-
严格凸函数充分必要条件_凸函数与严格凸函数的几个新判别准则
2021-01-13 20:27:12凸函数与严格凸函数的几个新判别准则杨丹,旷华武*【摘要】摘要:在较弱条件下,建立了凸函数与严格凸函数的几个新判别准则,所获结果比一些相应已知结果更具一般性。【期刊名称】贵州大学学报(自然科学版)【年(卷),...凸函数与严格凸函数的几个新判别准则
杨
丹,
旷华武
*
【摘
要】
摘
要:在较弱条件下,建立了凸函数与严格凸函数的几个新判别准
则,所获结果比一些相应已知结果更具一般性。
【期刊名称】
贵州大学学报(自然科学版)
【年
(
卷
),
期】
2018(035)001
【总页数】
7
【关键词】
凸函数;严格凸函数;判别准则
凸函数或者广义凸函数的判别准则是凸分析及其应用中的一个重要研究内容,
这个研究内容可简述为
:
在一定条件下,如何判断一个函数是凸函数或特定类型
的广义凸函数?
一般地,设
E
是拓扑线性空间,
X
⊆
E
是一个非空凸子集,f:X→R。以下函数类
定义见
[1-7]
。
定义
1
如果
∀
x,y∈X,
∀
λ∈[0,1],都有
f(λx+(1
-
λ)y)≤λf(x)+(1
-
λ)f(y),则称
f(x)
为
X
上的凸函数。
定义
2
如果
∀
x,y∈X,x≠y,
∀
λ∈(0,1),都有
f(λx+(1
-
λ)y)
-
λ)f(y),
则称
f(x)
为
X
上的严格凸函数。
定义
3
如果
∀
x,y∈X,f(x)≠f(y),
∀
λ∈(0,1),都有
f(λx+(1
-
λ)y)
-
λ)f(y),则称
f(x)
为
X
上的半严格凸函数。
定义
4
如果
∀
x,y∈X,
∀
λ∈(0,1),都有
f(λx+(1
-
λ)y)≤max{f(x),f(y)},则称
f(x)
为
X
上的拟凸函数。
定义
5
如果
∀
x,y∈X,x≠y,
∀
λ∈(0,1),都有
f(λx+(1
-
λ)y)
-
严格凸函数充分必要条件_「管理数学基础」3.2 凸分析:凸函数
2021-01-03 20:13:01凸函数定义:凸函数说是凸函数,起码想到使用上式。此外,又凸又凹,是仿射函数。几何意义:凸函数分析:很直观,即与两点连接的线段上的点注意凸规划里凸是向下凸的凸函数的几个定理:逐个证明(1)如上,证明可以用...凸函数
定义:凸函数
说
是凸函数,起码想到使用上式。此外,
又凸又凹,是
仿射函数
。几何意义:凸函数
分析:
- 很直观,
即
与
两点连接的线段上的点
- 注意凸规划里凸是
向下
凸的
凸函数的几个定理:逐个证明
(1)
如上,证明可以用数学归纳法证明:
- 为何要在③中提取
出来,因为这样
的系数才是
(因为有
)
- 才可用应用②中我们对
做的假设
(2)
分析:
- 把“非负组合”理解为一个
,然后直接用定义即可
(3)
分析:
- 明确正面的目标
- 使用题目给的性质、凸函数性质,即可
(4)
分析:
- 遇到
,考虑放缩(上图存在笔误,即应该是
)
- 共经历了两层放缩:凸函数的性质一层、
一层
(5)
分析:
- 你可以去理解“什么是正齐次函数”,也可不去(因为对证明题目没什么帮助)
- 我的理解是,
在
中是一次的,因为
可以被提出来
- 我的理解是,
分析:
- 证明充要条件,当然充分性与必要性都要证明
- 注意:
是正齐次函数,是已知、是条件,而非要正面的东西
- 对于充分性
的证明,因为
是已有性质,因此可以取特殊值
,来继续推导
梯度
定义:梯度
定义:Hesse矩阵
定理:
如上,
、
、
分别分别代表y轴值,我将其标注了出来。
该定理的证明
分析:
- 在充分性的证明中,最重要的是构造
