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  • 写在前面的话这一讲主要是讲了基本初等函数及其反函数、复合函数的求导公式。这些公式需要反复记忆。我在证明和解题过程中用到了一些之前的知识点,如果你印象不是很深刻了,还是回去好好理解一下,权当复习了。不...

    写在前面的话

    这一讲主要是讲了基本初等函数及其反函数、复合函数的求导公式。这些公式需要反复记忆。

    我在证明和解题过程中用到了一些之前的知识点,如果你印象不是很深刻了,还是回去好好理解一下,权当复习了。不知道哪位大师说过那么一句话:把书从从薄读到厚,再从厚读到薄。简言之就是反复。

    对了,我觉得有必要说一下直接函数与其反函数的事儿:

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    图1

    4ae08f4823fa3cd78ef1eebbd1377ccc.png
    图2

    上面两张图分别是

    两个函数互为反函数:

    两个函数都是单调的,否则,若一个函数不单调,另一个函数的函数值会出现自变量对应多个函数值的情况,这就不是一个函数了,所以一个函数必须单调才能保证具有反函数(如图3)。

    ② 上面两个函数的

    具有相同的取值范围:
    ,其实它们是公用一套
    域和
    域的,只是映射条件互逆罢了。亦即,
    两个函数的
    是同一个东东。
    所以再后面反函数的求导法则中,不必迷惑。

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    图3

    ③ 像图3这样

    就不存在反函数,因为如果把
    当作自变量,那么会出现同一个自变量对应两个“函数值”,所以要使函数有反函数,必须单调才行。

    这也是为什么下面反函数的求导法则中强调直接函数是单调的了

    好了,记住这三点,我们再反函数求导时就不要疑惑了,小伙伴们,我们共同学习吧~

    有错误,还请指正,我会及时纠正。

    一、函数的和、差、积、商的求导法则

    定理1 如果函数

    都在点
    具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点
    具有导数,且有

    证明: 式

    其中,之所以

    ,是因为
    可导
    连续,极限值等于函数值(戳我了解)。

    注:① 定理1的结论可简写为:

    ② 定理1中的式

    可推广到任意有限个可导函数的情形,比如
    均可导,则有

    ③ 在式

    中,当
    为常数)时,有

    例1.

    ,求

    解:

    例2.

    ,求

    解:

    例3.

    ,求

    解:

    例4.

    ,求

    解:

    这正式正切函数的求导公式,可直接作为结论。

    例5.

    ,求

    解:

    这是正割的求导公式,可作为结论。另外余切函数和余割函数的求导公式为

    二、反函数的求导法则

    定理2 如果函数

    在区间
    内单调、可导且
    ,则它的反函数
    在对应的区间
    内也可导且

    证明:第①步:由于

    在区间
    上单调可导,故
    上单调连续(可导
    连续,戳我了解)。从而它的反函数
    上单调连续(戳我了解)。

    第②步:又因为当

    时,
    单调,所以
    ,即
    。所以

    第③步:又因为

    连续,根据连续定义(戳我了解),当
    时,
    。所以

    证毕。

    简言之,反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

    例6.

    为直接函数,则
    是它的反函数。函数
    在开区间
    内单调、可导,且在该区间内导数为
    (不等于
    )。

    因此,在对应区间

    由反函数的导数为直接函数导数的倒数:
    。这里要注意的是在区间
    ,所以能够保证
    而非
    ,即
    式在这里是成立的,不必有疑问。

    结合式

    有:
    ,此为反正弦函数的求导公式。

    类似地,反余弦函数的导数公式:

    例7.

    是直接函数,
    ,则
    是它的反函数,函数
    内单调、可导,且在该区间内
    ,而
    ,所以

    而反函数的导数为直接函数导数的倒数:

    类似地,反余弦函数的表达式:

    例8.

    为直接函数,则
    是它的反函数,函数
    在区间
    内单调、可导,且在该区间内
    ,在对应区间
    内有
    。这和十三讲中用定义求导,结果一致(戳我了解)。

    三、复合函数的求导法则

    至此,对于像

    这样的符合函数,它们的求导法则又是如何呢?如下:

    定理3 如果

    在点
    处可导,而
    在点
    处可导,则复合函数
    在点
    处可导,且导数为

    证明:由于外层函数

    处可导,所以
    ,由极限与无穷小的关系(戳我了解),

    左右两边同时除以

    对式

    取极限:

    时,
    式等号右边导数
    为常数,差商
    的极限为导数
    ,而
    ,故
    式又可写作:
    ,证毕。

    简言之,如果里层函数在

    点处可导,外层函数在相应的
    处可导,那么复合函数在
    处可导,且导数是外层函数在
    处的导数值乘以里层函数在
    处的导数值。

    注:① 如果里层函数

    在开区间
    内可导,外层函数在开区间
    可导,且里层函数的值域包含于外层函数的可导定义域内,即
    ,那么复合函数
    在开区间
    内可导且导数值为外层函数对中间变量
    的导数与里层函数对自变量
    的导数的乘积:

    ② 如果

    ,则复合函数
    的导数为
    。同样四重、五重
    复合函数有类似的结论。

    例9.

