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  • 中位数和众数

    2021-03-15 10:57:25
    列举一些中位数和众数的常见问题和解法1. 众数一个长度为$N$的列表,出现次数大于$\left \lfloor N/2 \right \rfloor$的数为这个列表的众数。1.1 摩尔投票算法摩尔投票算法(Boyer-Moore majority vote algorithm)的...

    列举一些中位数和众数的常见问题和解法

    1. 众数

    一个长度为$N$的列表,出现次数大于$\left \lfloor N/2 \right \rfloor$的数为这个列表的众数。

    1.1 摩尔投票算法

    摩尔投票算法(Boyer-Moore majority vote algorithm)的思路类似一个大乱斗,遇到不相同的数就抵消掉。维护两个变量:major和count,major是众数的可能值,count是这个数的得分,初值都是0,顺序遍历整个列表,通过下面的条件修改major和count。

    05bfcbbe71d42940c061cfbf09e7107b.gif

    如果众数存在,程序结束的时候major就是众数。从算法里面可以看出,不想等的数之间是存在竞争关系的,相等的数则没有。我们将一个列表(例如$[1,2,1,2,1,3,1]$)分成两个组,众数一组($[1,1,1,1]$),其他的数是一组($[2,2,3]$),那众数这一组由于数值一样,只和另一组数存在竞争关系,而另一组数不仅和众数这一组有竞争关系,组内也会由于数值不等存在竞争关系,最终一定不会在乱斗中存活下来,所以如果众数存在,最终的major只可能是众数。但是要注意,这是在众数存在的情况下,如果众数不一定存在,则还需要对算法筛选出来的结果进行计数验证。算法模版如下,时间复杂度$O(n)$,空间复杂度$O(1)$。

    1 def Moore(nums: List) ->int:2 major, count =0, 03 for num innums:4 if count ==0:5 major, count = num, 1

    6 elif major !=num:7 count -= 1

    8 else:9 count += 1

    10 #如果没有说众数一定存在,此处就要加上验证

    11 return major

    摩尔选举方法也可以进行拓展,用来求序列中出现次数大于$\left \lfloor N/K \right \rfloor$的数。以$K=3$举例,当出现3个互不相等的数时就抵消,最后剩下的数(不会超过$K-1$个)再进行验证就可以得到最终的结果。具体的代码见$1.4$。

    1.2 随机选举

    随机选举的方式比较有意思,可以用来求数据流中任意区间的众数。在知道众数一定存在的情况下,单次查询时间复杂度为$O(logn)$,此外记录下标需要$O(n)$的辅助空间。简单说一下流程:首先通过字典记录每个数的下标,例如$[1,2,1,3,1]$,记录下标的字典为$\{1:[0,2,4], 2:[1], 3:[3]\}$。给定区间$[l, r]$,每次在这个区间上随机选择一个数,在字典中以这个数为key的键值列表中通过二分找到$lower\_bound(l)$和$upper\_bound(r)$,相减就是这个数在区间$[l,r]$中出现的的次数了。如果众数存在,由几何分布可知6次随机选择选到众数的概率超过$99\%$,但是如果众数不存在就会一直随机选举,如果程序允许小概率的误差,也可以在选举一定次数后就退出告知众数不存在。相关的代码见$1.4$。

    1.3 转换成求中位数

    如果众数存在,那么众数一定和中位数相等,那我们就可以用中位数的算法了。这里问题仍可简化,只需要求第$\left \lceil N/2 \right \rceil$大的数即可。求数组第K大的数的算法见中位数的求法,当众数不一定存在时,结果需要进行验证。这种方法的时间复杂度为$O(n)$,空间复杂度为$O(1)$。

    1.4 举例

    1.4.1 求长度为N的序列中出现次数大于$\left \lfloor N/K \right \rfloor$的数

    1 def MoorePro(nums: List, K: int) ->List[int]:2 majors ={}3 for num innums:4 if num inmajors:5 majors[num] += 1 #已经存在就计数

