凸函数与严格凸函数的几个新判别准则
杨
丹，
旷华武
*
【摘
要】
摘
要：在较弱条件下，建立了凸函数与严格凸函数的几个新判别准
则，所获结果比一些相应已知结果更具一般性。
【期刊名称】
贵州大学学报(自然科学版)
【年
(
卷
),
期】
2018(035)001
【总页数】
7
【关键词】
凸函数；严格凸函数；判别准则
凸函数或者广义凸函数的判别准则是凸分析及其应用中的一个重要研究内容，
这个研究内容可简述为
:
在一定条件下，如何判断一个函数是凸函数或特定类型
的广义凸函数？
一般地，设
E
是拓扑线性空间，
X
⊆
E
是一个非空凸子集，f:X→R。以下函数类
定义见
[1-7]
。
定义
1
如果
∀
x,y∈X，
∀
λ∈[0,1],都有
f(λx+(1
-
λ)y)≤λf(x)+(1
-
λ)f(y),则称
f(x)
为
X
上的凸函数。
定义
2
如果
∀
x,y∈X，x≠y，
∀
λ∈(0,1)，都有
f(λx+(1
-
λ)y)
-
λ)f(y),
则称
f(x)
为
X
上的严格凸函数。
定义
3
如果
∀
x,y∈X，f(x)≠f(y)，
∀
λ∈(0,1),都有
f(λx+(1
-
λ)y)
-
λ)f(y),则称
f(x)
为
X
上的半严格凸函数。
定义
4
如果
∀
x,y∈X，
∀
λ∈(0,1),都有
f(λx+(1
-
λ)y)≤max{f(x),f(y)},则称
f(x)
为
X
上的拟凸函数。
定义
5
如果
∀
x,y∈X，x≠y，
∀
λ∈(0,1),都有
f(λx+(1
-
λ)y)

凸函数
定义：凸函数
说
是凸函数，起码想到使用上式。此外，
又凸又凹，是
仿射函数。
几何意义：凸函数
分析：
很直观，
即
与
两点连接的线段上的点
注意凸规划里凸是向下凸的
凸函数的几个定理：逐个证明
(1)
如上，证明可以用数学归纳法证明：
为何要在③中提取
出来，因为这样
的系数才是
（因为有
）
才可用应用②中我们对
做的假设
(2) 
分析：
把“非负组合”理解为一个
，然后直接用定义即可
(3)
分析：
明确正面的目标
使用题目给的性质、凸函数性质，即可
(4)
分析：
遇到
，考虑放缩（上图存在笔误，即应该是
）
共经历了两层放缩：凸函数的性质一层、
一层
(5)
分析：
你可以去理解“什么是正齐次函数”，也可不去（因为对证明题目没什么帮助） 
我的理解是，
在
中是一次的，因为
可以被提出来
分析：
证明充要条件，当然充分性与必要性都要证明
注意：
是正齐次函数，是已知、是条件，而非要正面的东西
对于充分性
的证明，因为
是已有性质，因此可以取特殊值
，来继续推导
梯度
定义：梯度
定义：Hesse矩阵
定理：
如上，
、
、
分别分别代表y轴值，我将其标注了出来。
该定理的证明
分析：
在充分性的证明中，最重要的是构造
然后利用已有的性质，进行代换，向着目标推进（目标是凸函数的定义式）
分析：
在必要性的证明中，巧妙地利用了
时，出现梯度，引出了
符号
该定理的严格形式
分析：
对于充分性证明，与不严格时相同；
对于必要性证明，则不同 
利用了不严格时的定理，引出带有
与
的不等式
显然，我们需要把
去掉，则要结合严格凸的式子
使用
将其结合
定理：海赛阵半正定与凸函数
证明：海赛阵半正定与凸函数
分析：
都没有直接引用凸函数定义式，而是以用与凸函数等价的
都应用了二阶展开（泰勒公式）
定理：正定则严格凸
注意逆定理不成立。
判别：更方便的方法
直接用定理判断是否正定，不方便，这里提供了“主子式”的判别方法。
计算实例如上。

收稿日期:2008-06-30
第16卷　第4期