- 然后利用已有的性质,进行代换,向着目标推进(目标是凸函数的定义式)
分析:
- 在必要性的证明中,巧妙地利用了
时,出现梯度,引出了
符号
该定理的严格形式
分析:
- 对于充分性证明,与不严格时相同;
- 对于必要性证明,则不同
- 利用了不严格时的定理,引出带有
与
的不等式
- 显然,我们需要把
去掉,则要结合严格凸的式子
- 使用
将其结合
- 利用了不严格时的定理,引出带有
定理:海赛阵半正定与凸函数
证明:海赛阵半正定与凸函数
分析:
- 都没有直接引用凸函数定义式,而是以用与凸函数等价的
- 都应用了二阶展开(泰勒公式)
定理:正定则严格凸
注意逆定理不成立。
判别:更方便的方法
直接用定理判断是否正定,不方便,这里提供了“主子式”的判别方法。
计算实例如上。
- 很直观,
-
严格凸函数充分必要条件_多元凸函数的性质及其应用
2020-12-23 06:15:02收稿日期:2008-06-30第16卷 第4期2008年12月北京石油化工学院学报Journal of Beijing Institute ofPetro-chemical TechnologyVol.16 No.4Dec.2008多元凸函数的性质及其应用游 煦(北京石油化工学院数理系,北京...收稿日期:2008-06-30
第16卷 第4期
2008年12月
北京石油化工学院学报
Journal of Beijing Institute of
Petro-chemical Technology
Vol.16 No.4
Dec.2008
多元凸函数的性质及其应用
游 煦
(北京石油化工学院数理系,北京102617)
摘要 从多元凸函数的定义及文献中已有的性质出发,利用方向导数和极限等数学工具,
给出了一个判别多元函数凸性的充分必要条件,进一步利用函数f(x)的Hesse矩阵Hf(x)的半正
定性来判定函数的凸性。特别地,对于二次函数f(x)=12xTAx+bTx直接利用矩阵A的正定性可以判
别它的凸性。这在实际应用中有一定的意义。
关键词 多元凸函数;梯度向量;Hesse矩阵;半正定阵;二次函数
中图法分类号 O174
凸分析是近几十年形成和发展起来的一个
新数学分支。它在数学规划、控制论、多元统计
等领域都有广泛的应用。文献[1-3]给出了一
些判别多元函数凸性的充分必要条件,但是这
些定理在实际使用过程中比较复杂。为了改进
判别方法,笔者利用极限和方向导数等数学工
具得到定理1[4],给出了利用多元函数的Hesse
矩阵来判别函数的凸性,改进了文献[1,3]中的
判别方法,在实际计算中很方便。
1 预备知识
多元凸函数和严格凸函数的定义:
定义1 设f(x),x∈D Rn,其中D为非
空凸集,若对于任意的x1,x2∈D及t∈(0,1)有
f tx1+(1-t)x2≤tf(x1)+(1-t)f(x2),
则称f(x)为D上的凸函数;若对于任意的x1,
x2∈D且x1≠x2及t∈(0,1)有
f tx1+(1-t)x2则称f(x)为D上的严格凸函数。
凸函数的几何意义如下:设x1,x2是凸集
上的任意两点,tx1+(1-t)x2为这两点连线
上的一点,则f(x)在tx1+(1-t)x2处的函数
值ftx1+(1-t)x2不超过f(x1)与f(x2)的
加权平均值f(x1)+(1-t)f(x2)。
例1 二元函数f(x,y)=x2-2xy+y2+
x+y为R2上的凸函数。
因为
f(x,y)=
1
2x y2-2-2 2xy+1 1xy,
令f(x,y)=f(x)=12xTAx+bTx,其中
x=x
y,A=2-2-2 2,b=11。
任意取x1=a1
b1,x2=a2b2∈R2,t∈(0,
1),则
f tx1+(1-t)x2=