    6 elif len(majors) == K - 1:7 minusOne(majors) #集齐K个不等元素就消除

    8 else:9 majors[num] = 1 #元素还不存在直接新增

    10

    11 #这时字典中的key就是可能的结果了,需要进一步计数验证

    12 for key inmajors.keys():13 majors[key] = 0 #先归零

    14 for num innums:15 if num inmajors:16 majors[num] += 1

    17 threshold = len(nums) //K18 return [key for key, value in majors.items() if value >threshold]19

    20

    21 def minusOne(majors: Dict) ->NoReturn:22 remove_list =[]23 for key, value inmajors:24 if value == 1:25 remove_list.append(key) #遍历的时候不能直接删除

    26 else:27 majors[key] -= 1

    28 for key inremove_list:29 majors.pop(key)

    时间复杂度$O(NK)$,空间复杂度为$O(K)$。Leetcode 169和Leetcode 229可以拿来练练手。

    我们用随机选举和摩尔选举+线段树来解题,代码如下,对线段树不了解的看<>。

    1 classMajorityChecker:2 """

    3 随机选举,初始化复杂度为O(n),每次query的复杂度为O(lgn),支持向列表尾部插入数据,只需要更新相应的indices字典即可4 """

    5 def __init__(self, arr: List[int]):6 self.arr =arr7 self.indices =collections.defaultdict(list)8 for index, value inenumerate(arr):9 self.indices[value].append(index)10

    11 def query(self, left: int, right: int, threshold: int) ->int:12 #选择10次,失败概率为1/(2^10)

    13 for _ in range(10):14 candidate =self.arr[random.randint(left, right)]15 if bisect.bisect_right(self.indices[candidate], right) - bisect.bisect_left(self.indices[candidate], left) >=threshold:16 returncandidate17 return -1

    对于可变区间问题,我们较容易想到线段树这类数据结构,关键在于这类问题有没有区间分解特性。设输入序列为$arr$,$cur$代表当前处理的线段树节点,$start$和$end$是节点代表的区间$[start, end]$,$left$和$right$代表左右儿子节点,每个节点维护两个值:$major$是众数候选项,$count$可以理解成这个$major$对应的评分。我们先给出更新关系,再说明如果区间的众数存在,major维护的就是区间众数。

    af0036ff66b803b8b68520a305dab5de.gif

    再介绍摩尔选举算法的时候,我们是顺序遍历列表进行抵消的,这里相当于先分组进行抵消,然后组之间再进行抵消,直到选出最终的胜者,有点类似体育比赛,这样如果众数存在,区间里的major就是众数。但是仍要对最终的结果进行验证。代码如下...

    1 classSTNode:2 def __init__(self, major, count):3 self.major =major4 self.count =count5

    6

    7 classMajorityChecker:8 def __init__(self, arr: List[int]):9 self.arr =arr10 #用于验证的下标字典

    11 self.indices =collections.defaultdict(list)12 for index, value inenumerate(arr):13 self.indices[value].append(index)14 self.STree = [STNode(0, 0) for _ in range(4 * len(arr) + 1)]15 ifself.arr:16 self.buildSegmentTree(1, 0, len(arr) - 1)17

    18 defbuildSegmentTree(self, cur: int, start: int, end: int):19 if start ==end:20 self.STree[cur].major =self.arr[start]21 self.STree[cur].count = 1

    22 return

    23 left, right, mid = cur << 1, cur << 1 | 1, start + end >> 1

    24 self.buildSegmentTree(left, start, mid)25 self.buildSegmentTree(right, mid + 1, end)26 if self.STree[left].major ==self.STree[right].major:27 self.STree[cur].major =self.STree[left].major28 self.STree[cur].count = self.STree[left].count +self.STree[right].count29 elif self.STree[left].count >self.STree[right].count:30 self.STree[cur].major =self.STree[left].major31 self.STree[cur].count = self.STree[left].count -self.STree[right].count32 else:33 self.STree[cur].major =self.STree[right].major34 self.STree[cur].count = self.STree[right].count -self.STree[left].count35

    36 def _query(self, root: int, start: int, end: int, qstart: int, qend: int) ->STNode:37 if start == qstart and end ==qend:38 returnself.STree[root]39 left, right, mid = root << 1, root << 1 | 1, start + end >> 1