2008年12月
北京石油化工学院学报
Journal of Beijing Institute of
Petro-chemical Technology
Vol.16　No.4
Dec.2008
多元凸函数的性质及其应用
游　煦
(北京石油化工学院数理系,北京102617)
摘要　从多元凸函数的定义及文献中已有的性质出发,利用方向导数和极限等数学工具,
给出了一个判别多元函数凸性的充分必要条件,进一步利用函数f(x)的Hesse矩阵Hf(x)的半正
定性来判定函数的凸性。特别地,对于二次函数f(x)=12xTAx+bTx直接利用矩阵A的正定性可以判
别它的凸性。这在实际应用中有一定的意义。
关键词　多元凸函数;梯度向量;Hesse矩阵;半正定阵;二次函数
中图法分类号　O174
凸分析是近几十年形成和发展起来的一个
新数学分支。它在数学规划、控制论、多元统计
等领域都有广泛的应用。文献[1-3]给出了一
些判别多元函数凸性的充分必要条件,但是这
些定理在实际使用过程中比较复杂。为了改进
判别方法,笔者利用极限和方向导数等数学工
具得到定理1[4],给出了利用多元函数的Hesse
矩阵来判别函数的凸性,改进了文献[1,3]中的
判别方法,在实际计算中很方便。
1　预备知识
多元凸函数和严格凸函数的定义:
定义1　设f(x),x∈D Rn,其中D为非
空凸集,若对于任意的x1,x2∈D及t∈(0,1)有
f tx1+(1-t)x2≤tf(x1)+(1-t)f(x2),
则称f(x)为D上的凸函数;若对于任意的x1,
x2∈D且x1≠x2及t∈(0,1)有
f tx1+(1-t)x2则称f(x)为D上的严格凸函数。
凸函数的几何意义如下:设x1,x2是凸集
上的任意两点,tx1+(1-t)x2为这两点连线
上的一点,则f(x)在tx1+(1-t)x2处的函数
值ftx1+(1-t)x2不超过f(x1)与f(x2)的
加权平均值f(x1)+(1-t)f(x2)。
例1　二元函数f(x,y)=x2-2xy+y2+
x+y为R2上的凸函数。
因为
f(x,y)=
1
2x y2-2-2 2xy+1 1xy,
令f(x,y)=f(x)=12xTAx+bTx,其中
x=x
y,A=2-2-2 2,b=11。
任意取x1=a1
b1,x2=a2b2∈R2,t∈(0,
1),则
f tx1+(1-t)x2=
f ta1+(1-t)a2,tb1+(1-t)b2=
t(a1-b1)+(1-t)(a2-b2)2+
t(a1+b1)+(1-t)(a2+b2),
tf(x1)+(1-t)f(x2)=t(a1-b1)2+
(1-t)(a2-b2)2+t(a1+b1)+
(1-t)(a2+b2),
利用一元函数g(x)=x2为x∈R上的凸
函数可知
t(a1-b1)+(1-t)(a2-b2)2≤
t(a1-b1)2+(1-t)(a2-b2)2,
因此,f(x,y)=x2-2xy+y2+x+y是R2上
的凸函数。利用凸函数的定义可以得到如下的
性质[1]:
设f(x)是定义在Rn上的凸函数,则对于
任意的x1,x2…xk∈Rn和t1,t2…tk≥0且t1+
t2+ … +tk=1,有
f t1x1+t2x2+…+tkxk≤
t1f(x1)+t2f(x2)+…+tkf(xk); (1)
如果f(x)是定义在Rn上的严格凸函数,
当x1,x2…xk不全相等时,有
f t1x1+t2x2+…+tkxk<
t1f(x1)+t2f(x2)+…+tkf(xk)。(2)
特别的在式(1)、式(2)中令λi=ti1-tn+1,
ti=λiλ1+λ2+ … +λk,i=1,2,…,k,有