    ,求

    解:

    可以看作
    复合而成,因此

    例10.

    ,求

    解:

    可以看作
    复合而成,因此

    从上面例子可以看出,求复合函数的导数,首要任务是把复合函数分解成里层函数和外层函数,然后再根据复合函数的求导法则进行求导。不过对于已经熟练的同学可以不用再写出中间变量了,直接在心中知道就行。

    例11.

    ,求

    解:

    例12.

    ,求

    解:

    例13.

    ,求

    解:

    可以分解为
    ,因此

    例14.

    ,求

    解:

    例15.

    ,证明幂函数的求导公式为

    证明:因为

    ,所以

    例16.

    为常数),求

    解:

    四、基本求导法则与导数公式总结

    1.常数和基本初等函数的求导公式:

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    2.函数的和差积商求导法则(见定理1)

    3.反函数的求导法则(见定理2)

    3.复合函数的求导法则(见定理3)


    下面是与本讲内容无关的事情,不感兴趣可以自行忽略


    最近有小伙伴催更了,哎~工作比较忙也没办法。所以跟不上大一同学的进度。请见谅,另外谢谢大家的认可。也有很多同学问了我一些题目,我有点应接不暇,毕竟工作第一嘛~先填饱肚子,才配谈理想,对吧。然后我想给爱学习的小伙伴们推荐一套同济第七版高数教辅,是同济大学数学系编的。课后习题答案很全,讲的也很细,希望有帮助。

    有的小伙伴准备考研,在时间允许的情况下,比如大二大三的,可以先把课后习题做做,不要小瞧课本呦~基础的知识往往最能揭示本质的东西。

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  • 指数对数运算,是我们在学习函数的过程中,常常会涉及的一个门槛,我们称之为函数运算之拦路虎,今天我们一起来看看,怎么在高考真题中识破这条拦路虎的真面目?想必学校老师肯定交过你一些器官的口诀,我们回顾一下...

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    指数对数运算,是我们在学习函数的过程中,常常会涉及的一个门槛,我们称之为函数运算之拦路虎,今天我们一起来看看,怎么在高考真题中识破这条拦路虎的真面目?想必学校老师肯定交过你一些器官的口诀,我们回顾一下。
    奇变偶不变,符号看象限(三角函数的诱导公式)
    扣扣赛赛,赛扣扣赛————cos cos sin sin ,sin cos cos sin(三角函数合角公式)
    八字真言,寄穿偶回(高次方程连续相乘的方法:在数轴上穿针引线)

    1b3fac1cc33b0a2a563d9fa4b26b99ea.png


    同增异减(复合函数的单调性判断)
    前导后不导,前不导后导;上导下不导,上不导下导。(导数运算)
    指数找朋友,对数单身狗。(导数判断不等式的规律)
    洛必达法则(当x不可以为0时,若为分数,上下取导数,带入极限值运算)(总而言之就是lim的2.0,这个真的好用,强烈安利)小编今天对于其中的“指数找朋友,对数单身狗。”进行总结。

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    篇幅限制,只能发部分内容,希望以上总结能帮到大家。也希望大家好好利用这份资料,结合自己的学习情况加上老师的课程规划,努力实现弯道超车,感兴趣,私信我“资料”免费获取~~。考上理想大学,对得起自己12年来的努力。尤其是成绩在中间徘徊的同学,你离尖子生只差一步,加油,为了更好地明天!

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  • 关于一元函数微分学,专升本数学...3.熟记导数的基本公式,会运用函数的四则运算求导法则,复合函数求导法则和反函数求导法则求导数。会求分段函数的导数。4.会求隐函数的导数。掌握对数求导法与参数方程求导法。...