    40 if qend <=mid:41 returnself._query(left, start, mid, qstart, qend)42 elif qstart >mid:43 return self._query(right, mid + 1, end, qstart, qend)44 else:45 left_res =self._query(left, start, mid, qstart, mid)46 right_res = self._query(right, mid + 1, end, mid + 1, qend)47 if left_res.major ==right_res.major:48 return STNode(left_res.major, left_res.count +right_res.count)49 elif left_res.count >right_res.count:50 return STNode(left_res.major, left_res.count -right_res.count)51 else:52 return STNode(right_res.major, right_res.count -left_res.count)53

    54 def query(self, start: int, end: int, threshold: int) ->int:55 res = self._query(1, 0, len(self.arr) - 1, start, end).major56 #对结果进行验证

    57 if bisect.bisect_right(self.indices[res], end) - bisect.bisect_left(self.indices[res], start) <58 return>

    59 return res

    创建线段树的时间开销是$O(n)$,查询和验证的时间开销是$O(lgn)$,不同于随机选举,线段树的方式不支持添加元素。

    2. 中位数

    计算有限序列的中位数的方法是:把序列按照大小的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则中间那个数据就是中位数,如果数据的个数是偶数,则中间那2个数的算术平均值就是中位数。只要我们可以计算数组中第K大的数,就可以得到中位数了。<>第9章“中位数和顺序统计量”中介绍了“期望时间为$O(n)$”和“最坏时间为$O(n)$”的两种方法,里面有对算法的详细描述和时间复杂度的严谨证明,有兴趣可以去参阅一下。“期望时间为$O(n)$”的方法平时用得较多,它参考了快速排序中的序列划分的方法,区别的地方是快速排序会递归处理划分的两边,而这里我们只需要处理一边就可以了。下面给出算法模版...

    1 def findK(arr: List, start: int, end: int, K: int) ->int:2 select =random.randint(start, end)3 pivot, arr[select] =arr[select], arr[start]4 l, r =start, end5 while l <6 while l r and arr>pivot:7 r -= 16>

    8 if l <9 arr l>

    11 while l < r and arr[l] <=pivot:12 l += 1

    13 if l <14 arr r>

    16 arr[l] =pivot17 if l ==K:18 returnpivot19 elif l <20 return findk l end k else:22 start>

    这种方法也可用来求序列种前K大的数,因为每次迭代以后pivot右边的元素都比左边的元素大。因为pivot是随机选择的,所以可以保证接近期望时间,但是有一种情况除外,当序列中元素全部相等的时候,时间复杂度为$O(n^2)$,序列中互异元素越多,时间表现越好。

    20>14>9>58>
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  • 某班8名学生完成作业所需时间分别为:75,70,90,70,70,58,80,55(单位:分),则这组数据的众数为____,中位数为_______,平均数为__________2.已知组数据1,0,3,2,6,5,这组数据的中位数为_________.3.若数据10,12,9,-1...

    —一

    .

    填空题

    1.

    某班

    8

    名学生完成作业所需时间分别为:

    75

    ,

    70

    ,

    90

    ,

    70

    ,

    70

    ,

    58

    ,

    80

    ,

    55

    (

    单位:分

    )

    则这组数据的众数为

    ____

    ,

    中位数为

    _______

    ,平均数为

    _

    _________

    2.

    已知一组数据

    1

    ,

    0

    ,

    3

    ,

    2

    ,

    6

    ,

    5

    ,

    这组数据的中位数为

    _

    ________ .

    3.

    若数据

    10,12,9,-1,4,8,10,12,x

    的众数是

    12,

    x= ___________

    .

    4.

    数据

    3

    ,

    4

    ,

    6

    ,

    8

    ,

    x

    ,

    7

    的众数是

    7

    ,

    则数据

    4

    ,

    3

    ,

    6

    ,

    8

    ,

    2

    ,

    x

    的中位数是

    __________  .

    5.

    已知一组数据:

    x1

    =

    4

    ,

    x2

    =

    5

    ,

    x3

    =

    6

    ,

    x4

    =

    7

    ,

    它们出现的次数依次为

    2

    ,

    3

    ,

    2

    ,

    1

    ,

    这组数据的众数为

    ______________

    ,

    中位数为

    _______________

    ,

    平均数为

    ______

    二、

    选择题

    1.