fλ1x1+λ2x2+…+λkxkλ1+λ2+…+λk≤

文章编号:1673 - 2103(2006)02 - 0010 - 02 关于凸函数的两个充分必要条件 刘鸿基 ,薛明志Ξ(商丘师范学院计算机科学系 河南商丘 476000)　　摘 　要 :对重要的凸函数的定义予以拓广 ,并由此推导出两个便于应用的充分必要条件 ,当然也可以作为定义使用. 关键词:凸函数 ;等价性 ;充分必要条件 中图分类号:O 174. 13 　　文献标识码 :A 二次函数 ———抛物线函数是严格凸函数 ,一次函数 ———线性函数是广义的凸函数[1]. 可见凸函数是一类重要的函数 ,它有着较好的分析性质 ,值得予以讨论. 在不同的教材中凸函数大都采用如下定义 : 定义 1[2] 　设 f ( x) 在区间 I上连续 ,如果对 I上任意两点 x1 , x2 ,恒有 f x1 + x2 2 < f ( x1) + f ( x2) 2 , 那么称 f ( x) 在 I上的图形是(向上) 凹的(或凹弧) ;如果恒有 f x1 + x2 2 < f ( x1) + f ( x2) 2 , (1) 那么称 f ( x) 在 I上的图形是(向上) 凸的(或凸弧) . 注 : ①当 f ( x) 图形是凸弧(或凹弧) 时 ,称 f ( x) 是 I上的凸函数(或凹函数) . ②当上述不等式中出现等号时,我们称函数是广义凸(或凹) 的. ③当 f ( x) 为 I上的凹函数时 , - f ( x) 为区间 I 上的凸函数 ,反之亦然. 基于此 ,以下我们仅对广义的凸函数予以讨论. 主要结论为以下两个定理. 定理 1[3] 　设 f ( x) 在区间 I上有定义 ,对任意的 x1 , x2 ∈I,以及λ ∈[0 ,1] ,恒有 f λ x1 + (1 - λ) x2 ≥λ f ( x1) + (1 - λ) f ( x2) , (2) 则 f ( x) 为区间 I上的凸函数. 定理 2 　设函数 f ( x) 在区间 I上有定义 ,对于任意的 x1 , x2 ∈I,以及介于 x1 与 x2 之间任意 x ,恒有 x1 f ( x1) 1 x f ( x) 1 x2 f ( x2) 1 ≤0 , (3) 则 f ( x) 为区间 I上的凸函数. 为了说明以上两个定理可以作为凸函数的定义和充分必要条件使用 ,下面用循环推证的方法证明 : (1) 式 →(2) 式 :当λ = 0 或λ = 1 时 , (2) 式显然成立. 若λ ∈(0 ,1) 为有理数 ,则λ总可表示为有限的二进位小数 : λ = 0. a1 a2 ⋯an = a12n- 1 + a22n- 2 + ⋯+ an- i2 + an 2n , 其中 ai 为 0 或者 1 　 ( i = 1 ,2 , ⋯n - 1) , an = 1 ,同样 1 - λ是有理数 ,并且可以表示为 01 第 28 卷第 2 期 Vol. 28 　No. 2 菏 泽 学 院 学 报 Journal of Heze University 　　　　 　　　　　　　2006 年 4 月 Apr. 　2006 Ξ收稿日期 :2005 - 09 - 29 基金项目 :河南省自然科学基金资助项目(0511013700) . 作者简介 :刘鸿基(1957 - ) ,男 ,河南开封人 ,副教授 ,研究方向 :微分方程及函数论. 1 - λ = b12n- 2 + ⋯+ bn- 12 + bn 2n , 其中 bi = 1 - ai ( i = 1 ,2 , ⋯, n - 1) , bn = 1. 因此 ,对任意 x1 , x