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  • 二叉树的基本定义

    2018-10-24 21:27:33
    一、二叉树的递归定义 1.要么二叉树没有根节点,是一颗空树。...而二叉树其左右子树是严格区分的,不能随意交换左子树和右子树位置。 二、二叉树的存储结构 此处二叉树用链表来定义。(对链表不太熟悉的...

    一、二叉树的递归定义

    1.要么二叉树没有根节点,是一颗空树。

    2.要么二叉树由根节点,左子树和右子树组成,且左子树和右子树都是二叉树。

    请注意二叉树与度为2的树的区别:对树来说,结点的子树是不区分左右顺序的。度为2的树只能说明树中所有结点的子结点个数不超过2。而二叉树其左右子树是严格区分的,不能随意交换左子树和右子树位置。

    二、二叉树的存储结构

    此处二叉树用链表来定义。(对链表不太熟悉的可用数组定义二叉树的静态实现)

    struct node{
    int data;    //数据域,可以是任意类型
    node* lchild;    //指向左子树根节点的指针
    node* rchild;    //指向右子树根节点的指针
    };

    在二叉树建树前根节点不存在,其地址一般为NULL

    node* root=NULL;

    新建一个结点:

    node* newNode(int val){
    node* Node=new node;
    Node->data=val;
    Node->rchild=NULL;    //一定要将新创建的结点其左右子树至为NULL,表示无左右子树
    Node->lchild=NULL;
    return Node;
    }
    

    三、二叉树的常用操作

    1、查找。在二叉树中找到所有数据域为给定数据域的结点,并将它们的数据域修改为给定的数据域。

    void search(node* root,int x,int newdata){
        if(root==NULL){    //递归边界,当前结点为空。
            return ;
        }
        if(root->data==x){    //找到该结点。
            root->data=newdata;
        }
        search(root->rchild,int x,int newdata);  //依次向右子树,左子树进行搜索。
        search(root->lchild,int x,int newdata);
    
    }

    2、插入。结点的插入位置取决于数据域需要在二叉树中存放的位置。(例如二叉查找树就要根据插入的数据域跟当前的结点比较大小。)但数据域要插入的地方就是在二叉树中查找失败的位置,此位置确定。

    void insert(node* &root,int x){    //注意此处应是引用该树,负责插入不会成功。
        if(root==NULL){    //若该树为一棵空树,插入结点为根节点。
            root=newNode(x);
            return;
        }
        if(x应该插在左子树的条件成立){
            insert(root->lchild,int x);   
        }else{
            insert(root->rchild,int x);
        }
    ]

    3、创建二叉树。创建过程也就是数据一个个插入的过程。

    node* create(int data[],int n){
        node* root=NULL;    //创建根结点root
        for(int i=0;i<n;++i){
            insert(root,data[i]);
        }
    return root;    // 返回整个创建好的树。
    }

    4、特殊二叉树的存储。

    对完全二叉树而言,假设根结点编号为x,其左子树结点编号肯定为2*x,右子树结点编号为2*x+1,并且其根节点root编号一定从1开始。由于次性质,完全二叉树可用数组存储,用下标表示其左右子树编号。数组开到结点个数+1即可。在完全二叉树中,判断某个结点是否为叶子结点标志为:判断该结点的左孩子结点编号2*x是否大于结点总个数n。大于是叶子结点。判断是否为空结点标志为:该结点下标root大于结点总个数n。

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  • 二叉树的递归定义

    千次阅读 2019-08-13 09:06:56
    首先直接给出二叉树的递归定义 1、要么二叉树没有根节点,是一颗空树 2、要么二叉树由根节点、左子树、右子树组成,且左子树和右子树都是二叉树。 递归定义就是用自身来定义自身 递归函数必须存在两个概念:递归...

    首先直接给出二叉树的递归定义

    1、要么二叉树没有根节点,是一颗空树

    2、要么二叉树由根节点、左子树、右子树组成,且左子树和右子树都是二叉树。

    递归定义就是用自身来定义自身

    递归函数必须存在两个概念:递归边界和递归式。其中递归式用来将大问题分解为与大问题性质相同的若干个小问题,递归边界则用来停止无休止的递归。

    二叉树的递归定义如下;二叉树中任何一个结点的左子树既可以是一颗空树,也可以是一颗拥有左子树和右子树的二叉树;结点的右子树也既可以是一颗空树,也可以是一颗拥有左子树和右子树的二叉树,这样直到递归边界,递归定义结束。

    区分二叉树与度为2的树

     

    对树来说,结点的子树是不区分左右顺序的,因此度为2的树只能说明树中每个节点的子节点的个数不超过2.而二叉树虽然也能满足每个结点的子结点的个数不超过2,但它的左右子树是严格区分的,不能随意交换左子树和右子树的位置。

     

    两种特殊的二叉树

     

    满二叉树:每一层的结点个数都达到了当层能达到的最大结点数。

    完全二叉树:除了最下面一层外,其余层的结点个数都达到了当层的最大结点数,且最下面一层从左到右连续存在若干结点,而这些结点右边的结点全部不存在。

     

    注意:在层次关系中,自己既是自己的祖先结点,也是自己的子孙结点

     

     

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  • 二叉树定义以及主要特性 二叉树定义二叉树是另一种树形结构,其特点是每个结点至多只有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点),并且二叉树的子树有左右之分,其次序不能任意颠倒。 与树相似,二叉树也以...