f ta1+(1-t)a2,tb1+(1-t)b2=
t(a1-b1)+(1-t)(a2-b2)2+
t(a1+b1)+(1-t)(a2+b2),
tf(x1)+(1-t)f(x2)=t(a1-b1)2+
(1-t)(a2-b2)2+t(a1+b1)+
(1-t)(a2+b2),
利用一元函数g(x)=x2为x∈R上的凸
函数可知
t(a1-b1)+(1-t)(a2-b2)2≤
t(a1-b1)2+(1-t)(a2-b2)2,
因此,f(x,y)=x2-2xy+y2+x+y是R2上
的凸函数。利用凸函数的定义可以得到如下的
性质[1]:
设f(x)是定义在Rn上的凸函数,则对于
任意的x1,x2…xk∈Rn和t1,t2…tk≥0且t1+
t2+ … +tk=1,有
f t1x1+t2x2+…+tkxk≤
t1f(x1)+t2f(x2)+…+tkf(xk); (1)
如果f(x)是定义在Rn上的严格凸函数,
当x1,x2…xk不全相等时,有
f t1x1+t2x2+…+tkxk<
t1f(x1)+t2f(x2)+…+tkf(xk)。(2)
特别的在式(1)、式(2)中令λi=ti1-tn+1,
ti=λiλ1+λ2+ … +λk,i=1,2,…,k,有
fλ1x1+λ2x2+…+λkxkλ1+λ2+…+λk≤
-
严格凸函数充分必要条件_关于凸函数的两个充分必要条件
2021-02-05 03:21:26文章编号:1673 - 2103(2006)02 - 0010 - 02 关于凸函数的两个充分必要条件 刘鸿基 ,薛明志Ξ(商丘师范学院计算机科学系 河南商丘 476000) 摘 要 :对重要的凸函数的定义予以拓广 ,并由此推导出两个便于应用的充分...文章编号:1673 - 2103(2006)02 - 0010 - 02 关于凸函数的两个充分必要条件 刘鸿基 ,薛明志Ξ(商丘师范学院计算机科学系 河南商丘 476000) 摘 要 :对重要的凸函数的定义予以拓广 ,并由此推导出两个便于应用的充分必要条件 ,当然也可以作为定义使用. 关键词:凸函数 ;等价性 ;充分必要条件 中图分类号:O 174. 13 文献标识码 :A 二次函数 ———抛物线函数是严格凸函数 ,一次函数 ———线性函数是广义的凸函数[1]. 可见凸函数是一类重要的函数 ,它有着较好的分析性质 ,值得予以讨论. 在不同的教材中凸函数大都采用如下定义 : 定义 1[2] 设 f ( x) 在区间 I上连续 ,如果对 I上任意两点 x1 , x2 ,恒有 f x1 + x2 2 < f ( x1) + f ( x2) 2 , 那么称 f ( x) 在 I上的图形是(向上) 凹的(或凹弧) ;如果恒有 f x1 + x2 2 < f ( x1) + f ( x2) 2 , (1) 那么称 f ( x) 在 I上的图形是(向上) 凸的(或凸弧) . 注 : ①当 f ( x) 图形是凸弧(或凹弧) 时 ,称 f ( x) 是 I上的凸函数(或凹函数) . ②当上述不等式中出现等号时,我们称函数是广义凸(或凹) 的. ③当 f ( x) 为 I上的凹函数时 , - f ( x) 为区间 I 上的凸函数 ,反之亦然. 基于此 ,以下我们仅对广义的凸函数予以讨论. 主要结论为以下两个定理. 定理 1[3] 设 f ( x) 在区间 I上有定义 ,对任意的 x1 , x2 ∈I,以及λ ∈[0 ,1] ,恒有 f λ x1 + (1 - λ) x2 ≥λ f ( x1) + (1 - λ) f ( x2) , (2) 则 f ( x) 为区间 I上的凸函数. 