    一组数据是

    23

    ,

    27

    ,

    20

    ,

    18

    ,

    12

    ,

    x

    ,

    它的中位数是

    21

    ,

    则数据

    x

    ()

    A.

    23

    B.

    21

    C.

    不小于

    23

    D.

    以上都不是

    2.

    用中位数去估计总体时

    其优越性是

    ()

    A.

    运算简便

    B.

    不受较大数据的影响

    C.

    不受较小数据的影响

    D.

    不受个别数据较大或较小的影响

    3.

    对于数据

    3,3,2,6,3,10,3,6,3,2.

    (1)

    众数是

    3; (2)

    众数与中位数的数值不等

    (3)

    中位数与平均数的数值相等

    (4)

    平均

    数与众数相

    其中正确的结论是

    ()

    A. (1) B.

    (1)⑶

    C.

    D.

    ⑵(4)

    4.

    已知一组数据从小到大依次为

    -1,0,4,x,6,15,

    其中位数为

    5,

    则其众数为

    ()

    A. 4 B. 5 C. D. 6

    5.

    某班

    10

    名学生体育测试的成绩分别为

    (

    单位

    )58,60,59,52,58,55,57,58,49,57(

    体育

    测试这次规定满分为

    60

    )

    你们这组数据的众数

    ,

    中位数分别是

    ()

    A. 58, B. 57,

    C. 58, 58 D. 58, 57

    三、

    简答题

    1.

    某餐厅有

    7

    名员工,工资为

    3000

    (

    经理

    )

    700

    500

    450

    360

    340

    320

    (

    1

    )

    试求餐厅所有员工工资的众数、中位数、平均数;

    (2)

    用平均数还是用中位数来描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当?

    (3)

    去掉经理的工资后,其他员工的平均工资是多少元是否也能反映该餐厅员工工资的一

    般水平?

    2.

    某商店有

    220L,215L,185L,182L

    四种型号的某种名牌电冰箱

    在一周内分别销售了

    6

    ,30

    ,14

    ,8

    .

    在研究电冰箱销售情况时

    商店经理关心的应是哪些数据

    哪些数据对于进

    货最有参考价值

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  • 文章目录算数平均数、中位数众数和几何平均数 算数平均数、中位数众数和几何平均数 统计数据时经常用到的几数的比较: 算数平均数 中位数 众数 几何平均数 英文名 Arithmetic mean Median Mode ...

    算数平均数、中位数、众数和几何平均数

    统计数据时经常用到的几种数的比较:

    算数平均数中位数众数几何平均数
    英文名Arithmetic meanMedianModeGeometric Mean
    别称均值中值
    定义n个变量的和除以n。中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数,即在这组数据中,有一半的数据比他大,有一半的数据比他小。一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数。几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。
    优点只需要知道变量组的总额,不需要知道每个变量值,就可以计算。不容易受极大值和极小值影响。数据项没有数值时也可以计算。不容易受极大值和极小值影响。
    缺点容易受极大值或极小值影响。需要知道每个变量的值,并且先排序,再找出中位数。需要知道每个变量出现的次数,仅适用于计算Top N的情况。变量值不能为0或负数,仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。

    考虑上算数平均数和几何平均数的数据项采用不同的权重,就是加权算数平均数和加权几何平均数。

    在统计一般的“平均数”时,比如统计平均工资、平均房价时,用中位数比算数平均数更合理,可以避免受极大值或极小值影响。但是在实际中,考虑到统计成本,统计的样本比较小,统计数据缺失,统计对象的有意漏报错报,而算数平均数因为计算简单对数据要求不高,仍然被广泛使用。

    参考文档:

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  • 平均数、中位数众数,在分析中如何使用?01 平均值的种类02 平均数、中位数还是众数?03 全距数值分布 01 平均值的种类 请检查下面的陈述: 1、个快速致富的方法就是做名职业橄榄球员,2015年美国国家橄榄...

    平均数、中位数、众数,在分析中如何使用?