    二叉树的定义以及主要特性

    二叉树的定义:
    二叉树是另一种树形结构,其特点是每个结点至多只有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点),并且二叉树的子树有左右之分,其次序不能任意颠倒。
    与树相似,二叉树也以递归的形式定义。二叉树是n (n≥0)个结点的有限集合:
    ①或者为空二叉树,即n=0。.
    ②或者由一个根结点和两个互不相交的被称为根的左子树和右子树组成。左子树和右子树,又分别是一棵二叉树。
    二又树是有序树,若将其左、右子树颠倒,则成为另一棵不同的二叉树。即使树中结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。

    一、二叉树与度为2的有序树的区别:

    ①度为2的树至少有3个结点,而二叉树可以为空。
    ②度为2的有序树的孩子的左右次序是相对于另一孩子而言的,若某个结点只有一个孩子,则这个孩子就无须区分其左右次序,而二叉树无论其孩子数是否为2,均需确定其左右次序,即二叉树的结点次序不是相对于另- -结点而言,而是确定的。

    二、几种特殊的二叉树

    (1)满二叉树
    (2)完全二叉树:高度为h、有n个结点的二叉树,当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时,称为完全二叉树。
    完全二叉树的特点如下图:在这里插入图片描述
    (3)二叉排序树:左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字;右子树.上的所有结点的关键字均大于根结点的关键字;左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。

    (4)平衡二又树。树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1。

    三、二叉树的性质

    在这里插入图片描述

    四、二叉树的存储结构

    1.顺序存储结构
    二叉树的顺序存储是指用一-组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素,即将完全二叉树上编号为i的结点元素存储在一-维 数组下标为i-1的分量中。依据二叉树的性质,完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适,树中结点的序号可以唯一地反映结点之间的逻辑关系,这样既能最大可能地节省存储空间,又能利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置,以及结点之间的关系。但对于一般的二叉树,为了让数组下标能反映二叉树中结点之间的逻辑关系,只能添加一些并不存在的空结点,让其每个结点与完全二叉树上的结点相对照,再存储到一-维数组的相应分量中。然而,在最坏情况下,一个高度为h且只有h个结点的单支树却需要占据近2^h- 1个存储单
    元。
    2.链式存储结构
    由于顺序存储的空间利用率较低,因此二叉树一般都采用链式存储结构,用链表结点来存储二叉树中的每个结点。在二叉树中,结点结构通常包括若干数据域和若干指针域,二叉链表至少包含3个域:数据域data、左指针域lchild和右指针域rchild。
    二叉树的链式存储结构描述如下:

    typedef struct BiTNode {
    ElemType data;//数据域
    struct BiTNode *lchild, *rchild;//左、右孩子指针
    }BiTNode, *BiTree;
    

    ps:在含有n个结点的二叉链表中,含有n + 1个空链域

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  • 严格二叉树,这个定义就百度上有,维基百科都没查到。 严格二叉树定义:如果一颗二叉树的每个非终端节点都有且仅有两棵子树,则称这颗二叉树为严格二叉树。摘自百度百科。 简单的说,没有度为1的结点的二叉树,被...

    严格二叉树,这个定义就百度上有,维基百科都没查到。

    严格二叉树的定义:如果一颗二叉树的每个非终端节点都有且仅有两棵子树,则称这颗二叉树为严格二叉树。摘自百度百科。

    简单的说,没有度为1的结点的二叉树,被称之为严格二叉树。如下图就是一颗严格二叉树。

    clipboard

    下图就不是一棵严格二叉树,因为结点5,9的度数都是1.

    192px-Binary_tree.svg

    首先证明一个问题,对于有n个叶子的严格二叉树,必定有n-1个非叶子节点。即严格二叉树中,度数为0的叶子节点有n个,那么度数为2的节点数必定为n-1个。不论树的形态是怎样。

    用数学归纳法证明。

    对于只有2个叶子的严格二叉树,那只有1个根结点。

    如下图:

    clipboard[1]

    假设有k个叶子的严格二叉树有k-1个非叶子节点,那么对k+1个叶子节点的严格二叉树,

    就相当于在k个叶子的严格二叉树上再扩展加一个叶子。如下图是一个有着k个叶子节点的严格二叉树

    clipboard[2]

    要在上面的树上多出一个叶子节点,并且使之仍然是一颗严格二叉树,只能在任意一个叶子节点增加2个叶子节点,这样操作,会,减去原先的一个叶子节点,同时会多出一个非叶子节点。也就是说,总的来说会多一个叶子节点和一个非叶子节点。即原来的k个节点的严格二叉树,有k-1个非叶子节点。而k+1个节点的严格二叉树,会有k个非叶子节点。

    clipboard[3]

    因此对于k+1,也成立。

    因此采用数学归纳法得到证明。\












    本文转自cnn23711151CTO博客,原文链接:http://blog.51cto.com/cnn237111/1051946,如需转载请自行联系原作者




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严格二叉树定义