凸函数与严格凸函数的几个新判别准则
 
杨
 
丹，
 
旷华武
 
*
 
【摘
 
要】
 
摘
 
要：在较弱条件下，建立了凸函数与严格凸函数的几个新判别准
 
则，所获结果比一些相应已知结果更具一般性。
 
【期刊名称】
 
贵州大学学报(自然科学版)
 
【年
 
(
 
卷
 
),
 
期】
 
2018(035)001
 
【总页数】
 
7
 
【关键词】
 
凸函数；严格凸函数；判别准则
 
凸函数或者广义凸函数的判别准则是凸分析及其应用中的一个重要研究内容，
 
这个研究内容可简述为
 
:
 
在一定条件下，如何判断一个函数是凸函数或特定类型
 
的广义凸函数？
 
一般地，设
 
E
 
是拓扑线性空间，
 
X
 
⊆
 
E
 
是一个非空凸子集，f:X→R。以下函数类
 
定义见
 
[1-7]
 
。
 
定义
 
1
 
如果
 
∀
 
x,y∈X，
 
∀
 
λ∈[0,1],都有
 
f(λx+(1
 
-
 
λ)y)≤λf(x)+(1
 
-
 
λ)f(y),则称
 
f(x)
 
为
 
X
 
上的凸函数。
 
定义
 
2
 
如果
 
∀
 
x,y∈X，x≠y，
 
∀
 
λ∈(0,1)，都有
 
f(λx+(1
 
-
 
λ)y)
 
-
 
λ)f(y),
 
则称
 
f(x)
 
为
 
X
 
上的严格凸函数。
 
定义
 
3
 
如果
 
∀
 
x,y∈X，f(x)≠f(y)，
 
∀
 
λ∈(0,1),都有
 
f(λx+(1
 
-
 
λ)y)
 
-
 
λ)f(y),则称
 
f(x)
 
为
 
X
 
上的半严格凸函数。
 
定义
 
4
 
如果
 
∀
 
x,y∈X，
 
∀
 
λ∈(0,1),都有
 
f(λx+(1
 
-
 
λ)y)≤max{f(x),f(y)},则称
 
f(x)
 
为
 
X
 
上的拟凸函数。
 
定义
 
5
 
如果
 
∀
 
x,y∈X，x≠y，
 
∀
 
λ∈(0,1),都有
 
f(λx+(1
 
-
 
λ)y)

 
收稿日期:2008-06-30
 
第16卷　第4期
 
2008年12月
 
北京石油化工学院学报
 
Journal of Beijing Institute of
 
Petro-chemical Technology
 
Vol.16　No.4
 
Dec.2008
 
多元凸函数的性质及其应用
 
游　煦
 
(北京石油化工学院数理系,北京102617)
 
摘要　从多元凸函数的定义及文献中已有的性质出发,利用方向导数和极限等数学工具,
 
给出了一个判别多元函数凸性的充分必要条件,进一步利用函数f(x)的Hesse矩阵Hf(x)的半正
 
定性来判定函数的凸性。特别地,对于二次函数f(x)=12xTAx+bTx直接利用矩阵A的正定性可以判
 
别它的凸性。这在实际应用中有一定的意义。
 
关键词　多元凸函数;梯度向量;Hesse矩阵;半正定阵;二次函数
 
中图法分类号　O174
 
凸分析是近几十年形成和发展起来的一个
 
新数学分支。它在数学规划、控制论、多元统计
 
等领域都有广泛的应用。文献[1-3]给出了一
 
些判别多元函数凸性的充分必要条件,但是这
 
些定理在实际使用过程中比较复杂。为了改进
 
判别方法,笔者利用极限和方向导数等数学工
 
具得到定理1[4],给出了利用多元函数的Hesse
 
矩阵来判别函数的凸性,改进了文献[1,3]中的
 
判别方法,在实际计算中很方便。
 
1　预备知识
 
多元凸函数和严格凸函数的定义:
 