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    关于一元函数微分学,专升本数学考试要求包括:

    ()导数与微分

    1理解导数的概念及其几何意义,了解左导数与右导数的定义,理解函数的可导性与连续性的关系,会用定义求函数在一点处的导数。

    2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

    3熟记导数的基本公式,会运用函数的四则运算求导法则,复合函数求导法则反函数求导法则求导数。会求分段函数的导数。

    4会求隐函数的导数。掌握对数求导法与参数方程求导法。

    5.理解高阶导数的概念,会求一些简单的函数的n阶导数。

    6.理解函数微分的概念,掌握微分运算法则与一阶微分形式不变性,理解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分。

    (二)中值定理及导数的应用

    1.理解罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它们的几何意义,理解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明一些简单的不等式。

    2.掌握洛必达(L’Hospital)法则,会用洛必达法则求未定式的极限。

    3会利用导数判定函数的单调性,会求函数的单调区间,会利用函数的单调性证明一些简单的不等式。

    4理解函数极值的概念,会求函数的极值和最值,会解决一些简单的应用问题。

    5会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。

    6会求曲线的渐近线(水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线)

    7会描绘一些简单的函数的图形。

    这一部分,我们来学习反函数求导技巧。在此之前,我们先来学习抽象函数求导。

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    解析式(表达式)没有完全给出的函数,可以称为抽象函数。求解这种类型函数的导函数要深刻理解函数的概念、熟练掌握复合函数求导法则。

    典型例题

    7cb24168db3b3e7d621356c3766f9b02.png

    掌握了抽象函数求导的方法之后,下面我们来学习反函数求导方法。

    0f1bae751077968438c9c1ea0c696039.png

    对于反函数相关问题,要深刻理解反函数的求解过程以及导数的概念(函数值的变化量比上自变量的变化量)。

    典型例题

    b23edd388c0fe25d08136365b1933d79.png

    33e4801226b180bd40ff58847c75b59a.png

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    END

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    02

    一元函数微分学(占比30%)

    往期回顾

    一元函数微分学考点(8):参数方程求导

    一元函数微分学考点(7):对数求导法

    一元函数微分学考点(6):隐函数求导

    一元函数微分学考点(5):分段函数求导

    一元函数微分学考点(4):复合函数求导

    一元函数微分学考点(3):导数计算之四则运算

    一元函数微分学考点(2):导数的几何意义

    一元函数微分学考点(1):导数的概念

    01

    函数、极限与连续(占比20%)

    往期回顾

    函数、极限与连续:真题讲解

    函数、极限与连续:未定式总结

    函数、极限与连续考点(15):连续函数的性质

    函数、极限与连续考点(14):连续与间断

    函数、极限与连续考点(13):曲线渐近线

    函数、极限与连续考点(12):洛必达求极限

    函数、极限与连续考点(11):等价无穷小求极限

    函数、极限与连续考点(10):两个重要极限公式

    函数、极限与连续考点(9):抓大头法求极限

    函数、极限与连续考点(8):有理化法法求极限

    函数、极限与连续考点(7):因式分解法求极限

    函数、极限与连续考点(6):四则运算求极限

    函数、极限与连续考点(5):极限的基本性质

    函数、极限与连续考点(4):反函数

    函数、极限与连续考点(3):函数的基本性质

    函数、极限与连续考点(2):函数的表达式

    函数、极限与连续考点(1):函数的定义域

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    一刻钟数学

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  • 基础对数级数公式展开的来源

    千次阅读 2011-06-13 08:48:00
    对上面的方程两边同时取log对数有: wi=(log (1+k*w)^i ) 到目前这里还算都是正常的,但现在作出一个假定设(1+kw)^i=1+x,其中的x是normal数字,为什么可以这样,是因为对于任意一个无穷小量w,

    基础对数级数公式展开的来源

    前面我们得出了如下公式(a^w)^i=(1+k*w)^i,现在从另外的角度看这个公式;

    先假设现在的log 是以a为底的,为了书写方便;

    对上面的方程两边同时取log对数有:

    wi=(log (1+k*w)^i )

    到目前这里还算都是正常的,但现在作出一个假定设(1+kw)^i=1+x,其中的x是normal数字,为什么可以这样,是因为对于任意一个无穷小量w,都有一个更大的无穷大量i,使得(1+kw)^i=1+x成立;这里的思维很重要???

    GO

    {{ (1+x)^(1/i)-1} /k }*i=log  (1+x) 

    Go

    运用newton公式展开有:

    log (1+x)={ (1+x)^(1/i)-1} * i/k

    Go 

    log (1+x)={ (1/i)*x^1/1!+ (1/i)*(1/i-1)*x^2/2!+ (1/i)*(1/i-1)*(1/i-2)*x^3/3!+ ...} * i/k

    Go

    log (1+x)={ (1/1)*x^1/1!+ (1/1)*(1/i-1)*x^2/2!+ (1/1)*(1/i-1)*(1/i-2)*x^3/3!+ ...} * 1/k

    GO

    这里因为i是无穷大,所以采用前面类似的处理方式有:

    log (1+x)={ (1/1)*x^1/1!+ (1/1)*(0-1)*x^2/2!+ (1/1)*(0-1)*(0-2)*x^3/3!+ ...} * 1/k

    GO

    log (1+x)={ 1*x^1/1!+ 1*(0-1)*x^2/2!+ 1*(0-1)*(0-2)*x^3/3!+ ...} * 1/k

    GO

    log (1+x)={ 1*x^1/1!-1*x^2/2!+ 1*x^3/3-1*x^4/4 ...} * 1/k

    另外k的意义有a决定,前面有过这样的解释,即有:

    a=1+k/1+k^2/2!+k^3/3!+...