定理 2 设函数 f ( x) 在区间 I上有定义 ,对于任意的 x1 , x2 ∈I,以及介于 x1 与 x2 之间任意 x ,恒有 x1 f ( x1) 1 x f ( x) 1 x2 f ( x2) 1 ≤0 , (3) 则 f ( x) 为区间 I上的凸函数. 为了说明以上两个定理可以作为凸函数的定义和充分必要条件使用 ,下面用循环推证的方法证明 : (1) 式 →(2) 式 :当λ = 0 或λ = 1 时 , (2) 式显然成立. 若λ ∈(0 ,1) 为有理数 ,则λ总可表示为有限的二进位小数 : λ = 0. a1 a2 ⋯an = a12n- 1 + a22n- 2 + ⋯+ an- i2 + an 2n , 其中 ai 为 0 或者 1 ( i = 1 ,2 , ⋯n - 1) , an = 1 ,同样 1 - λ是有理数 ,并且可以表示为 01 第 28 卷第 2 期 Vol. 28 No. 2 菏 泽 学 院 学 报 Journal of Heze University 2006 年 4 月 Apr. 2006 Ξ收稿日期 :2005 - 09 - 29 基金项目 :河南省自然科学基金资助项目(0511013700) . 作者简介 :刘鸿基(1957 - ) ,男 ,河南开封人 ,副教授 ,研究方向 :微分方程及函数论. 1 - λ = b12n- 2 + ⋯+ bn- 12 + bn 2n , 其中 bi = 1 - ai ( i = 1 ,2 , ⋯, n - 1) , bn = 1. 因此 ,对任意 x1 , x
-
严格凸函数充分必要条件_很不幸,自动化测试永远只能是必要非充分条件
2020-12-13 17:41:03UI测试,前面已经说过,自动化成本高、执行时间长、脆弱,对测试环境、数据也是有严格要求,只能精选最核心几个测试用例作为冒烟测试。功能覆盖率必然要低。 03 自动化测试只能是必要条件 综上所述,我们对自动化... -
严格凸函数和海赛矩阵_2机械优化设计第二章(哈工大—孙靖民).ppt
2020-12-21 08:33:322机械优化设计第二章(哈工大—孙靖民)三元函数 在 点处沿s方向的方向导数 当梯度方向和d方向重合时,方向导数值最大,即梯度方向是函数值变化最快方向,而梯度的模就是函数值变化率的最大值。 多元函数的梯度 海赛... -
严格凸函数充分必要条件_MBA数学高分指南条件充分性判断求解+蒙猜技巧!
2020-12-19 01:37:26对数函数复杂程度大于指数函数复杂程度大于幂函数复杂程度。 原则4:一个为相对量的百分比,另一个为绝对量的数值,优先选百分比。 三、选D选项(条件1充分,条件2也充分)考试中10道题里一般是3个(数学基础好的同学再... -
严格凸函数充分必要条件_猕猴桃如何充分授粉 实现优质丰产?专家为您解答...
2020-12-17 03:23:00猕猴桃充分授粉对温度要求较为严格,据试验:花期授粉时气温大于15℃授粉效果良好,而低于9℃时,座果率下降,单果重低,果型指数小,大大降低产量和商品性。 2、湿度:猕猴桃开花期对空气湿度的要求较高,一般要... -
严格凸函数充分必要条件_高三数学一轮复习第一章:第二节《命题及充分必要条件》...
2020-12-30 14:59:51判断命题真假的2种方法 (1)直接判断:判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可. (2)间接判断:根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一... -
严格凸函数充分必要条件_水产养殖机械增氧技术分析:充分利用机械增氧进一步提高水产养殖水中的含氧量,...