    01 平均值的种类

    请检查下面的陈述:

    1、一个快速致富的方法就是做一名职业橄榄球员,2015年美国国家橄榄球联盟球星的平均收入是220万美元。

    2.、为在大学里取得好成绩,学生需要付出的努力越来越少了。根据最近一项调查,大学生每周平均花在学习上的时间是12.8小时,和20年前大学生的学习时长相比,前者大概只有后者的一半。

    两个例子当中都使用了“平均”这个词,但是实际上有三种不同的方法来测定平均值,而且在大多数情况下,每种方法都会给出不同的数值。

    • 第一种方法:是把所有数值相加,然后用总数除以相加的数值的数目。这种方法所得的结果就是平均数(mean)

    • 第二种方法:是将所有数值从高到低排列,然后找到位于最中间的数值,这个中间数值就是中位数(median)。一半的数值在中位数之上,另一半在中位数之下。

    • 第三种方法:是将所有数值排列好,计算每个不同数值出现的次数或每个不同数值范围出现的次数,出现频率最高的数值就叫作众数(mode),这是第三种平均值。

    平均值的种类:

    • 平均数:通过把所有数值相加然后用总数除以相加的数值的数目来测定

    • 中位数:通过将所有数值从高到低排列,然后找到位于最中间的数值来测定

    • 众数:通过计算不同数值出现的次数,然后找出出现频率最高的数值来测定

    02 平均数、中位数还是众数?

    在第一个例子中,哪一种平均值最能说明问题?请考虑一下职业化运动当中大牌球星的收入与一般球员收入的对比。最大牌的球星,比如说橄榄球明星四分卫,收入比球队里大部分其他球员要高出很多。

    事实上,2015年薪酬最高的橄榄球运动员年收入超过3500万美元——远远高于平均值。这样高的收入将会急剧拉高平均数,但是对于中位数或众数而言影响不大

    举例来说,美国国家橄榄球联盟的球员2015年工资平均数是220万美元,但是其工资中位数却只有83万美元。因此,对于大部分职业运动,运动员工资平均数要比中位数或者众数高出很多。所以,如果有人想让工资水平显得非常非常高,他就会选择平均数作为平均值。

    现在让我们来仔细看看第二个例子。如果这里列举的平均值是中位数或众数,我们就有可能低估了平均学习时间。有些学生很可能花了极多的时间学习,比如一周30或40个小时,这会提高平均数的数值,但是不影响中位数或者众数的数值。学习时间的众数数值可能远低于或远高于中位数,主要取决于多长的学习时间对学生而言最为常见

    当你见到平均值的时候,一定要记得问一下:“这是平均数、中位数还是众数?平均值的含义不同会不会产生什么影响?”在回答这些问题时,请想一想平均值的不同含义会给信息的意义带来怎样的变化。

    03 全距和数值分布

    不仅判断一个平均值是平均数、中位数还是众数非常重要,判定最小数值和最大数值之间的差距(即全距(range))以及每个数值出现的频率(即数值分布),常常也很重要。

    下面我们来看一个例子,在这个例子里知道数值的全距和数值分布就非常重要。

    医生对20岁的病人说:你所患癌症的预后不容乐观。患同样癌症的病人存活时间的中位数是10个月。所以剩下来的这几个月你想做什么就做点什么吧,不必有什么顾虑了。

    病人听到医生给出这样的诊断结果,对自己的未来该做出怎样可怕的预期呢?
    首先,我们确定知道的是获得这种诊断的病人有一半不到10个月就去世了,还有一半人存活时间超过了10个月。

    但是我们并不知道活下来的那部分人的存活时间的全距和数值分布。也许这些信息会显示,有些人甚至很多人存活的时间远远超过了10个月。其中有些人甚至很多人可能活到了80岁以上呢!知道病人存活情况的完整分布可能会改变这个癌症患者对未来的看法。

    一般来说,病人应该考虑不同的医院对于他的疾病的存活率记录是不是有不同的全距和数值分布。这样,他应该考虑选择在有最乐观的数值分布情况的医院就诊。

    当你遇到平均值的时候记住全距和数值分布的一个总体好处,就是提醒你大多数人或事并不符合确切的平均值,与平均值差异极大的结果也在预料之中。

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  • python求解中位数、均值、众数

    万次阅读 2019-02-16 11:19:19
    首先定义个数据,在这里我假定为: ...对于有限的数集,可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的个作为中位数。如果观察值有偶数个,则中位数不唯一,通常取最中间的两个数值的平均数...
  • 第4章样本与数据分析初步易错题集064.3 中位数和众数 选择题 61自然数455xy从小到大排列后其中位数为4如果这组数据唯一的众数是5那么所有满足条件的xy中x+y的最大值是 A3 B4 C5 D6 62学校快餐店有2元3元4元三价格...
  • C语言计算平均数/众数/中位数

