
 行和 
 行之间插入对应元素，得到如下行列式：
此时我们按最后一列展开后,得到 
 余子式就是 
 。
同时 
 完全展开式中 
 的系数为 
 的完全展开式等于 
上式就是把范德蒙德行列式 
 的值的乘积形式中有含 
 的因子提出了累乘号外。
则可以看出 
 的系数为 
方法十：归纳法
该方法多用于证明行列式的值等于某个式子，或对于已经知道结果的行列式使用。
同数学归纳法。先证明阶为
 时成立，再从 
 成立推出 
 阶也成立。
比较经典的是这道：
读者可以记住他的答案是 
 ,考试时用数学归纳法证明出来就好了。
这里小小证一下。 
 阶略。假设 
 阶时成立。
把 
 按最后一行展开得到 
 然后把假设的结论带进去，然后高中生都知道怎么做了。
方法十一：作出特征根得到递推法
特征：若 
 阶行列式满足不等式
 则可用该法。（这个关系往往是选择一行展开后可得的）
先给出结论：
若行列式满足上述关系，则作特征方程  
记根为 
若判别式 
 则特征方程有两个不等的根，此时
若判别式 
 ，则特征方程只有一根，此时
上述 
 均为待定系数，可先令 
 求得。
上面的公式是怎么来的：
 首先：为什么要作特征方程 
这其实就是递归数列的特征根法
我们已知 
为了使其能一直递推下去，我们就需要得到一个形如这样的等式：
把他们移相以后，就可以得到：
然后就是韦达定理的事情了。后面的解释从略。
利用 
写出
同样可以写出：
联立解出 
 即可。
方法就先写到这啦，如果有补充的小伙伴欢迎交流~
谢谢观看，希望对各位有用~
码字不易，点个赞叭~

文章目录:

 1、箭形（爪形）行列式

2、两三角型行列式

3、两条线型行列式

4、Hessenberg型行列式

5、三对角型行列式

6、各行(列)元素和相等的行列式

7、相邻两行(列)对应元素相差1的行列式

8、范德蒙德型行列式


刚刚开始学习线性代数的同学们，有没有被行列式搞得有些头昏脑涨了，别怕！几种特殊类型行列式及其计算来了，想不想了解都有哪几种特殊类型行列式，这些特殊类型行列式又该如何计算，那还等什么，快来看看吧！


 1、箭形（爪形）行列式


这类行列式的特征是除了第行(列)或第行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零

 

对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.

即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零




2、两三角型行列式


这类行列式的特征是对角线上方的元素都是,对角线下方的元素都是的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来

 

对这类行列式，当b=c时可以化为上面列举的爪形来计算，当b不等于c时则用拆行(列)法来计算



 

 

 


3、两条线型行列式


这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零

 

这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为的，自然也直接展开降阶计算






4、Hessenberg型行列式


这类行列式的特征是除主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第或第行外，其他元素均为零

 

这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行(列)元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算




5、三对角型行列式






 


 

6、各行(列)元素和相等的行列式


这类行列式的特征是其所有行(列)对应元素相加后相等

 

对这类行列式，将其所有行(列)加到第一行(列)或第行(列)，提取公因式后，再把每一行都减去第一行(列)，即可使行列式中出现大量的零元素




7、相邻两行(列)对应元素相差1的行列式


这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行(列)元素相差1的行列式

 

对这类行列式，自第一行(列)开始，前行(列)减去后行(列)，或自第n行(列)开始，后行(列)减去前行(列)，即可出现大量元素为1或-1的行列式再进一步化简即出现大量的零元素

若相邻两行(列)元素相差倍数k，则前(后)行(列)减去后(前)行(列)的-k倍，可使行列式出现大量的零元素



 


8、范德蒙德型行列式


这类行列式的特征是有逐行(列)元素按方幂递增或递减，对这类行列式可以转化为范德蒙德行列式来计算