2020-12-31 15:12:59导致在增氧成效上也会产生不同的效果,由于这种底部增氧方式具有十分复杂的安装过程,因此必须对实际安装过程进行严格的控制,才能够将增氧方式的优越性体现出来。 (底部增氧设备) (3)机械平衡增氧技术。 这种增氧... -
凸函数
2020-05-06 13:21:11如果对于任意均满足:,则称f(x)为严格凸函数(convex function) 我们可以从几何上直观地理解凸函数的特点,如下图所示:即凸函数的割线在函数曲线的上方 如何判断一个函数是否为凸函数 对于一元函数f(x),... -
凸凹函数
2020-05-09 21:02:42tf(x1)+(1−t)f(x2),则称f(x)为严格凸函数(convex function) 几何理解 从几何上直观地理解凸函数的特点,凸函数的割线在函数曲线的上方 如何来判断一个函数是否是凸函数呢 对于一元函数f(x),我们可以通过其二阶... -
凸优化笔记——2.凸函数
2020-04-01 20:23:18区分凸函数/严格凸函数/拟凸函数/对数凸函数。 对数凸函数在处理随机变量的时候可以用到 凸函数的一阶条件/二阶条件 詹森不等式(基本/扩展) 典型例子:对数指数和/几何平均 3. 保凸运算 定义 二阶条件 简单凸函.... -
深入理解(下)凸函数
2019-04-09 17:09:161. 凸函数的定义 1.1 凸函数的几何解释 所谓凸函数,其实指的是下凸函数,从几何意义上看,凸函数就是任意两点之间的...,则是严格凸函数的数学定义。 Q:凸集的定义是什么? 凸集的几何解释:如果集合C中任意2个点X... -
凸优化第三章凸函数 3.1基本性质和例子
2019-01-16 15:15:47严格凸函数: 从几何上来看,如下图,函数f上的任意两点之间的弦都在函数图像之上。 函数f是凸函数,当且仅当在与函数f的定义域S相交的任何直线上,f均是凸的。 当且仅当g(t)是凸的,f(x)是凸的... -
凸优化第三章凸函数 3.1 基本性质和例子
2020-12-16 21:51:34严格凸函数: 从几何上来看,如下图,函数f上的任意两点之间的弦都在函数图像之上。 函数f是凸函数,当且仅当在与函数f的定义域S相交的任何直线上,f均是凸的。 当且仅当g(t)是凸的,f(x)是凸的。 利用此... -
凹函数与凸函数
2015-05-21 11:54:18定义: 设函数f(x)在区间I上定义,若...类似也有严格凸函数。 这个定义从几何上看就是: 在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是凹函数。 -
《最优化导论》-22凸函数
2019-02-19 09:38:051凸函数、凸集定义 2.凸函数性质 ...3)严格凸函数 4)凹函数与凸函数性质相反 5)判定 二阶导>0/正定,凸函数;<0/负半定,凹函数。 6)凸优化中,局部极小点就是全局极小点。... -
机器学习基础--math(6)--凸函数
2018-06-20 15:35:02严格凸函数只有一个局部最低点,该点也是全局最低点。经典的 U 形函数都是严格凸函数。不过,有些凸函数(例如直线)则不是这样。 例如很多常见的损失函数(包括下列函数)都是凸函数:L2 损失函数、对数损失... -
plot函数_机器学习 第85集:什么是凸函数?( 含有笔记、代码、注释 )
2020-12-05 22:27:07什么是凸函数?...③ 特别地,如果 或者 ,称为严格凸函数。注:凸函数任意两点的割线位于函数图形上方。注:凸函数的局部最小值就是全局最小值。Python基础积累(pandas)绘图import numpy as np impo... -
凸优化学习笔记3(中科大)凸函数
2020-06-23 16:35:323.1.1 定义(凸、凹、严格凸、严格凹) (1)定义1 若函数-f是(严格)凸的,则函数f是(严格)凹的。 (2)定义2(将高维限制在一维来判断) 3.1.2 拓展值延伸 (1)定义 (2)凸函数的拓展值延伸也是凸... -
凸函数与凸规划
2019-03-15 10:26:45两个点的所有严格凸组合的集合是不含端点的线段。 3 凸包 用不严谨的话来讲,给定二维平面上的点集,凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形,它能包含点集中所有的点。 在二维欧几里得空间中,凸包可想象... -