定义1　设f(x),x∈D Rn,其中D为非
 
空凸集,若对于任意的x1,x2∈D及t∈(0,1)有
 
f tx1+(1-t)x2≤tf(x1)+(1-t)f(x2),
 
则称f(x)为D上的凸函数;若对于任意的x1,
 
x2∈D且x1≠x2及t∈(0,1)有
 
f tx1+(1-t)x2则称f(x)为D上的严格凸函数。
 
凸函数的几何意义如下:设x1,x2是凸集
 
上的任意两点,tx1+(1-t)x2为这两点连线
 
上的一点,则f(x)在tx1+(1-t)x2处的函数
 
值ftx1+(1-t)x2不超过f(x1)与f(x2)的
 
加权平均值f(x1)+(1-t)f(x2)。
 
例1　二元函数f(x,y)=x2-2xy+y2+
 
x+y为R2上的凸函数。
 
因为
 
f(x,y)=
 
1
 
2x y2-2-2 2xy+1 1xy,
 
令f(x,y)=f(x)=12xTAx+bTx,其中
 
x=x
 
y,A=2-2-2 2,b=11。
 
任意取x1=a1
 
b1,x2=a2b2∈R2,t∈(0,
 
1),则
 
f tx1+(1-t)x2=
 
f ta1+(1-t)a2,tb1+(1-t)b2=
 
t(a1-b1)+(1-t)(a2-b2)2+
 
t(a1+b1)+(1-t)(a2+b2),
 
tf(x1)+(1-t)f(x2)=t(a1-b1)2+
 
(1-t)(a2-b2)2+t(a1+b1)+
 
(1-t)(a2+b2),
 
利用一元函数g(x)=x2为x∈R上的凸
 
函数可知
 
t(a1-b1)+(1-t)(a2-b2)2≤
 
t(a1-b1)2+(1-t)(a2-b2)2,
 
因此,f(x,y)=x2-2xy+y2+x+y是R2上
 
的凸函数。利用凸函数的定义可以得到如下的
 
性质[1]:
 
设f(x)是定义在Rn上的凸函数,则对于
 
任意的x1,x2…xk∈Rn和t1,t2…tk≥0且t1+
 
t2+ … +tk=1,有
 
f t1x1+t2x2+…+tkxk≤
 
t1f(x1)+t2f(x2)+…+tkf(xk); (1)
 
如果f(x)是定义在Rn上的严格凸函数,
 
当x1,x2…xk不全相等时,有
 
f t1x1+t2x2+…+tkxk<
 
t1f(x1)+t2f(x2)+…+tkf(xk)。(2)
 