    千次阅读 2019-12-18 16:50:57
    在调查数据分析(Survey data analysis)中经常需要计算平均数、中位数和众数。用函数编程计算40个输入数据(是取值1—10之间的任意整数)的平均数(Mean)、中位数(Median)和众数(Mode)。中位数指的是排列在...
  • 计算:将所有数字按照从小到大或从大到小的方式排序,找出最中间的值,如果数字的个数为奇数,中间的值即为中位数,如果数字的个数为偶数,将处于中间的两个数值相加再取平均得到中位数。 三、众数(mode) 计算:...
  • 数值方法样本统计量:数据来自样本,计算的度量总体参数:数据来自总体,计算的度量点估计...公式为: 中位数将所有数据按升序排序后,位于中间的数值即为中位数。 (1)当观测值是奇数时,中位数就是中间那个数值。 (...
  • 本文介绍平均值、几何均值、调和均值、中位数、截尾法以及众值估计的求解方法,并用matlab对实例进行求解。 各值的特点 平均值 无系统误差粗大误差时,直接求平均的结果最接近真值,用它来表示测量结果是最为可靠...
  • SQL中求字段的众数和中位数

    千次阅读 2020-10-27 12:02:01
    SQL中求字段中的中位数,简单理解,简单方法 如果数据量为奇数,则是第 (n+1)/2 条,偶数则为 n/2 (n+2)/2条的的平均值。SQL如下 select * from ( select * ,row_number() over( order by money ) top...
  • 平均 平均的概念很简单,不再详述,直接给出其公式: 对于n个数字x1、x2…xn,其平均公式为: 加权平均 什么是权,就是重要性,在数学就是个表示其所占比重的数值。 ...
  • 看了n久的python,可当解决实际项目问题去搜寻众多API解释时,使用何方法合适,还是毫无...nums = [0,4,5,8,8]#求均值和中位数均可以使用numpy库的方法:import numpy as np#均值np.mean(nums)#中位数np.median(n...
  • 首创“媒介”词的人是( ) 在页式管理,存储页面表的作用是记录内存页面的分配情况,存储页面表的结构有三方法:、空闲页面表。 配对资料秩检验的基本思想是,如果检验假设成立,对样本来说 包块进行性...
  •  中位数:分类数据组的中间值(如果数据个数为偶数,则是两个中间数值的一半)  众数:数据组中出现次数最多的值(或者组值)   异常值:比几乎其他所有数字都要 大/小 很多的数值   加权平均值:对变量在...
  • 先介绍一下众数和中位数众数: 一般来说,组数据中,du出现次数最多的数就叫这组数据的众数。 例如:zhi2,3,3,3,4,5的众数是dao3。 中位数: 把组数据按从小到大的数序排列,在中间的个数字(或两个...
  • 本文内容 平均数 中位数 众数 参考资料 演示 最近大 BOSS“迷上”了个网络游戏(什么游戏就不多说啦~),让我写个程序帮他算一下(现在他让另个同事写了,我要改 bug 没时间,所以,我主要是没事时“凑热闹”提...
  • 本篇博客总结了数学中常用的数学函数,同时给出了平均数、中位数众数的求法,有没涉及到的欢迎补充或者留言我继续完善。package com.xlh.bd.internal.service;import java.text.NumberFormat;import java.util....
  • 做数据挖掘机器学习以及任何与数字序列相关的算法工作之前,一般,我们都做做data exploration的工作,意思大概就是说,要首先看看这个数字序列的: 基本统计指标是什么, 有什么明显的数字趋势可见,或者符...
  • 本文大纲: 数据挖掘分析&... 优缺点应用场景,集中趋势发散趋势 发散趋势的引申:极差 -&gt;方差-&gt;标准差-&gt;变异系数 发散程度指标的重要实际意义 可汗学院-统计学简单介...

空空如也

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