    而按照以前的变换方法a=e^(lg a),这样可以知道k=lg a,而这个值也与现在的log (1+x)=lg (1+x)/lg a=lg (1+x) /k  意义吻合。

     

     

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  • 1.预测函数: 2.代价函数: 假设每一个对象的预测值与真实值的误差为ε,即: 则由中心极限定理可知: ...对等式两边同时取对数求极大似然,即: 综上,代价函数为: 三、梯度下降: ...
  • poj 2661 Factstone Benchmark

    2019-09-26 23:43:05
    = 2^n 两边同时取对数 log2(m!) = n 3 即 log2(1) + log2(2)+log2(3)+log2(4)...+log2(m) = n 4 枚举即可 5 6 拓展: 7 可以用斯特林(Stirling)公式求解 8 9 10 斯特林(Sti...
  • 题目链接 这个题按照道理说应该会做,不过太...这里的公式显然会爆到,然后运用数学知识,对两边同时取对数(对数为正),这样符号大小不变,然后我们将求出的值按照动态规划的形式加起来即可 记得取模 代码: #...
  • 思路:后位直接快速幂取余就行了,主要是前三位,我们定义,两边同时取对数,,根据公式,,可以得到,这个数很大,显然不能直接计算,我们定义为 的小数部分,b为的整数部分,则。所以,显然的前几位数肯定是由决定...
  • H - Leftmost Digit

    2018-04-08 22:54:37
    =10^9,在这里需要用到求数位公式,科学计数法,pow函数,两边同时取对数eg:n^n=a*10^m,n*log10(n)=log10(a)+m,a=10^(n*log10(n)-m).考虑到double精度问题,最好把n弄成double类型……#include<bits/stdc++....
  • 这题在比赛的时候没做出来实在是不应该。本来也是用对数处理的,但是后面写的七零八落的。... * (1-pn) 我们对两边同时取对数的话,那么我们就将乘法化成了加法,并且直接求一个最长路就可以了。最后再拿...
  • UVa 11809 - Floating-Point Numbers

    千次阅读 2015-01-30 14:20:58
    两边同时取对数。 log10(x1) + n * log10(2) = log10(x2) + k. 其中x1和n能全部打表,然后就OK了。 第一次写的时候是边计算边对比,一直WA。 然后看了下打表的题解,照着写了一遍对了。然后我又照着自己的思路,把x1...
  • Python数据可视化:幂律分布

    万次阅读 2016-09-27 23:28:12
    公式两边同时取以10为底的对数: 令,且为常数,所以公式变为: 所以对于幂律公式,对X,Y取对数后,在坐标轴上为线性方程。2、可视化 从图形上来说,幂律分布及其拟合效果: 对X轴与Y轴取以10为底的对数。...
  • 公式两边同时取以10为底的对数: 所以对于幂律公式,对X,Y取对数后,在坐标轴上为线性方程。 2、可视化 从图形上来说,幂律分布及其拟合效果: 对X轴与Y轴取以10为底的对数。效果上就是X轴上1与10,与10与100...
  • 2017 多校1 题解

    2018-04-19 15:37:54
    HDU-6033 Add More Zero(数学) Description: 给定一个 m, 寻找一个 k;使公式:2m−1=10k2m−1=10k2^m - 1 = 10^...对该公式两边同时以 10 为底取对数。得到 lg(2m−1)=klg(2m−1)=klg(2^m - 1) = k 又因为 ...
  • n的阶乘的长度

    2018-08-05 23:59:37
    两边同时对10取对数,ans=log10N!=n*log10(N/e)+log10(2*pi*n)+1; 代码实现: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main(){ int n,ans=1; while(cin>>n...
  •  对数列的概念的理解,重点放在“一定次序”上,于是组成两个数列的数相同而次序不同,则两个数列为不同数列,在数列中同一个数可以重复出现.此外,要注意区别{an}与an的含义.对于数列的通项公式的理解应注意到它...

空空如也

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两边同时取对数公式