特别的在式(1)、式(2)中令λi=ti1-tn+1,
 
ti=λiλ1+λ2+ … +λk,i=1,2,…,k,有
 
fλ1x1+λ2x2+…+λkxkλ1+λ2+…+λk≤

文章编号:1673 - 2103(2006)02 - 0010 - 02 关于凸函数的两个充分必要条件 刘鸿基 ,薛明志Ξ(商丘师范学院计算机科学系 河南商丘 476000)　　摘 　要 :对重要的凸函数的定义予以拓广 ,并由此推导出两个便于应用的充分必要条件 ,当然也可以作为定义使用. 关键词:凸函数 ;等价性 ;充分必要条件 中图分类号:O 174. 13 　　文献标识码 :A 二次函数 ———抛物线函数是严格凸函数 ,一次函数 ———线性函数是广义的凸函数[1]. 可见凸函数是一类重要的函数 ,它有着较好的分析性质 ,值得予以讨论. 在不同的教材中凸函数大都采用如下定义 : 定义 1[2] 　设 f ( x) 在区间 I上连续 ,如果对 I上任意两点 x1 , x2 ,恒有 f x1 + x2 2 < f ( x1) + f ( x2) 2 , 那么称 f ( x) 在 I上的图形是(向上) 凹的(或凹弧) ;如果恒有 f x1 + x2 2 < f ( x1) + f ( x2) 2 , (1) 那么称 f ( x) 在 I上的图形是(向上) 凸的(或凸弧) . 注 : ①当 f ( x) 图形是凸弧(或凹弧) 时 ,称 f ( x) 是 I上的凸函数(或凹函数) . ②当上述不等式中出现等号时,我们称函数是广义凸(或凹) 的. ③当 f ( x) 为 I上的凹函数时 , - f ( x) 为区间 I 上的凸函数 ,反之亦然. 基于此 ,以下我们仅对广义的凸函数予以讨论. 主要结论为以下两个定理. 定理 1[3] 　设 f ( x) 在区间 I上有定义 ,对任意的 x1 , x2 ∈I,以及λ ∈[0 ,1] ,恒有 f λ x1 + (1 - λ) x2 ≥λ f ( x1) + (1 - λ) f ( x2) , (2) 则 f ( x) 为区间 I上的凸函数. 定理 2 　设函数 f ( x) 在区间 I上有定义 ,对于任意的 x1 , x2 ∈I,以及介于 x1 与 x2 之间任意 x ,恒有 x1 f ( x1) 1 x f ( x) 1 x2 f ( x2) 1 ≤0 , (3) 则 f ( x) 为区间 I上的凸函数. 为了说明以上两个定理可以作为凸函数的定义和充分必要条件使用 ,下面用循环推证的方法证明 : (1) 式 →(2) 式 :当λ = 0 或λ = 1 时 , (2) 式显然成立. 若λ ∈(0 ,1) 为有理数 ,则λ总可表示为有限的二进位小数 : λ = 0. a1 a2 ⋯an = a12n- 1 + a22n- 2 + ⋯+ an- i2 + an 2n , 其中 ai 为 0 或者 1 　 ( i = 1 ,2 , ⋯n - 1) , an = 1 ,同样 1 - λ是有理数 ,并且可以表示为 01 第 28 卷第 2 期 Vol. 28 　No. 2 菏 泽 学 院 学 报 Journal of Heze University 　　　　 　　　　　　　2006 年 4 月 Apr. 　2006 Ξ收稿日期 :2005 - 09 - 29 基金项目 :河南省自然科学基金资助项目(0511013700) . 作者简介 :刘鸿基(1957 - ) ,男 ,河南开封人 ,副教授 ,研究方向 :微分方程及函数论. 1 - λ = b12n- 2 + ⋯+ bn- 12 + bn 2n , 其中 bi = 1 - ai ( i = 1 ,2 , ⋯, n - 1) , bn = 1. 因此 ,对任意 x1 , x

 
 
t元j
 
 
一、什么是凸函数
 
 
对于一元函数\(f(x\))，如果对于任意\(t\epsilon[0,1]\)均满足：\(f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\)，则称\(f(x)\)为凸函数(convex function)
 
 
如果对于任意\(t\epsilon(0,1)\)均满足：\(f(tx_1 + (1-t)x_2) < tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\)，则称\(f(x)\)为严格凸函数(convex function)
 
 
我们可以从几何上直观地理解凸函数的特点，凸函数的割线在函数曲线的上方，如图1所示：从$f(x_1)$连一条线到右侧的虚线，利用三角形边的比例性质可以推出中间虚线与上面直线交点的值
 
 
 
 
上面的公式，完全可以推广到多元函数。在数据科学的模型求解中，如果优化的目标函数是凸函数，则局部极小值就是全局最小值。这也意味着我们求得的模型是全局最优的，不会陷入到局部最优值。例如支持向量机的目标函数\(||w||^2/2\)就是一个凸函数。
 
 
二、如何来判断一个函数是否是凸函数呢？
 
 
对于一元函数\(f(x)\)，我们可以通过其二阶导数\(f''(x)\) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负，即\(f''(x) \geq 0\) ，则\(f(x)\)是凸函数
 
 
对于多元函数\(f(X)\)，我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是\(f(X)\)凸函数
 
 
三、Jensen不等式<