多元函数的向量表示_【凸优化笔记2】-凸函数、下水平集、范数
2020-11-21 12:54:17目录1.凸函数2.下水平集3.范数1. 凸函数1.1 凸函数定义一个函数是凸的,如果定义域是凸集,并且对于所有,都有:凸优化...图 1-1对上述凸函数 ,若取 , 都有: 则称这个凸函数是严格凸的。1.2 一阶条件若 是可微(必... -
凸函数,凹函数,双凸函数,双凹函数
2020-08-28 16:13:06凸函数,凹函数,双凸函数,双凹函数凸函数(Convex Function)和凹函数(Concave Function)定义几何理解性质双凸函数(多变量凸函数)函数直观理解 凸函数(Convex Function)和凹函数(Concave Function) 定义 ... -
凸优化问题,凸二次规划问题QP,凸函数
2020-05-22 15:35:25凸函数 凸优化问题 凸二次规划问题 约束优化问题 minwf(w) minwf(w) s.t.gi(w)≤0(i=1,...,k)(1) s.t.gi(w)≤0(i=1,...,k)(1) hj(w)=0(j=1,...,l)(2) hj(w)=0(j=1,...,l)(2) 注: 这是一个最小化问题. 不等式约束... -
损失函数与凸优化的逻辑
2021-01-17 15:48:40如果Hessian矩阵是正定的,则函数是严格凸函数。 以一元函数作为样例说明: 如果有一个函数,在定义域内,对于任意实数 0≤θ≤10\leq\theta\leq10≤θ≤1,都满足如下条件: f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)f... -
凸函数复合保凸,一般复合,特殊复合(复合仿射映射),各自的保凸条件
2018-12-25 23:50:00凸函数复合保凸,一般复合,特殊复合(复合仿射映射),各自的保凸条件 一般复合又分为标量复合与矢量复合,它们相对于复合仿射映射来说,条件比较严格。 参考凸优化。 ... -
如何判断一个函数是否是凸的
2015-03-01 17:03:16设f是定义域为实数的函数,如果对于所有的实数x,,那么f是凸函数。当x是向量时,如果其hessian矩阵H是半正定的(),那么f是凸函数。如果或者,那么称f是严格凸函数。 -
上凸函数的判定方法(两种)
2018-06-28 15:40:151) 在某个区间的二阶导数小于0,则在此区间内为严格上凸函数。 2) 利用Jenson不等式f[∑qk=1λkxk]≥∑qk=1λkf(xk)f[∑k=1qλkxk]≥∑k=1qλkf(xk)f[\sum_{k=1}^q \lambda_kx_k]\geq\sum_{k=1}^q\lambda_kf(x_k)... -
三分算法 — 解决凸凹函数的最值
2018-10-07 11:12:51概念: ...二分查找所面向的搜索序列的要求是:具有单调性(不一定严格单调);没有单调性的序列不是使用二分查找。 与二分查找不同的是,三分法所面向的搜索序列的要求是:序列为一个凸凹性函数。...
-
Linux从头开始学--学习笔记9知识点补充-ubuntu,centos;在linux上创建c程序;linux基础命令,shell命令,vi命令,man帮助手册
-
Docker从入门到精通
-
CentOS 7.6 部署EMQ
-
通过带有聚合松弛掩码的分层双线性池进行的细粒度分类
-
基于UCM模型实施敏捷SCM研究
-
蓝桥杯单片机历届模拟题.zip
-
训练了一层卷积层的神经网络模型来预测CFIR10数据中的图像-源码
-
五个非常重要的移动Web内容适应设计理念
-
函数计算镜像加速:从分钟到秒的跨越
-
Ellesmere.zip
-
Unity RUST 逆向安全开发
-
常用css列表
-
MySQL 高可用工具 heartbeat 实战部署详解
-
Mysql数据库面试直通车
-
基于深度点击功能的查询合并以实现稳健的图像识别
-
2021年熔化焊接与热切割考试题及熔化焊接与热切割考试APP
-
ITIL培训课件.pptx
-
github-slideshow:由机器人提供动力的培训资料库-源码
-
MySQL 事务和锁
-
面部识别脑-源码